Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di dalam
suatu keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah
meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit) yang
diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan dapat
dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat
didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai
minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Kondisi tersebut akan dimodelkan
dalam fungsi tujuan, dimana fungsi tujuan itu dapat berupa fungsi linier dan fungsi
non linier (Parwadi Moengin, 2011).
Secara matematis fungsi tujuan dapat dinyatakan sebagai berikut.
Maksimum
Atau
Minimum
Program linier merupakan salah satu teknik riset operasi yang mampu
menyelesaikan masalah optimasi dimana fungsi tujuan dan kendalanya adalah
fungsi linier. Model matematika pemrograman linier dapat ditulis dalam bentuk
formulasi umum sebagai berikut:
Masalah Maksimasi.
Maksimum:
dengan kendala:
=
+
+
+
+
+
(1.1)
+
Universitas Sumatera Utara
,
Masalah Minimasi.
=
Minimum:
dengan kendala:
Keterangan:
,…,
,
+
+
+
+
,…,
+
(1.2)
+
= Koefisien fungsi tujuan
= Koefisien fungsi kendala
= Nilai fungsi kendala
Program nonlinier juga merupakan teknik riset operasi yang mampu
menyelesaikan masalah optimasi dimana fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai
bentuk fungsi nonlinier pada salah satu atau keduanya. Dalam menyelesaikan
permasalahan nonlinier terdapat dua kondisi yaitu nonlinier tanpa kendala dan
nonlinier dengan kendala.
Program nonlinier berkendala mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
Maksimum/ Minimum
dengan kendala
Keterangan:
=
dengan
=
= { ,…,
}
(1.3)
= Fungsi tujuan
= Fungsi kendala
Universitas Sumatera Utara
3
Nilai = , , , … ,
Nilai = , , , … ,
Salah satu metode untuk menyelesaikan optimasi tanpa kendala adalah
dengan menggunakan metode kalkulus differensial. Tetapi permasalahan optimasi
dengan kendala belum tentu dapat diselesaikan dengan metode tersebut. Metode
lain yang digunakan untuk menyelesaikan optimasi dengan kendala adalah dengan
cara subsitusi. Dengan metode ini, salah satu variabel bebas, misalnya variabel ,
dari persamaan terkendala disubsitusikan pada fungsi tujuan yang akan dicari nilai
ekstrimnya. Dengan metode ini, maka akan dihasilkan suatu fungsi dengan dua
variabel bebas. Sebagai hasilnya, masalah ekstrim terkendala diselesaikan melalui
penyelesaian ekstrim tanpa kendala fungsi dua variabel. Namun demikian, metode
ini tidak selalu membawa hasil, bilamana batasan-batasannya tidak hanya
melibatkan satu persamaan kendala.
Disamping itu, masalah-masalah optimasi dengan kendala sering timbul
dalam masalah-masalah nyata, dimana batasan-batasannya tidak hanya satu fungsi.
Hal ini mengakibatkan tidak mudah untuk menyederhanakan masalah, sedemikian
sehingga diperoleh satu fungsi saja dengan dua variabel bebas. Di samping itu,
masalah yang sering timbul dengan metode subsitusi adalah tidak mudahnya
menentukan titik kritisnya. Salah satu metode untuk mengatasi masalah optimasi
dengan kendala adalah metode Lagrange. Metode ini dikembangkan didasarkan
pada kenyataan bahwa optimasi dengan kendala, nilai ekstrimnya selalu terletak
pada titik kritis. Metode Lagrange ini menyediakan suatu metode aljabar untuk
menentukan titik kritis, sehingga masalah optimasi dengan kendala dapat diatasi.
Metode pengali Lagrange (Multiplier Lagrange) dikemukakan oleh Joseph
Louis Lagrange (1736-1813). Metode ini dapat digunakan untuk menangani
permasalahan program nonlinier dimana fungsi tujuannya memiliki kendala. Untuk
memecahkan masalah optimasi dengan menggunakan fungsi Lagrange dilakukan
beberapa langkah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
4
Pertama, membentuk suatu fungsi Lagrange dimana dibentuk suatu fungsi
∶ ℝ → ℝ� , yang didefinisikan dengan
+ ∑
,� =
Keterangan:
�
=
(1.4)
= Fungsi Lagrange
= Fungsi tujuan
= Fungsi kendala
�
= Variabel slack
Kedua, mencari semua solusi
dimana
�
�
,�
�
�
,�
�
�
�
, � dalam himpunan persamaan
= ,
= , , ,…,
,
,� = ,
.
�
.
= , , ,…,
.
Setiap solusi dari sistem persamaan ini disebut titik kritis dari L.
Ketiga, menghitung nilai dari
pada setiap titik
{ |
,�
�
ℎ
dalam himpunan
}.
Fungsi Lagrange bermanfaat dalam mentransformasi persoalan optimasi
berkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala. Kebanyakan persoalanpersoalan optimasi dengan kendala dapat diselesaikan setelah persoalan tersebut
diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala.
Berdasarkan latar belakang di atas, pada penelitian ini penulis akan meneliti
tentang bagaimana karakteristik fungsi pengali Lagrange dalam penyelesaikan
Universitas Sumatera Utara
5
permasalahan optimasi. Oleh karena itu penulis memilih judul “Analisis
Karakteristik Fungsi Lagrange Dalam Menyelesaikan Permasalahan
Optimasi Berkendala ”.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam
penelitian
ini
adalah
bagaimana
karakteristik
fungsi
Lagrange
dalam
menyelesaikan permasalahan optimasi berkendala.
1.3. Batasan Masalah
Adapun batasan dalam penelitian ini diantaranya adalah:
1.
Metode penyelesaian optimasi yang digunakan adalah metode Lagrange.
2. Karakteristik fungsi Lagrange dirujuk dari jurnal Lagrange Multiplier and their
Application (Huijuan Li, 2008) dan dari jurnal Constrained Optimization Using
Lagrange Multipliers (Henri P. Gavin and Jeffrey T. Scruggs, 2016).
1.4. Tinjauan Pustaka
Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil beberapa
pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian skripsi ini.
Metode Lagrange adalah metode yang paling penting dan berguna untuk
optimasi berdasarkan kalkulus. Hal ini dapat digunakan untuk mengoptimalkan
fungsi yang bergantung pada sejumlah variabel independen dan ketika kendala
fungsional terlibat. Dengan demikian, dapat diterapkan untuk berbagai situasi
praktis.
Metode Lagrange pada dasarnya mengubah masalah sebelumnya untuk
menemukan solusi minimum atau maksimum dari sistem persamaan aljabar,
sehingga memberikan skema yang baik untuk menentukan optimal. Fungsi tujuan
Universitas Sumatera Utara
6
dan kendala digabungkan menjadi fungsi baru
, yang dikenal sebagai ekspresi
Lagrange (Usman Efendi, 2012).
Masalah optimasi dapat diselesaikan dengan berbagai metode, salah satunya
adalah metode Lagrange. Metode ini dapat digunakan untuk mendapatkan solusi
dari masalah optimasi. Dengan menggunakan metode Lagrange, nilai ekstrem dapat
diperoleh, sehingga solusi optimal dapat dicari. Pada penelitian ini, pendapatan
maksimum suatu perusahaan UD. Sari Madu dibatasi oleh beberapa kendala.
Setelah fungsi tujuan dan fungsi kendala dimodelkan maka pendapatan maksimal
dapat dicari. Sehingga pendapatan UD. Sari Madu dapat menjadi optimal.
Dalam
pembentukan
portofolio,
seorang
investor
berusaha
memaksimumkan return yang diharapkan (expected return) dari investasi dengan
tingkat resiko terendah. Fungsi lagrange digunakan untuk mengoptimalkan
besarnya komposisi atau proporsi aset dalam portofolio berdasarkan maksimum
mean return yang diberikan. (Di Asih I Maruddani, 2009). Mengoptimalkan
portofolio saham dengan menggunakan metode pengali Lagrange dimana pada
penelitian ini membahas pemecahan model portofolio investasi Markowitz untuk
aset di pasar saham Bursa Efek Kolombia (Eduardo, 2013).
Penerapan metode pengali Lagrange dalam bidang ekonomi dimana tujuan
dari penelitian ini adalah menentukan nilai optimum suatu fungsi optimasi bersyarat
dan menyelesaikan masalah optimasi bersyarat tersebut dengan menggunakan
metode pengali Lagrange.
Metode pengali Lagrange paling banyak dipakai dengan pertimbangan
bahwa prinsip kerjanya sederhana dan mudah untuk dimengerti. Metode pengali
Lagrange digunakan untuk memperoleh nilai maksimum atau minimum dari fungsi
objektifnya dengan kendala berbentuk persamaan. Selain itu pengali Lagrange juga
digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dalam bentuk program nonlinier.
Untuk menentukan nilai ekstrim fungsi berkendala tersebut digunakan metode
pengali Lagrange, yaitu dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang
merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil
kali pengali Lagrange atau λ dengan fungsi kendalanya (Rahmad Hidayat, 2015).
Dalam
menjalankan
bisnisnya,
PT.
Petrokimia
Gresik
memiliki
dan
mengoperasikan pembangkit listrik tenaga gas dan pembangkit listrik tenaga uap. Untuk
Universitas Sumatera Utara
7
mencapai kondisi operasi yang optimal dan ekonomis maka PT. Petrokimia Gresik
membagi daya pada setiap pembangkit listriknya. Untuk itu disimulasikan perhitungan
ekonomis pembangkit listrik dengan metode lagrange multiplier yang iterasinya
diselesaikan dengan metoda Newton-Raphson, dan karakteristik setiap pembangkit yang
didapat diminimalisasi dengan metode lagrange multiplier dengan data yang diambil dari
tiap pembangkit.
Hubungan antara biaya bahan bakar terhadap daya aktif yang dihasilkan
pembangkit dirumuskan oleh persamaan berikut:
+
=
dimana:
+
(1.8)
= biaya operasi tiap unit pembangkit ($/h)
, ,
= daya keluaran tiap unit pembangkit (MW)
= koefisien biaya operasi pembangkit
= , , , … , (untuk
pembangkit)
Biaya bahan bakar dan pembangkit tenaga listrik dari suatu sistem tenaga listrik
dengan memperhitungkan susut daya pada saluran transmisi dinyatakan seperti pada
persamaan berikut:
Total
daya
=∑
yang
=
=
disuplai
=∑
oleh
=
=
+
+
+
+
+
pembangkit
+
+
+
ke
�
.
�
sistem
adalah
.
�
Fungsi biaya persamaan di atas akan diminimalkan dengan memperhatikan fungsi kendala
operasi (Constraining), yaitu persamaan neraca daya.
�
+
�
−∑
=
=
.
Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah optimasi adalah dengan Metode
Pengali Lagrange. Sebuah fungsi baru , dibentuk dengan menggabungkan fungsi biaya
pembangkit dan persamaan kendala sistem, yaitu:
��
��
=
�
��
−�
−
�� ��
��
=
(1.12)
Universitas Sumatera Utara
8
Penelitian ini menggunakan software MATLAB 7.6.0 (R2008a) dengan membuat program
simulasi perhitungan pembebanan ekonomis pada PLTU dan PLTG dengan menggunakan
Metode Pengali Lagrange.
Berdasarkan simulasi, pada permintaan beban rendah, PLTU membangkitkan
daya yang lebih besar dari pada PLTU dengan batasan yang ada. Berdasarkan simulasi
pada permintaan beban rendah 16 MW, PLTU membangkitkan daya sebesar 13,48 MW
dan PLTG membangkitkan daya sebesar 3,05 MW. Biaya pembangkitan sebelum
dilakukan optimasi memiliki biaya yang lebih mahal dari pada sesudah dilakukan optimasi.
Berdasarkan simulasi dapat disimpulkan bahwa proses optimasi pembangkit dapat
memenuhi permintaan beban pada suatu sistem dengan biaya operasi seminimal
mungkin (Joko Susilo, Mochammad Facta, dan Susatyo Handoko, 2014).
Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim terkendala adalah metode
Lagrange. Metode ini dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas,
nilai ekstrimnya selalu terletak pada titik kritis. Metode Lagrange ini menyediakan suatu
metode aljabar untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrim terkendala
dengan metode ini dapat diatasi.
, ,
Andaikan akan dicari nilai ekstrim relatif fungsi
, ,
de ga
dengan kendala
= . Langkah pertama metode Lagrange adalah membentuk fungsi baru
e asukka variabel baru λ, ya g disebut de ga faktor pe gali Lagra ge. Fu gsi
baru tersebut adalah,
, , ,� =
, ,
+�
, ,
(1.13)
Langkah kedua adalah menentukan titik kritis dari fungsi . Titik kritis diperoleh
dengan cara menyelesaikan secara simulkan dari,
, , ,� =
(1.14)
, , ,� =
�
, , ,� =
, , ,� =
, ,
=
Langkah ketiga adalah menentukan nilai ekstrim terkendala. Bilamana
( ,
,
,�
titik kritis dari
kendala
Contoh:
, , , � maka ( ,
adalah titik kritis dari
, ,
, , , � dengan kendala
adalah
,
,
.
, ,
,
adalah juga merupakan
. Jadi nilai ektrim
, ,
dengan
Universitas Sumatera Utara
9
Tentukan nilai maksimum dan atau minimum dari,
, ,
=
+
+
(1.15)
pada elips yang merupakan perpotongan silinder lingkaran tegak,
−
=
+
, dan bidang
Penyelesaian:
=
.
−
+
Menentukan fungsi Lagrange. Dari persamaan fungsi kendala, diambil
, ,
=
ℎ , ,
−
=
−
−
−
−
−
(1.16)
Selanjutnya bentuk fungsi pembantu Lagrange,
, , , �, � =
, ,
=
−
+
+�
−
+
+�
, ,
+ �ℎ , ,
−
(1.17)
−
−
−
+�
di a a λ da � adalah faktor pengali Lagrange.
Menentukan titik kritis dengan menurunkan secara parsial fungsi
dihasilkan,
, , , �, � =
− �
, , , �, � =
+ �
, , , �, � =
−
, , , �, � =
�
Dengan menetapkan
− �
− �
−
+ �=
−
−
−
−
−
− �=
,
− �=
,
,
=
−
atau
�
−
dan
didapatkan
=
=
Dengan mensubsitusikan � = − pada
−
−
=
=
−
−
−
�
− −
�
=
=
=
=
−
�
−
(1.18)
−
sama dengan nol dihasilkan,
−
−
− �
−
�
atau
− �
−
didapatkan −
didapatkan � = −
−
− �
, , , �, � =
�
−
, , , �, � maka
=
− �
�
− �
�
−
dan
−
=
=
dihasilkan,
�
Universitas Sumatera Utara
10
−
Selanjutnya subsitusikanlah,
�
Karena � ≠
�
+
��
�
�
+
��
��
=
−
= � dan
= � pada
�
= , maka dihasilkan,
=
=
maka dihasilkan � = atau � = ± . Sehingga untuk � = , dihasilkan
−
=
diperoleh
=
diperoleh
=
[
+
−
=
−
Sedangkan untuk � = − , dihasilkan
−
=
Jadi titik kritis
=
−
−
[ −
adalah
,
=
=
=
diperoleh
diperoleh
,
+
=−
=−
− ] =−
, ,−
dan − , − , − , − , − .
, , , �, �
Menentukan nilai ekstrim. Karena titik kritis fungsi
,
,
,
, ,−
,
, ,
adalah
(1)
(2)
,
=
dan − , − , − , − , −
− ,− ,− .
dan
+
,
− ,− ,−
(Prayudi, 2009).
+
=
=
maka titik kritis fungsi
−
dengan kendala
+
−
+
+
−
+
Jadi
=
−
+
−
nilai
=
, ,
, dan
adalah
adalah
ekstrim
+
=
, merupakan nilai maksimum
=−
, merupakan nilai minimum
Universitas Sumatera Utara
11
1.5. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menganalisis bagaimana karakteristik fungsi
Lagrange dalam menyelesaikan permasalahan optimasi berkendala.
1.6. Kontribusi Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Dapat dijadikan sebagai bahan pembelajaran bagi pembaca.
2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan pertimbangan terlebih bagi
mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.
1.7. Metodologi Penelitian
Metode penelitian yang digunakan adalah dengan menggunakan metode studi
literatur yang bersifat penjelasan dan uraian. Dalam penelitian ini diuraikan tentang
analisis karakteristik dari fungsi Lagrange yang dinyatakan dalam bentuk pengali
Lagrange untuk menyelesaikan permasalahan optimasi berkendala.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di dalam
suatu keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah
meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit) yang
diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan dapat
dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat
didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai
minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Kondisi tersebut akan dimodelkan
dalam fungsi tujuan, dimana fungsi tujuan itu dapat berupa fungsi linier dan fungsi
non linier (Parwadi Moengin, 2011).
Secara matematis fungsi tujuan dapat dinyatakan sebagai berikut.
Maksimum
Atau
Minimum
Program linier merupakan salah satu teknik riset operasi yang mampu
menyelesaikan masalah optimasi dimana fungsi tujuan dan kendalanya adalah
fungsi linier. Model matematika pemrograman linier dapat ditulis dalam bentuk
formulasi umum sebagai berikut:
Masalah Maksimasi.
Maksimum:
dengan kendala:
=
+
+
+
+
+
(1.1)
+
Universitas Sumatera Utara
,
Masalah Minimasi.
=
Minimum:
dengan kendala:
Keterangan:
,…,
,
+
+
+
+
,…,
+
(1.2)
+
= Koefisien fungsi tujuan
= Koefisien fungsi kendala
= Nilai fungsi kendala
Program nonlinier juga merupakan teknik riset operasi yang mampu
menyelesaikan masalah optimasi dimana fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai
bentuk fungsi nonlinier pada salah satu atau keduanya. Dalam menyelesaikan
permasalahan nonlinier terdapat dua kondisi yaitu nonlinier tanpa kendala dan
nonlinier dengan kendala.
Program nonlinier berkendala mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
Maksimum/ Minimum
dengan kendala
Keterangan:
=
dengan
=
= { ,…,
}
(1.3)
= Fungsi tujuan
= Fungsi kendala
Universitas Sumatera Utara
3
Nilai = , , , … ,
Nilai = , , , … ,
Salah satu metode untuk menyelesaikan optimasi tanpa kendala adalah
dengan menggunakan metode kalkulus differensial. Tetapi permasalahan optimasi
dengan kendala belum tentu dapat diselesaikan dengan metode tersebut. Metode
lain yang digunakan untuk menyelesaikan optimasi dengan kendala adalah dengan
cara subsitusi. Dengan metode ini, salah satu variabel bebas, misalnya variabel ,
dari persamaan terkendala disubsitusikan pada fungsi tujuan yang akan dicari nilai
ekstrimnya. Dengan metode ini, maka akan dihasilkan suatu fungsi dengan dua
variabel bebas. Sebagai hasilnya, masalah ekstrim terkendala diselesaikan melalui
penyelesaian ekstrim tanpa kendala fungsi dua variabel. Namun demikian, metode
ini tidak selalu membawa hasil, bilamana batasan-batasannya tidak hanya
melibatkan satu persamaan kendala.
Disamping itu, masalah-masalah optimasi dengan kendala sering timbul
dalam masalah-masalah nyata, dimana batasan-batasannya tidak hanya satu fungsi.
Hal ini mengakibatkan tidak mudah untuk menyederhanakan masalah, sedemikian
sehingga diperoleh satu fungsi saja dengan dua variabel bebas. Di samping itu,
masalah yang sering timbul dengan metode subsitusi adalah tidak mudahnya
menentukan titik kritisnya. Salah satu metode untuk mengatasi masalah optimasi
dengan kendala adalah metode Lagrange. Metode ini dikembangkan didasarkan
pada kenyataan bahwa optimasi dengan kendala, nilai ekstrimnya selalu terletak
pada titik kritis. Metode Lagrange ini menyediakan suatu metode aljabar untuk
menentukan titik kritis, sehingga masalah optimasi dengan kendala dapat diatasi.
Metode pengali Lagrange (Multiplier Lagrange) dikemukakan oleh Joseph
Louis Lagrange (1736-1813). Metode ini dapat digunakan untuk menangani
permasalahan program nonlinier dimana fungsi tujuannya memiliki kendala. Untuk
memecahkan masalah optimasi dengan menggunakan fungsi Lagrange dilakukan
beberapa langkah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
4
Pertama, membentuk suatu fungsi Lagrange dimana dibentuk suatu fungsi
∶ ℝ → ℝ� , yang didefinisikan dengan
+ ∑
,� =
Keterangan:
�
=
(1.4)
= Fungsi Lagrange
= Fungsi tujuan
= Fungsi kendala
�
= Variabel slack
Kedua, mencari semua solusi
dimana
�
�
,�
�
�
,�
�
�
�
, � dalam himpunan persamaan
= ,
= , , ,…,
,
,� = ,
.
�
.
= , , ,…,
.
Setiap solusi dari sistem persamaan ini disebut titik kritis dari L.
Ketiga, menghitung nilai dari
pada setiap titik
{ |
,�
�
ℎ
dalam himpunan
}.
Fungsi Lagrange bermanfaat dalam mentransformasi persoalan optimasi
berkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala. Kebanyakan persoalanpersoalan optimasi dengan kendala dapat diselesaikan setelah persoalan tersebut
diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala.
Berdasarkan latar belakang di atas, pada penelitian ini penulis akan meneliti
tentang bagaimana karakteristik fungsi pengali Lagrange dalam penyelesaikan
Universitas Sumatera Utara
5
permasalahan optimasi. Oleh karena itu penulis memilih judul “Analisis
Karakteristik Fungsi Lagrange Dalam Menyelesaikan Permasalahan
Optimasi Berkendala ”.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam
penelitian
ini
adalah
bagaimana
karakteristik
fungsi
Lagrange
dalam
menyelesaikan permasalahan optimasi berkendala.
1.3. Batasan Masalah
Adapun batasan dalam penelitian ini diantaranya adalah:
1.
Metode penyelesaian optimasi yang digunakan adalah metode Lagrange.
2. Karakteristik fungsi Lagrange dirujuk dari jurnal Lagrange Multiplier and their
Application (Huijuan Li, 2008) dan dari jurnal Constrained Optimization Using
Lagrange Multipliers (Henri P. Gavin and Jeffrey T. Scruggs, 2016).
1.4. Tinjauan Pustaka
Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil beberapa
pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian skripsi ini.
Metode Lagrange adalah metode yang paling penting dan berguna untuk
optimasi berdasarkan kalkulus. Hal ini dapat digunakan untuk mengoptimalkan
fungsi yang bergantung pada sejumlah variabel independen dan ketika kendala
fungsional terlibat. Dengan demikian, dapat diterapkan untuk berbagai situasi
praktis.
Metode Lagrange pada dasarnya mengubah masalah sebelumnya untuk
menemukan solusi minimum atau maksimum dari sistem persamaan aljabar,
sehingga memberikan skema yang baik untuk menentukan optimal. Fungsi tujuan
Universitas Sumatera Utara
6
dan kendala digabungkan menjadi fungsi baru
, yang dikenal sebagai ekspresi
Lagrange (Usman Efendi, 2012).
Masalah optimasi dapat diselesaikan dengan berbagai metode, salah satunya
adalah metode Lagrange. Metode ini dapat digunakan untuk mendapatkan solusi
dari masalah optimasi. Dengan menggunakan metode Lagrange, nilai ekstrem dapat
diperoleh, sehingga solusi optimal dapat dicari. Pada penelitian ini, pendapatan
maksimum suatu perusahaan UD. Sari Madu dibatasi oleh beberapa kendala.
Setelah fungsi tujuan dan fungsi kendala dimodelkan maka pendapatan maksimal
dapat dicari. Sehingga pendapatan UD. Sari Madu dapat menjadi optimal.
Dalam
pembentukan
portofolio,
seorang
investor
berusaha
memaksimumkan return yang diharapkan (expected return) dari investasi dengan
tingkat resiko terendah. Fungsi lagrange digunakan untuk mengoptimalkan
besarnya komposisi atau proporsi aset dalam portofolio berdasarkan maksimum
mean return yang diberikan. (Di Asih I Maruddani, 2009). Mengoptimalkan
portofolio saham dengan menggunakan metode pengali Lagrange dimana pada
penelitian ini membahas pemecahan model portofolio investasi Markowitz untuk
aset di pasar saham Bursa Efek Kolombia (Eduardo, 2013).
Penerapan metode pengali Lagrange dalam bidang ekonomi dimana tujuan
dari penelitian ini adalah menentukan nilai optimum suatu fungsi optimasi bersyarat
dan menyelesaikan masalah optimasi bersyarat tersebut dengan menggunakan
metode pengali Lagrange.
Metode pengali Lagrange paling banyak dipakai dengan pertimbangan
bahwa prinsip kerjanya sederhana dan mudah untuk dimengerti. Metode pengali
Lagrange digunakan untuk memperoleh nilai maksimum atau minimum dari fungsi
objektifnya dengan kendala berbentuk persamaan. Selain itu pengali Lagrange juga
digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dalam bentuk program nonlinier.
Untuk menentukan nilai ekstrim fungsi berkendala tersebut digunakan metode
pengali Lagrange, yaitu dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang
merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil
kali pengali Lagrange atau λ dengan fungsi kendalanya (Rahmad Hidayat, 2015).
Dalam
menjalankan
bisnisnya,
PT.
Petrokimia
Gresik
memiliki
dan
mengoperasikan pembangkit listrik tenaga gas dan pembangkit listrik tenaga uap. Untuk
Universitas Sumatera Utara
7
mencapai kondisi operasi yang optimal dan ekonomis maka PT. Petrokimia Gresik
membagi daya pada setiap pembangkit listriknya. Untuk itu disimulasikan perhitungan
ekonomis pembangkit listrik dengan metode lagrange multiplier yang iterasinya
diselesaikan dengan metoda Newton-Raphson, dan karakteristik setiap pembangkit yang
didapat diminimalisasi dengan metode lagrange multiplier dengan data yang diambil dari
tiap pembangkit.
Hubungan antara biaya bahan bakar terhadap daya aktif yang dihasilkan
pembangkit dirumuskan oleh persamaan berikut:
+
=
dimana:
+
(1.8)
= biaya operasi tiap unit pembangkit ($/h)
, ,
= daya keluaran tiap unit pembangkit (MW)
= koefisien biaya operasi pembangkit
= , , , … , (untuk
pembangkit)
Biaya bahan bakar dan pembangkit tenaga listrik dari suatu sistem tenaga listrik
dengan memperhitungkan susut daya pada saluran transmisi dinyatakan seperti pada
persamaan berikut:
Total
daya
=∑
yang
=
=
disuplai
=∑
oleh
=
=
+
+
+
+
+
pembangkit
+
+
+
ke
�
.
�
sistem
adalah
.
�
Fungsi biaya persamaan di atas akan diminimalkan dengan memperhatikan fungsi kendala
operasi (Constraining), yaitu persamaan neraca daya.
�
+
�
−∑
=
=
.
Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah optimasi adalah dengan Metode
Pengali Lagrange. Sebuah fungsi baru , dibentuk dengan menggabungkan fungsi biaya
pembangkit dan persamaan kendala sistem, yaitu:
��
��
=
�
��
−�
−
�� ��
��
=
(1.12)
Universitas Sumatera Utara
8
Penelitian ini menggunakan software MATLAB 7.6.0 (R2008a) dengan membuat program
simulasi perhitungan pembebanan ekonomis pada PLTU dan PLTG dengan menggunakan
Metode Pengali Lagrange.
Berdasarkan simulasi, pada permintaan beban rendah, PLTU membangkitkan
daya yang lebih besar dari pada PLTU dengan batasan yang ada. Berdasarkan simulasi
pada permintaan beban rendah 16 MW, PLTU membangkitkan daya sebesar 13,48 MW
dan PLTG membangkitkan daya sebesar 3,05 MW. Biaya pembangkitan sebelum
dilakukan optimasi memiliki biaya yang lebih mahal dari pada sesudah dilakukan optimasi.
Berdasarkan simulasi dapat disimpulkan bahwa proses optimasi pembangkit dapat
memenuhi permintaan beban pada suatu sistem dengan biaya operasi seminimal
mungkin (Joko Susilo, Mochammad Facta, dan Susatyo Handoko, 2014).
Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim terkendala adalah metode
Lagrange. Metode ini dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas,
nilai ekstrimnya selalu terletak pada titik kritis. Metode Lagrange ini menyediakan suatu
metode aljabar untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrim terkendala
dengan metode ini dapat diatasi.
, ,
Andaikan akan dicari nilai ekstrim relatif fungsi
, ,
de ga
dengan kendala
= . Langkah pertama metode Lagrange adalah membentuk fungsi baru
e asukka variabel baru λ, ya g disebut de ga faktor pe gali Lagra ge. Fu gsi
baru tersebut adalah,
, , ,� =
, ,
+�
, ,
(1.13)
Langkah kedua adalah menentukan titik kritis dari fungsi . Titik kritis diperoleh
dengan cara menyelesaikan secara simulkan dari,
, , ,� =
(1.14)
, , ,� =
�
, , ,� =
, , ,� =
, ,
=
Langkah ketiga adalah menentukan nilai ekstrim terkendala. Bilamana
( ,
,
,�
titik kritis dari
kendala
Contoh:
, , , � maka ( ,
adalah titik kritis dari
, ,
, , , � dengan kendala
adalah
,
,
.
, ,
,
adalah juga merupakan
. Jadi nilai ektrim
, ,
dengan
Universitas Sumatera Utara
9
Tentukan nilai maksimum dan atau minimum dari,
, ,
=
+
+
(1.15)
pada elips yang merupakan perpotongan silinder lingkaran tegak,
−
=
+
, dan bidang
Penyelesaian:
=
.
−
+
Menentukan fungsi Lagrange. Dari persamaan fungsi kendala, diambil
, ,
=
ℎ , ,
−
=
−
−
−
−
−
(1.16)
Selanjutnya bentuk fungsi pembantu Lagrange,
, , , �, � =
, ,
=
−
+
+�
−
+
+�
, ,
+ �ℎ , ,
−
(1.17)
−
−
−
+�
di a a λ da � adalah faktor pengali Lagrange.
Menentukan titik kritis dengan menurunkan secara parsial fungsi
dihasilkan,
, , , �, � =
− �
, , , �, � =
+ �
, , , �, � =
−
, , , �, � =
�
Dengan menetapkan
− �
− �
−
+ �=
−
−
−
−
−
− �=
,
− �=
,
,
=
−
atau
�
−
dan
didapatkan
=
=
Dengan mensubsitusikan � = − pada
−
−
=
=
−
−
−
�
− −
�
=
=
=
=
−
�
−
(1.18)
−
sama dengan nol dihasilkan,
−
−
− �
−
�
atau
− �
−
didapatkan −
didapatkan � = −
−
− �
, , , �, � =
�
−
, , , �, � maka
=
− �
�
− �
�
−
dan
−
=
=
dihasilkan,
�
Universitas Sumatera Utara
10
−
Selanjutnya subsitusikanlah,
�
Karena � ≠
�
+
��
�
�
+
��
��
=
−
= � dan
= � pada
�
= , maka dihasilkan,
=
=
maka dihasilkan � = atau � = ± . Sehingga untuk � = , dihasilkan
−
=
diperoleh
=
diperoleh
=
[
+
−
=
−
Sedangkan untuk � = − , dihasilkan
−
=
Jadi titik kritis
=
−
−
[ −
adalah
,
=
=
=
diperoleh
diperoleh
,
+
=−
=−
− ] =−
, ,−
dan − , − , − , − , − .
, , , �, �
Menentukan nilai ekstrim. Karena titik kritis fungsi
,
,
,
, ,−
,
, ,
adalah
(1)
(2)
,
=
dan − , − , − , − , −
− ,− ,− .
dan
+
,
− ,− ,−
(Prayudi, 2009).
+
=
=
maka titik kritis fungsi
−
dengan kendala
+
−
+
+
−
+
Jadi
=
−
+
−
nilai
=
, ,
, dan
adalah
adalah
ekstrim
+
=
, merupakan nilai maksimum
=−
, merupakan nilai minimum
Universitas Sumatera Utara
11
1.5. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menganalisis bagaimana karakteristik fungsi
Lagrange dalam menyelesaikan permasalahan optimasi berkendala.
1.6. Kontribusi Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Dapat dijadikan sebagai bahan pembelajaran bagi pembaca.
2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan pertimbangan terlebih bagi
mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.
1.7. Metodologi Penelitian
Metode penelitian yang digunakan adalah dengan menggunakan metode studi
literatur yang bersifat penjelasan dan uraian. Dalam penelitian ini diuraikan tentang
analisis karakteristik dari fungsi Lagrange yang dinyatakan dalam bentuk pengali
Lagrange untuk menyelesaikan permasalahan optimasi berkendala.
Universitas Sumatera Utara