Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
OPTIMASI BERKENDALA
SKRIPSI
THERESIA M. MANIK
120803069
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSTITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
OPTIMASI BERKENDALA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai
gelar Sarjana Sains
THERESIA M. MANIK
120803069
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSTITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange
Dalam
Menyelesaikan
Permasalahan
Optimasi Berkendala
Kategori
: Skripsi
Nama
: Theresia M. Manik
Nomor Induk Mahasiswa
: 120803069
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juni 2016
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Esther S M Nababan, M. Sc
NIP. 19610318 198711 2 001
Dr. Parapat Gultom, MSIE
NIP. 19610130 198503 1 002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D
NIP 196209011988031002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
OPTIMASI BERKENDALA
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juni 2016
Theresia M. Manik
120803069
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas kemurahan,
berkat dan kasih karunia-Nya penulis dimampukan untuk menyelesaikan
penyusunan skripsi yang berjudul “Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange
Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala”.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah dibantu dan didukung oleh
berbagai pihak dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Parapat Gultom, MSIE dan Ibu Dr. Esther S M Nababan, M. Sc,
selaku pembimbing, Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Ibu Asima Manurung,
S.Si, M.Si, selaku pembanding yang telah menyediakan waktu serta
memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyusunan skripsi
ini.
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Dra. Mardiningsih, M.Si,
selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.
3. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S, selaku dekan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam serta Pembantu dekan FMIPA USU .
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi di lingkungan Departemen
Matematika, serta seluruh civitas akademika di lingkungan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
5. Orang tua penulis Ayahanda Madden Manik, S. Pd., dan Ibunda Bungasita
Simarmata, S. Pd yang senantiasa mendoakan, memberi semangat dan
memberikan dukungan baik secara moril maupun material kepada penulis
sejak awal perkuliahan hingga selesainya skripsi ini.
6. Kakak dan adik penulis (Ferawati, Chrismes, Elyasi, Jose dan Tadius) yang
selalu memberi semangat serta motivasi dalam penyusunan skripsi ini serta
keluarga besar yang senantiasa mendoakan penulis.
7. Rekan-rekan mahasiswa/i jurusan matematika khususnya Matematika 2012
yang telah memberikan pemikiran, semangat, motivasi dan dukungan bagi
penulis terkhusus untuk sahabat penulis yaitu Siska dan Mei.
iii
Universitas Sumatera Utara
8. Rekan-rekan sepelayanan Paduan Suara Gloria UKM KMK St. Albertus
Magnus USU yang telah membantu bertumbuh dalam Tuhan melalui setiap
doa, semangat dan motivasi bagi penulis.
9. Rekan-rekan Badan Pengurus Harian (BPH) Paduan Suara Gloria UKM
KMK St. Albertus Magnus USU Periode 2014-2016 (Avery, Clinton,
Melva, Monita, Hertati, Fritz, dan Buntora) yang telah membantu dalam
setiap doa, semangat dan motivasi bagi penulis.
Penulis menyadari sepenuhnya keterbatasan ilmu pengetahuan dan
kemampuan penulis, sehingga skripsi ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu,
segala saran dan kritik dari pembaca skripsi ini sangat penulis harapkan demi
kesempurnaan skripsi ini.
Kiranya Tuhan Yesus Kristus melimpahkan rahmat dan kasih-Nya atas
segala jerih payah, bantuan serta pengorbanan yang telah diberikan oleh semua
pihak dalam membantu penyusunan skripsi ini.
Medan, Juni 2016
Penulis
Theresia M. Manik
iv
Universitas Sumatera Utara
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
OPTIMASI BERKENDALA
ABSTRAK
Metode pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun
1736. Metode pengali Lagrange merupakan metode yang digunakan untuk
menangani permasalahan program nonlinier dimana fungsi tujuannya memiliki
kendala persamaan dan pertidaksamaan. Banyak masalah optimasi tidak dapat
diselesaikan dikarenakan kendala yang membatasi fungsi objektif. Metode pengali
Lagrange dapat mentransformasi persoalan optimasi berkendala menjadi persoalan
optimasi tanpa kendala. Dengan demikian persoalan optimasi dapat diselesaikan.
Kata Kunci: Optimasi, Optimasi Berkendala, Metode Pengali Lagrange
v
Universitas Sumatera Utara
ANALYSIS OF CHARACTERISTIC IN LAGRANGE FUNCTION TO
SOLVING OPTIMIZATION PROBLEM WITH CONSTRAINTS
ABSTRACT
Lagrange multiplier method proposed by Joseph Louis Lagrange in 1736. Lagrange
multiplier method is the method used to overcome the problems of nonlinear
program where the objective function has the constraint equations and inequalities.
Many optimization problems can not be solved because of the constraints that limit
the objective function. Lagrange multiplier method can transform the optimization
problem with constraints into the optimization problem without constraints. Thus
the optimization problem can be solved.
Keywords: Optimization, Optimization With Constraints, Lagrange Multiplier
Method
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
v
vi
vii
ix
x
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Bab 1. Pendahuluan
1.1. Latar belakang
1.2. Perumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tinjauan Pustaka
1.5. Tujuan Penelitian
1.6. Kontribusi Penelitian
1.7. Metodologi Penelitian
1
5
5
5
11
11
11
Bab 2. Landasan Teori
2.1. Optimasi
2.1.1. Pengertian Optimasi
2.1.2. Perumusan Masalah Optimasi
2.1.3. Klasifikasi Masalah Optimasi
2.1.4. Teknik Optimasi
2.2. Maksimum Dan Minimum
2.2.1. Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum
2.2.2. Teorema Titik Kritis
2.2.3. Titik Stasioner-Uji Turunan Pertama
2.2.4. Uji Turunan Kedua
2.3. Metode Pengali Lagrange
12
12
14
15
20
21
21
22
23
24
25
Bab 3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Pengali Lagrange Dan Aplikasinya
3.1.1. Metode Pengali Lagrange
3.1.2. Pembuktian Matematis Untuk Metode
Pengali Lagrange
3.1.3. Penjelasan Geometri Pada Metode
Pengali Lagrange
3.1.4. Perluasan Metode Lagrange Dengan
Kendala Pertidaksamaan
3.1.5. Penerapan Metode Lagrange Pada
Sistem Operasi Daya Generator
3.2. Optimasi Berkendala Menggunakan Pengali Lagrange
3.2.1. Program Multivariabel Kuadrat
27
28
29
31
32
35
37
44
vii
Universitas Sumatera Utara
Bab 4. Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
55
56
Daftar Pustaka
57
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
Tabel
2.1.
Metode Penelitian Operasional
14
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
Gambar
2.1.
Fungsi Maksimum-Minimum
21
3.1.
Kontur Lingkaran dari Fungsi Objektif dan Daerah Layak
31
3.2.
Fungsi Objektif ��
untuk
3.3.
=
dan
Fungsi Objektif ��
untuk
= − dan
,� =
= .
∗
,� =
+�
, �∗ =
= .
∗
+�
, �∗ =
,
,
−
40
−
42
3.4.
Kurva Peningkatan Kendala
3.5.
Kontur Fungsi Objektif dan Fungsi Kendala Kontur fungsi objektif
��
�
,
,� ,�
−
=
−
+ .
+
+
44
+�
+
+
+
54
x
Universitas Sumatera Utara
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
OPTIMASI BERKENDALA
SKRIPSI
THERESIA M. MANIK
120803069
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSTITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
OPTIMASI BERKENDALA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai
gelar Sarjana Sains
THERESIA M. MANIK
120803069
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSTITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange
Dalam
Menyelesaikan
Permasalahan
Optimasi Berkendala
Kategori
: Skripsi
Nama
: Theresia M. Manik
Nomor Induk Mahasiswa
: 120803069
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juni 2016
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Esther S M Nababan, M. Sc
NIP. 19610318 198711 2 001
Dr. Parapat Gultom, MSIE
NIP. 19610130 198503 1 002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D
NIP 196209011988031002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
OPTIMASI BERKENDALA
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juni 2016
Theresia M. Manik
120803069
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas kemurahan,
berkat dan kasih karunia-Nya penulis dimampukan untuk menyelesaikan
penyusunan skripsi yang berjudul “Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange
Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala”.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah dibantu dan didukung oleh
berbagai pihak dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Parapat Gultom, MSIE dan Ibu Dr. Esther S M Nababan, M. Sc,
selaku pembimbing, Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Ibu Asima Manurung,
S.Si, M.Si, selaku pembanding yang telah menyediakan waktu serta
memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyusunan skripsi
ini.
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Dra. Mardiningsih, M.Si,
selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.
3. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S, selaku dekan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam serta Pembantu dekan FMIPA USU .
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi di lingkungan Departemen
Matematika, serta seluruh civitas akademika di lingkungan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
5. Orang tua penulis Ayahanda Madden Manik, S. Pd., dan Ibunda Bungasita
Simarmata, S. Pd yang senantiasa mendoakan, memberi semangat dan
memberikan dukungan baik secara moril maupun material kepada penulis
sejak awal perkuliahan hingga selesainya skripsi ini.
6. Kakak dan adik penulis (Ferawati, Chrismes, Elyasi, Jose dan Tadius) yang
selalu memberi semangat serta motivasi dalam penyusunan skripsi ini serta
keluarga besar yang senantiasa mendoakan penulis.
7. Rekan-rekan mahasiswa/i jurusan matematika khususnya Matematika 2012
yang telah memberikan pemikiran, semangat, motivasi dan dukungan bagi
penulis terkhusus untuk sahabat penulis yaitu Siska dan Mei.
iii
Universitas Sumatera Utara
8. Rekan-rekan sepelayanan Paduan Suara Gloria UKM KMK St. Albertus
Magnus USU yang telah membantu bertumbuh dalam Tuhan melalui setiap
doa, semangat dan motivasi bagi penulis.
9. Rekan-rekan Badan Pengurus Harian (BPH) Paduan Suara Gloria UKM
KMK St. Albertus Magnus USU Periode 2014-2016 (Avery, Clinton,
Melva, Monita, Hertati, Fritz, dan Buntora) yang telah membantu dalam
setiap doa, semangat dan motivasi bagi penulis.
Penulis menyadari sepenuhnya keterbatasan ilmu pengetahuan dan
kemampuan penulis, sehingga skripsi ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu,
segala saran dan kritik dari pembaca skripsi ini sangat penulis harapkan demi
kesempurnaan skripsi ini.
Kiranya Tuhan Yesus Kristus melimpahkan rahmat dan kasih-Nya atas
segala jerih payah, bantuan serta pengorbanan yang telah diberikan oleh semua
pihak dalam membantu penyusunan skripsi ini.
Medan, Juni 2016
Penulis
Theresia M. Manik
iv
Universitas Sumatera Utara
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
OPTIMASI BERKENDALA
ABSTRAK
Metode pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun
1736. Metode pengali Lagrange merupakan metode yang digunakan untuk
menangani permasalahan program nonlinier dimana fungsi tujuannya memiliki
kendala persamaan dan pertidaksamaan. Banyak masalah optimasi tidak dapat
diselesaikan dikarenakan kendala yang membatasi fungsi objektif. Metode pengali
Lagrange dapat mentransformasi persoalan optimasi berkendala menjadi persoalan
optimasi tanpa kendala. Dengan demikian persoalan optimasi dapat diselesaikan.
Kata Kunci: Optimasi, Optimasi Berkendala, Metode Pengali Lagrange
v
Universitas Sumatera Utara
ANALYSIS OF CHARACTERISTIC IN LAGRANGE FUNCTION TO
SOLVING OPTIMIZATION PROBLEM WITH CONSTRAINTS
ABSTRACT
Lagrange multiplier method proposed by Joseph Louis Lagrange in 1736. Lagrange
multiplier method is the method used to overcome the problems of nonlinear
program where the objective function has the constraint equations and inequalities.
Many optimization problems can not be solved because of the constraints that limit
the objective function. Lagrange multiplier method can transform the optimization
problem with constraints into the optimization problem without constraints. Thus
the optimization problem can be solved.
Keywords: Optimization, Optimization With Constraints, Lagrange Multiplier
Method
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
v
vi
vii
ix
x
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Bab 1. Pendahuluan
1.1. Latar belakang
1.2. Perumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tinjauan Pustaka
1.5. Tujuan Penelitian
1.6. Kontribusi Penelitian
1.7. Metodologi Penelitian
1
5
5
5
11
11
11
Bab 2. Landasan Teori
2.1. Optimasi
2.1.1. Pengertian Optimasi
2.1.2. Perumusan Masalah Optimasi
2.1.3. Klasifikasi Masalah Optimasi
2.1.4. Teknik Optimasi
2.2. Maksimum Dan Minimum
2.2.1. Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum
2.2.2. Teorema Titik Kritis
2.2.3. Titik Stasioner-Uji Turunan Pertama
2.2.4. Uji Turunan Kedua
2.3. Metode Pengali Lagrange
12
12
14
15
20
21
21
22
23
24
25
Bab 3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Pengali Lagrange Dan Aplikasinya
3.1.1. Metode Pengali Lagrange
3.1.2. Pembuktian Matematis Untuk Metode
Pengali Lagrange
3.1.3. Penjelasan Geometri Pada Metode
Pengali Lagrange
3.1.4. Perluasan Metode Lagrange Dengan
Kendala Pertidaksamaan
3.1.5. Penerapan Metode Lagrange Pada
Sistem Operasi Daya Generator
3.2. Optimasi Berkendala Menggunakan Pengali Lagrange
3.2.1. Program Multivariabel Kuadrat
27
28
29
31
32
35
37
44
vii
Universitas Sumatera Utara
Bab 4. Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
55
56
Daftar Pustaka
57
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
Tabel
2.1.
Metode Penelitian Operasional
14
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
Gambar
2.1.
Fungsi Maksimum-Minimum
21
3.1.
Kontur Lingkaran dari Fungsi Objektif dan Daerah Layak
31
3.2.
Fungsi Objektif ��
untuk
3.3.
=
dan
Fungsi Objektif ��
untuk
= − dan
,� =
= .
∗
,� =
+�
, �∗ =
= .
∗
+�
, �∗ =
,
,
−
40
−
42
3.4.
Kurva Peningkatan Kendala
3.5.
Kontur Fungsi Objektif dan Fungsi Kendala Kontur fungsi objektif
��
�
,
,� ,�
−
=
−
+ .
+
+
44
+�
+
+
+
54
x
Universitas Sumatera Utara