Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala

DAFTAR PUSTAKA

Ayu, Femy Astiti, Ni Made Asih, dan I Nyoman Widana. 2013. Penentuan Keuntungan Maksimum Pada Penjualan Olahan Tape Dengan Menggunakan Metode Lagrange (Studi Kasus: UD. Sari Madu). Diakses tanggal 25 April 2013 dari http://ojs.unud.ac.id.

Arturo, E. 2013. Optimizacion de portafolios de accionesutulizando los multipli cadores de Lagrange. Diakses tanggal 08 Maret 2016 dari http://search.ebscohost.com.

Effendi, Usman. 2012. Rekayasa Dan Optimasi Proses Lagrange Multipliers. Diakses tanggal 19 April 2016 dari http://ariefm.lecture.ub.ac.id.

Gavin, Henri P and Jeffrey T. Scruggs. 2016. Constrained Optimization Using Lagrange Multipliers. Diakses tanggal 19 April 2016.

Hidayat, Rahmad. 2015. Metode Pengali Lagrange Dan Aplikasinya Dalam Bidang Ekonomi. Diakses tanggal 01 Juni 2016 dari http://repository.usu.ac.id. Legowo. 1984. Dasar Kalkulus Penerapannya Dalam Ekonomi Edisi Dua. Jakarta:

Fakultas Ekonomi.

Li, Huijuan. 2008. Lagrange Multipliers And Their Applications. Diakses 03 Juni 2016 dari http://sces.phys.utk.edu.

Luknanto, D. 2000. Pengantar Optimasi Non-Linier. Diakses tanggal 15 Maret 2016 dari http://luk.staff.ugm.ac.id.

Maruddani, Di Asih I dan Ari Purbowati. 2009. Pengukuran Value At Risk Pada Aset Tunggal Dan Portofolio Dengan Simulasi Monte Carlo. Diakses tanggal 08 Maret 2016 dari http://ejournal.undip.ac.id.

Moengin, Parwadi. 2011. Metode Optimasi. Bandung: CV. Muara Indah.

Prayudi. 2009. Kalkulus Lanjut Fungsi Variabel Banyak & Penerapannya. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Purcell, Edwin J., Dale Varberg, and Steven E. Ringdon. 2003. Calculus Eighth Edition Varberg, Purcell, Ringdon. Jakarta: Erlangga.

Susilo, Joko, Mohammad Facta, dan Susatyo Handoko. 2014. Simulasi Perhitungan Pembebanan Ekonomis Pada Pusat Listrik Tenaga Uap Dan Gas Dengan Metode Lagrange Multiplier (Studi Kasis Di PT. Petrokimia Gresik. Diakses tanggal 08 Maret 2016 dari http:// ejournal-s1.undip.ac.id.

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1. Pengali Lagrange Dan Aplikasinya

Pada bagian ini dianalisis karakteristik fungsi Lagrange yang dirujuk dari jurnal Lagrange Multiplier and their Application (Huijuan Li, 2008). Masalah optimasi memainkan peran penting di dunia nyata. Banyak kegiatan optimasi yang dilakukan baik pada bidang ilmu pengetahuan, teknik, ekonomi, atau kejadian dalam kehidupan sehari-hari. Kegiatan tersebut dapat diformulasikan secara matematis yaitu mencari nilai minimum atau maksimum dari fungsi objektifnya. Untuk masalah optimasi tanpa syarat disebut optimasi tanpa kendala dan untuk masalah optimasi bersyarat disebut optimasi berkendala.

Masalah optimasi berkendala dapat diformulasikan sebagai berikut:

min , … , (3.1)

dengan kendala:

, … , = (3.2)

, … , (3.3)

dimana , adalah vektor fungsi. Variabel-variabelnya terbatas pada daerah layak yang mengacu pada titik yang memenuhi kendala.

Masalah optimasi tanpa kendala dapat diselesaikan dengan teori titik stasioner, yaitu syarat perlu agar fungsi objektif , … , mempunyai nilai ekstrim adalah adanya titik kritis. Titik stasioner adalah titik dimana gradien sama dengan nol, setiap turunan parsial dari fungsi nilainya nol.

Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala adalah metode subsitusi. Namun demikian, metode ini hanya dapat digunakan pada masalah optimasi dengan kendala persamaan. Tetapi metode ini

tidak selalu membawa hasil bilamana kendalanya melibatkan lebih dari satu persamaan kendala. Sedangkan masalah optimasi berkendala yang sering timbul dalam masalah nyata, batasan atau kendalanya tidak hanya satu fungsi. Metode subsitusi juga sering tidak dapat menyelesaikan sebagian besar masalah optimasi dengan fungsi nonlinier. Hal yang sering timbul adalah tidak mudah untuk menentukan titik kritis dari fungsi yang ada.

Metode pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange, menyajikan sebuah metode alternatif untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala nonlinier. Metode ini mampu menyelesaikan masalah dengan kendala persamaan dan pertidaksamaan. Metode ini dikembangkan berdasarkan pada kenyataan bahwa masalah optimasi dengan kendala, nilai ekstremnya terletak pada titik kritis. Metode Lagrange ini menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrem terkendala dengan metode ini dapat diatasi.

3.1.1. Metode Pengali Lagrange

Bentuk umum masalah optimasi nonlinier dengan kendala persamaan, yaitu:

min , … ,

dengan kendala:

, … , =

dimana, = [ , … , = , … , , … , = ] adalah vektor fungsi kendala.

Bentuk fungsi Lagrange adalah sebagai berikut:

�, � = � − � � (3.4)

dimana:

� = [� , … , � ], � , … , � disebut pengali Lagrange Titik ekstrem dan pengali Lagrange � memenuhi:

= (3.5)

sehingga �

� − ∑ = �

�

= , = , … , (3.6)

3.1.2. Pembuktian Matematis Untuk Metode Pengali Lagrange Bukti akan diilustrasikan pada contoh berikut:

= , , , (3.7)

dengan kendala:

� , , , = (3.8) � , , , = (3.9) Diasumsikan bahwa di titik �, , , � , fungsi akan mencapai nilai ekstrem ketika dicocokkan dengan nilai pada setiap titik tetangga yang memenuhi kendala. Juga asumsikan bahwa Jacobbian.

� �,�

� , = � � − � � ≠ (3.10) Sehingga pada titik diketahui nilai 2 variabel yaitu dan , seperti fungsi lainnya dan . Subsitusi fungsi = , dan = ℎ , ke fungsi objektif , lalu diperoleh fungsi objektif dari 2 variabel bebas dan , dan fungsi ini harus memiliki nilai ekstrem bebas pada titik = �, = , sehingga memenuhi

+ �

� +

�

� = (3.11) + �

� +

�

Nilai untuk λ dan µ dapat ditentukan dari persamaan berikut:

− �� − µ� = (3.12) − �� − µ� =

Diambil turunan parsial terhadap diperoleh: � + � �

� + �

�

� = (3.13) � + � �

� + �

�

� = Kalikan persamaan di atas dengan − λ dan − µ:

− λ � − λ � �_� − λ � _�� = (3.14)

− µ� − µ� �_� − µ� _�� = Kemudian akan dijumlahkan

− λ � − µ� + − �� − µ� �_� + − �� − µ� _�� = (3.15) Dengan demikian diperoleh:

− λ � − µ� = (3.16) Secara serupa diperoleh:

− λ � − µ� = (3.17) Pembuktian metode dapat dilakukan secara serupa pada fungsi objektis dengan variabel dan kendala yang lebih banyak.

3.1.3. Penjelasan Geometri Pada Metode Pengali Lagrange

Gambar 3.1. Kontur lingkaran dari fungsi objektif dan daerah layak

Peraturan untuk metode Lagrange dapat dijelaskan dari gambar titik geometri. Gambar 3.1. menunjukkan kontur kurva dari sebuah fungsi objektif dan daerah layak dari solusi. Kurva lingkaran adalah kontur dari fungsi objektif . Garis tebal adalah titik yang memenuhi kendala = . Panah menunjukkan arah menurun dari fungsi objektif. terus meluas dan memotong garis sampai mencapai posisi keduanya telah bersentuhan seluruhnya dan saling bersinggungan.

Masalah optimasi dalam hal ini adalah menentukan dimana fungsi tersebut mencapai maksimum dan dimana fungsi mencapai minimum di sepanjang kurva perpotongan. Nilai maksimum dan minimum akan terjadi ketika kurva lingkaran dan fungsi objektif menyinggung garis kendala. Inilah gagasan kunci di balik metode pengali Lagrange.

Kurva lingkaran dan garis kendala saling bersinggungan yaitu mempunyai sebuah garis singgung yang sama maka kedua kurva tersebut mempunyai garis tegak lurus yang sama. Tetapi di sebarang titik pada kurva lingkaran, vektor gradien tegak lurus terhadap garis kendala, dan dengan cara yang sama tegak lurus terhadap kurva lingkaran, oleh karena itu:

3.1.4. Perluasan Metode Lagrange Dengan Kendala Pertidaksamaan

Metode pengali Lagrange juga mencakup kasus kendala pertidaksamaan seperti pada persamaan (3.1.3). Dalam daerah layak, , … , = atau , … , < . Jika optimum yang dihasilkan memenuhi semua kendala maka titik optimum sudah dicapai. Tetapi jika optimum tidak memenuhi semua kendala maka optimum terkendala harus terjadi pada satu titik kendala ruang solusi. Ketika = , dikatakan aktif tetapi tidak aktif. Fungsi Pengali Lagrange diformulasikan sebagai berikut:

�, �, µ = � − � � − µ � (3.19) dimana:

µ = [µ , … , µ ]

= [ , … , , … , , … , ]

Ketika tidak aktif kita dapat menghapus kendala tersebut dengan menetapkan µ = . Aktifkan sembarang kendala dan optimumkan dengan kendala aktif menggunakan metode Lagrange. Jika titik optimum yang dihasilkan memenuhi semua kendala maka akan dihasilkan solusi optimum. Apabila titik optimum yang dihasilkan dari tidak memenuhi semua kendala maka harus diaktifkan sembarang kendala yang lain. Tetapi jika titik optimum yang dihasilkan hanya memenuhi sebagian kendala saja, maka akan dihasilkan titik optimum dengan solusi lokal saja.

Ketika meluas mencakup kendala pertidaksamaan, aturan untuk metode pengali Lagrange dapat diformulasikan sebagai berikut:

� − ∑ � =

� − ∑ µ =

� = � .

µ = , … , µ = = , … ,

� =

Dengan demikian, kendala pertidaksamaan dapat dimasukkan ke dalam fungsi Lagrange jika kendalanya adalah persamaan, kecuali bahwa kita memerlukan µ < dan ketika ≠ , µ = . Tidak ada jaminan akan didapatkan optimum global meskipun masalah optimasi tersebut mempunyai solusi tunggal.

3.1.5. Penerapan Metode Lagrange Pada Sistem Daya Operasi Generator Metode pengali Lagrange secara luas digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai ekstrem pada ilmu pengetahuan, ekonomi, dan teknik. Pada ekonomi, jika kamu memaksimumkan keuntungan dengan sumber yang terbatas, dimana � memiliki arti sebagai sumber nilai yang kecil atau terkadang disebut harga bayangan. Secara khusus, nilai pengali Lagrange menaksir nilai optimal dari fungsi objektif yang akan berubah jika kendalanya dirubah. Salah satu aplikasi penting dari metode pengali Lagrange dalam sistem daya adalah economic dispatch atau �-dispatch problem, yang menghubungkan bidang teknik dan ekonomi. Pada masalah ini, fungsi objektif meminimumkan biaya pengoperasian pembangkit dan variabelnya dibatasi oleh kendala keseimbangan daya. Economic dispatch diilustrasikan pada contoh berikut.

Terdapat 3 generator dengan masing-masing fungsi harganya menyimpan daya 952Mw. Hitung pembagian optimal dari masing-masing pembangkit.

: + , $/ (3.21)

: + , $/

: + , $/

dimana: adalah daya yang dihasilkan generator (Mw). adalah biaya beroperasi generator per jam ($/jam).

Fungsi biaya dengan batasan dihasilkan oleh kurva polynomial yang disesuaikan berdasarkan data operasi generator. Karena = � dan biaya untuk memproduksi � unit adalah $. Diperoleh [ ] ≡ [$] ≡ [$

ℎ ]. Sehingga biaya menjadi $

ℎ .

Langkah awal dalam menentukan pembagian optimal dari generator adalah memodelkannya dalam bentuk matematika. Dengan demikian model optimasinya adalah:

: = + + = + , + + , + + ,

(3.22) dengan kendala:

= + + − = (3.23)

Fungsi Lagrange:

= + , + + , + + , − � + + −

(3.24)

Dengan = dan hasil himpunan persamaan linier adalah: �

� = + , − � = (3.25)

� � = + , − � = � � = + , − � = � �� = + + − = ( , , , − − − ) � = − −

Dari persamaan (3.25) diperoleh:

� = + , = + , = + , (3.27)

Andaikan diambil,

+ , = + ,

, = ,

= ,_,

=

+ , = + , , = , = ,_,

=

Subsitisukan hasil persamaan (3.27) ke persamaan kendala:

+ + = + + = + + = = . = .

=

= ( ) =

=

= ( ) =

Subsitusikan nilai ke dalam �, diperoleh:

� = + , =

Menentukan nilai ekstrem. Karena titik kritis = , , , � adalah

, , , , maka titik kritis fungsi = , , adalah

, , . Jadi, nilai ekstrem = + , + + , + +

, dengan kendala + + = adalah,

= + , + + , + + ,

= .

Jadi, biaya minimum untuk mengoperasikan 3 generator setiap jam sebesar $7.616 dengan masing-masing rincian generator adalah

 Biaya operasi generator pertama sebesar $896 dan daya yang dikeluarkan sebesar 112Mw.

 Biaya operasi generator kedua sebesar $4.480 dan daya yang dikeluarkan sebesar 560Mw.

 Biaya operasi generator ketiga sebesar $2.240 dan daya yang dikeluarkan sebesar 280Mw.

 Biaya tambahan untuk system � sebesar $15/Mwhr.

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa metode pengali Lagrange adalah suatu alat yang sangat efisien untuk permasalahan optimasi nonlinier yang disertai dengan kendala persamaan dan kendala pertidaksamaan.

dikembangkan berdasarkan aturan metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange dan perluasan metode ini telah diterapkan pada ilmu pengetahuan, teknik, ekonomi, dan dalam kehidupan kita sehari-hari.

3.2. Optimasi Berkendala Menggunakan Pengali Lagrange

Pada bagian ini dianalisis karakteristik fungsi Lagrange yang dirujuk dari jurnal Constrained Optimization Using Lagrange Multipliers (Henri P. Gavin and Jeffrey T. Scruggs, 2016). Dalam merancang nilai optimal, nilai untuk himpunan variabel , , … , akan dicari nilai minimum skalar dari fungsi objektif variabel, dimana himpunan kendala pertidaksamaan dipenuhi. Masalah optimasi berkendala secara umum dinyatakan sebagai berikut:

min

, ,…, � = , , … , (3.28)

dengan kendala:

, , … ,

, , … ,

, , … ,

Jika fungsi objektif variabelnya adalah fungsi kuadrat dan persamaan kendala variabelnya adalah fungsi linier, masalah optimasi ini biasanya memiliki solusi yang unik.

Berikut adalah contoh optimasi berkendala dengan fungsi objektif kuadrat, dengan = dan = .

min (3.29)

Masalah ini memiliki variabel tunggal, fungsi objektif kuadrat � = , kendala pertidaksamaan tunggal, dan kendala linier pada = − . Jika > , persamaan kendala membatasi pengoptimalan dan solusi optimal ∗, diberikan oleh ∗ = . Jika , persamaan kendala tidak membatasi pengoptimalan dan solusi optimal diberikan oleh ∗ = . Tidak semua permasalahan optimasi begitu mudah diselesaikan. Banyak metode optimasi memerlukan metode yang lebih maju. Metode pengali Lagrange adalah salah satu metode tersebut dan akan diterapkan untuk masalah yang sederhana ini.

Metode pengali Lagrange melibatkan modifikasi dari fungsi objektif melalui penambahan istilah yang menggambarkan kendala. Fungsi objektif � = dikembangkan dengan hasil kali persamaan kendala dengan pengali Lagrange, � . Pengembangan fungsi objektif �� berasal dari variabel fungsi

dan pengali Lagrange ,

�� , , … , , � , � , … , � = , , … , + ∑ � �=

, , … ,

(3.30) Maka bentuk fungsi Lagrange pada contoh dengan = dan = adalah sebagai berikut:

= �� , � = + � − (3.31)

dimana � adalah faktor pengali Lagrange.

Untuk menentukan titik kritis, fungsi diturunkan secara parsial, sehingga diperoleh:

= − �

� = −

� = − = atau =

Subsitusikan = pada = , diperoleh

− � =

− � =

� =

Sehingga untuk � = dan = maka titik kritis adalah , . Nilai ekstrem

Kasus 1: =

Jika = maka minimum yang dibatasi pertidaksamaan , dan nilai optimal dari � harus meminimumkan �_� , � pada = . Gambar (a) plot �_� , � untuk beberapa nilai non-negatif � dan gambar (b) plot kontur dari �_� , � .

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Variabel x Variabel x

��

Gambar 3.2. �_� , � = + � − untuk = dan = . ∗, �∗ = , Gambar 3.2. menunjukkan bahwa:

 _{�� , �} adalah independen dari � di = .

 _{�� , �} diminimalkan pada ∗= untuk �∗= .

 Permukaan �_� , � berbentuk pelana.

 Titik ∗, �∗ = , adalah titik pelana.

 �� ∗, � �� ∗, �∗ �� , �∗ .

 _{min �� , �}∗ _{= max �}

� ∗, � = �� ∗, �∗ . 0 2 4 6 8 10 12

λ = 0 1 2 λ=4

b=1 (a)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

(b)

Titik pelana tidak memiliki kemiringan, sehingga ��� , �

� | ₌ ∗_,�=�∗ = .

��� , �

�� | ₌ ∗_,�=�∗ =

Untuk permasalahan ini, ��� , �

� | ₌ ∗_,�=�∗ = ⇒

∗_{− �}∗ _{= ⇒ �}∗ ₌ ∗

��� , �

�� | ₌ ∗_,�=�∗ = ⇒ −

∗ _{= ⇒ −} ∗ ₌

Contoh ini memiliki interpretasi fisik. Fungsi objektif � = menggambarkan energi atau kekuatan yang ada di dalam pegas. Minimum energi potensial yang ada di dalam pegas menyesuaikan dengan regangan nol.

min .

dengan

Batasan masalah di atas berarti “minimasi energi yang ada di dalam pegas

sedemikian hingga peregangan di pegas lebih besar atau sama dengan 1.” Solusi

untuk masalah ini adalah mengatur peregangan pegas sama dengan nilai terkecil yang diperbolehkan ∗ = . Gaya yang diterapkan pegas untuk mencapai fungsi objektif adalah = ∗. Gaya dalam masalah ini adalah pengali Lagrange

Kasus 2: = −

Jika = − maka minimum dari tidak dibatasi oleh pertidaksamaan . Maka turunannya akan menjadi ∗ = − dengan �∗ = − . Nilai negatif dari �∗ menunjukkan bahwa kendala tidak mempengaruhi solusi optimal, dan dengan demikian �∗ harus dijadikan sama dengan nol. Andaikan �∗ = maka = , sehingga �� , � minimal pada ∗ = . Gambar (a) plot �� , � untuk beberapa nilai negatif dari � dan gambar (b) plot kontur dari �� , � .

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 variabel x Variabel x

��

Gambar 3.3. �_� , � = + � − untuk = − dan = . ∗, �∗ = , Gambar 3.3. menunjukkan bahwa:

 Titik pelana dari �_� , � terjadi pada nilai negatif dari �, sehingga ��� ,�

�� ≠

untuk setiap � .

Contoh-contoh ini menggambarkan sifat-sifat dari masalah pengali Lagrange.

Jika pertidaksamaan membatasi minimum maka titik optimum fungsi objektif �_� , � = + � diminimalkan dengan memperhatikan dan dimaksimalkan dengan memperhatikan �. Masalah optimasi dari persamaan (3.28) dapat ditulis dalam fungsi tujuan (3.30).

max

� ,� ,…,� , ,…,min �� , , … , , � , � , … , � (3.34) dengan kendala � ∀

���

� | ₌ ∗_{,� =�} ∗ =

���

�� | ₌ ∗_{,� =�} ∗ =

Kondisi di atas mendefinisikan variabel optimal ∗ dengan , , … , . Jika pertidaksamaan , , … , membatasi titik kendala, sesuai dengan pengali Lagrange, � adalah positif. Pengali Lagrange untuk kendala yang tidak aktif akan menjadi negatif jika mereka tidak dibatasi untuk menjadi tidak negatif.

Nilai pengali Lagrange pada titik optimum sangat mempengaruhi fungsi objektif � = untuk merubah nilai kendala . Nilai pengali Lagrange pada titik optimum adalah ukuran sensitivitas dari fungsi objektif � = terhadap perubahan dari kendala . Perubahan kendala dari menjadi + � merubah fungsi objektif dari � = ∗ menjadi � = ∗ + �∗� .

Gambar 3.4. Kurva peningkatan kendala

Jika peningkatan kendala hasilnya di objektif perbaikan (sebuah pengurangan nilai) maka � < , dan kendala tidak mencapai titik optimum. Jika peningkatan kendala hasilnya di peningkatan nilai, maka � > dan kendala harus dipenuhi di titik optimum.

3.2.1. Program Multivariabel Kuadrat

Masalah optimasi fungsi kuadrat dengan variabel tunggal dan kendala pertidaksamaan linier tunggal cukup mudah diselesaikan. Pada masalah dengan banyak variabel ≫ dan banyak kendala pertidaksamaan ≫ , menentukan kendala pertidaksamaan yang akan digunakan pada titik optimum dapat menjadi sulit. Metode numerik digunakan dalam penyelesaian permasalahan yang melibatkan pendekatan trial-and-error secara berulang untuk menentukan kendala pertidaksamaan yang aktif.

Berikut adalah contoh optimasi berkendala dengan fungsi objektif kuadrat, dengan = dan = .

min_, + . + + .

dengan kendala + + (3.36) − −

Contoh ini juga memiliki fungsi objektif kuadrat dan kendala pertidaksamaan linier dalam variabel. Kontur fungsi tujuan dan dua kendala pertidaksamaan di plot pada gambar 3.5. Daerah layak dari dua kendala pertidaksamaan adalah sebelah kiri dari garis pada gambar dan diberi lambang

“ ok” dan “ ok”. Gambar ini menunjukkan bahwa pertidaksamaan , membatasi solusi dan pertidaksamaan , tidak membatasi solusi. Hal ini terlihat pada gambar 3.5 dengan = , tapi untuk masalah yang lebih rumit mungkin tidak langsung selesai dimana kendala pertidaksamaannya aktif.

Dengan menggunakan metode pengali Lagrange, pengembangan fungsi objektif menjadi

�� , , � , � = + . + + + � + +

+� − − (3.37) Berbeda dengan contoh pertama dimana = dan = , kita tidak bisa plot kontur �� , , � , � karena ini akan menjadi plot di ruang dimensi 4. Meskipun demikian, cara pengoptimalannya sama.

min �� ⇒��_� �| _∗

, ∗,� ∗,� ∗ = ⇒

∗_{+ , +} ∗_{+ �}∗ _{+ �}∗ ₌

min �� ⇒��_� �| _∗

, ∗,� ∗,� ∗ = ⇒

∗₊ ∗_{+ �}∗ _{− �}∗ ₌

max_� �� ⇒���

�� | ∗_, ∗_,� ∗_,� ∗ = ⇒ ∗+ ∗+ =

max_� �� ⇒���

�� | ∗_, ∗_,� ∗_,� ∗ = ⇒ ∗− ∗− =

Jika fungsi objektif adalah fungsi kuadrat dan kendalanya adalah fungsi linier, maka kondisi optimal secara sederhana dibentuk dari persamaan kuadrat, persamaan linier dan pengali Lagrange. Dalam contoh ini kondisi optimal yang dinyatakan dalam empat persamaan linier dengan empat variabel yang tidak diketahui. Secara umum kita mungkin tidak mengetahui mana kendala persamaan yang aktif. Jika hanya ada beberapa kendala persamaan, hal itu tidak terlalu sulit

untuk mencoba semua kombinasi dari sejumlah kendala, yaitu dengan menetapkan pengali Lagrange untuk kendala pertidaksamaan lainnya sama dengan nol.

 Pertama, tentukan minimum yang tidak dibatasi oleh kendala , ataupun , yang aktif, � ∗= , � ∗= , dan

[ ][ ∗∗] = [− . ] (3.38)

[ | − . ] ~ [ | − ] ~ [ |− ] ~ [ − |− ] (3.39)

∗ ₌

∗ =

∗ _{= .}

∗₋ ∗ _{= −}

∗ _{= − + .}

∗ _{= − .}

sehingga:

[ ∗_∗] = [− .. ] (3.40)

Kendala yang tidak dibatasi ditunjukkan pada gambar 3.5 sebagai “*”.

Subsitusi nilai ∗ dan ∗ ke persamaan kendala.

∗_, ∗ ₌ ∗₊ ∗₊

= − . + . +

∗_, ∗ ₌ ∗₋ ∗₋ = − . − . −

= − .

Jadi, kendala yang tidak dibatasi tidak cocok karena kendala − . , . > .

 Selanjutnya, asumsikan kedua kendala , dan , adalah aktif, nilai optimal untuk ∗, ∗, � ∗, � ∗ dicari, dan keempat persamaan harus diselesaikan bersama-sama. [ − − ] [ ∗ ∗ � ∗ � ∗] = [ − . −

] (3.41)

[ − − | − . − ] ~ [ − − | |− − ] ~ [ − − | | − − ] (3.42) ∗ ₌ ∗ = − = − . ∗₊ ∗ = − ∗ = − − − . ∗ = − + . ∗ = − .

∗_{+ �} ∗_{− �} ∗ ₌ − . + � ∗− � ∗ = − . + � ∗− � ∗ = � ∗− � ∗ = .

∗₊ ∗_{+ �} ∗_{+ �} ∗ _{= −}

− . + − . + � ∗+ � ∗ = −

− . + � ∗+ � ∗ = − � ∗+ � ∗ = . � ∗+ � ∗ = .

� ∗ = . − � ∗

� ∗− � ∗ = .

. − � ∗ − � ∗ = .

. − � ∗− � ∗ = .

− � ∗ = . � ∗ = − .

� ∗ = . − � ∗

� ∗ = . sehingga: [ ∗ ∗ � ∗ � ∗] = [ − . − . . − .

] (3.43)

Minimum kendala ditunjukkan pada gambar 3.5 sebagai “o” di

perpotongan antara garis , dan , . Perhatikan bahwa � ∗< menunjukkan bahwa tidak aktif, dimana

− . , − . = − . − − . − =

Jadi, ketika solusi ini layak (baik dan menuju 0) solusinya bisa diperbaiki dengan melepaskan kendala dan bergerak ke garis .

 Jadi, diasumsikan hanya kendala yang aktif, tidak aktif, � ∗= , dan

[ ] [ ∗ ∗ � ∗] = [ − . − ] (3.44) [ |− . − ] ~ [ | − −

] (3.45)

∗₊ ∗ _{= −}

∗ = − − ∗

∗_{+ �} ∗₌

∗_{+ �} ∗₌

∗₊ ∗_{+ �} ∗ _{= −}

∗₊ ∗_{+ �} ∗ _{= −}

∗₊ ∗_{+ −} ∗ _{= −}

∗₋ ∗ _{= −} ∗₋ ∗ _{= −} ∗_{− − −} ∗ _{= −}

∗_{+ +} ∗ _{= −}

∗ _{= −} ∗ _{= − .}

∗₊ ∗ _{= −} − . + ∗ _{= −}

− . + ∗ _{= −} ∗ _{= .}

∗ _{= .}

� ∗ = − ∗

� ∗ = − .

� ∗ = .

sehingga: [ ∗ ∗ � ∗] = [ − . . . ] (3.46)

Minimum kendala ditunjukkan sebagai “o” pada garis dalam gambar 3.5. Perhatikan bahwa � ∗ > yang menunjukkan bahwa kendala ini aktif. Subsitusikan ∗ dan ∗ ke dalam , memberikan nilai,

− . , . = ∗₋ ∗₋

= − . − . − = − .

Jadi, kendala minimum ini layak dengan kedua kendala. Ini adalah solusi yang kita cari.

 Sebagai pemeriksaan terakhir, diasumsikan hanya kendala yang aktif, tidak aktif, � ∗= .

[ − − ] [ ∗ ∗ � ∗] = [ − .

] (3.47)

[ − − | − . ] ~ [ ₋ − | −

] (3.48)

∗₋ ∗ ₌

∗ ₌ ∗₋

∗_{+ (} ∗_{− ) − �} ∗ ₌

∗₊ ∗_{− − �} ∗ ₌

∗_{− �} ∗ ₌

� ∗ = ∗₋

∗₊ ∗_{− �} ∗ ₌

∗_{+ (} ∗_{− ) + �} ∗ _{= −}

∗₊ ∗_{− + �} ∗ _{= −}

∗_{+ �} ∗ ₌

∗_{+ (} ∗_{− ) =}

∗₊ ∗_{− =}

∗ _{= +} ∗ _{= .} ∗ _{= .}

∗₋ ∗ ₌

. − ∗ ₌

∗ _{= . − .}

∗_{= − .}

� ∗ = ∗₋

� ∗ = . − � ∗ = − . sehingga:

[ ∗ ∗ � ∗] = [

. − . − . ]

(3.49)

Kendala minimum ditunjukkan sebagai “o” di garis pada gambar 3.5 Perhatikan bahwa � ∗ < , yang menunjukkan bahwa kendala tidak aktif, bertentangan dengan asumsi kita. Selanjutnya, subsitusi ∗ dan ∗ ke dalam

∗_, ∗ _{memberikan nilai:}

∗_, ∗ ₌ ∗₊ ∗₊

= . + − . +

= .

Sehingga kendala minimum ini tidak cocok dengan kendala karena . , − . > .

Gambar 3.5. Kontur fungsi objektif �_� , , � , � = + . + + + � + + + � − − . (a) � = , ; (b) �_�= , + � ∗ , . Perhatikan bahwa kontur �_� bergeser sehingga minimum dari �_� adalah di titik optimal sepanjang garis

-1 -0.5

0 0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

g₁ok

g₂ok

a) (

-1 -0.5 0 0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

g 1ok

g 2ok

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan kajian dan analisis yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa:

1. Ide dasar dikembangkannya metode pengali Lagrange adalah banyaknya masalah optimasi berkendala yang terjadi dalam kehidupan nyata, dimana batasan atau kendalanya tidak hanya satu fungsi. Selain itu masalah optimasi dapat juga berbentuk fungsi nonlinier dan tidak mudah untuk menentukan titik kritis dari fungsi yang ada.

2. Metode pengali Lagrange dikembangkan berdasarkan pada kenyataan bahwa masalah optimasi dengan kendala, nilai ektremnya terletak pada titik kritis. Metode pengali Lagrange menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrem berkendala dapat diatasi.

3. Fungsi pengali Lagrange bermanfaat dalam mentransformasi persoalan optimasi berkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala. Kebanyakan persoalan optimasi tanpa kendala dapat diselesaikan setelah persoalan tersebut diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala. 4. Metode pengali Lagrange mampu menyelesaikan masalah dengan kendala

persamaan dan pertidaksamaan. Selain itu metode ini mampu menyelesaikan masalah optimasi dengan fungsi nonlinier.

5. Metode pengali Lagrange dapat digunakan untuk mencari solusi optimum dari masalah optimasi dengan kendala pertidaksamaan. Tetapi dalam penyelesaiannya, metode Lagrange tidak menjamin akan dihasilkan solusi optimum global.

4.2. Saran

Berikut ini adalah saran perbaikan dan pengembangan bagi peneliti berikutnya: 1. Penelitian ini hanya membahas terkait konsep, cara kerja dan aplikasi

metode pengali Lagrange secara manual tanpa disertai dengan simulasi komputasi, maka disarankan kepada penelitian berikutnya agar menganalisis pada bagian komputasinya.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Optimasi

2.1.1. Pengertian Optimasi

Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di bawah keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit) yang diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Optimasi dapat diartikan sebagai aktivitas untuk mendapatkan nilai minimum suatu fungsi karena untuk mendapatkan nilai maksimum suatu fungsi dapat dilakukan dengan mencari minimum dari negatif fungsi yang sama.

Tidak ada metode tunggal yang dapat dipakai untuk menyelesaikan semua masalah optimasi. Banyak metode optimasi telah dikembangkan untuk menyelesaikan tipe optimasi yang berbeda-beda seperti metode Lagrange.

Dalam optimasi diselidiki masalah penentuan suatu titik minimum suatu fungsi pada subset ruang bilangan riil tak kosong. Untuk lebih spesifik dirumuskan sebagai berikut: Misalkan �ruang bilangan riil dan � subset tak kosong dari �, dan misalkan : � → �sebuah fungsi yang diberikan. Kita akan mencari titik minimum

pada �. Sebuah elemen ̅ � dikatakan titik minimum pada � jika

̅ untuk semua �

Himpunan � dinamakan himpunan pembatas (constraint set) dan fungsi dinamakan fungsi objektif.

Metode pencari titik optimum juga dikenal sebagai teknik pemrograman matematikal dan menjadi bagian dari penelitian operasional (operations research). Penelitian operasional adalah suatu cabang matematika yang menekankan kepada aplikasi teknik dan metode saintifik untuk masalah-masalah pengambilan keputusan dan pencarian solusi terbaik atau optimal. Teknik pemrograman matematikal sangat berguna dalam pencarian minimum suatu fungsi beberapa variabel di bawa kendala yang ada. Teknik proses stokastik dapat digunakan untuk menganalisis masalah yang didiskripsikan dengan sekumpulan variabel acak dimana distribusi probabilitasnya diketahui. Metode statistikal dapat digunakan untuk menganalisis data eksperimen dan untuk membangun model secara empirik untuk memperoleh representasi yang lebih akurat mengenai situasi fiskal.

2.1.2. Perumusan Masalah Optimasi

Optimasi atau masalah pemrograman matematika dapat dinyatakan sebagai berikut. Tabel 2.1. Metode Penelitian Operasional

Teknik Pemrograman Matematikal

Teknik Proses Stokastik Metode Statistikal

Metode Kalkulus

Pemrograman Geometrik Pemrograman Nonlinier Pemrograman Kuadrati k Pemrograman Linier Pemrograman Dinamik Pemrograman Integer Pemrograman Stokastik Pemrograman Seperable Pemrograman Multiobyektif Metode Jaringan : CPM & PERT Teori Permainan

Simulated Annealing Genetic Algorithm Neural Networks

Teori Keputusan Proses Markov Teori Antrian Renewal Theory Simulasi

Reliability Theory

Analisis Regresi

Analisis Kluster, Pattern Recognition

Rancangan Eksperimen Analisis Diskriminan

Optimasi Tanpa Kendala

Masalah optimasi yang tidak melibatkan sebarang kendala dinamakan optimasi tanpa kendala dan dinyatakan sebagai:

Minimumkan = (2.1)

= , , … , Optimasi Dengan Kendala

Masalah optimasi yang melibatkan sebarang kendala dinamakan optimasi terkendala dan dinyatakan sebagai:

Minimumkan = (2.2)

= , , … ,

dengan kendala:

= , , … , = = , , … ,

dimana adalah sebuah vektor berdimensi- yang dinamakan vektor disain atau variabel keputusan, disebut fungsi obyektif, dan dikenal sebagai kendala ketaksamaan dan kendala kesamaan.

2.1.3. Klasifikasi Masalah Optimasi

Masalah optimasi dapat diklasifikasikan dalam 6 (enam) cara, seperti diuraikan berikut.

1. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Keberadaan Kendala

Seperti dinyatakan sebelumnya, sebarang masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah optimasi tanpa kendala dan masalah

optimasi terkendala, tergantung kepada ada tidaknya kendala dalam masalah optimasi.

2. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Bentuk Persamaan Fungsi yang Terlibat

Masalah optimasi dapat juga diklasifikasikan berdasarkan kepada bentuk fungsi obyektif dan fungsi kendala. Menurut klasifikasi ini, masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman linier, nonlinier, geometrik, dan kuadratik.

 Masalah Pemrograman Linier

Jika fungsi obyektif dan semua kendala adalah fungsi linier dari variabel keputusan, maka masalah pemrograman matematika tersebut dinamakan pemrograman linier (LP). Masalah pemrograman linier dapat dinyatakan dalam bentuk standar berikut:

Minimumkan = ∑₌ (2.3)

=

dengan kendala

∑ =

, = , , … , . , = , , … ,

dimana , dan adalah konstanta (yang selanjutnya dinamakan sebagai parameter).

 Masalah Pemrograman Nonlinier

Jika terdapat fungsi nonlinier di antara fungsi obyektif dan fungsi-fungsi kendala, maka masalah tersebut dinamakan masalah pemrograman nonlinier (nonlinier programming).

 Masalah Pemrograman Kuadratik

Suatu masalah pemrograman kuadratik adalah suatu masalah pemrograman nonlinier dimana fungsi obyektif berbentuk kuadratik dan fungsi kendala berbentuk linier. Masalah pemrograman kuadratik dapat dinyatakan sebagai berikut:

= + ∑

=

+ ∑ ∑

= =

. dengan kendala

∑ =

= , = , , … , . , = , , … ,

dimana , dan adalah konstanta.

 Masalah Pemrograman Geometrik

Sebuah fungsi ℎ dinamakan posynomial suku jika ℎ dapat dituliskan

sebagai ℎ = � � … � + + _� �� �� … ��

dimana dan adalah konstanta dengan > dan > .

Suatu masalah pemrograman geometric (GMP) adalah masalah pemrograman nonlinier dimana fungsi obyektif dan fungsi kendala dinyatakan sebagai posynomial dalam variabel keputusan. Jadi masalah GMP dapat dituliskan sebagai:

= ∑ �

=

∏ =

, > , > .

dengan kendala

= ∑ �

=

(∏ =

) > , > , > . dimana dan berturut-turut menyatakan banyaknya suku posynomial dari fungsi obyektif dan fungsi kendala ke-k.

3. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Variabel Keputusan yang Diperbolehkan Berdasarkan kepada nilai variabel keputusan yang diperbolehkan, masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman bilangan bulat (integer) dan pemrograman bilangan riil.

 Masalah Pemrograman Bilangan Bulat (Integer)

Jika beberapa atau semua variabel keputusan ( = , , … , dari suatu masalah optimasi dibatasi hanya bernilai bilangan bulat (integer) atau diskrit, masalah optimasi tersebut dinamakan pemrograman bilangan bulat.

 Masalah Pemrograman Bilangan Riil

Jika semua variabel keputusan bernilai bilangan riil maka masalah optimasi dinamakan masalah pemrograman riil.

4. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Parameter yang Diperbolehkan

Berdasarkan kepada nilai parameter yang diperbolehkan, masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman stokastik dan masalah pemrograman deterministik.

 Masalah Pemrograman Stokastik

Suatu masalah pemrograman stokastik adalah masalah optimasi dimana beberapa atau semua parameter dalam optimasi bersifat probabilistik (non deterministik atau stokastik).

 Masalah Pemrograman Deterministik

Jika semua parameter dalam optimasi bersifat deterministik, masalah optimasi tersebut dinamakan masalah pemrograman deterministik.

5. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Separabilitas Fungsi

Masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman separabel atau nonseparabel berdasarkan kepada separabilitas fungsi obyektif dan fungsi kendala.

 Masalah Pemrograman Separabel

Suatu fungsi dikatakan separabel jika dapat dituliskan sebagai jumlah dari fungsi tunggal , … , yaitu

= ∑ =

. Masalah pemrograman separabel adalah masalah optimasi dimana fungsi obyektif dan fungsi kendala adalah separabel dan dapat dituliskan dalam bentuk standar:

Minimumkan = ∑₌ (2.10)

= , , … , dengan kendala

= ∑ =

, = , , … , . dimana konstanta.

 Masalah Pemrograman Nonseparabel

Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dari masalah optimasi non separabel, masalah tersebut dinamakan masalah pemrograman nonseparabel.

6. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Banyaknya Fungsi Obyektif

Bergantung kepada banyaknya fungsi obyektif yang diminimumkan, masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman obyektif-tunggal dan multi obyektif.

 Masalah Pemrograman Obyektif-Tunggal

Masalah optimasi yang hanya melibatkan sebuah fungsi obyektif dinamakan pemrograman obyektif-tunggal. Pemrograman linier merupakan salah satu contoh dari masalah pemrograman obyektif-tunggal.

 Masalah Pemrograman Multiobyektif

Suatu masalah pemrograman multiobyektif dapat dinyatakan sebagai berikut:

Minimumkan , , … , (2.12)

= , , … , dengan kendala

, = , , … , (2.13) dimana , , … , adalah fungsi-fungsi obyektif yang diminimumkan secara simultan.

2.1.4. Teknik Optimasi

Metode klasik kalkulus diferensial dapat digunakan untuk mendapatkan maksima dan minima suatu fungsi multi variabel tanpa kendala. Metode ini mengasumsikan bahwa fungsi tersebut dapat didiferensialkan dua kali terhadap variabel keputusan dan turunannya kontinu. Untuk masalah optimasi dengan kendala kesamaan, metode pengali Lagrange (Lagrangian multiplier method) dapat digunakan. Jika masalah optimasi melibatkan kendala kesamaan, syarat Kuhn-Tucker dapat digunakan untuk mengidentifikan titik optimum. Akan tetapi metode ini melibatkan

sekumpulan persamaan non linier secara simultan yang boleh jadi sukar untuk diselesaikan (Parwadi Moengin, 2011).

Penerapan perhitungan penurunan parsial penting sekali dalam bidang ekonomi, terutama di dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi multivariat. Nilai optimum yang dimaksud ialah nilai yang diperoleh dari proses penentuan pemecahan yang paling terbaik dari pemecahan-pemecahan dalam suatu kendala yang ada. Nilai yang diperoleh ini bias maksimum atau minimum.

2.2. Maksimum Dan Minimum

2.2.1. Teorema keberadaan Maksimum-Minimum

Gambar 2.1. Fungsi Maksimum-Minimum

Nilai ektrem suatu fungsi bisa nilai maksimum atau nilai minimum. Disini dibedakan antara nilai maksimum global atau absolut dengan maksimum lokal atau relatif dan nilai minimum global atau absolut dengan maksimum lokal atau relatif. Dari gambar diketahui bahwa titik B adalah titik maksimum global sedangkan titik E adalah titik maksimum lokal. Titik D adalah minimum global sedangkan titik F adalah titik minimum lokal. Titik C bukanlah titik maksimum atau minimum suatu fungsi, titik ini disebut titik belok suatu fungsi.

Titik maksimum terjadi jika koefisien arah dari garis singgung pada garis tersebut adalah nol dan kurva terbuka kebawah, sedangkan titik minimum terjadi jika koefisien arah dari garis singgung pada titik tersebut adalah nol dan kurva

A B

C

D E

F G

Jika kontinu pada sebuah himpunan � tertutup terbatas, maka mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.

Misalkan adalah fungsi dengan daerah asal �, dan misalkan � adalah sebuah titik di �.

1. � adalah nilai maksimum global dari di � jika � � untuk seluruh

� di �.

2. � adalah nilai minimum global dari di � jika � � untuk seluruh � di �.

3. � adalah nilai ekstrem global dari di � jika � bukan nilai maksimum global dan bukan nilai minimum global.

Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi adalah dengan menentukan titik di daerah asal fungsi, sedemikian sehingga mencapai nilai maksimum atau minimum. Titik-titik demikian disebut dengan titik kritis.

Masalah mencari nilai maksimum atau minimum akan sangat sulit jika bentuk umum daripada kurva belum diketahui. Di dalam hal ini sangatlah sukar menentukan apakah titik kritisnya adalah titik maksimum, titik minimum, atau titik lainnya. Cara yang paling mudah ialah dengan mencari turunan pertama atau turunan kedua yang dekat nilai kritisnya.

2.2.2. Teorema Titik Kritis

Misalkan didefinisikan pada sebuah himpunan � yang mengandung � . Jika � � adalah sebuah nilai ekstrem, maka � harus merupakan sebuah titik kritis, yaitu � adalah

(i) Sebuah titik batas di � (ii) Sebuah titik stasioner dari (iii) Sebuah titik tunggal dari

Dari definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu agar fungsi dua variabel mempunyai nilai ekstrim adalah adanya titik kritis. Titik kritis yang

dibahas dalam hal ini adalah titik stasioner. Ada kemungkinan bahwa fungsi tidak mempunyai titik stasioner, akan tetapi mempunyai nilai ekstrem. Pengertian titik stasioner didefinisikan dengan menggunakan turunan parsial pertama (Edwin J. Purcell, 2003).

2.2.3. Titik Stasioner - Uji Turunan Pertama

Titik , dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi bilamana,

, = dan , = (2.14)

Definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrem fungsi dua variabel adalah fungsi mempunyai turunan parsial pertama, dan adanya titik yang memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol.

Jika = adalah titik kritis maka:

 Jika ′ merubah tanda dari positif ke negatif ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka adalah nilai maksimum dari fungsi tersebut.

 Jika ′ merubah tanda dari negatif ke positif ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.

 Jika ′ tidak merubah tanda ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka adalah bukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut.

Cara yang lebih mudah bisa diperoleh dengan melalui turunan kedua. Jika turunan kedua hasilnya negatif pada suatu titik menunjukkan bahwa kurvanya pada titik tersebut terbuka ke bawah (concave down ward) dan jika hasil turunan keduanya positif pada suatu titik menunjukkan kurvanya terbuka ke atas (concave up ward) pada titik tersebut.

Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi, di samping dipersyaratkan adanya titik kritis diperlukan penyelidikan lanjutan untuk mengetahui apakah titik kritis tersebut memberikan nilai ekstrem. Penyelidikan pada titik kritis demikian disebut pengujian syarat kecukupan nilai ekstrem. Uji syarat cukup yang digunakan adalah uji turunan kedua, khususnya bilamana titik kritisnya adalah titik stasioner.

Andaikan , mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalam

lingkungan , dimana , = dan , = . Misalkan,

= , = , , − [ , ] (2.15)

Maka

(i) Jika > dan , < , , adalah sebuah nilai maksimum lokal;

(ii) Jika > dan , > , , adalah sebuah nilai minimum lokal;

(iii) Jika < dan , bukan sebuah nilai ekstrem ( , adalah sebuah titik pelana);

(iv) Jika = , uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat disimpulkan.

Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi dua variabel, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah,

1. Tentukanlah turunan-turunan parsial pertama dan kedua dari , yakni

, , , , , , , dan , atau ,

2. Tentukanlah titik kritis (stasioner) fungsi yakni dengan menetapkan,

, = dan , =

3. Bentuklah persamaan pembantu,

= , = , , − [ , ] (2.16)

Dan selanjutnya selidikilah jenis nilai ekstrem pada titik kritis dengan menggunakan uji turunan ke dua (Prayudi, 2009).

Turunan kedua juga bisa digunakan mencari titik-titik belok dari fungsi tersebut jika ada, yaitu suatu titik pada mana suatu fungsi berubah bentuknya dari terbuka ke atas ke terbuka ke bawah.

Suatu titik belok dapat terjadi jika turunan keduanya sama dengan nol. Tidak semua titik-titik dimana turunan keduanya sama dengan nol, adalah titik belok. Titik belok bisa juga terjadi pada nilai = dimana ′′ tidak tentu. Dengan demikian suatu titik belok suatu fungsi pada = bisa terjadi:

1. ′′ =

2. ′′ tidak tentu.

2.3. Metode Pengali Lagrange

Andaikan akan dicari nilai ekstrem relatif fungsi dari dengan variabel dan kendala kesamaan seperti berikut:

Minimumkan (2.17)

= , , … , dengan kendala

= , = , , … ,

Ada suatu ketentuan bahwa , hal ini dikarenakan jika > maka persamaan tersebut tidak bias diselesaikan.

Fungsi Lagrange untuk kasus ini didefinisikan dengan memperkenalkan pengali Lagrange � untuk setiap kendala sebagai

, , … , , � , � , … , � = + ∑ � =

, , … , . Dengan memperlakukan sebagai sebuah fungsi + variabel , , … , , � , � , … , � , maka syarat perlu untuk ekstrimum dari yang juga merupakan solusi masalah asal, diberikan oleh

� � =

�

� + ∑ �₌ �

�

�� = = , = , , … , . Persamaan di atas melibatkan + persamaan dalam + variabel tak

diketahui dan � . Penyelesaian dari persamaan di atas adalah ∗ ₌ ∗_, ∗_{, … ,} ∗ _{dan �}∗_{= �}∗_{, �}∗_{, … , �}∗ _{(Djoko Luknanto, 2000).}

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di dalam suatu keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit) yang diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Kondisi tersebut akan dimodelkan dalam fungsi tujuan, dimana fungsi tujuan itu dapat berupa fungsi linier dan fungsi non linier (Parwadi Moengin, 2011).

Secara matematis fungsi tujuan dapat dinyatakan sebagai berikut. Maksimum

Atau Minimum

Program linier merupakan salah satu teknik riset operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi dimana fungsi tujuan dan kendalanya adalah fungsi linier. Model matematika pemrograman linier dapat ditulis dalam bentuk formulasi umum sebagai berikut:

Masalah Maksimasi.

Maksimum: = + + + (1.1)

dengan kendala:

, , … ,

Masalah Minimasi.

Minimum: = + + + (1.2)

dengan kendala:

+ + +

, , … ,

Keterangan:

= Koefisien fungsi tujuan = Koefisien fungsi kendala

= Nilai fungsi kendala

Program nonlinier juga merupakan teknik riset operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi dimana fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk fungsi nonlinier pada salah satu atau keduanya. Dalam menyelesaikan permasalahan nonlinier terdapat dua kondisi yaitu nonlinier tanpa kendala dan nonlinier dengan kendala.

Program nonlinier berkendala mempunyai bentuk umum sebagai berikut: Maksimum/ Minimum

= dengan = { , … , }

dengan kendala

= (1.3)

Keterangan:

= Fungsi tujuan = Fungsi kendala

Nilai = , , , … , Nilai = , , , … ,

Salah satu metode untuk menyelesaikan optimasi tanpa kendala adalah dengan menggunakan metode kalkulus differensial. Tetapi permasalahan optimasi dengan kendala belum tentu dapat diselesaikan dengan metode tersebut. Metode lain yang digunakan untuk menyelesaikan optimasi dengan kendala adalah dengan cara subsitusi. Dengan metode ini, salah satu variabel bebas, misalnya variabel , dari persamaan terkendala disubsitusikan pada fungsi tujuan yang akan dicari nilai ekstrimnya. Dengan metode ini, maka akan dihasilkan suatu fungsi dengan dua variabel bebas. Sebagai hasilnya, masalah ekstrim terkendala diselesaikan melalui penyelesaian ekstrim tanpa kendala fungsi dua variabel. Namun demikian, metode ini tidak selalu membawa hasil, bilamana batasan-batasannya tidak hanya melibatkan satu persamaan kendala.

Disamping itu, masalah-masalah optimasi dengan kendala sering timbul dalam masalah-masalah nyata, dimana batasan-batasannya tidak hanya satu fungsi. Hal ini mengakibatkan tidak mudah untuk menyederhanakan masalah, sedemikian sehingga diperoleh satu fungsi saja dengan dua variabel bebas. Di samping itu, masalah yang sering timbul dengan metode subsitusi adalah tidak mudahnya menentukan titik kritisnya. Salah satu metode untuk mengatasi masalah optimasi dengan kendala adalah metode Lagrange. Metode ini dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa optimasi dengan kendala, nilai ekstrimnya selalu terletak pada titik kritis. Metode Lagrange ini menyediakan suatu metode aljabar untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah optimasi dengan kendala dapat diatasi.

Metode pengali Lagrange (Multiplier Lagrange) dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Metode ini dapat digunakan untuk menangani permasalahan program nonlinier dimana fungsi tujuannya memiliki kendala. Untuk memecahkan masalah optimasi dengan menggunakan fungsi Lagrange dilakukan beberapa langkah sebagai berikut:

Pertama, membentuk suatu fungsi Lagrange dimana dibentuk suatu fungsi

∶ ℝ → ℝ�_{, yang didefinisikan dengan}

, � = + ∑ = � (1.4)

Keterangan:

= Fungsi Lagrange = Fungsi tujuan = Fungsi kendala

� = Variabel slack

Kedua, mencari semua solusi , � dalam himpunan persamaan

�

� , � = , = , , , … , .

dimana

�

� , � , � .

� _{� , � = ,}� = , , , … , .

Setiap solusi dari sistem persamaan ini disebut titik kritis dari L.

Ketiga, menghitung nilai dari pada setiap titik dalam himpunan

{ | � ℎ , � }.

Fungsi Lagrange bermanfaat dalam mentransformasi persoalan optimasi berkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala. Kebanyakan persoalan-persoalan optimasi dengan kendala dapat diselesaikan setelah persoalan-persoalan tersebut diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala.

Berdasarkan latar belakang di atas, pada penelitian ini penulis akan meneliti tentang bagaimana karakteristik fungsi pengali Lagrange dalam penyelesaikan

permasalahan optimasi. Oleh karena itu penulis memilih judul “Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala ”.

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana karakteristik fungsi Lagrange dalam menyelesaikan permasalahan optimasi berkendala.

1.3. Batasan Masalah

Adapun batasan dalam penelitian ini diantaranya adalah:

1. Metode penyelesaian optimasi yang digunakan adalah metode Lagrange.

2. Karakteristik fungsi Lagrange dirujuk dari jurnal Lagrange Multiplier and their Application (Huijuan Li, 2008) dan dari jurnal Constrained Optimization Using Lagrange Multipliers (Henri P. Gavin and Jeffrey T. Scruggs, 2016).

1.4. Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian skripsi ini.

Metode Lagrange adalah metode yang paling penting dan berguna untuk optimasi berdasarkan kalkulus. Hal ini dapat digunakan untuk mengoptimalkan fungsi yang bergantung pada sejumlah variabel independen dan ketika kendala fungsional terlibat. Dengan demikian, dapat diterapkan untuk berbagai situasi praktis.

Metode Lagrange pada dasarnya mengubah masalah sebelumnya untuk menemukan solusi minimum atau maksimum dari sistem persamaan aljabar, sehingga memberikan skema yang baik untuk menentukan optimal. Fungsi tujuan

dan kendala digabungkan menjadi fungsi baru , yang dikenal sebagai ekspresi Lagrange (Usman Efendi, 2012).

Masalah optimasi dapat diselesaikan dengan berbagai metode, salah satunya adalah metode Lagrange. Metode ini dapat digunakan untuk mendapatkan solusi dari masalah optimasi. Dengan menggunakan metode Lagrange, nilai ekstrem dapat diperoleh, sehingga solusi optimal dapat dicari. Pada penelitian ini, pendapatan maksimum suatu perusahaan UD. Sari Madu dibatasi oleh beberapa kendala. Setelah fungsi tujuan dan fungsi kendala dimodelkan maka pendapatan maksimal dapat dicari. Sehingga pendapatan UD. Sari Madu dapat menjadi optimal.

Dalam pembentukan portofolio, seorang investor berusaha memaksimumkan return yang diharapkan (expected return) dari investasi dengan tingkat resiko terendah. Fungsi lagrange digunakan untuk mengoptimalkan besarnya komposisi atau proporsi aset dalam portofolio berdasarkan maksimum mean return yang diberikan. (Di Asih I Maruddani, 2009). Mengoptimalkan portofolio saham dengan menggunakan metode pengali Lagrange dimana pada penelitian ini membahas pemecahan model portofolio investasi Markowitz untuk aset di pasar saham Bursa Efek Kolombia (Eduardo, 2013).

Penerapan metode pengali Lagrange dalam bidang ekonomi dimana tujuan dari penelitian ini adalah menentukan nilai optimum suatu fungsi optimasi bersyarat dan menyelesaikan masalah optimasi bersyarat tersebut dengan menggunakan metode pengali Lagrange.

Metode pengali Lagrange paling banyak dipakai dengan pertimbangan bahwa prinsip kerjanya sederhana dan mudah untuk dimengerti. Metode pengali Lagrange digunakan untuk memperoleh nilai maksimum atau minimum dari fungsi objektifnya dengan kendala berbentuk persamaan. Selain itu pengali Lagrange juga digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dalam bentuk program nonlinier. Untuk menentukan nilai ekstrim fungsi berkendala tersebut digunakan metode pengali Lagrange, yaitu dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil

kali pengali Lagrange atau λ dengan fungsi kendalanya (Rahmad Hidayat, 2015).

Dalam menjalankan bisnisnya, PT. Petrokimia Gresik memiliki dan mengoperasikan pembangkit listrik tenaga gas dan pembangkit listrik tenaga uap. Untuk

mencapai kondisi operasi yang optimal dan ekonomis maka PT. Petrokimia Gresik membagi daya pada setiap pembangkit listriknya. Untuk itu disimulasikan perhitungan ekonomis pembangkit listrik dengan metode lagrange multiplier yang iterasinya diselesaikan dengan metoda Newton-Raphson, dan karakteristik setiap pembangkit yang didapat diminimalisasi dengan metode lagrange multiplier dengan data yang diambil dari tiap pembangkit.

Hubungan antara biaya bahan bakar terhadap daya aktif yang dihasilkan pembangkit dirumuskan oleh persamaan berikut:

= + + (1.8)

dimana:

= biaya operasi tiap unit pembangkit ($/h)

= daya keluaran tiap unit pembangkit (MW)

, , = koefisien biaya operasi pembangkit

= , , , … , (untuk pembangkit)

Biaya bahan bakar dan pembangkit tenaga listrik dari suatu sistem tenaga listrik dengan memperhitungkan susut daya pada saluran transmisi dinyatakan seperti pada persamaan berikut:

= ∑ = + + + + � �

=

.

Total daya yang disuplai oleh pembangkit ke sistem adalah

= ∑ = + + + + �

=

.

Fungsi biaya persamaan di atas akan diminimalkan dengan memperhatikan fungsi kendala operasi (Constraining), yaitu persamaan neraca daya.

�+ �− ∑ =

= .

Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah optimasi adalah dengan Metode Pengali Lagrange. Sebuah fungsi baru , dibentuk dengan menggabungkan fungsi biaya pembangkit dan persamaan kendala sistem, yaitu:

�� �� =

�

�� − � − �� ��

Penelitian ini menggunakan software MATLAB 7.6.0 (R2008a) dengan membuat program simulasi perhitungan pembebanan ekonomis pada PLTU dan PLTG dengan menggunakan Metode Pengali Lagrange.

Berdasarkan simulasi, pada permintaan beban rendah, PLTU membangkitkan daya yang lebih besar dari pada PLTU dengan batasan yang ada. Berdasarkan simulasi pada permintaan beban rendah 16 MW, PLTU membangkitkan daya sebesar 13,48 MW dan PLTG membangkitkan daya sebesar 3,05 MW. Biaya pembangkitan sebelum dilakukan optimasi memiliki biaya yang lebih mahal dari pada sesudah dilakukan optimasi. Berdasarkan simulasi dapat disimpulkan bahwa proses optimasi pembangkit dapat memenuhi permintaan beban pada suatu sistem dengan biaya operasi seminimal mungkin (Joko Susilo, Mochammad Facta, dan Susatyo Handoko, 2014).

Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim terkendala adalah metode Lagrange. Metode ini dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas, nilai ekstrimnya selalu terletak pada titik kritis. Metode Lagrange ini menyediakan suatu metode aljabar untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrim terkendala dengan metode ini dapat diatasi.

Andaikan akan dicari nilai ekstrim relatif fungsi , , dengan kendala

, , = . Langkah pertama metode Lagrange adalah membentuk fungsi baru

de ga e asukka variabel baru λ, ya g disebut de ga faktor pe gali Lagra ge. Fu gsi

baru tersebut adalah,

, , , � = , , + � , , (1.13)

Langkah kedua adalah menentukan titik kritis dari fungsi . Titik kritis diperoleh dengan cara menyelesaikan secara simulkan dari,

, , , � = (1.14)

, , , � =

, , , � =

� , , , � = , , =

Langkah ketiga adalah menentukan nilai ekstrim terkendala. Bilamana ( , , , � adalah titik kritis dari , , , � maka ( , , adalah juga merupakan

titik kritis dari , , , � dengan kendala , , . Jadi nilai ektrim , , dengan

kendala , , adalah , , .

Tentukan nilai maksimum dan atau minimum dari,

, , = + + (1.15)

pada elips yang merupakan perpotongan silinder lingkaran tegak, − +

− = , dan bidang + = .

Penyelesaian:

Menentukan fungsi Lagrange. Dari persamaan fungsi kendala, diambil

, , = − − − − (1.16)

ℎ , , = − −

Selanjutnya bentuk fungsi pembantu Lagrange,

, , , �, � = , , + � , , + �ℎ , , (1.17)

= + + + � − − − − + �

− −

di a a λ da � adalah faktor pengali Lagrange.

Menentukan titik kritis dengan menurunkan secara parsial fungsi , , , �, � maka dihasilkan,

, , , �, � = − � − − �

, , , �, � = − � − − �

, , , �, � = + � (1.18)

� , , , �, � = − − − −

� , , , �, � = − −

Dengan menetapkan , , , _� dan _� sama dengan nol dihasilkan,

− � − − � = didapatkan − = − � �

− � − − � = didapatkan − = − � �

+ � = didapatkan � = −

− − − − = atau − − − =

− − = atau = −

Dengan mensubsitusikan � = − pada = dan = dihasilkan,

− = − −_{� = �}

Selanjutnya subsitusikanlah, − =

� dan − =� pada � = , maka dihasilkan,

� �+ � �= ��+ �� =

�� =

Karena � ≠ maka dihasilkan � = atau � = ± . Sehingga untuk � = , dihasilkan

− = diperoleh =

− = diperoleh =

= [ + =

Sedangkan untuk � = − , dihasilkan

− =

− diperoleh = −

− = ₋ diperoleh = −

= [ − + − ] = −

Jadi titik kritis adalah , , , , − dan − , − , − , − , − .

Menentukan nilai ekstrim. Karena titik kritis fungsi , , , �, � adalah

, , , , − dan − , − , − , − , − maka titik kritis fungsi , , adalah

, , dan − , − , − . Jadi nilai ekstrim

, , = + + dengan kendala − + − = , dan + =

adalah

(1) , , = + + = , merupakan nilai maksimum

(2) − , − , − = − + − + − = − , merupakan nilai minimum (Prayudi, 2009).

1.5. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk menganalisis bagaimana karakteristik fungsi Lagrange dalam menyelesaikan permasalahan optimasi berkendala.

1.6. Kontribusi Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Dapat dijadikan sebagai bahan pembelajaran bagi pembaca.

2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan pertimbangan terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.

1.7. Metodologi Penelitian

Metode penelitian yang digunakan adalah dengan menggunakan metode studi literatur yang bersifat penjelasan dan uraian. Dalam penelitian ini diuraikan tentang analisis karakteristik dari fungsi Lagrange yang dinyatakan dalam bentuk pengali Lagrange untuk menyelesaikan permasalahan optimasi berkendala.

ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN

OPTIMASI BERKENDALA

ABSTRAK

Metode pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun 1736. Metode pengali Lagrange merupakan metode yang digunakan untuk menangani permasalahan program nonlinier dimana fungsi tujuannya memiliki kendala persamaan dan pertidaksamaan. Banyak masalah optimasi tidak dapat diselesaikan dikarenakan kendala yang membatasi fungsi objektif. Metode pengali Lagrange dapat mentransformasi persoalan optimasi berkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala. Dengan demikian persoalan optimasi dapat diselesaikan.

ANALYSIS OF CHARACTERISTIC IN LAGRANGE FUNCTION TO SOLVING OPTIMIZATION PROBLEM WITH CONSTRAINTS

ABSTRACT

Lagrange multiplier method proposed by Joseph Louis Lagrange in 1736. Lagrange multiplier method is the method used to overcome the problems of nonlinear program where the objective function has the constraint equations and inequalities. Many optimization problems can not be solved because of the constraints that limit the objective function. Lagrange multiplier method can transform the optimization problem with constraints into the optimization problem without constraints. Thus the optimization problem can be solved.

Keywords: Optimization, Optimization With Constraints, Lagrange Multiplier Method

ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM

MENYELESAIKAN PERMASALAHAN

OPTIMASI BERKENDALA

SKRIPSI

THERESIA M. MANIK

120803069

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSTITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM

MENYELESAIKAN PERMASALAHAN

OPTIMASI BERKENDALA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai

gelar Sarjana Sains

THERESIA M. MANIK

120803069

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSTITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

PERSETUJUAN

Judul : Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange

Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala

Kategori : Skripsi

Nama : Theresia M. Manik

Nomor Induk Mahasiswa : 120803069

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

(FMIPA) Universitas Sumatera Utara Disetujui di

Medan, Juni 2016

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Esther S M Nababan, M. Sc Dr. Parapat Gultom, MSIE NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19610130 198503 1 002

Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D NIP 196209011988031002

PERNYATAAN

ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN

OPTIMASI BERKENDALA

SKRIPSI

Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2016

Theresia M. Manik 120803069

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas kemurahan, berkat dan kasih karunia-Nya penulis dimampukan untuk menyelesaikan penyusunan skripsi yang berjudul “Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala”.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah dibantu dan didukung oleh berbagai pihak dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Parapat Gultom, MSIE dan Ibu Dr. Esther S M Nababan, M. Sc, selaku pembimbing, Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si, selaku pembanding yang telah menyediakan waktu serta memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyusunan skripsi ini.

2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

3. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S, selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam serta Pembantu dekan FMIPA USU .

4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi di lingkungan Departemen Matematika, serta seluruh civitas akademika di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. 5. Orang tua penulis Ayahanda Madden Manik, S. Pd., dan Ibunda Bungasita

Simarmata, S. Pd yang senantiasa mendoakan, memberi semangat dan memberikan dukungan baik secara moril maupun material kepada penulis sejak awal perkuliahan hingga selesainya skripsi ini.

6. Kakak dan adik penulis (Ferawati, Chrismes, Elyasi, Jose dan Tadius) yang selalu memberi semangat serta motivasi dalam penyusunan skripsi ini serta keluarga besar yang senantiasa mendoakan penulis.

7. Rekan-rekan mahasiswa/i jurusan matematika khususnya Matematika 2012 yang telah memberikan pemikiran, semangat, motivasi dan dukungan bagi penulis terkhusus untuk sahabat penulis yaitu Siska dan Mei.

8. Rekan-rekan sepelayanan Paduan Suara Gloria UKM KMK St. Albertus Magnus USU yang telah membantu bertumbuh dalam Tuhan melalui setiap doa, semangat dan motivasi bagi penulis.

9. Rekan-rekan Badan Pengurus Harian (BPH) Paduan Suara Gloria UKM KMK St. Albertus Magnus USU Periode 2014-2016 (Avery, Clinton, Melva, Monita, Hertati, Fritz, dan Buntora) yang telah membantu dalam setiap doa, semangat dan motivasi bagi penulis.

Penulis menyadari sepenuhnya keterbatasan ilmu pengetahuan dan kemampuan penulis, sehingga skripsi ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu, segala saran dan kritik dari pembaca skripsi ini sangat penulis harapkan demi kesempurnaan skripsi ini.

Kiranya Tuhan Yesus Kristus melimpahkan rahmat dan kasih-Nya atas segala jerih payah, bantuan serta pengorbanan yang telah diberikan oleh semua pihak dalam membantu penyusunan skripsi ini.

Medan, Juni 2016 Penulis

ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN

OPTIMASI BERKENDALA

ABSTRAK

Metode pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun 1736. Metode pengali Lagrange merupakan metode yang digunakan untuk menangani permasalahan program nonlinier dimana fungsi tujuannya memiliki kendala persamaan dan pertidaksamaan. Banyak masalah optimasi tidak dapat diselesaikan dikarenakan kendala yang membatasi fungsi objektif. Metode pengali Lagrange dapat mentransformasi persoalan optimasi berkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala. Dengan demikian persoalan optimasi dapat diselesaikan.

ANALYSIS OF CHARACTERISTIC IN LAGRANGE FUNCTION TO SOLVING OPTIMIZATION PROBLEM WITH CONSTRAINTS

ABSTRACT

Lagrange multiplier method proposed by Joseph Louis Lagrange in 1736. Lagrange multiplier method is the method used to overcome the problems of nonlinear program where the objective function has the constraint equations and inequalities. Many optimization problems can not be solved because of the constraints that limit the objective function. Lagrange multiplier method can transform the optimization problem with constraints into the optimization problem without constraints. Thus the optimization problem can be solved.

Keywords: Optimization, Optimization With Constraints, Lagrange Multiplier Method

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1. Pendahuluan

1.1. Latar belakang 1

1.2. Perumusan Masalah 5

1.3. Batasan Masalah 5

1.4. Tinjauan Pustaka 5

1.5. Tujuan Penelitian 11

1.6. Kontribusi Penelitian 11

1.7. Metodologi Penelitian 11

Bab 2. Landasan Teori

2.1. Optimasi 12

2.1.1. Pengertian Optimasi 12

2.1.2. Perumusan Masalah Optimasi 14

2.1.3. Klasifikasi Masalah Optimasi 15

2.1.4. Teknik Optimasi 20

2.2. Maksimum Dan Minimum 21

2.2.1. Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum 21

2.2.2. Teorema Titik Kritis 22

2.2.3. Titik Stasioner-Uji Turunan Pertama 23

2.2.4. Uji Turunan Kedua 24

2.3. Metode Pengali Lagrange 25

Bab 3. Hasil dan Pembahasan

3.1. Pengali Lagrange Dan Aplikasinya 27

3.1.1. Metode Pengali Lagrange 28

3.1.2. Pembuktian Matematis Untuk Metode

Pengali Lagrange 29

3.1.3. Penjelasan Geometri Pada Metode

Pengali Lagrange 31

3.1.4. Perluasan Metode Lagrange Dengan

Kendala Pertidaksamaan 32

3.1.5. Penerapan Metode Lagrange Pada

Sistem Operasi Daya Generator 35

3.2. Optimasi Berkendala Menggunakan Pengali Lagrange 37

Bab 4. Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 55

4.2 Saran 56

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1. Fungsi Maksimum-Minimum 21

3.1. Kontur Lingkaran dari Fungsi Objektif dan Daerah Layak 31 3.2. Fungsi Objektif �_� , � = + � −

untuk = dan = . ∗, �∗ = , 40

3.3. Fungsi Objektif �_� , � = + � −

untuk = − dan = . ∗, �∗ = , 42

3.4. Kurva Peningkatan Kendala 44

3.5. Kontur Fungsi Objektif dan Fungsi Kendala Kontur fungsi objektif

�� , , � , � = + . + + + � + + +

v

ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN

OPTIMASI BERKENDALA

ABSTRAK

Metode pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun 1736. Metode pengali Lagrange merupakan metode yang digunakan untuk menangani permasalahan program nonlinier dimana fungsi tujuannya memiliki kendala persamaan dan pertidaksamaan. Banyak masalah optimasi tidak dapat diselesaikan dikarenakan kendala yang membatasi fungsi objektif. Metode pengali Lagrange dapat mentransformasi persoalan optimasi berkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala. Dengan demikian persoalan optimasi dapat diselesaikan.

Kata Kunci: Optimasi, Optimasi Berkendala, Metode Pengali Lagrange

vi

ANALYSIS OF CHARACTERISTIC IN LAGRANGE FUNCTION TO SOLVING OPTIMIZATION PROBLEM WITH CONSTRAINTS

ABSTRACT

Lagrange multiplier method proposed by Joseph Louis Lagrange in 1736. Lagrange multiplier method is the method used to overcome the problems of nonlinear program where the objective function has the constraint equations and inequalities. Many optimization problems can not be solved because of the constraints that limit the objective function. Lagrange multiplier method can transform the optimization problem with constraints into the optimization problem without constraints. Thus the optimization problem can be solved.

Keywords: Optimization, Optimization With Constraints, Lagrange Multiplier Method

vii

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1. Pendahuluan

1.1. Latar belakang 1

1.2. Perumusan Masalah 5

1.3. Batasan Masalah 5

1.4. Tinjauan Pustaka 5

1.5. Tujuan Penelitian 11

1.6. Kontribusi Penelitian 11

1.7. Metodologi Penelitian 11

Bab 2. Landasan Teori

2.1. Optimasi 12

2.1.1. Pengertian Optimasi 12

2.1.2. Perumusan Masalah Optimasi 14 2.1.3. Klasifikasi Masalah Optimasi 15

2.1.4. Teknik Optimasi 20

2.2. Maksimum Dan Minimum 21

2.2.1. Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum 21

2.2.2. Teorema Titik Kritis 22

2.2.3. Titik Stasioner-Uji Turunan Pertama 23

2.2.4. Uji Turunan Kedua 24

2.3. Metode Pengali Lagrange 25

Bab 3. Hasil dan Pembahasan

3.1. Pengali Lagrange Dan Aplikasinya 27 3.1.1. Metode Pengali Lagrange 28 3.1.2. Pembuktian Matematis Untuk Metode

Pengali Lagrange 29

3.1.3. Penjelasan Geometri Pada Metode

Pengali Lagrange 31

3.1.4. Perluasan Metode Lagrange Dengan

Kendala Pertidaksamaan 32 3.1.5. Penerapan Metode Lagrange Pada

Sistem Operasi Daya Generator 35 3.2. Optimasi Berkendala Menggunakan Pengali Lagrange 37 3.2.1. Program Multivariabel Kuadrat 44

viii

Bab 4. Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 55

4.2 Saran 56

ix

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

2.1. Metode Penelitian Operasional 14

x

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1. Fungsi Maksimum-Minimum 21 3.1. Kontur Lingkaran dari Fungsi Objektif dan Daerah Layak 31 3.2. Fungsi Objektif �_� , � = + � −

untuk = dan = . ∗, �∗ = , 40 3.3. Fungsi Objektif �_� , � = + � −

untuk = − dan = . ∗, �∗ = , 42 3.4. Kurva Peningkatan Kendala 44 3.5. Kontur Fungsi Objektif dan Fungsi Kendala Kontur fungsi objektif

�� , , � , � = + . + + + � + + +