Permasalahan Kombinatorial Dalam Menyelesaikan Sistem Linier
PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
TESIS
Oleh
MELIYA NINGRUM
137021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh:
MELIYA NINGRUM
137021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
Nama Mahasiswa : Meliya Ningrum
Nomor Pokok
: 137021009
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 1 Juni 2015
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal : 1 Juni 2015
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota
: 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Mardiningsih, M.Si
3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan,
Penulis,
Meliya Ningrum
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Sistem linier dan kombinatorial optimisasi merupakan topik yang luas. Hampir
semua kasus terdapat gagasan sparsity untuk masalah kombinatorial yang muncul.
Matriks sparse merupakan bentuk dasar dari interaksi kedua subyek yang tampaknya berbeda. Sebagai inti dari banyak perhitungan aljabar linier yang terdiri
dari solusi sistem linier sparse dilakukan dengan metode langsung atau metode
iteratif. Akan diteliti beberapa masalah kombinatorial, ide-ide dan algoritma yang
berkaitan dengan perhitungan. Pada metode langsung, akan didiskusikan tentang
matriks ordering (pengalamatan matriks), pencocokan bipartisi dan matriks skala
untuk pivoting yang lebih baik, penugasan dan penjadwalan untuk menyelesaikan
multifrontal paralel.
Kata kunci: Kombinatorial optimisasi, Matriks jarang, Penyelesaian sistem
linier
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Linear system and combinatorial optimization are vast topics. In virtually all
cases there should be a notion of sparsity for a combinatorial problem to arise.
Sparse matrices form the basis of the interaction of these two seemingly disparate
subjects. As the core of many linear algebra computations consists of the solution
of sparse linear system by direct or iterative methods. Would survey some combinatorial problems, ideas and algorithms relating to these computations. On the
direct methods side, will discuss issues such as matrix ordering, bipartite matching
and matrix scaling for better pivoting, task assignment and scheduling for parallel
multifrontal solvers.
Keywords: Combinatorial optimization, Sparse matrices, Linear system solution
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT
yang telah memberikan berkat dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER. Tesis ini merupakan salah satu syarat
untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya
kepada :
Prof. Subhilhar, PhD selaku Pejabat Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan juga merupakan Pembimbing Pertama yang telah banyak
memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak
memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Penguji Pertama yang telah banyak memberikan
bimbingan serta kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku Penguji Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada
penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA
USU tahun 2013 yang telah memberikan bantuan moril serta motivasi kepada
penulis dalam penulisan tesis ini.
Tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Muliati dan ayahanda Amran
yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, serta adik-adik
terkasih M. Rizki Ramadhan dan Nanda Kurnia Farhani. Terima kasih juga untuk
Nano Sulistio yang telah memberikan semangat dan motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku, khususnya M.
Romi Syaputra, Isnaini Halimah Rambe dan Evi Syafitri Pohan serta rekan-rekan
lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terima kasih.
Medan,
Penulis,
Meliya Ningrum
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Meliya Ningrum dilahirkan di Bandar Setia pada tanggal 03 April 1990 dari
pasangan Bapak Amran & Ibu Muliati. Penulis lulus dari pendidikan Sekolah
Dasar Negeri 106811 pada tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri
1 Percut Sei Tuan pada tahun 2005, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1
Percut Sei Tuan tahun 2008. Pada tahun 2008 memasuki tingkat Perguruan
Tinggi di Universitas Sumatera Utara Fakultas MIPA jurusan (S-1) Matematika
bidang Statistik dan lulus tahun 2012.
Pada tahun 2013, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika di Universitas Sumatera Utara. Selain kegiatan akademik,
penulis juga aktif di berbagai kegiatan organisasi baik internal maupun eksternal kampus. Pada tahun 2013 penulis dipercayakan sebagai asisten laboratorium
komputer D-3 Statistik, Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
4
1.5 Metodologi Penelitian
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5
2.1 Sistem Sparse
5
2.2 Preconditioner
6
2.3 Beberapa Penelitian Permasalahan Kombinatorik dalam Menyelesaikan Sistem Linier
7
BAB 3 SISTEM LINIER DAN GRAF
9
3.1 Sistem Linier
9
3.2 Graf
10
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2.1 Matriks diagonal dan matriks ketetanggaan
14
3.2.2 Matriks bersisian (incidence)
15
BAB 4 METODE LANGSUNG
19
4.1 Eliminasi Gauss
19
4.2 Ordering untuk Sparsity
21
4.3 Pencocokkan dan Penskalaan
27
4.4 Eliminasi Pohon
30
4.5 Metode Multifrontal
31
4.6 Pendekatan Pohon Eliminasi dan Multifrontal
34
BAB 5 KESIMPULAN
40
5.1 Kesimpulan
40
5.2 Saran
40
DAFTAR PUSTAKA
41
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
4.1
Algoritma Gauss
20
4.2
Algoritma minimum degree
24
4.3
Beberapa kode program dan webpage/ alamat email
33
4.4
Kode program, pemilihan ordering dan algoritma faktorisasi
33
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1
Graf tak berarah dengan 5 verteks
12
3.2
Graf berarah dengan 4 verteks
13
3.3
Graf bipartisi dengan 9 verteks
14
3.4
Hubungan graf dengan matriks
16
4.1
(a)Matriks sparse simetris dan (b)Graf eliminasi
21
4.2
Gambaran proses eliminasi dari pivot 1
23
4.3
Contoh pemotongan bertingkat
25
4.4
Graf pohon matriks simetris yang berfill
36
4.5
Inisialisasi graf 13 titik
36
4.6
Penggabungan graf
37
4.7
Matriks yang berfill dan graf eleminasinya
37
x
Universitas Sumatera Utara
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
TESIS
Oleh
MELIYA NINGRUM
137021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh:
MELIYA NINGRUM
137021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
Nama Mahasiswa : Meliya Ningrum
Nomor Pokok
: 137021009
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 1 Juni 2015
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal : 1 Juni 2015
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota
: 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Mardiningsih, M.Si
3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan,
Penulis,
Meliya Ningrum
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Sistem linier dan kombinatorial optimisasi merupakan topik yang luas. Hampir
semua kasus terdapat gagasan sparsity untuk masalah kombinatorial yang muncul.
Matriks sparse merupakan bentuk dasar dari interaksi kedua subyek yang tampaknya berbeda. Sebagai inti dari banyak perhitungan aljabar linier yang terdiri
dari solusi sistem linier sparse dilakukan dengan metode langsung atau metode
iteratif. Akan diteliti beberapa masalah kombinatorial, ide-ide dan algoritma yang
berkaitan dengan perhitungan. Pada metode langsung, akan didiskusikan tentang
matriks ordering (pengalamatan matriks), pencocokan bipartisi dan matriks skala
untuk pivoting yang lebih baik, penugasan dan penjadwalan untuk menyelesaikan
multifrontal paralel.
Kata kunci: Kombinatorial optimisasi, Matriks jarang, Penyelesaian sistem
linier
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Linear system and combinatorial optimization are vast topics. In virtually all
cases there should be a notion of sparsity for a combinatorial problem to arise.
Sparse matrices form the basis of the interaction of these two seemingly disparate
subjects. As the core of many linear algebra computations consists of the solution
of sparse linear system by direct or iterative methods. Would survey some combinatorial problems, ideas and algorithms relating to these computations. On the
direct methods side, will discuss issues such as matrix ordering, bipartite matching
and matrix scaling for better pivoting, task assignment and scheduling for parallel
multifrontal solvers.
Keywords: Combinatorial optimization, Sparse matrices, Linear system solution
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT
yang telah memberikan berkat dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER. Tesis ini merupakan salah satu syarat
untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya
kepada :
Prof. Subhilhar, PhD selaku Pejabat Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan juga merupakan Pembimbing Pertama yang telah banyak
memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak
memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Penguji Pertama yang telah banyak memberikan
bimbingan serta kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku Penguji Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada
penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA
USU tahun 2013 yang telah memberikan bantuan moril serta motivasi kepada
penulis dalam penulisan tesis ini.
Tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Muliati dan ayahanda Amran
yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, serta adik-adik
terkasih M. Rizki Ramadhan dan Nanda Kurnia Farhani. Terima kasih juga untuk
Nano Sulistio yang telah memberikan semangat dan motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku, khususnya M.
Romi Syaputra, Isnaini Halimah Rambe dan Evi Syafitri Pohan serta rekan-rekan
lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terima kasih.
Medan,
Penulis,
Meliya Ningrum
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Meliya Ningrum dilahirkan di Bandar Setia pada tanggal 03 April 1990 dari
pasangan Bapak Amran & Ibu Muliati. Penulis lulus dari pendidikan Sekolah
Dasar Negeri 106811 pada tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri
1 Percut Sei Tuan pada tahun 2005, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1
Percut Sei Tuan tahun 2008. Pada tahun 2008 memasuki tingkat Perguruan
Tinggi di Universitas Sumatera Utara Fakultas MIPA jurusan (S-1) Matematika
bidang Statistik dan lulus tahun 2012.
Pada tahun 2013, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika di Universitas Sumatera Utara. Selain kegiatan akademik,
penulis juga aktif di berbagai kegiatan organisasi baik internal maupun eksternal kampus. Pada tahun 2013 penulis dipercayakan sebagai asisten laboratorium
komputer D-3 Statistik, Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
4
1.5 Metodologi Penelitian
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5
2.1 Sistem Sparse
5
2.2 Preconditioner
6
2.3 Beberapa Penelitian Permasalahan Kombinatorik dalam Menyelesaikan Sistem Linier
7
BAB 3 SISTEM LINIER DAN GRAF
9
3.1 Sistem Linier
9
3.2 Graf
10
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2.1 Matriks diagonal dan matriks ketetanggaan
14
3.2.2 Matriks bersisian (incidence)
15
BAB 4 METODE LANGSUNG
19
4.1 Eliminasi Gauss
19
4.2 Ordering untuk Sparsity
21
4.3 Pencocokkan dan Penskalaan
27
4.4 Eliminasi Pohon
30
4.5 Metode Multifrontal
31
4.6 Pendekatan Pohon Eliminasi dan Multifrontal
34
BAB 5 KESIMPULAN
40
5.1 Kesimpulan
40
5.2 Saran
40
DAFTAR PUSTAKA
41
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
4.1
Algoritma Gauss
20
4.2
Algoritma minimum degree
24
4.3
Beberapa kode program dan webpage/ alamat email
33
4.4
Kode program, pemilihan ordering dan algoritma faktorisasi
33
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1
Graf tak berarah dengan 5 verteks
12
3.2
Graf berarah dengan 4 verteks
13
3.3
Graf bipartisi dengan 9 verteks
14
3.4
Hubungan graf dengan matriks
16
4.1
(a)Matriks sparse simetris dan (b)Graf eliminasi
21
4.2
Gambaran proses eliminasi dari pivot 1
23
4.3
Contoh pemotongan bertingkat
25
4.4
Graf pohon matriks simetris yang berfill
36
4.5
Inisialisasi graf 13 titik
36
4.6
Penggabungan graf
37
4.7
Matriks yang berfill dan graf eleminasinya
37
x
Universitas Sumatera Utara