PEMBUATAN MODEL MATEMATIKA UNTUK MENJELA
South East Asian Conference on Mathematics and Its Applications 2010
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
SEACMA 2010
PEMBUATAN MODEL MATEMATIKA UNTUK MENJELASKAN
DINAMIKA POPULASI RUSA TIMOR SEBAGAI BAHAN PAKAN
UTAMA POPULASI KOMODO DI PULAU GILI MOTANG
Rudianto Artiono
Jurusan Matematika, Universitas Negeri Surabaya
Jl. Raya Ketintang Surabaya, Kampus UNESA Ketintang, Surabaya 60231 – Indonesia
e-mail : rudianto_82@yahoo.com
Abstrak. Komodo merupakan salah satu satwa langka asli Indonesia. Sebaran dari populasi
ini hanya dapat ditemukan di lima pulau di bagian tenggara Indonesia yaitu pulau Komodo,
pulau Padar, pulau Rinca, pulau Gili Motang, dan pulau Flores. Sementara rusa timor
merupakan bahan pakan utama dari populasi komodo. Jika dibandingkan dengan pulaupulau lainnya, pulau Gili Motang merupakan pulau dengan kepadatan populasi rusa timor
yang paling rendah. Pada makalah ini akan dibahas tentang bagaimana memperoleh model
matematika yang dapat digunakan untuk menjelaskan dinamika populasi rusa timor sebagai
bahan pakan utama populasi komodo di pulau Gili Motang. Selanjutnya model ini akan
dijadikan referensi untuk melihat keberadaan populasi komodo di pulau Gili Motang pada
tahun-tahun mendatang.
Kata Kunci: pemodelan matematika, dinamika populasi
1. Pendahuluan
Komodo merupakan salah satu satwa langka asli Indonesia, yang sebarannya hanya dapat
ditemukan di lima pulau di bagian tenggara Indonesia yaitu pulau Komodo, pulau Padar, pulau Rinca,
pulau Gili Motang, dan pulau Flores. Sebagai salah satu satwa langka, keberadaan populasi komodo
menjadi perhatian khusus bagi pemerintah untuk tetap menjaga kelestarian dari satwa ini. Sejak tahun
1980, pemerintah telah meresmikan kawasan Taman Nasional Komodo sebagai tempat konservasi satwa
komodo. Kawasan ini didirikan dengan tujuan untuk melindungi keberadaan satwa komodo dan
habitatnya.
Salah satu tindakan nyata yang dilakukan oleh pemerintah untuk tetap melestarikan komodo di
kawasan Taman Nasional Komodo ini adalah dengan cara memperhatikan keberadaan bahan pakan utama
dari satwa ini yaitu rusa timor, babi hutan dan kerbau air. Pemerintah mengharapkan bahwa dengan
adanya pelestarian bahan pakan utama dari satwa komodo, akan dapat mendukung keberadaan dari
populasi komodo.
Gambar 1. Peta Taman Nasional Komodo
Salah satu pulau yang terletak di bagian selatan kawasan Taman Nasional Komodo yaitu pulau
Gili Motang mempunyai karakteristik yang berbeda dibandingkan dengan pulau-pulau lainnya yang
berada di kawasan Taman Nasional Komodo. Pulau dengan luas 10,3 km 2 ini, memiliki kepadatan
populasi rusa timor yang paling rendah jika dibandingkan dengan pulau-pulau lainnya. Selain itu, di pulau
Gili Motang juga tidak ditemukan bahan pakan utama lainnya seperti babi hutan dan kerbau air (Jessop et
al. 2005b-submitted). Imigrasi bahan pakan utama lainnya ke pulau ini diduga tidak ada karena adanya
isolasi kekuatan arus laut yang membatasi pulau ini dari pulau lainnya.
Dengan karakteristik yang demikian, dikhawatirkan akan mengakibatkan penurunan jumlah
populasi komodo yang selanjutnya akan dapat menyebabkan kepunahan dari populasi komodo di pulau
Gili Motang. Berikut ini adalah data yang diperoleh dari petugas Taman Nasional Komodo tentang
jumlah populasi rusa timor pada tahun 2003 dan 2004 yang ada di pulau Gili motang:
Tahun
Jumlah Populasi Rusa
2003
52 ekor
2004
30 ekor
Tabel 1. Kepadatan Populasi Rusa Timor di Pulau Gili Motang
sedangkan data tentang jumlah populasi komodo di pulau Gili Motang pada tahun 2003 dan 2004 adalah
sebagai berikut:
Tahun
Jumlah Populasi Komodo
2003
95 ekor
2004
64 ekor
Tabel 2. Kepadatan Populasi Komodo di Pulau Gili Motang
dari tabel 1 dan tabel 2, dapat dilihat bahwa ketika terjadi penurunan jumlah populasi rusa timor dari 52
ekor menjadi 30 ekor, mengakibatkan penurunan jumlah populasi komodo dari 95 ekor menjadi 64 ekor.
Hal ini menunjukkan bahwa keberadaan populasi komodo di pulau Gili Motang sangat bergantung
terhadap keberadaan populasi rusa timor.
Keberlangsungan hidup populasi komodo ditentukan oleh keberadaan populasi rusa timor yang
ada di pulau Gili Motang. Jika populasi rusa timor selamanya dapat tersedia melimpah di pulau ini maka
diharapkan populasi komodo juga akan tetap bertahan hidup selamanya sedangkan jika populasi rusa
timur mengalami penurunan maka sedikit demi sedikit populasi komodo juga akan mengalami penurunan
jumlah populasi.
Selanjutnya, untuk mengetahui apakah keberadaan populasi rusa timor di pulau Gili Motang
pada tahun-tahun mendatang akan tetap tersedia dan untuk mengetahui apakah keberadaannya di pulau ini
akan dapat terus mendukung keberadaan populasi komodo, maka perlu dibuat model matematika yang
dapat menjelaskan tentang dinamika populasi rusa timor.
Pada makalah ini akan dibahas tentang pembuatan model matematika tentang dinamika
populasi rusa timor yang disertai pula dengan analisis titik kritis dari model yang dihasilkan. Dari model
yang tersebut akan dilakukan analisis untuk menjelaskan dinamika populasi rusa timor yang ada di pulau
Gili Motang. Hasil analisis ini dideskripsikan untuk menjelaskan model matematika yang diperoleh ke
dalam pembahasan secara nyata hubungan antara rumus-rumus matematika dengan kejadian sesunguhnya
di alam.
2. Pembahasan
2.1 Skema Proses Rusa Timor dan Komodo
Dalam pembuatan model matematika yang berkaitan dengan dinamika populasi, terlebih
dahulu diperlukan skema proses dari keberlangsungan populasi tersebut. Penyusunan skema proses dari
populasi rusa timor dan populasi komodo yang ada di pulau Gili Motang, memperhatikan karakteristik
untuk masing-masing populasi dan kaitanya dengan populasi yang lain. Hal ini untuk mengetahui fasefase apa saja yang akan dilalui oleh populasi tersebut dari awal hingga akhir kehidupannya. Dalam
perkembangan tiap fase, yang harus diperhatikan adalah hal-hal apa saja yang dapat mempertahankan
populasi tersebut tetap hidup dan hal-hal apa saja yang dapat menyebabkan kematian dari populasi
tersebut.
Populasi rusa timor sebagai mangsa utama populasi komodo di pulau Gili motang termasuk
dalam satwa yang berkembang biak secara beranak. Fase utama yang dilalui oleh rusa timor adalah fase
sebagai rusa anakan dan fase sebagai rusa dewasa. Pada fase anakan, rusa timor dapat bertahan hidup jika
kebutuhan pangannya terpenuhi. Pada fase ini, rusa anakan harus bersaing dengan sesama rusa anakan
dan rusa dewasa untuk memperoleh kecukupan pangan. Kematian yang dialami oleh rusa anakan
disebabkan oleh 2 hal yaitu karena pemangsaan oleh komodo atau oleh kematian alami (sakit). Rusa
anakan yang dapat bertahan hidup, akan mengalami perubahan fase menjadi rusa dewasa. Pada fase rusa
dewasa juga terdapat persaingan dalam memperoleh kecukupan pangan yaitu antara sesame rusa dewasa
dan denganrusa anakan. Kematian yang dapat dialami oleh rusa dewasa sma halnya dengan kematian
yang dialami oleh rusa anakan.
Sedangkan populasi komodo di pulau Gili Motang merupakan populasi yang bertindak sebagai
predator. Populasi ini berkembang biak dengan cara bertelur. Setiap kali bertelur, seekor komodo betina
dewasa dapat menghasilkan 15-30 butir dan mengalami masa inkubasi selama kurang lebih 8-9 bulan.
Telur merupakan fase paling rawan dalam kehidupan populasi komodo. Pada fase ini, telur komodo
sering dijadikan bahan pakan oleh burung, hal ini dikarenakan telur komodo hanya diawasi oleh induknya
pada awal-awal bulan keluar dari tubuh induk komodo. Telur komodo yang berhasil menetas, selanjutnya
memasuki fase sebagai komodo anakan. Kehidupan komodo anakan berada di atas pohon sehingga pakan
utama dari komodo anakan adalah burung dan hewan-hewan kecil yang ada di atas pohon. Kematian
komodo anakan disebabkan oleh kematian alami dan pemangsaan oleh komodo dewasa (terjadi
kanibalisme oleh komodo dewasa). Komodo anakan yang berhasil melewati fase anakan selanjutnya
berkembang menjadi komodo dewasa. Fase ini merupakan fase bagi komodo untuk berkembang biak dan
mempertahankan hidupnya. Pakan utama bagi komodo dewasa di pulau Gili Motang adalah rusa timor.
Sehingga kebutuhan pakan komodo dewasa sangat bergantung pada keberadaan rusa timor. Sedangkan
kematian populasi komodo disebabkan oleh kematian alami (sakit atau usia) dan ketersediaan populasi
rusa timor sebagai bahan pakan utama. Sesama komodo dewasa tidak terjadi persaingan dalam
memperebutkan bahan pakan, hal ini dikarenakan pada populasi komodo berlaku aturan bagi komodo
yang paling dewasa yang lebih dulu mendapatkan pakan.
Selanjutnya untuk menyusun skema proses dari siklus populasi komodo dan populasi rusa
timor di pulau Gili Motang, diperlukan asumsi-asumsi yang berguna untuk penyederhanaan model
matematika. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk menyusun skema proses dari populasi komodo dan
populasi rusa timor adalah sebagi berikut:
1.
Komodo anakan tidak memangsa rusa timor
2.
Komodo dewasa tidak memebedakan antara rusa anakan dengan rusa dewasa
3.
Tidak terjadi persaingan antara komodo dewasa dalam memperoleh mangsanya.
4.
Kematian alami komodo dewasa hanya disebabkan oleh ketersediaan pangan
5.
Komodo tidak dapat melakukan migrasi keluar pulau.
6.
Terjadi persaingan antara rusa timor untuk memperoleh pangan
7.
Tidak ada campur tangan manusia
Dari asumsi dan karakteristik masing-masing populasi tersebut, selanjutnya dapat dibuat
skema proses seperti pada gambar berikut ini:
Komodo Dewasa
KD (t)
Rusa Dewasa
RD (t)
Rusa Anakan
RA (t)
e
f
g
h
i
j
iRARD
Gambar 2: Skema Proses populasi Komodo dan populasi Rusa
Dari skema proses yang telah dibuat, selanjutnya akan disusun model matematika untuk
dinamika populasi komodo dan dinamika populasi rusa timor. Masing-masing kompartemen akan
menjadi suatu persamaan diferensial yang menyatakan perubahan banyaknya populasi persatuan waktu.
A.2 Model Matematika Populasi Rusa Timor dan Populasi Komodo
Model matematika untuk dinamika populasi komodo di pulau Gili Motang adalah sebagai
berikut:
d K D (t)
=γ K D−(φ−c R A−d R D )K D
dt
d RA (t )
=ε R A −e R2A −f R D R A −g K D R A−θ R A −μ R A
dt
d RD (t )
=μ R A −h R2D−i R A R D −j K D R D −τ R D
dt
Keterangan:
d K D (t)
= Perubahan banyaknya populasi komodo dewasa persatuan waktu
dt
d RA (t )
= Perubahan banyaknya populasi rusa timor anakan persatuan waktu
dt
d RD (t )
= Perubahan banyaknya populasi rusa timor dewasa persatuan waktu
dt
= Rata-rata kelahiran komodo dewasa
γ
c
d
e
f
g
h
i
j
φ
ε
θ
μ
τ
= Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa anakan
= Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa dewasa
= Proporsi persaingan antara rusa anakan dengan rusa anakan
(carrying capacity)
= Proporsi persaingan antara rusa dewasa dengan rusa anakan
= Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa anakan
= Proporsi persaingan antara rusa dewasa dengan rusa dewasa
(carrying capacity)
= Proporsi persaingan antara rusa anakan dengan rusa dewasa
= Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa dewasa
= Rata-rata kematian natural komodo dewasa
= Rata-rata kelahiran populasi rusa anakan
= Rata-rata kematian natural rusa anakan
= Rata-rata perpindahan rusa anakan menjadi rusa dewasa
= Rata-rata kematian natural rusa
Tabel 3: Parameter Model
Dari model yang telah ada, selanjutnya akan dianalisis di masing-masing titik kritisnya dengan
memperhatikan kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi di alam
Analisis Titik Kritis Pada Model
Berikut ini akan dibahas kestabilan dari titik-titik kritis untuk 3 keadaan yang mungkin terjadi
di pulau Gili Motang.
1. Keadaan jika tidak terdapat populasi komodo
d RA (t )
=ε R A −e R2A −f R D R A −θ R A−μ R A
dt
d RD (t )
=μ R A −h R2D−i R A R D −τ R D
dt
Pada model ini diperoleh 3 titik kritis yaitu ketika tidak terdapat populasi rusa sama sekali (virgin
area), ketika terdapat populasi rusa dewasa tetapi tidak ditemukan populasi rusa anakan, dan ketika
terdapat populasi rusa anakan dan rusa dewasa secara bersama (koeksistensi). Dari matriks Jacobi
yang diperoleh yaitu
dapat dilakukan analisis kestabilan dan analisis kemungkinan terjadinya di alam.
a . Pada titik kritis 1 yaitu ( R A =0, R D=0 ) stabil jika
ε
0 ) atau tidak terjadi kematian ( τ =0 ) dan persaingan antara rusa dewasa juga selalu
lebih besar atau sama dengan 0 artinya pasti akan terjadi persaingan ( h>0 ) atau tidak terjadi
persaingan ( h=0 ).
c . Pada titik kritis 3 yaitu ( koeksistensi antara rusa anakan dengan rusa dewasa )
ε−f R D −θ−μ
RA=
ada jika R D ada .
e
μ ( θ+ μ−ε )
ε
R D ada jika
>0,
> 1,eh< if
eh−if
θ+ μ
Kondisi ini dapat terjadi di pualu Gili Motang yaitu ketika rasio pertumbuhan atau regenerasi hidup
rusa anakan lebih dari 1 artinya rata-rata kelahiran rusa anakan lebih dari rata-rata kematian rusa
anakan dan rata-rata perpindahan rusa anakan menjadi rusa dewasa, persaingan yang terjadi antara
sesama populasi (rusa anakan dengan rusa anakan dan rusa dewasa dengan rusa dewasa) kurang
dari persaingan yang terjadi antara populasi yang berbeda (rusa anakan dengan rusa dewasa dan
rusa dewasa dengan rusa anakan).
2. Keadaan jika tidak terdapat populasi rusa timor
d K D (t)
=γ K D−φ K D
dt
Pada model ini hanya diperoleh 1 titik kritis yaitu ketika tidak terdapat populasi komodo sama sekali
(virgin area). Dari matriks Jacobi yang diperoleh yaitu
dapat dilakukan analisis kestabilan dan analisis kemungkinan terjadinya di alam sebagai berikut
γ
Pada titik kritis ( K D =0 ) stabil jika
d
h
d
(
)
Kondisi ini mungkin terjadi di alam yaitu ketika rata-rata kematian komodo dewasa lebih besar
daripada rata-rata kelahiran komodo, ini mengakibatkan populasi rusa dewasa dapat tetap bertahan
hidup dan ketika rasio antara rata-rata kematian rusa dewasa dengan proporsi persaingan antara
sesama rusa dewasa lebih besar daripada rasio kelahiran komodo dewasa dengan proporsi
pemangsaan rusa dewasa oleh komodo dewasa ini berarti bahwa komodo dewasa sangat
bergantung pada keberadaan populasi rusa dewasa. Kondisi yang terjadi adalah tidak stabil artinya
jika populasi rusa dewasa mengalami kepunahan dikarenakan tidak tersedia populasi rusa anakan
maka akan mengakibatkan kepunahan populasi komodo dewasa.
e. Pada titik kritis 5 yaitu koeksistensi antara rusa anakan, rusa dewasa dan komodo dewasa.
γ
ε
μ
a da jika > 1dan
. >1
φ
( θ+ μ ) τ
γ
ε
μ
stabil jika >1 dan
. >1
φ
( θ+ μ ) τ
Kondisi ini dapat terjadi di alam yaitu ketika rasio pertumbuhan atau regenerasi komodo dewasa
lebih dari satu artinya rata-rata kelahiran komodo dewasa lebih besar daripada rata-rata kematian
komodo dewasa dan ketika rasio pertumbuhan atau regeneras populasi rusa anakan dan rusa
dewasa juga lebih dari satu. Ketika populasi rusa anakan dan populasi rusa dewasa tersedia
melimpah di alam maka populasi komodo juga akan mengalami peningkatan jumlah. Populasi rusa
sebagai bahan pakan bagi komodo akan dapat mendukung keberlangsungan hidup dari populasi
komodo. Kondisi yang mungkin terjadi di alam adalah stabil artinya jika populasi rusa yang
tersedia di alam mencukupi maka jumlah populasi komodo akan dapat tetap bertahan hidup.
3. Penutup
1.
Dari hasil penelitian ini, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
Model matematika yang dapat menjelaskan dinamika populasi rusa timor sebagai bahan pakan
utama populasi komodo adalah sebagai berikut:
d K D (t)
=γ K D−(φ−c R A−d R D )K D
dt
d RA (t )
=ε R A −e R2A −f R D R A −g K D R A−θ R A −μ R A
dt
d RD (t )
=μ R A −h R2D−i R A R D −j K D R D −τ R D
dt
2.
Dari analisi model matematika yang telah diperoleh tersebut dapat dijelaskan beberapa hal antara
lain: a) Penurunan jumlah populasi rusa sangat berpengaruh terhadap populasi komodo dewasa, hal
ini disebabkan karena populasi komodo dewasa sangat bergantung terhadap keberadaan populasi rusa
timor. Jika populasi rusa mengalami kepunhan maka akan diikuti pula oleh kepunahan populasi
komodo, b) Ketersediaan rusa sebagai bahan pakan populasi komodo diharapkan melimpah atau
tetap tersedia di alam sehingga komodo dewasa dapat tetap tersedia di alam, c) Ketersediaan bahan
pakan bagi rusa diharapkan juga tersedia melimpah di alam, hal ini untuk memberikan daya dukung
bagi keberlangsungan hidup populasi rusa anakan dan populasi rusa dewasa.
Selanjutnya untuk mempertahankan keberadaan populasi komodo dan populasi rusa
timor,maka diberikan saran dari hasil penelitian ini sebagai berikut:
1. Perlunya campur tangan manusia untuk menyediakan pakan bagi populasi komodo sehingga komodo
tidak memangsa rusa timor secara liar.
2. Menyediakan bahan pakan bagi rusa timor sebagai daya dukung terhadap keberlangsungan hidup
sehingga dapat meningkatkan jumlah populasi rusa timor.
3.
Menyediakan makanan alternatif bagi komodo dewasa seperti babi hutan dan kerbau air di Pulau Gili
Motang.
4. Penangkaran rusa timor, babi hutan dan kerbau air sebagai bahan pakan yang dapat mendukung
keberlangsungan hidup populasi komodo di Pulau Gili Motang.
Daftar Pustaka
Baiduri. 2002. Persamaan Diferensial dan Matematika Model, UMM Press
Barnes, Belinda and Fulford, Glenn R. 2002. Mathematical Modelling With Case Studies A Differential Equation
Approach Using Maple, Taylor & Francis
Butcher, J. C. 2003. Numerical Methods For Ordinary Differential Equations, England: John Willey & Sons Ltd
Erdmann,A.M., (2004), A Natural History Guide to Komodo National Park, The Nature Conservancy
Indonesia Coastal and Marine Program, 56, lihat:
http://www.komodonationalpark.org/downloads/NatHist1_screen.pdf, 15 April 2008
Jessop, T. S., Forsyth, D., Purwandana D., Imansyah J., Opat D.,McDonald-Madden C.2005b-submitted.
Monitoring the ungulata prey of Komodo dragons (Varanus komodoensis) using faecal counts.
Wildlife Research.
Jessop,T.S., Madsen,T., Purwandana,D.,Imansyah,J.M., Rudiharto,H., Ciofi,C. (2005), Bukti terhadap
keterbatasan energetik yang mempengaruhi populasi Komodo di pulau kecil, 5, lihat:
http://www.komodonationalpark.org/downloads/keterbatasan_energetik.pdf, 15 April 2008
Jones, D. S and Sleeman, B. D. 2003. Differential Equation And Mathematical Biology, Chapman & Hall/CRC
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
SEACMA 2010
PEMBUATAN MODEL MATEMATIKA UNTUK MENJELASKAN
DINAMIKA POPULASI RUSA TIMOR SEBAGAI BAHAN PAKAN
UTAMA POPULASI KOMODO DI PULAU GILI MOTANG
Rudianto Artiono
Jurusan Matematika, Universitas Negeri Surabaya
Jl. Raya Ketintang Surabaya, Kampus UNESA Ketintang, Surabaya 60231 – Indonesia
e-mail : rudianto_82@yahoo.com
Abstrak. Komodo merupakan salah satu satwa langka asli Indonesia. Sebaran dari populasi
ini hanya dapat ditemukan di lima pulau di bagian tenggara Indonesia yaitu pulau Komodo,
pulau Padar, pulau Rinca, pulau Gili Motang, dan pulau Flores. Sementara rusa timor
merupakan bahan pakan utama dari populasi komodo. Jika dibandingkan dengan pulaupulau lainnya, pulau Gili Motang merupakan pulau dengan kepadatan populasi rusa timor
yang paling rendah. Pada makalah ini akan dibahas tentang bagaimana memperoleh model
matematika yang dapat digunakan untuk menjelaskan dinamika populasi rusa timor sebagai
bahan pakan utama populasi komodo di pulau Gili Motang. Selanjutnya model ini akan
dijadikan referensi untuk melihat keberadaan populasi komodo di pulau Gili Motang pada
tahun-tahun mendatang.
Kata Kunci: pemodelan matematika, dinamika populasi
1. Pendahuluan
Komodo merupakan salah satu satwa langka asli Indonesia, yang sebarannya hanya dapat
ditemukan di lima pulau di bagian tenggara Indonesia yaitu pulau Komodo, pulau Padar, pulau Rinca,
pulau Gili Motang, dan pulau Flores. Sebagai salah satu satwa langka, keberadaan populasi komodo
menjadi perhatian khusus bagi pemerintah untuk tetap menjaga kelestarian dari satwa ini. Sejak tahun
1980, pemerintah telah meresmikan kawasan Taman Nasional Komodo sebagai tempat konservasi satwa
komodo. Kawasan ini didirikan dengan tujuan untuk melindungi keberadaan satwa komodo dan
habitatnya.
Salah satu tindakan nyata yang dilakukan oleh pemerintah untuk tetap melestarikan komodo di
kawasan Taman Nasional Komodo ini adalah dengan cara memperhatikan keberadaan bahan pakan utama
dari satwa ini yaitu rusa timor, babi hutan dan kerbau air. Pemerintah mengharapkan bahwa dengan
adanya pelestarian bahan pakan utama dari satwa komodo, akan dapat mendukung keberadaan dari
populasi komodo.
Gambar 1. Peta Taman Nasional Komodo
Salah satu pulau yang terletak di bagian selatan kawasan Taman Nasional Komodo yaitu pulau
Gili Motang mempunyai karakteristik yang berbeda dibandingkan dengan pulau-pulau lainnya yang
berada di kawasan Taman Nasional Komodo. Pulau dengan luas 10,3 km 2 ini, memiliki kepadatan
populasi rusa timor yang paling rendah jika dibandingkan dengan pulau-pulau lainnya. Selain itu, di pulau
Gili Motang juga tidak ditemukan bahan pakan utama lainnya seperti babi hutan dan kerbau air (Jessop et
al. 2005b-submitted). Imigrasi bahan pakan utama lainnya ke pulau ini diduga tidak ada karena adanya
isolasi kekuatan arus laut yang membatasi pulau ini dari pulau lainnya.
Dengan karakteristik yang demikian, dikhawatirkan akan mengakibatkan penurunan jumlah
populasi komodo yang selanjutnya akan dapat menyebabkan kepunahan dari populasi komodo di pulau
Gili Motang. Berikut ini adalah data yang diperoleh dari petugas Taman Nasional Komodo tentang
jumlah populasi rusa timor pada tahun 2003 dan 2004 yang ada di pulau Gili motang:
Tahun
Jumlah Populasi Rusa
2003
52 ekor
2004
30 ekor
Tabel 1. Kepadatan Populasi Rusa Timor di Pulau Gili Motang
sedangkan data tentang jumlah populasi komodo di pulau Gili Motang pada tahun 2003 dan 2004 adalah
sebagai berikut:
Tahun
Jumlah Populasi Komodo
2003
95 ekor
2004
64 ekor
Tabel 2. Kepadatan Populasi Komodo di Pulau Gili Motang
dari tabel 1 dan tabel 2, dapat dilihat bahwa ketika terjadi penurunan jumlah populasi rusa timor dari 52
ekor menjadi 30 ekor, mengakibatkan penurunan jumlah populasi komodo dari 95 ekor menjadi 64 ekor.
Hal ini menunjukkan bahwa keberadaan populasi komodo di pulau Gili Motang sangat bergantung
terhadap keberadaan populasi rusa timor.
Keberlangsungan hidup populasi komodo ditentukan oleh keberadaan populasi rusa timor yang
ada di pulau Gili Motang. Jika populasi rusa timor selamanya dapat tersedia melimpah di pulau ini maka
diharapkan populasi komodo juga akan tetap bertahan hidup selamanya sedangkan jika populasi rusa
timur mengalami penurunan maka sedikit demi sedikit populasi komodo juga akan mengalami penurunan
jumlah populasi.
Selanjutnya, untuk mengetahui apakah keberadaan populasi rusa timor di pulau Gili Motang
pada tahun-tahun mendatang akan tetap tersedia dan untuk mengetahui apakah keberadaannya di pulau ini
akan dapat terus mendukung keberadaan populasi komodo, maka perlu dibuat model matematika yang
dapat menjelaskan tentang dinamika populasi rusa timor.
Pada makalah ini akan dibahas tentang pembuatan model matematika tentang dinamika
populasi rusa timor yang disertai pula dengan analisis titik kritis dari model yang dihasilkan. Dari model
yang tersebut akan dilakukan analisis untuk menjelaskan dinamika populasi rusa timor yang ada di pulau
Gili Motang. Hasil analisis ini dideskripsikan untuk menjelaskan model matematika yang diperoleh ke
dalam pembahasan secara nyata hubungan antara rumus-rumus matematika dengan kejadian sesunguhnya
di alam.
2. Pembahasan
2.1 Skema Proses Rusa Timor dan Komodo
Dalam pembuatan model matematika yang berkaitan dengan dinamika populasi, terlebih
dahulu diperlukan skema proses dari keberlangsungan populasi tersebut. Penyusunan skema proses dari
populasi rusa timor dan populasi komodo yang ada di pulau Gili Motang, memperhatikan karakteristik
untuk masing-masing populasi dan kaitanya dengan populasi yang lain. Hal ini untuk mengetahui fasefase apa saja yang akan dilalui oleh populasi tersebut dari awal hingga akhir kehidupannya. Dalam
perkembangan tiap fase, yang harus diperhatikan adalah hal-hal apa saja yang dapat mempertahankan
populasi tersebut tetap hidup dan hal-hal apa saja yang dapat menyebabkan kematian dari populasi
tersebut.
Populasi rusa timor sebagai mangsa utama populasi komodo di pulau Gili motang termasuk
dalam satwa yang berkembang biak secara beranak. Fase utama yang dilalui oleh rusa timor adalah fase
sebagai rusa anakan dan fase sebagai rusa dewasa. Pada fase anakan, rusa timor dapat bertahan hidup jika
kebutuhan pangannya terpenuhi. Pada fase ini, rusa anakan harus bersaing dengan sesama rusa anakan
dan rusa dewasa untuk memperoleh kecukupan pangan. Kematian yang dialami oleh rusa anakan
disebabkan oleh 2 hal yaitu karena pemangsaan oleh komodo atau oleh kematian alami (sakit). Rusa
anakan yang dapat bertahan hidup, akan mengalami perubahan fase menjadi rusa dewasa. Pada fase rusa
dewasa juga terdapat persaingan dalam memperoleh kecukupan pangan yaitu antara sesame rusa dewasa
dan denganrusa anakan. Kematian yang dapat dialami oleh rusa dewasa sma halnya dengan kematian
yang dialami oleh rusa anakan.
Sedangkan populasi komodo di pulau Gili Motang merupakan populasi yang bertindak sebagai
predator. Populasi ini berkembang biak dengan cara bertelur. Setiap kali bertelur, seekor komodo betina
dewasa dapat menghasilkan 15-30 butir dan mengalami masa inkubasi selama kurang lebih 8-9 bulan.
Telur merupakan fase paling rawan dalam kehidupan populasi komodo. Pada fase ini, telur komodo
sering dijadikan bahan pakan oleh burung, hal ini dikarenakan telur komodo hanya diawasi oleh induknya
pada awal-awal bulan keluar dari tubuh induk komodo. Telur komodo yang berhasil menetas, selanjutnya
memasuki fase sebagai komodo anakan. Kehidupan komodo anakan berada di atas pohon sehingga pakan
utama dari komodo anakan adalah burung dan hewan-hewan kecil yang ada di atas pohon. Kematian
komodo anakan disebabkan oleh kematian alami dan pemangsaan oleh komodo dewasa (terjadi
kanibalisme oleh komodo dewasa). Komodo anakan yang berhasil melewati fase anakan selanjutnya
berkembang menjadi komodo dewasa. Fase ini merupakan fase bagi komodo untuk berkembang biak dan
mempertahankan hidupnya. Pakan utama bagi komodo dewasa di pulau Gili Motang adalah rusa timor.
Sehingga kebutuhan pakan komodo dewasa sangat bergantung pada keberadaan rusa timor. Sedangkan
kematian populasi komodo disebabkan oleh kematian alami (sakit atau usia) dan ketersediaan populasi
rusa timor sebagai bahan pakan utama. Sesama komodo dewasa tidak terjadi persaingan dalam
memperebutkan bahan pakan, hal ini dikarenakan pada populasi komodo berlaku aturan bagi komodo
yang paling dewasa yang lebih dulu mendapatkan pakan.
Selanjutnya untuk menyusun skema proses dari siklus populasi komodo dan populasi rusa
timor di pulau Gili Motang, diperlukan asumsi-asumsi yang berguna untuk penyederhanaan model
matematika. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk menyusun skema proses dari populasi komodo dan
populasi rusa timor adalah sebagi berikut:
1.
Komodo anakan tidak memangsa rusa timor
2.
Komodo dewasa tidak memebedakan antara rusa anakan dengan rusa dewasa
3.
Tidak terjadi persaingan antara komodo dewasa dalam memperoleh mangsanya.
4.
Kematian alami komodo dewasa hanya disebabkan oleh ketersediaan pangan
5.
Komodo tidak dapat melakukan migrasi keluar pulau.
6.
Terjadi persaingan antara rusa timor untuk memperoleh pangan
7.
Tidak ada campur tangan manusia
Dari asumsi dan karakteristik masing-masing populasi tersebut, selanjutnya dapat dibuat
skema proses seperti pada gambar berikut ini:
Komodo Dewasa
KD (t)
Rusa Dewasa
RD (t)
Rusa Anakan
RA (t)
e
f
g
h
i
j
iRARD
Gambar 2: Skema Proses populasi Komodo dan populasi Rusa
Dari skema proses yang telah dibuat, selanjutnya akan disusun model matematika untuk
dinamika populasi komodo dan dinamika populasi rusa timor. Masing-masing kompartemen akan
menjadi suatu persamaan diferensial yang menyatakan perubahan banyaknya populasi persatuan waktu.
A.2 Model Matematika Populasi Rusa Timor dan Populasi Komodo
Model matematika untuk dinamika populasi komodo di pulau Gili Motang adalah sebagai
berikut:
d K D (t)
=γ K D−(φ−c R A−d R D )K D
dt
d RA (t )
=ε R A −e R2A −f R D R A −g K D R A−θ R A −μ R A
dt
d RD (t )
=μ R A −h R2D−i R A R D −j K D R D −τ R D
dt
Keterangan:
d K D (t)
= Perubahan banyaknya populasi komodo dewasa persatuan waktu
dt
d RA (t )
= Perubahan banyaknya populasi rusa timor anakan persatuan waktu
dt
d RD (t )
= Perubahan banyaknya populasi rusa timor dewasa persatuan waktu
dt
= Rata-rata kelahiran komodo dewasa
γ
c
d
e
f
g
h
i
j
φ
ε
θ
μ
τ
= Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa anakan
= Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa dewasa
= Proporsi persaingan antara rusa anakan dengan rusa anakan
(carrying capacity)
= Proporsi persaingan antara rusa dewasa dengan rusa anakan
= Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa anakan
= Proporsi persaingan antara rusa dewasa dengan rusa dewasa
(carrying capacity)
= Proporsi persaingan antara rusa anakan dengan rusa dewasa
= Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa dewasa
= Rata-rata kematian natural komodo dewasa
= Rata-rata kelahiran populasi rusa anakan
= Rata-rata kematian natural rusa anakan
= Rata-rata perpindahan rusa anakan menjadi rusa dewasa
= Rata-rata kematian natural rusa
Tabel 3: Parameter Model
Dari model yang telah ada, selanjutnya akan dianalisis di masing-masing titik kritisnya dengan
memperhatikan kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi di alam
Analisis Titik Kritis Pada Model
Berikut ini akan dibahas kestabilan dari titik-titik kritis untuk 3 keadaan yang mungkin terjadi
di pulau Gili Motang.
1. Keadaan jika tidak terdapat populasi komodo
d RA (t )
=ε R A −e R2A −f R D R A −θ R A−μ R A
dt
d RD (t )
=μ R A −h R2D−i R A R D −τ R D
dt
Pada model ini diperoleh 3 titik kritis yaitu ketika tidak terdapat populasi rusa sama sekali (virgin
area), ketika terdapat populasi rusa dewasa tetapi tidak ditemukan populasi rusa anakan, dan ketika
terdapat populasi rusa anakan dan rusa dewasa secara bersama (koeksistensi). Dari matriks Jacobi
yang diperoleh yaitu
dapat dilakukan analisis kestabilan dan analisis kemungkinan terjadinya di alam.
a . Pada titik kritis 1 yaitu ( R A =0, R D=0 ) stabil jika
ε
0 ) atau tidak terjadi kematian ( τ =0 ) dan persaingan antara rusa dewasa juga selalu
lebih besar atau sama dengan 0 artinya pasti akan terjadi persaingan ( h>0 ) atau tidak terjadi
persaingan ( h=0 ).
c . Pada titik kritis 3 yaitu ( koeksistensi antara rusa anakan dengan rusa dewasa )
ε−f R D −θ−μ
RA=
ada jika R D ada .
e
μ ( θ+ μ−ε )
ε
R D ada jika
>0,
> 1,eh< if
eh−if
θ+ μ
Kondisi ini dapat terjadi di pualu Gili Motang yaitu ketika rasio pertumbuhan atau regenerasi hidup
rusa anakan lebih dari 1 artinya rata-rata kelahiran rusa anakan lebih dari rata-rata kematian rusa
anakan dan rata-rata perpindahan rusa anakan menjadi rusa dewasa, persaingan yang terjadi antara
sesama populasi (rusa anakan dengan rusa anakan dan rusa dewasa dengan rusa dewasa) kurang
dari persaingan yang terjadi antara populasi yang berbeda (rusa anakan dengan rusa dewasa dan
rusa dewasa dengan rusa anakan).
2. Keadaan jika tidak terdapat populasi rusa timor
d K D (t)
=γ K D−φ K D
dt
Pada model ini hanya diperoleh 1 titik kritis yaitu ketika tidak terdapat populasi komodo sama sekali
(virgin area). Dari matriks Jacobi yang diperoleh yaitu
dapat dilakukan analisis kestabilan dan analisis kemungkinan terjadinya di alam sebagai berikut
γ
Pada titik kritis ( K D =0 ) stabil jika
d
h
d
(
)
Kondisi ini mungkin terjadi di alam yaitu ketika rata-rata kematian komodo dewasa lebih besar
daripada rata-rata kelahiran komodo, ini mengakibatkan populasi rusa dewasa dapat tetap bertahan
hidup dan ketika rasio antara rata-rata kematian rusa dewasa dengan proporsi persaingan antara
sesama rusa dewasa lebih besar daripada rasio kelahiran komodo dewasa dengan proporsi
pemangsaan rusa dewasa oleh komodo dewasa ini berarti bahwa komodo dewasa sangat
bergantung pada keberadaan populasi rusa dewasa. Kondisi yang terjadi adalah tidak stabil artinya
jika populasi rusa dewasa mengalami kepunahan dikarenakan tidak tersedia populasi rusa anakan
maka akan mengakibatkan kepunahan populasi komodo dewasa.
e. Pada titik kritis 5 yaitu koeksistensi antara rusa anakan, rusa dewasa dan komodo dewasa.
γ
ε
μ
a da jika > 1dan
. >1
φ
( θ+ μ ) τ
γ
ε
μ
stabil jika >1 dan
. >1
φ
( θ+ μ ) τ
Kondisi ini dapat terjadi di alam yaitu ketika rasio pertumbuhan atau regenerasi komodo dewasa
lebih dari satu artinya rata-rata kelahiran komodo dewasa lebih besar daripada rata-rata kematian
komodo dewasa dan ketika rasio pertumbuhan atau regeneras populasi rusa anakan dan rusa
dewasa juga lebih dari satu. Ketika populasi rusa anakan dan populasi rusa dewasa tersedia
melimpah di alam maka populasi komodo juga akan mengalami peningkatan jumlah. Populasi rusa
sebagai bahan pakan bagi komodo akan dapat mendukung keberlangsungan hidup dari populasi
komodo. Kondisi yang mungkin terjadi di alam adalah stabil artinya jika populasi rusa yang
tersedia di alam mencukupi maka jumlah populasi komodo akan dapat tetap bertahan hidup.
3. Penutup
1.
Dari hasil penelitian ini, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
Model matematika yang dapat menjelaskan dinamika populasi rusa timor sebagai bahan pakan
utama populasi komodo adalah sebagai berikut:
d K D (t)
=γ K D−(φ−c R A−d R D )K D
dt
d RA (t )
=ε R A −e R2A −f R D R A −g K D R A−θ R A −μ R A
dt
d RD (t )
=μ R A −h R2D−i R A R D −j K D R D −τ R D
dt
2.
Dari analisi model matematika yang telah diperoleh tersebut dapat dijelaskan beberapa hal antara
lain: a) Penurunan jumlah populasi rusa sangat berpengaruh terhadap populasi komodo dewasa, hal
ini disebabkan karena populasi komodo dewasa sangat bergantung terhadap keberadaan populasi rusa
timor. Jika populasi rusa mengalami kepunhan maka akan diikuti pula oleh kepunahan populasi
komodo, b) Ketersediaan rusa sebagai bahan pakan populasi komodo diharapkan melimpah atau
tetap tersedia di alam sehingga komodo dewasa dapat tetap tersedia di alam, c) Ketersediaan bahan
pakan bagi rusa diharapkan juga tersedia melimpah di alam, hal ini untuk memberikan daya dukung
bagi keberlangsungan hidup populasi rusa anakan dan populasi rusa dewasa.
Selanjutnya untuk mempertahankan keberadaan populasi komodo dan populasi rusa
timor,maka diberikan saran dari hasil penelitian ini sebagai berikut:
1. Perlunya campur tangan manusia untuk menyediakan pakan bagi populasi komodo sehingga komodo
tidak memangsa rusa timor secara liar.
2. Menyediakan bahan pakan bagi rusa timor sebagai daya dukung terhadap keberlangsungan hidup
sehingga dapat meningkatkan jumlah populasi rusa timor.
3.
Menyediakan makanan alternatif bagi komodo dewasa seperti babi hutan dan kerbau air di Pulau Gili
Motang.
4. Penangkaran rusa timor, babi hutan dan kerbau air sebagai bahan pakan yang dapat mendukung
keberlangsungan hidup populasi komodo di Pulau Gili Motang.
Daftar Pustaka
Baiduri. 2002. Persamaan Diferensial dan Matematika Model, UMM Press
Barnes, Belinda and Fulford, Glenn R. 2002. Mathematical Modelling With Case Studies A Differential Equation
Approach Using Maple, Taylor & Francis
Butcher, J. C. 2003. Numerical Methods For Ordinary Differential Equations, England: John Willey & Sons Ltd
Erdmann,A.M., (2004), A Natural History Guide to Komodo National Park, The Nature Conservancy
Indonesia Coastal and Marine Program, 56, lihat:
http://www.komodonationalpark.org/downloads/NatHist1_screen.pdf, 15 April 2008
Jessop, T. S., Forsyth, D., Purwandana D., Imansyah J., Opat D.,McDonald-Madden C.2005b-submitted.
Monitoring the ungulata prey of Komodo dragons (Varanus komodoensis) using faecal counts.
Wildlife Research.
Jessop,T.S., Madsen,T., Purwandana,D.,Imansyah,J.M., Rudiharto,H., Ciofi,C. (2005), Bukti terhadap
keterbatasan energetik yang mempengaruhi populasi Komodo di pulau kecil, 5, lihat:
http://www.komodonationalpark.org/downloads/keterbatasan_energetik.pdf, 15 April 2008
Jones, D. S and Sleeman, B. D. 2003. Differential Equation And Mathematical Biology, Chapman & Hall/CRC