Strategi Kombinasi Untuk Menyelesaikan Quadratic Assignment Problem
STRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN
QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM
DISERTASI
Oleh
FAIZ AHYANINGSIH
108110008
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
STRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN
QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM
DISERTASI
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor
dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika
Universitas Sumatera Utara
Oleh
FAIZ AHYANINGSIH
108110008
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
LEMBAR PENGESAHAN DISERTASI
Judul Disertasi
:
Nama Mahasiswa
:
Nomor Induk Mahasiswa :
Program Studi
:
Fakultas
:
Strategi Kombinasi Untuk Menyelesaikan
Quadratic Assignment Problem
Faiz Ahyaningsih
108110008
Doktor Ilmu Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Menyetujui
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim Sitompul)
Ketua/Promotor
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota/Co. Promotor
Anggota/Co. Promotor
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Dekan FMIPA-USU
(Dr. Sutarman, M.Sc)
PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam
disertasi saya yang berjudul :
STRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN QUADRATIC
ASSIGNMENT PROBLEM
merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pembimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukannya.
Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program
sejenis di perguruan tinggi lainnya.
Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan
dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, 18 November 2015
Penulis
Faiz Ahyaningsih
ABSTRAK
Quadratic Assignment Problem (QAP) adalah suatu permasalahan kombinatorial
dalam menentukankan penempatan fasilitas pada lokasi tertentu sedemikian rupa
sehingga meminimumkan fungsi tujuan nonconvex yang dinyatakan dalam bentuk alur antar fasilitas, dan jarak antar lokasi. Oleh karena sifat non-konveksitas
dari masalah, maka diperlukan suatu titik awal yang ’baik’ untuk mendapatkan
solusi optimal yang lebih baik. Dalam makalah ini penulis mengusulkan strategi
kombinasi (dengan menggunakan random point strategy untuk mendapatkan titik
awal, kemudian dilanjutkan dengan forward exchange strategy dan backward exchange strategy) untuk mendapatkan solusi ’optimal’. Sebagai pengalaman komputasi penulis menyelesaikan problema Had12, Esc 16b, Esc 16c dan Esc 16h dari
QAPLIB. Akhirnya, penulis menyajikan studi komparatif antara Strategi Kombinasi, Data Guided Lexisearch Algorithm (DGLSA), dan Discrete Linear Reformulation (DLR). Studi komputasi menunjukkan efektivitas dari Strategi Kombinasi
yang penulis usulkan.
Kata kunci: QAP, Strategi kombinasi, Random point strategy, Forward exchange
strategy, Backward exchange strategy.
i
ABSTRACT
The quadratic assignment problem is a combinatorial problem of deciding the placement of facilities in specified locations in such a way as to minimize a nonconvex
objective function expressed in terms of flow between facilities, and distance between location. Due to the non-convexity nature of the problem, therefore to get a
good starting point is necessary in order to obtain a better optimal solution. In
this paper we propose a combination strategy (random point strategy to get initial
starting point and then forward exchange strategy and backward exchange strategy)
to get optimal solution. As a computational experience we solve the problem of
Had12, Esc 16b, Esc 16c and Esc 16h from QAPLIB. Finally, we present a comparative study between Combination Strategy, Data-Guided Lexisearch Algorithm
(DGLSA), and Discrete Linear Reformulation (DLR). The computational study
shows the effectiveness of our proposed Combination Strategy.
Keywords: QAP, Combination strategy, Random point strategy, Forward exchange strategy, Backward exchange strategy.
ii
PENGHARGAAN
Penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi ini.
Selama penyusunan disertasi ini, penulis banyak mendapat bantuan baik moril maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini
penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang tulus kepada :
1. Bapak Prof. Subhilhar, Ph. D., selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Sutarman M. Sc, selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Sumatera
Utara.
3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Doktor
Ilmu Matematika Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara, sekaligus
sebagai Co-Promotor dan anggota Komisi Pembimbing.
4. Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, selaku Promotor dan Ketua Komisi
Pembimbing, yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam penulisan
disertasi ini.
5. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M. Sc, selaku Co-Promotor dan Anggota Komisi
Pembimbing, yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam penyelesaian disertasi ini.
6. Seluruh staf pengajar pada program studi Doktor Ilmu Matematika, yang telah
memberikan ilmunya lewat perkuliahan, sehingga sangat membantu penulis
dalam memahami text book dan jurnal-jurnal.
7. Sdri Misiani selaku staf administrasi di program studi Doktor Ilmu Matematika,
yang telah membantu dalam hal administrasi dan surat menyurat.
Teristimewa penulis menyampaikan penghargaan serta terima kasih tak terhingga kepada suamiku tercinta Ahmad Marimin serta anak- anakku tersayang
Pramudita dan Miftahul Jannah yang telah memberikan support yang luar biasa
sehingga penulis bisa menyelesaikan pendidikan ini.
iii
Penulis menyadari bahwa disertasi ini masih banyak kekurangan dan jauh dari
sempurna, untuk itu penulis mohon kritik dan saran dari para pembaca semua.
Akhirnya penulis berharap semoga disertasi ini bermanfaat pada seluruh pembaca, dan semoga Allah SWT memberkati kita semua. Amin.
Medan, November 2015
Penulis,
Faiz Ahyaningsih
iv
RIWAYAT HIDUP
Faiz Ahyaningsih dilahirkan di Sukoharjo, 26 Juni 1966, anak ke dua dari 5 bersaudara
dari ayah H. Amir Rosyad dan ibu Hj. Siti Milati.
Pada tahun 1979 lulus dari SD Muhammadiyah Wonogiri, kemudian pada
tahun 1982 menyelesaikan Sekolah Menengah Pertama di SMP Al-Islam 1 Surakarta, dan tahun 1985 selesai dari Sekolah Menengah Atas, SMA Negeri 1 Margoyudan
Surakarta. Selesai dari SMA Negeri 1 Surakarta, penulis melanjutkan ke perguruan
tinggi di Universitas Gadjah Mada Yogyakarta pada Fakultas MIPA Jurusan Matematika, Program Studi Matematika Murni, dan memperoleh gelar Sarjana Sains
pada bulan Agustus 1991.
Di tahun 1990 penulis menikah dan dikaruniai dua orang anak putra dan
putri.
Tahun 1997 penulis diangkat menjadi staf pengajar di Departemen Matematika FMIPA UNIMED sampai sekarang.
Pada tahun 2004 penulis mengambil S2 di Universitas Sumatera Utara pada
Program Studi Magister Matematika, dan memperoleh gelar Master Sains pada
tahun 2006. Pada tahun 2010 penulis kembali melanjutkan pendidikan di Universitas Sumatera Utara pada Program Doktor Ilmu Matematika.
Pada saat ini penulis bertempat tinggal di Jl. Keruntung gg. Famili no 1
Medan.
Demikian riwayat hidup ini penulis buat dengan sebenar-benarnya.
Medan, November 2015
Penulis
Faiz Ahyaningsih
v
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK
i
ABSTRACT
ii
PENGHARGAAN
iii
RIWAYAT HIDUP
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR LAMPIRAN
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
1.5 Kontribusi Penelitian
5
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA
6
2.1 Masalah Optimisasi dan Program Non Linier
6
2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinear
8
2.3 Metode Homotopy Newton
8
2.4 Metode Newton-Rapshon
9
2.5 Optimisasi Nonlinear Berkendala dengan Pengali Lagrange
9
2.6 Heuristik
9
BAB 3 QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM
13
3.1 QAP Koopmann-Beckmann
14
3.2 Formulasi Kuadrat 0-1
14
vi
3.3 Formulasi Trace
15
3.4 Batas Bawah
16
3.4.1 Gilmore-Lawler Bound
16
3.4.2 Batas Dengan Nilai Eigen
17
3.4.3 Batas Berbasis Reformulasi
17
3.4.4 Prosedur Batas Yang Lain
17
3.5 Linierisasi
17
3.6 Generating Test Problems
18
3.7 Komputasi Kompleksitas
19
3.8 Algoritma Sub Optimal
22
3.8.1 Construction Methods
22
3.8.2 Limited Enumeration Methods
22
3.8.3 Improvement Methods
22
3.8.4 Simulated Annealing (SA) Methods
23
3.8.5 Genetic Algorithms (GA)
23
3.8.6 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP)
24
3.9 Algoritma Analitik
24
BAB 4 STRATEGI KOMBINASI
25
4.1 Strategi Untuk Mendapatkan Initial Starting Point
25
4.2 Heuristik Untuk Mendapatkan Solusi Fisibel Integer
26
4.2.1 Algoritma Forward Exchange Strategy
27
4.2.2 Algoritma Backward Exchange Strategy
28
BAB 5 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
5.1 Pengalaman Komputasi
29
29
5.1.1 Problema 12×12
42
vii
5.1.2 Problema 16×16
43
BAB 6 KESIMPULAN DAN SARAN
47
6.1 Kesimpulan
47
6.2 Saran
47
DAFTAR PUSTAKA
48
LAMPIRAN
52
viii
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
5.1
Hasil Running Program Dengan Berbagai Iterasi
42
5.2
Tabel Pencarian Untuk Esc 16
43
5.3
Perbandingan Hasil Strategi Kombinasi dan QAPLIB
44
5.4
Perbandingan Running Time DGLSA dan CS
44
5.5
Perbandingan Running Time DGLSA, DLR dan CS
45
5.6
Perbandingan Komputer yang Digunakan
45
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran
Judul
Halaman
1
Matriks Had12
52
2
Matriks Esc16b
53
3
Matriks Esc16c
53
4
Matriks Esc16h
54
5
Komunikasi Personal
54
x
QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM
DISERTASI
Oleh
FAIZ AHYANINGSIH
108110008
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
STRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN
QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM
DISERTASI
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor
dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika
Universitas Sumatera Utara
Oleh
FAIZ AHYANINGSIH
108110008
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
LEMBAR PENGESAHAN DISERTASI
Judul Disertasi
:
Nama Mahasiswa
:
Nomor Induk Mahasiswa :
Program Studi
:
Fakultas
:
Strategi Kombinasi Untuk Menyelesaikan
Quadratic Assignment Problem
Faiz Ahyaningsih
108110008
Doktor Ilmu Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Menyetujui
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim Sitompul)
Ketua/Promotor
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota/Co. Promotor
Anggota/Co. Promotor
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Dekan FMIPA-USU
(Dr. Sutarman, M.Sc)
PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam
disertasi saya yang berjudul :
STRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN QUADRATIC
ASSIGNMENT PROBLEM
merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pembimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukannya.
Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program
sejenis di perguruan tinggi lainnya.
Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan
dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, 18 November 2015
Penulis
Faiz Ahyaningsih
ABSTRAK
Quadratic Assignment Problem (QAP) adalah suatu permasalahan kombinatorial
dalam menentukankan penempatan fasilitas pada lokasi tertentu sedemikian rupa
sehingga meminimumkan fungsi tujuan nonconvex yang dinyatakan dalam bentuk alur antar fasilitas, dan jarak antar lokasi. Oleh karena sifat non-konveksitas
dari masalah, maka diperlukan suatu titik awal yang ’baik’ untuk mendapatkan
solusi optimal yang lebih baik. Dalam makalah ini penulis mengusulkan strategi
kombinasi (dengan menggunakan random point strategy untuk mendapatkan titik
awal, kemudian dilanjutkan dengan forward exchange strategy dan backward exchange strategy) untuk mendapatkan solusi ’optimal’. Sebagai pengalaman komputasi penulis menyelesaikan problema Had12, Esc 16b, Esc 16c dan Esc 16h dari
QAPLIB. Akhirnya, penulis menyajikan studi komparatif antara Strategi Kombinasi, Data Guided Lexisearch Algorithm (DGLSA), dan Discrete Linear Reformulation (DLR). Studi komputasi menunjukkan efektivitas dari Strategi Kombinasi
yang penulis usulkan.
Kata kunci: QAP, Strategi kombinasi, Random point strategy, Forward exchange
strategy, Backward exchange strategy.
i
ABSTRACT
The quadratic assignment problem is a combinatorial problem of deciding the placement of facilities in specified locations in such a way as to minimize a nonconvex
objective function expressed in terms of flow between facilities, and distance between location. Due to the non-convexity nature of the problem, therefore to get a
good starting point is necessary in order to obtain a better optimal solution. In
this paper we propose a combination strategy (random point strategy to get initial
starting point and then forward exchange strategy and backward exchange strategy)
to get optimal solution. As a computational experience we solve the problem of
Had12, Esc 16b, Esc 16c and Esc 16h from QAPLIB. Finally, we present a comparative study between Combination Strategy, Data-Guided Lexisearch Algorithm
(DGLSA), and Discrete Linear Reformulation (DLR). The computational study
shows the effectiveness of our proposed Combination Strategy.
Keywords: QAP, Combination strategy, Random point strategy, Forward exchange strategy, Backward exchange strategy.
ii
PENGHARGAAN
Penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi ini.
Selama penyusunan disertasi ini, penulis banyak mendapat bantuan baik moril maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini
penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang tulus kepada :
1. Bapak Prof. Subhilhar, Ph. D., selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Sutarman M. Sc, selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Sumatera
Utara.
3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Doktor
Ilmu Matematika Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara, sekaligus
sebagai Co-Promotor dan anggota Komisi Pembimbing.
4. Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, selaku Promotor dan Ketua Komisi
Pembimbing, yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam penulisan
disertasi ini.
5. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M. Sc, selaku Co-Promotor dan Anggota Komisi
Pembimbing, yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam penyelesaian disertasi ini.
6. Seluruh staf pengajar pada program studi Doktor Ilmu Matematika, yang telah
memberikan ilmunya lewat perkuliahan, sehingga sangat membantu penulis
dalam memahami text book dan jurnal-jurnal.
7. Sdri Misiani selaku staf administrasi di program studi Doktor Ilmu Matematika,
yang telah membantu dalam hal administrasi dan surat menyurat.
Teristimewa penulis menyampaikan penghargaan serta terima kasih tak terhingga kepada suamiku tercinta Ahmad Marimin serta anak- anakku tersayang
Pramudita dan Miftahul Jannah yang telah memberikan support yang luar biasa
sehingga penulis bisa menyelesaikan pendidikan ini.
iii
Penulis menyadari bahwa disertasi ini masih banyak kekurangan dan jauh dari
sempurna, untuk itu penulis mohon kritik dan saran dari para pembaca semua.
Akhirnya penulis berharap semoga disertasi ini bermanfaat pada seluruh pembaca, dan semoga Allah SWT memberkati kita semua. Amin.
Medan, November 2015
Penulis,
Faiz Ahyaningsih
iv
RIWAYAT HIDUP
Faiz Ahyaningsih dilahirkan di Sukoharjo, 26 Juni 1966, anak ke dua dari 5 bersaudara
dari ayah H. Amir Rosyad dan ibu Hj. Siti Milati.
Pada tahun 1979 lulus dari SD Muhammadiyah Wonogiri, kemudian pada
tahun 1982 menyelesaikan Sekolah Menengah Pertama di SMP Al-Islam 1 Surakarta, dan tahun 1985 selesai dari Sekolah Menengah Atas, SMA Negeri 1 Margoyudan
Surakarta. Selesai dari SMA Negeri 1 Surakarta, penulis melanjutkan ke perguruan
tinggi di Universitas Gadjah Mada Yogyakarta pada Fakultas MIPA Jurusan Matematika, Program Studi Matematika Murni, dan memperoleh gelar Sarjana Sains
pada bulan Agustus 1991.
Di tahun 1990 penulis menikah dan dikaruniai dua orang anak putra dan
putri.
Tahun 1997 penulis diangkat menjadi staf pengajar di Departemen Matematika FMIPA UNIMED sampai sekarang.
Pada tahun 2004 penulis mengambil S2 di Universitas Sumatera Utara pada
Program Studi Magister Matematika, dan memperoleh gelar Master Sains pada
tahun 2006. Pada tahun 2010 penulis kembali melanjutkan pendidikan di Universitas Sumatera Utara pada Program Doktor Ilmu Matematika.
Pada saat ini penulis bertempat tinggal di Jl. Keruntung gg. Famili no 1
Medan.
Demikian riwayat hidup ini penulis buat dengan sebenar-benarnya.
Medan, November 2015
Penulis
Faiz Ahyaningsih
v
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK
i
ABSTRACT
ii
PENGHARGAAN
iii
RIWAYAT HIDUP
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR LAMPIRAN
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
1.5 Kontribusi Penelitian
5
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA
6
2.1 Masalah Optimisasi dan Program Non Linier
6
2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinear
8
2.3 Metode Homotopy Newton
8
2.4 Metode Newton-Rapshon
9
2.5 Optimisasi Nonlinear Berkendala dengan Pengali Lagrange
9
2.6 Heuristik
9
BAB 3 QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM
13
3.1 QAP Koopmann-Beckmann
14
3.2 Formulasi Kuadrat 0-1
14
vi
3.3 Formulasi Trace
15
3.4 Batas Bawah
16
3.4.1 Gilmore-Lawler Bound
16
3.4.2 Batas Dengan Nilai Eigen
17
3.4.3 Batas Berbasis Reformulasi
17
3.4.4 Prosedur Batas Yang Lain
17
3.5 Linierisasi
17
3.6 Generating Test Problems
18
3.7 Komputasi Kompleksitas
19
3.8 Algoritma Sub Optimal
22
3.8.1 Construction Methods
22
3.8.2 Limited Enumeration Methods
22
3.8.3 Improvement Methods
22
3.8.4 Simulated Annealing (SA) Methods
23
3.8.5 Genetic Algorithms (GA)
23
3.8.6 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP)
24
3.9 Algoritma Analitik
24
BAB 4 STRATEGI KOMBINASI
25
4.1 Strategi Untuk Mendapatkan Initial Starting Point
25
4.2 Heuristik Untuk Mendapatkan Solusi Fisibel Integer
26
4.2.1 Algoritma Forward Exchange Strategy
27
4.2.2 Algoritma Backward Exchange Strategy
28
BAB 5 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
5.1 Pengalaman Komputasi
29
29
5.1.1 Problema 12×12
42
vii
5.1.2 Problema 16×16
43
BAB 6 KESIMPULAN DAN SARAN
47
6.1 Kesimpulan
47
6.2 Saran
47
DAFTAR PUSTAKA
48
LAMPIRAN
52
viii
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
5.1
Hasil Running Program Dengan Berbagai Iterasi
42
5.2
Tabel Pencarian Untuk Esc 16
43
5.3
Perbandingan Hasil Strategi Kombinasi dan QAPLIB
44
5.4
Perbandingan Running Time DGLSA dan CS
44
5.5
Perbandingan Running Time DGLSA, DLR dan CS
45
5.6
Perbandingan Komputer yang Digunakan
45
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran
Judul
Halaman
1
Matriks Had12
52
2
Matriks Esc16b
53
3
Matriks Esc16c
53
4
Matriks Esc16h
54
5
Komunikasi Personal
54
x