Analisa Kualitatif pada Model SIR
I am Fazatia Aidila 1212100095
I am here to give presentation as a requirement for my final project Hello!
Supervisor
Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Analisa Kualitatif
pada Model SIR
dengan Fungsi
Pengobatan Saturasi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Campak, Gondong, Cacar, Polio,
Influenza
Model Matematika
SIR
Keterlambatan Pengobatan
Analisa Kualitatif pada Model SIR dengan
Rumusan Masalah
“
▧ Bagaimana menentukan bilangan reproduksi dasar, kestabilan dari titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik dari model dan adanya bifurkasi mundur serta menganalisa bifurkasi terutama bifurkasi Hopf?
▧ Bagaimana intepretasi hasil analisis dari model epidemik tipe SIR dan penyelesaian numerik dari model tersebut serta simulasinya
Batasan Masalah
Permasalahan yang dibahas pada Tugas Akhir ini akan dibatasi pada model epidemi SIR dengan fungsi pengobatan saturasi yang dinyatakan dengan =
Tujuan
2. Mengintepretasikan hasil reproduksi dasar, kestabilan dari analisis model epidemi tipe SIR titik kesetimbangan bebas dan penyelesaian numerik dari penyakit dan kesetimbangan model tersebut serta endemik dari model dan adanya simulasinya bifurkasi mundur serta menganalisa bifurkasi terutama bifurkasi Hopf
Manfaat
2. Diperoleh pengetahuan penyebaran penyakit model dalam mengintrepetasikan hasil epidemi tipe SIR yang analisis dan simulasi pada model dipengaruhi fungsi pengobatan epidemi tipe SIR saturasi
Penelitian Terkait
Pada penelitian tersebut terjadi bifurkasi mundur pada saat < 1 yang menunjukkan bahwa pada saat < 1 kapasitas pengobatan yang diberikan kurang efektif sehingga menyebabkan masih ada individu yang terinfeksi dan penyakit akan menjadi endemik
Analisis Kestabilan dan Bifurkasi Mundur pada Model Infeksi Virus
Analisa Kualitatif pada Model SIS dengan Pengobatan (2013)
Hepatitis B dan C pada Tubuh Pasien (2015)
Pada Tugas Akhir tersebut terjadi bifurkasi mundur pada saat < 1 yang menunjukkan bahwa transplantasi hati sebagai bentuk pengobatan ternyata kurang efektif dalam menghilangkan virus hepatitis dalam tubuh Bilangan reproduksi dasar ( ) merupakan suatu parameter
yang digunakan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu
penyakit. Kondisi yang akan timbul sebagai berikut ▧ Jika < 1 , maka penyakit akan menghilang dalam populasi ▧ Jika = 1, maka penyakit akan menetap dalam populasi ▧ Jika > 1 , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah dalam populasi
Bilangan Reproduksi Dasar
Titik Kesetimbangan
Pandang persamaan diferensial sebagai berikut: = ( , )
(2.1) = ( , )
Sebuah titik , merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (2.1) jika memenuhi , = , = 0 . Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan.
= dan = adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan (2.1) untuk semua .
Kestabilan Asimtotik Lokal
Kestabilan asimtotik lokal merupakan kestabilan dari sistem linear atau kestabilan dari linearisasi sistem tak linear. Kestabilan asimtotik lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda pada bagian real dari akar-akar karakteristik sistem.
Akar-akar Persamaan Karakteristik Persamaan Karakteristik
2 − + + − = 0
(2.2) Diperoleh nilai eigen sebagai berikut 2 + ± + −4 − .
= 1,2
2
- = , . = ( ) ∆ = −
Dalam hal ini
1
2
1 2 dan 4 det( ) sehingga persamaan (2.2) dapat dinyatakan sebagai
2 − ( ) + ( ) = 0
(2.3) Tabel Kriteria Kestabilan Nilai Eigen Kriteria
, det , dan ∆ Nama Kestabilan
1 < 0 <
2 = − = 0
1 =
Tidak stabil jika bagian real nilai eigen positif.
< 0 ( ) > 0 spiral Stabil asimtotis jika bagian real nilai eigen negatif,
2 = − > 0 atau
1 = +
Sadel Tidak stabil.
2 det(J) < 0 ∆> 0
2
1 >
1 > 0 >
< 0 ( ) > 0 ∆≥ 0 simpul Stabil asimtotis jika semua nilai eigen negatif, Tidak stabil jika semua nilai eigen positif.
2 < 0 > 0 atau
1 =
2 > 0
1 =
2 < 0
1 <
2 > 0
( ) = 0 Pusat Stabil.
Bifurkasi Mundur
Kurva Bifurkasi Mundur mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit yang stabil serta 2 titik kesetimbangan endemik yang tidak stabil dan stabil ketika < 1 . Sedangkan ketika > 1 kurva mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil dan titik kesetimbangan endemik yang stabil.
Bifurkasi Hopf
Teorema 2.2 Diberikan suatu sistem dinamik
= , , = , ,
(2.4)
μ 0,0, = 0 0,0, = 0
dimana merupakan parameter dengan
dan
andaikan syarat berikut terpenuhi
=
Matriks Jacobian
x, y = (0,0) μ = 0
yang dihitung pada titik kesetimbangan pada saat mempunyai sepasang eigen value imaginer murni.
= ± ( ) 0 = 0 (0) ≠ 0
Jika eigen value dari
dengan dan )
titik (0,0) berlaku syarat transversal sebagai berikut
( ( )) ≠ 0
Indeks Stabilitas
Stabilitas dari orbit priodik dicari dengan menggunakan rumus berikut
3
3
3
3
1
- =
3
2
2
3
16
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
- − + + − +
2
2
2
2
2
2
2
2
16 yang disebut indeks stabilitas dan dihitung pada titik (0,0) dengan μ = 0. Jika Γ > 0 orbit periodik tak stabil dan jika Γ < 0 maka orbit periodik stabil.
- 2
- 2
- 4,
- 2
- 2
- 4,
- 1
- 1
- 1,
- 1,
- 2,
- 2,
= ( + , + 3,
2 ) 4,
= ( + 2 ,
2 ) 3,
= ( + 2 ,
= ( , ) 2,
) (ii) dengan 1,
3,
2,
1,
6 (
1
= +
)
= ( + , + 3,
2 ) 4,
= ( + 2 ,
2 ) 3,
= ( + 2 ,
= ( , ) 2,
) (i) dengan 1,
3,
2,
1,
6 (
1
= +
= , dapat diselesaikan dengan metode numerik Runge-Kutta, sehingga didapat penyelesaian numerik dalam bentuk persamaan (i) dan (ii) sebagai berikut
Metode Runge Kutta
Persamaan diferensial (2.1) = ,) Diagram Alir
METODE PENELITIAN
Diagram Kompartemen Model Epidemi SIR dengan Fungsi Pengobatan Saturasi Model epidemi SIR dengan fungsi Model epidemi setelah direduksi pengobatan saturasi = − −
(4.2) = − − = − − (4.1)
- = − − dengan kondisi awal >= − 0 > 0, 0 > 0
Daerah Penyelesaian
Daerah untuk sistem Persamaan (4.1) adalah
- = 0 ≤ ≤ , 0 ≤ + + ≤ , ≥ 0, ( ) ≥ 0
1
1 karena kondisi awal bernilai positif maka merupakan daerah invarian positif yang artinya semua penyelesaian berada di dalam .
Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit dan Bilangan
Reproduksi Dasar
Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
= , = , 0
=
Kestabilan Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Teorema 4.3.1< 1
Titik bebas penyakit stabil asimtotis lokal jka dan tidak stabil
1
> 1 jika . Bukti : Berdasarkan nilai eigen yang telah diperoleh pada sistem (4.2)
< 0
3 , dan
< 0
4
⟺ + − 1 < 0 ⟺ − 1 < 0 ⟺ < 1
hal ini membuktikan jika < 1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit = , 0 stabil asimtotis lokal, sebaliknya jika > 1 titik
1 kesetimbangan tidak stabil.
Titik Kesetimbangan Endemik
Titik Kesetimbangan Endemik Berdasarkan Persamaan (4.2) diperoleh
2
- − + + + + = 0
(4.20) dengan
2
2
2 +
≥ 1 − ≔ +
diperoleh penyelesaian positif dari (4.20)
- ∆ + + − ∆
= =
dan
1
2
2
2
<
Selanjutnya jika 1 maka
2
2
−
dan > 1 + ≔ < 1
1
- <
dan jika 2 maka
2
2
−
> 1 + ≔ atau > 1
1
Titik Kesetimbangan Endemik
< < 1Perhatikan bahwa ekivalen dengan 1 .
≥
Sehingga ketika , dapat disimpulkan ▧
<
Jika , maka sistem (4.2) memiliki dua titik kesetimbangan
= ( , ) = ( , ) < 1
endemik
1
1 1 dan
2
2 2 pada saat .
▧
<
Jika , maka sistem (4.2) memiliki titik kesetimbangan endemik
= ( , ) > 1
tunggal
2
2 2 pada saat , dan titik kesetimbangan
< < 1
endemik tidak ada karena 1 tidak berlaku.
1
▧
≥ ≥ 1
Misalkan , maka 1 , sehingga titik kesetimbangan
> 1
endemik 1 tidak ada. Kemudian ketika terdapat titik
= ,
kesetimbangan endemik tunggal
2
2 2 dan tidak ada titik
< 1 kesetimbangan endemik ketika .
Bifurkasi Mundur
Teorema 4.4.1
Pada sistem Persamaan (4.2) terjadi bifurkasi mundur dengan titik
kesetimbangan endemik dan pada saat < dan <Kestabilan Titik Kesetimbangan Endemik
▧
=
Kestabilan Titik Kesetimbangan Endemik untuk
- − −
= , = ,
2
2
( ( ) < 0
diperoleh sehingga tidak stabil (saddle) ▧
< < 1
Kestabilan Titik Kesetimbangan Endemik untuk
- ∆ − − − ∆
= ( , ) = ,
1
1
1
2
2
( ( ) < 0
diperoleh 1 sehingga 1 tidak stabil (saddle)
- − ∆ − − + ∆
= , = ,
2
2
2
2
2
2
2
( > 0 diperoleh sehingga merupakan simpul atau spiral.
2 = −
Kemudian didapat
2
2
selanjutnya misalkan
2
( ) ∆ = − 1 − +
< , < < 1
1
44
dan
1
- 4 1 − > 0
( )
ada, maka untuk sistem
1
dan didefinisikan
Persamaan (4.2) mempunyai
2 ▧ stabil jika
≜ −
2 −1 −1
− 1 − + ≤ 0
2
−1 − + +4 1−
− atau
( −1)
− 1 − + > 0
maka kestabilan titik kesetimbangan
2
1
2
< + − −
endemik dinyatakan dalam
2
4
▧ tidak stabil jika
teorema berikut
2
− 1 − + > 0
2
1
2
> + − −
4 Bifurkasi Hopf Teorema 4.4.3
Misalkan < , < < 1 . Maka pada sistem (4.2) terjadi
1 1 , − 1 − + > 0, bifurkasi Hopf jika dan
−1 − + 4 1−
= 1 − 1 +
2
2 berlaku Selanjutnya jika
2 ( −1) −1 − + < 0
orbit periodik dari sistem (4.2) stabil sehingga terjadi bifurkasi
> 0
Hopf superkritikal. Dan jika , orbit periodik dari sistem (4.2)
tidak stabil sehingga terjadi bifurkasi Hopf subkritikal.Bifurkasi Hopf Bukti
Bedasarkan sistem (4.2)
= − − = − −
- = ( , )
didapatkan salah satu titik kesetimbangan
2
2 2 dan matriks Jacobian 2 diketahui sebagai berikut
− −
2
2
2 =
2
2
- 2 2
Selanjutnya diperoleh
2 ( ( ) ± ( ( ) −4 ( ( ))
2
2
2
=1,2
2
Bifurkasi Hopf
Bifurkasi Hopf terjadi apabila matriks Jacobian mempunyai sepasang nilai eigen yang imajiner murni. Kedua nilai eigen imajiner murni jika
( ( ) = 0.
dan hanya jika
2 Pada pembahasan sebelumnya diketahui
dan ( ) = 0 ( ), − 1 − + > 0,
bahwa 2 jika hanya jika
1 −1 − + 4 1−
= 1 − 1 +
berlaku. Maka terjadi
2
2
2 ( −1) −1 − + bifurkasi Hopf dengan syarat transversal
2
2 ( ) = ≠ 0
2
1
2
2 +
2 2
= + − −
4
Bifurkasi Hopf
Selanjutnya ditentukan bentuk normal bifurkasi Hopf dengan melakukan
( , ) (0,0)
translasi titik kesetimbangan
2 2 ke titik dengan melakukan
, = − dan = = −
transformasi
2 2 , sehingga diperoleh
2
2
= + + [( − 2 − ) − − − ]
2
2
2
2
= + − + + + −
2
2
2
- 2
= , = dan = ,
Kemudian untuk memudahkan, maka dimisalkan didapat
2
= + + [( − 2 − ) − − − ]
2
2
2
2
= + − + + + −
2
2
2
- 2
Berdasarkan Persamaan (4.2) dan = 0, diperoleh
2
2
− − = 0, − − = 0, dan − = 0 +
2
2
2
2
2
2
- 2
sehingga persamaan dan menjadi
2
- = − − + − + − +
2
2
2
2
2
2
2
2
− − −
2 (4.58)
- 2 + = +
2
2
2
2
2
2
2 (4.59)
- 2
Bifurkasi Hopf
Kemudian membentuk persamaan (4.58) dan (4.59) dalam bentuk matriks
= − −
(4.60)
- de
- =
2
2
- =
2
2
2
2
2
2
= − + − + − − −
2
2
2
2
- = + 2
2
- 2
Bifurkasi Hopf
Selanjutnya dengan mencari matriks Jacobian dari persamaan (4.58) dan (4.59) dan subtitusi titik kesetimbangan (0,0) diperoleh matriks Jacobian
= − −
dari matriks Jacobian di atas diperoleh nilai persamaan karakteristik
2
2
− + = 0
2
= 0 +
2
= ± = ±
2 dengan permisalan
=
2
Bifurkasi Hopf
Berikutnya dengan subtitusi dengan
, dan = = −
= 2 + − + − +2
2
2
ke matriks (4.60) maka matriksnya
- menjadi
2
2
2
- − − + + −
2
2
2
2
2
2 − −
2 ( , ) = 0 −
- ( , )
2
2
1 2 − + −
2
2
3
2
3
dan bentuk Normal Bifurkasi Hopf dan sebagai berikut
, =
- 2
2
2 = − + ( , )
2
2
3 − − +
2 = + ( , )
Bifurkasi Hopf
Untuk menyelidiki jenis bifukasi Hopf yang terjadi menggunakan indeks stabilitas
1
- Γ = + +
16
1
- − − +
16 (0.0) dan diperoleh
3
2 +
2
2
2 Γ =
2
4
16 dengan
2
3
2
2
] − = [ + ( 2 + + 2 +
- ) − + −2
2
2
2
2
2
2
2
2
−2 − + − 2 ) + + −2 − 2 + +
2
2
2
2
2
2
2
2
−2 + 2 + 2
2
2
2
2
Bifurkasi Hopf
= 2.6, = 0.2, =Berdasarkan Gambar dengan parameter 2, = 0.05, = 0.11 terlihat adanya orbit periodik stabil dengan
Γ = −0.9891 < 0
nilai , sehingga dapat disimpulkan terjadi bifurkasi
.Hopf superkritikal
Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan ketika < 1.
= 2, = 0.2, = 0.8, = 0.55, = 1.2 Simulasi Numerik Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan ketika > 1.
= 2, = 0.2, = 2, = 0.9, = 0.25 Simulasi Numerik KESIMPULAN
KESIMPULAN
▧ Pada saat terjadi Bifurkasi Maju, Bilangan Reproduksi Dasar adalah
=
- dengan titik kesetimbangan bebas penyakit
= , = , 0
1
dan titik kesetimbangan endemik yang stabil
- − ∆ − − + ∆
= , = ,
2
2
2
2
2 Titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik ketika < 1, dan tidak stabil ketika > 1.
KESIMPULAN
▧Pada saat < < 1 Pada saat terjadi Bifurkasi Mundur, Bilangan Reproduksi Dasar adalah = , =
1
1
1
- ∆ − − − ∆
= ,
- 2
2
dengan titik kesetimbangan bebas penyakit merupakan titik pelana (saddle point)
1
= , = , 0
1
yang tidak stabil, dan titik kesetimbangan endemik sebagai = , =
2
2
2
berikut:
- − ∆ − − + ∆
Pada saat = ,
2
2
- − −
= , = , stabil jika
2
2
2
2
1
2
yang merupakan titik pelana ( saddle point ) < + − − dan tidak
4 yang tidak stabil.
2
1
stabil jika > .
- − −
2 .
4
KESIMPULAN
2
1
2
▧ Pada saat laju pengobatan = + − − terdapat
4
sepasang nilai eigen yang imajiner murni yang menyebabkan adanya bifurkasi Hopf. Untuk σ < 0 terjadi bifurkasi Hopf superkritikal dan pada saat σ > 0 terjadi bifurkasi Hopf subkritikal. ▧
Dengan metode Numerik Runge-Kutta orde 4 menggunakan software MATLAB diperoleh hasil bahwa jika < 1, maka terjadi keadaan bebas penyakit karena kestabilan sistem menuju titik kesetimbangan bebas penyakit . Kemudian jika > 1, maka penyakit menjadi
1
endemik karena kestabilan sistem menuju titik kesetimbangan endemik.
Daftar Pustaka
[1] Nugroho, Susilo. (2009). “pengaruh Vaksinasi Terhadap Penyebaran Penyakit dengan Model Epidemik SIR”. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika Unversitas Sebelas Maret. [2] WHO(World Health Organization), Country Health Profile , http://www.who.int/countries/idn/en/. Diakses pada tanggal 4 September 2015, pukul 00.18 WIB.
[3] Iktisholiyah. (2010). “Analisis Stabilitas dan Optimal Kontrol pada Model Epidemik Tipe SIR dengan
Vaksinasi”. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya. [4] Zhang,X,dkk. (2008). “Backward Bifurcation of an Epidemik Model with Saturated Treatment Function”. Journal of Mathematical Analysis and Application, Vol 340, No. 1, pp 433-443. [5] Lestari, Intan P. (2012). “Eksistensi Bifurkasi Mundur pada Model Penyebaran Penyakit Menular dengan Vaksinasi”. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya. [6] Iswahyuni, N. (2013). “Analisa Kualitatif pada Model Epidemik SIS dengan Pengobatan”. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya.[7] Musa, M. (2015). “Analisis Kestabilan dan Bifurkasi Mundur pada Model Infeksi Virus Hepatitis
B dan C pada Tubuh Pasien”. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya.[8] Jordan, D. W and Smith P. 2007. “Nonlinier Ordinary Differential Equations”. NewYork: Oxford
University Press.Daftar Pustaka
[9] Subiono. 2013. Sistem Linear dan Kontrol Optimal. Surabaya. Subiono Jurusan Matematika ITS
Surabaya.th [10] Anton H, Rorres C. 2005. Elementary Linear Algebra 9 edition . John Wiley & Sons, Inc.
[11] Nara. (2014). “Analisa Kualitatif pada Model Penyakit Parasitosis”. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya. [12] Castilo, C. dan Chavez. (2004). “Dynamical Models of Tubercolosis and Their Aplications”. [13] Zulminarni. (2007). “Analisa Kualitatif pada Model Penyakit Parasitosis”. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya. [14] Novitasari, Y. (2009). “Menunjukan Eksistensi Orbit Periodik dari Sistem dinamik dengan menggunakan Bifurkasi Hopf”. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya. [15] Hirsch, M. (2004). “Diffrential Equations Dynamical Systems and an Introduction to Chaos”
[16] Wang, J,dkk. (2011). “Qualitative and Bifurcation Analysis Using an SIR Model with a Saturated
Treatment Function”. Journal of Mathematicaland Computer Modelling, Vol 55, pp 710-722.Thanks!