Strategi Kombinasi Untuk Menyelesaikan Quadratic Assignment Problem
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Quadratic Assignment Problem (QAP) adalah sebuah permasalahan kombinatorial dalam menempatkan fasilitas pada lokasi tertentu, sedemikian hingga
meminimumkan fungsi objektif kuadrat.
QAP adalah problem sulit non polinomial (NP-Hard) (Sahni dan Gonzales, 1976), yang mengandung arti bahwa ordo kecepatan algoritma penyelesaian
bertambah secara eksponensial apabila dimensi problema bertambah.
Aplikasi QAP dapat dilihat dalam berbagai masalah seperti backboard wiring,
computer manufacturing, fasilitas layout, scheduling, proses komunikasi, turbin
balancing, dan sebagainya.
Penerapan QAP awal mulanya dilakukan oleh Steinberg (1961), yang menerapkan QAP dalam hal backboard wiring problem, dalam hal ini, aik adalah jumlah
koneksi antara elektronik module i dan k, sedangkan bjl adalah jarak antar lokasi
j dan l dimana module dapat diletakkan. Permasalahan adalah menentukan posisi (letak) dari alat-alat sedemikian hingga meminimumkan panjang total kabel.
Kemudian Nugent et. al. (1968), menerapkan QAP dalam hal fasilitas lokasi. Selanjutnya Elshafei (1977) menerapkan QAP dalam hal layout rumah sakit, yang
dikembangkan kembali oleh Hahn (2000). Dalam hal ini aik adalah f low orangorang yang harus bergerak dari servis i ke servis k, dan bjl adalah waktu tempuh
dari ruang j ke ruang l.
1
2
Permasalahan di atas dapat diformulasikan sebagai berikut :
Minimum
X
Kendala
n
X
aik bjl xij xkl
i,j,k,l
xij = 1 i = 1, . . . , n
j=1
n
X
xij = 1 j = 1, . . . , n
i=1
0 ≤ xij ≤ 1
xij integer
Dimana xij = 1 jika komponen i diletakkan pada posisi j pada backboard,
atau klinik i ditempatkan pada lokasi j, dan xij = 0 jika sebaliknya.
Penerapan QAP dalam dunia penerbangan berkaitan dengan passenger recovery problem, baru-baru ini dikemukakan oleh Bisaillos et. al. (2011).
Penyelesaian QAP terbukti lebih sulit dibandingkan linear assignment problem (LAP). LAP dapat diselesaikan dengan mengubah integer programming menjadi linear programming. Solusinya akan selalu integer. Sedang QAP , tidak hanya
nonlinier tetapi juga non unimodal, Ahyaningsih et. al. (2006).
Penyelesaian QAP sangat sulit, karena memerlukan komputasi yang sangat
besar, mengingat definisi QAP yang merupakan kwartet sigma dari hasil kali
elemen-elemen matriks f low F , matriks jarak D, dan matriks penugasan X.
Melihat hasil-hasil penelitian tentang QAP di QAPLIB dari tahun ke tahun,
QAP masih menyisakan tanda tanya besar mengenai nilai optimumnya, karena
terlihat hasilnya masih ada gap dengan nilai optimumnya, yang besarnya bervariasi
tergantung ukuran matriks dan metode yang digunakan untuk menyelesaikannya.
Banyak paper yang membahas tentang penyelesaian QAP, dengan metode
heuristik maupun analitik, dan sampai saat ini pembahasan mengenai metode penyelesaian QAP ini masih menjadi perhatian banyak peneliti, diantaranya yang
dilakukan oleh Polak (2003), mengenai assembly papan sirkuit, Ahyaningsih et.
al.(2005) membahas tentang hasil-hasil dan generalisasi dari QAP, Drezner (2006)
3
yang mengemukakan tentang cluster point dan pola grey, kemudian Rendl dan
Sotirov (2007) mengemukakan tentang batas menggunakan bundle method, sedangkan Papamanthou et. al. (2008) mengemukakan tentang contoh kasus yang salah
dalam exterior point algorithm.
Metode-metode yang diajukan para peneliti terdahulu hanya menggunakan
satu metode saja, yaitu eksak, atau heuristic, ada juga yang dengan membuat reformulasi untuk QAP. Seperti penelitian Adams et. al. (2007) yang membuat reformulasi linier level 2, Nyberg dan Westerlund (2012) yang membuat reformasi linier
untuk QAP, kemudian Bisaillon (2011), mengajukan large neighbourhood search
heuristic, dan Palubeckis (2012), mengenai metode branch and bound.
Jadi, meskipun riset pengembangan telah dilakukan lebih dari enam dekade,
QAP masih menyisakan satu permasalahan optimisasi yang tersulit dan tidak
ada algoritma analitik (eksak) yang dapat menyelesaikan QAP dalam waktu yang
reasonable.
Dalam disertasi ini penulis mengusulkan sebuah strategi kombinasi untuk
menyelesaikan QAP. Persoalan yang diselesaikan berukuran 12 dan 16, kemudian
membandingkan hasil yang diperoleh, dengan hasil penelitian sebelumnya, yaitu
metode DGLSA (Data-Guided Lexisearch Algorithm), Ahmed (2014) dan DLR
(Discrete Linear Reformulation), Nyberg dan Westerlund (2012). Penulis juga
membuat sebuah program pembanding untuk menguji kebenaran hasil yang diperoleh.
1.2 Perumusan Masalah
Sifat tidak konveks dari suatu problema mengakibatkan diperlukannya suatu
titik awal yang baik, agar dapat diperoleh penyelesaian optimal global. Banyak
tulisan yang membahas tentang titik awal untuk QAP ini, seperti Anstreicher dan
Brixius (2001), Ahyaningsih (2006).
Mengenai penyelesaian masalah optimisasi nonlinear dengan kendala, Hamdy
(2003) menyatakan bahwa tidak terdapat algoritma umum untuk mencari penyelesaian optimisasi nonlinear, dikarenakan perilaku yang tidak beraturan dari fungsi
nonlinear itu.
4
Dalam QAP, tidak ada metode tunggal yang paling baik. Masing-masing
metode memiliki kelebihan dan kelemahan. Solusi dari QAP akan diperoleh dalam
waktu yang cukup lama, kadang-kadang hasil yang didapat konvergen ke nilai yang
salah, atau konvergen padahal tidak mempunyai nilai optimum, Bronson (1997).
Pencarian metode yang dapat digunakan secara efektif masih terus dilakukan.
Ahyaningsih dan Sitompul (2015), telah mengembangkan strategi kombinasi untuk
menyelesaikan QAP. Disertasi ini akan menyelesaikan QAP dengan menggunakan
strategi kombinasi, dengan menggabungkan metode heuristic dan metode eksak,
dimana metode heuristic digunakan pada saat menentukan starting point, dalam
hal ini dimunculkan random permutasi, sedangkan metode eksak digunakan pada
waktu menentukan solusi optimalnya.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini untuk menyelesaikan Quadratic Assignment Problem
berukuran 12 dan 16 yang diambil dari QAPLIB, dalam hal ini Had12, Esc16b,
Esc16c, dan Esc16h, dengan menggunakan strategi kombinasi, dimana untuk menentukan starting point digunakan random point strategy, kemudian dilanjutkan dengan forward exchange strategy dan backward exchange strategy yang dilakukan
sebanyak n iterasi, untuk mencari solusi optimal.
1.4 Manfaat Penelitian
Dalam penelitian ini terdapat beberapa manfaat, antara lain:
1. Untuk pengembangan metode Operation Research, khususnya dalam hal metode penyelesaian QAP, yang merupakan problem sulit Non Polynomial (NPhard).
2. Menjadi bahan referensi bagi para peneliti yang tertarik dengan QAP.
5
1.5 Kontribusi Penelitian
Dengan penelitian ini dapat diselesaikan QAP yang berukuran 12 dan 16
dari QAPLIB, yaitu Had12, Esc16b, Esc16c, dan Esc16h dalam waktu yang lebih
cepat dibandingkan dua metode sebelumnya, yaitu DGLSA dan DLR. Mengingat
penerapan QAP yang begitu luasnya, sementara metode penyelesaian dari QAP
masih terbatas, maka strategi kombinasi ini merupakan suatu terobosan yang sangat bermanfaat dalam mencari solusi dari QAP dengan waktu yang relatif cepat.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Quadratic Assignment Problem (QAP) adalah sebuah permasalahan kombinatorial dalam menempatkan fasilitas pada lokasi tertentu, sedemikian hingga
meminimumkan fungsi objektif kuadrat.
QAP adalah problem sulit non polinomial (NP-Hard) (Sahni dan Gonzales, 1976), yang mengandung arti bahwa ordo kecepatan algoritma penyelesaian
bertambah secara eksponensial apabila dimensi problema bertambah.
Aplikasi QAP dapat dilihat dalam berbagai masalah seperti backboard wiring,
computer manufacturing, fasilitas layout, scheduling, proses komunikasi, turbin
balancing, dan sebagainya.
Penerapan QAP awal mulanya dilakukan oleh Steinberg (1961), yang menerapkan QAP dalam hal backboard wiring problem, dalam hal ini, aik adalah jumlah
koneksi antara elektronik module i dan k, sedangkan bjl adalah jarak antar lokasi
j dan l dimana module dapat diletakkan. Permasalahan adalah menentukan posisi (letak) dari alat-alat sedemikian hingga meminimumkan panjang total kabel.
Kemudian Nugent et. al. (1968), menerapkan QAP dalam hal fasilitas lokasi. Selanjutnya Elshafei (1977) menerapkan QAP dalam hal layout rumah sakit, yang
dikembangkan kembali oleh Hahn (2000). Dalam hal ini aik adalah f low orangorang yang harus bergerak dari servis i ke servis k, dan bjl adalah waktu tempuh
dari ruang j ke ruang l.
1
2
Permasalahan di atas dapat diformulasikan sebagai berikut :
Minimum
X
Kendala
n
X
aik bjl xij xkl
i,j,k,l
xij = 1 i = 1, . . . , n
j=1
n
X
xij = 1 j = 1, . . . , n
i=1
0 ≤ xij ≤ 1
xij integer
Dimana xij = 1 jika komponen i diletakkan pada posisi j pada backboard,
atau klinik i ditempatkan pada lokasi j, dan xij = 0 jika sebaliknya.
Penerapan QAP dalam dunia penerbangan berkaitan dengan passenger recovery problem, baru-baru ini dikemukakan oleh Bisaillos et. al. (2011).
Penyelesaian QAP terbukti lebih sulit dibandingkan linear assignment problem (LAP). LAP dapat diselesaikan dengan mengubah integer programming menjadi linear programming. Solusinya akan selalu integer. Sedang QAP , tidak hanya
nonlinier tetapi juga non unimodal, Ahyaningsih et. al. (2006).
Penyelesaian QAP sangat sulit, karena memerlukan komputasi yang sangat
besar, mengingat definisi QAP yang merupakan kwartet sigma dari hasil kali
elemen-elemen matriks f low F , matriks jarak D, dan matriks penugasan X.
Melihat hasil-hasil penelitian tentang QAP di QAPLIB dari tahun ke tahun,
QAP masih menyisakan tanda tanya besar mengenai nilai optimumnya, karena
terlihat hasilnya masih ada gap dengan nilai optimumnya, yang besarnya bervariasi
tergantung ukuran matriks dan metode yang digunakan untuk menyelesaikannya.
Banyak paper yang membahas tentang penyelesaian QAP, dengan metode
heuristik maupun analitik, dan sampai saat ini pembahasan mengenai metode penyelesaian QAP ini masih menjadi perhatian banyak peneliti, diantaranya yang
dilakukan oleh Polak (2003), mengenai assembly papan sirkuit, Ahyaningsih et.
al.(2005) membahas tentang hasil-hasil dan generalisasi dari QAP, Drezner (2006)
3
yang mengemukakan tentang cluster point dan pola grey, kemudian Rendl dan
Sotirov (2007) mengemukakan tentang batas menggunakan bundle method, sedangkan Papamanthou et. al. (2008) mengemukakan tentang contoh kasus yang salah
dalam exterior point algorithm.
Metode-metode yang diajukan para peneliti terdahulu hanya menggunakan
satu metode saja, yaitu eksak, atau heuristic, ada juga yang dengan membuat reformulasi untuk QAP. Seperti penelitian Adams et. al. (2007) yang membuat reformulasi linier level 2, Nyberg dan Westerlund (2012) yang membuat reformasi linier
untuk QAP, kemudian Bisaillon (2011), mengajukan large neighbourhood search
heuristic, dan Palubeckis (2012), mengenai metode branch and bound.
Jadi, meskipun riset pengembangan telah dilakukan lebih dari enam dekade,
QAP masih menyisakan satu permasalahan optimisasi yang tersulit dan tidak
ada algoritma analitik (eksak) yang dapat menyelesaikan QAP dalam waktu yang
reasonable.
Dalam disertasi ini penulis mengusulkan sebuah strategi kombinasi untuk
menyelesaikan QAP. Persoalan yang diselesaikan berukuran 12 dan 16, kemudian
membandingkan hasil yang diperoleh, dengan hasil penelitian sebelumnya, yaitu
metode DGLSA (Data-Guided Lexisearch Algorithm), Ahmed (2014) dan DLR
(Discrete Linear Reformulation), Nyberg dan Westerlund (2012). Penulis juga
membuat sebuah program pembanding untuk menguji kebenaran hasil yang diperoleh.
1.2 Perumusan Masalah
Sifat tidak konveks dari suatu problema mengakibatkan diperlukannya suatu
titik awal yang baik, agar dapat diperoleh penyelesaian optimal global. Banyak
tulisan yang membahas tentang titik awal untuk QAP ini, seperti Anstreicher dan
Brixius (2001), Ahyaningsih (2006).
Mengenai penyelesaian masalah optimisasi nonlinear dengan kendala, Hamdy
(2003) menyatakan bahwa tidak terdapat algoritma umum untuk mencari penyelesaian optimisasi nonlinear, dikarenakan perilaku yang tidak beraturan dari fungsi
nonlinear itu.
4
Dalam QAP, tidak ada metode tunggal yang paling baik. Masing-masing
metode memiliki kelebihan dan kelemahan. Solusi dari QAP akan diperoleh dalam
waktu yang cukup lama, kadang-kadang hasil yang didapat konvergen ke nilai yang
salah, atau konvergen padahal tidak mempunyai nilai optimum, Bronson (1997).
Pencarian metode yang dapat digunakan secara efektif masih terus dilakukan.
Ahyaningsih dan Sitompul (2015), telah mengembangkan strategi kombinasi untuk
menyelesaikan QAP. Disertasi ini akan menyelesaikan QAP dengan menggunakan
strategi kombinasi, dengan menggabungkan metode heuristic dan metode eksak,
dimana metode heuristic digunakan pada saat menentukan starting point, dalam
hal ini dimunculkan random permutasi, sedangkan metode eksak digunakan pada
waktu menentukan solusi optimalnya.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini untuk menyelesaikan Quadratic Assignment Problem
berukuran 12 dan 16 yang diambil dari QAPLIB, dalam hal ini Had12, Esc16b,
Esc16c, dan Esc16h, dengan menggunakan strategi kombinasi, dimana untuk menentukan starting point digunakan random point strategy, kemudian dilanjutkan dengan forward exchange strategy dan backward exchange strategy yang dilakukan
sebanyak n iterasi, untuk mencari solusi optimal.
1.4 Manfaat Penelitian
Dalam penelitian ini terdapat beberapa manfaat, antara lain:
1. Untuk pengembangan metode Operation Research, khususnya dalam hal metode penyelesaian QAP, yang merupakan problem sulit Non Polynomial (NPhard).
2. Menjadi bahan referensi bagi para peneliti yang tertarik dengan QAP.
5
1.5 Kontribusi Penelitian
Dengan penelitian ini dapat diselesaikan QAP yang berukuran 12 dan 16
dari QAPLIB, yaitu Had12, Esc16b, Esc16c, dan Esc16h dalam waktu yang lebih
cepat dibandingkan dua metode sebelumnya, yaitu DGLSA dan DLR. Mengingat
penerapan QAP yang begitu luasnya, sementara metode penyelesaian dari QAP
masih terbatas, maka strategi kombinasi ini merupakan suatu terobosan yang sangat bermanfaat dalam mencari solusi dari QAP dengan waktu yang relatif cepat.