Analisis dan VisualisasiLubangHitam Schwarzschild pada Ruang-WaktuMinkowski Menggunakan Mathematica 10 Chapter III V
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Diagram Alir Penelitian
Mulai
Solusi
Schwarzchild
=( −
)
−( −
)
−
−
� −
�
� �
r < 2m, r = 2m, r > 2m
Masukkan Nilai
input
Menjalankan Program
Menganalisis
Terbentuknya
Lubang Hitam
Schwarzchild
Selesai
Universitas Sumatera Utara
24
3.2. Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian mengenai Lubang Hitam Schwarzschild ini dilakukan di Kota
Medan, tepatnya di Perpustakaan Fakultas MIPA dan Perpustakaan Pusat Universitas
Sumatera Utara dengan cara mengumpulkan sumber-sumber bacaan teoritik,
mengkajinya, menganalisis dan melakukan pembahasan.
Penelitian dimulai sejak awak Semester Genap 2017/2018 yaitu pada awak
bulan Januari dan selesai pada bulan Juni.
3.3. Jadwal Penelitian
Bulan
No.
1
2
Kegiatan
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
2017
2017
2017
2017
2017 2017
Studi
Kepustakaan
Proposal
Analisis dan
3
Pembahasan
4
Seminar hasil
5
Sidang
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL
Pada bab IV hendak disampaikan mengenai hasil dan pembahasan berdasarkan
penelitian yang telah dilakukan. Penelitian dilakukan dengan melakukan pendekatan
teoritis dan pendekatan komputasi. Solusi Schwarzschild terlebih dahulu di uji secara
teoritis sehingga membuktikan bahwa suatu bintang masif atau supermasif yang sesuai
dengan ketentuan teori relativitas umum Einstein dapat membentuk kelengkungan
ruang-waktu yang sifatnya geodesik. Selanjutnya apabila didapat kebenaran atas
adanya sifat geodesik yang dihasilkan oleh kelengkungan ruang-waktu berdasarkan
persamaan solusi Schwarzschild, divisualisasikan sebuah diagram yang berupa
diagram ruang tiga dimensi yang dapat diatur besar massa dan jari-jari atau radius
bintang masif atau supermasif agar terbentuk lubang hitam apabila radius yang diatur
mencapai radius Schwarzschild.
4.1. Solusi Schwarzschild terhadap Teori Relativitas Umum Einstein
Sangatlah luas pembahasan mengenai teori relativitas umum Einstein karena
begitu banyak aspek-aspek astrofisika yang menggunakan teori ini dalam penerapan
persamaan juga penentuan solusi umum dari teori-teori astrofisika. Belum lagi
penerapan teori relativitas umum ini kemudian dikaitkan pada teori fisika kuantum
dalam memahami terbentuknya alam semesta. Oleh karenanya tema yang diangkat
untuk penelitian ini menerapkan teori relativitas umum kedalam hal yang sangat
spesifik yaitu menentukan karakteristik umum yang diperlukan agar terbentuknya
lubang hitam yang telah digagas oleh Karl Schwarzschild.
Salah satu fondasi teori relativitas umum adalah prinsip kesetaraan (principle
of equivalence). Ohanian menyatakan bahwa ada dua jenis prinsip kesetaraan. Jenis
pertama adalah prinsip kesetaraan lemah (weak principle of equivalence) yang
menyatakan bahwa dalam suatu medan gravitasi, seluruh partikel uji dengan kecepatan
awal yang sama akan jatuh dengan percepatan yang sama. Jenis yang kedua adalah
prinsip kesetaraan kuat (strong principle of equivalence) yang berbunyi, dalam seluruh
laboratorium yang jatuh bebas serta tak berotasi, hasil- hasil dari sembarang percobaan
lokal adalah sama, tidak tergantung dari medan gravitasi yang berada di sekitar
laboratorium tersebut. (Ohanian H, 1976)
Universitas Sumatera Utara
26
Penerapan Teori Relativitas Umum dalam persamaan gravitasi Einstein yang
mengabaikan tetapan kosmologi yang dirumuskan sebagai berikut :
− �
�
=−
8��
4
�
(4.1)
Dengan persamaan diatas akan diterapkan untuk menelaah beberapa gejala
alam. Salah satunya adalah solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek statik
bermassa M yang diletakkan pada pusat koordinat empat dimensi berupa 3 dimensi
koordinat polar (r, θ, ϕ) dan satu koordinat waktu (t) yang nantinya dikenal sebagai
metrik Schwarzchild. (Anugraha R, 2011) Solusi persamaan gravitasi Einstein untuk
partikel simetri bola statik, tak berotasi, tak bermuatan diberikan dalam bentuk metrik
Schwarzschild. Metrik tersebut dalam koordinat−4
=(ct,r ,� ,� ) dinyatakan dalam
bentuk
� =−
−
Dengan
+
=
−
−
� + �
+
��
� �
(4.2)
(4.3)
2
dan M adalah massa partikel statik bersimetri bola di O. Jika massa partikel tersebut
dilenyapkan (M = 0), metrik akan kembali ke bentuk metrik ruang- waktu Minkowski.
Metrik Minkwski ini merupakan metrik ruang-waktu datar karena dengan melakukan
transformasi dari koordinat bola ke koordinat Kartesian akan diperoleh metrik dengan
tensor metrik sama dengan delta Kronecker. Selanjutnya dilakukan transformasi ke
koordinat kartesian (x, y, z) dengan pusat di sumbu z pada jarak R dari O yang
dirumuskan sebagai
=
� �
�,
=
� � � �, =
Persamaan (4) diatas dapat ditulis menjadi
=√
+
+
�−�
(4.4)
+�
(4.5)
Yang jika diferensialnya dikuadratkan menghasilkan
=
2
2+ 2
2+
+� 2
2+
2+ 2+
+
+� 2
+�
+
+�
(4.6)
Dengan mendiferensiasikan persamaan (4.4) maka diperoleh
= � �
�
= � � � �
=
�
−
+
+
�
� �−
� � � �+
� � �
� � � � �
� �
� �
(4.7)
Universitas Sumatera Utara
27
Yang jika kita menjumlahkan kuadrat persamaan (4.7) diperoleh
+
+
−
=
� + �
� �
(4.8)
Dengan mengisikan pers. (4.5), (4.6) dan (4.8) ke dalam pers. (4.2) dan masingmasing pembilang dan penyebut dibagi dengan R diperoleh
−
� =−
+
2
�2
�
−
/�
2+ 2+ 2 −
+
�2
+
+
+
2 2 2
√ + 2 +( + 2 + )
�
�
[− +
+
�
−
2 2 2
√ + 2 +( + 2 + )
�
+
�2
/�
+
+
�
−
�
+
�
+
+
2
]×[
�2
+
�
+
]
�
(4.9)
Selanjutnya ditinjau daerah kecil (lokal) di sekitar pusat serta diasumsikan
bahwa R cukup besar sehingga | /�|, | /�| dan | /�|
3.1. Diagram Alir Penelitian
Mulai
Solusi
Schwarzchild
=( −
)
−( −
)
−
−
� −
�
� �
r < 2m, r = 2m, r > 2m
Masukkan Nilai
input
Menjalankan Program
Menganalisis
Terbentuknya
Lubang Hitam
Schwarzchild
Selesai
Universitas Sumatera Utara
24
3.2. Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian mengenai Lubang Hitam Schwarzschild ini dilakukan di Kota
Medan, tepatnya di Perpustakaan Fakultas MIPA dan Perpustakaan Pusat Universitas
Sumatera Utara dengan cara mengumpulkan sumber-sumber bacaan teoritik,
mengkajinya, menganalisis dan melakukan pembahasan.
Penelitian dimulai sejak awak Semester Genap 2017/2018 yaitu pada awak
bulan Januari dan selesai pada bulan Juni.
3.3. Jadwal Penelitian
Bulan
No.
1
2
Kegiatan
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
2017
2017
2017
2017
2017 2017
Studi
Kepustakaan
Proposal
Analisis dan
3
Pembahasan
4
Seminar hasil
5
Sidang
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL
Pada bab IV hendak disampaikan mengenai hasil dan pembahasan berdasarkan
penelitian yang telah dilakukan. Penelitian dilakukan dengan melakukan pendekatan
teoritis dan pendekatan komputasi. Solusi Schwarzschild terlebih dahulu di uji secara
teoritis sehingga membuktikan bahwa suatu bintang masif atau supermasif yang sesuai
dengan ketentuan teori relativitas umum Einstein dapat membentuk kelengkungan
ruang-waktu yang sifatnya geodesik. Selanjutnya apabila didapat kebenaran atas
adanya sifat geodesik yang dihasilkan oleh kelengkungan ruang-waktu berdasarkan
persamaan solusi Schwarzschild, divisualisasikan sebuah diagram yang berupa
diagram ruang tiga dimensi yang dapat diatur besar massa dan jari-jari atau radius
bintang masif atau supermasif agar terbentuk lubang hitam apabila radius yang diatur
mencapai radius Schwarzschild.
4.1. Solusi Schwarzschild terhadap Teori Relativitas Umum Einstein
Sangatlah luas pembahasan mengenai teori relativitas umum Einstein karena
begitu banyak aspek-aspek astrofisika yang menggunakan teori ini dalam penerapan
persamaan juga penentuan solusi umum dari teori-teori astrofisika. Belum lagi
penerapan teori relativitas umum ini kemudian dikaitkan pada teori fisika kuantum
dalam memahami terbentuknya alam semesta. Oleh karenanya tema yang diangkat
untuk penelitian ini menerapkan teori relativitas umum kedalam hal yang sangat
spesifik yaitu menentukan karakteristik umum yang diperlukan agar terbentuknya
lubang hitam yang telah digagas oleh Karl Schwarzschild.
Salah satu fondasi teori relativitas umum adalah prinsip kesetaraan (principle
of equivalence). Ohanian menyatakan bahwa ada dua jenis prinsip kesetaraan. Jenis
pertama adalah prinsip kesetaraan lemah (weak principle of equivalence) yang
menyatakan bahwa dalam suatu medan gravitasi, seluruh partikel uji dengan kecepatan
awal yang sama akan jatuh dengan percepatan yang sama. Jenis yang kedua adalah
prinsip kesetaraan kuat (strong principle of equivalence) yang berbunyi, dalam seluruh
laboratorium yang jatuh bebas serta tak berotasi, hasil- hasil dari sembarang percobaan
lokal adalah sama, tidak tergantung dari medan gravitasi yang berada di sekitar
laboratorium tersebut. (Ohanian H, 1976)
Universitas Sumatera Utara
26
Penerapan Teori Relativitas Umum dalam persamaan gravitasi Einstein yang
mengabaikan tetapan kosmologi yang dirumuskan sebagai berikut :
− �
�
=−
8��
4
�
(4.1)
Dengan persamaan diatas akan diterapkan untuk menelaah beberapa gejala
alam. Salah satunya adalah solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek statik
bermassa M yang diletakkan pada pusat koordinat empat dimensi berupa 3 dimensi
koordinat polar (r, θ, ϕ) dan satu koordinat waktu (t) yang nantinya dikenal sebagai
metrik Schwarzchild. (Anugraha R, 2011) Solusi persamaan gravitasi Einstein untuk
partikel simetri bola statik, tak berotasi, tak bermuatan diberikan dalam bentuk metrik
Schwarzschild. Metrik tersebut dalam koordinat−4
=(ct,r ,� ,� ) dinyatakan dalam
bentuk
� =−
−
Dengan
+
=
−
−
� + �
+
��
� �
(4.2)
(4.3)
2
dan M adalah massa partikel statik bersimetri bola di O. Jika massa partikel tersebut
dilenyapkan (M = 0), metrik akan kembali ke bentuk metrik ruang- waktu Minkowski.
Metrik Minkwski ini merupakan metrik ruang-waktu datar karena dengan melakukan
transformasi dari koordinat bola ke koordinat Kartesian akan diperoleh metrik dengan
tensor metrik sama dengan delta Kronecker. Selanjutnya dilakukan transformasi ke
koordinat kartesian (x, y, z) dengan pusat di sumbu z pada jarak R dari O yang
dirumuskan sebagai
=
� �
�,
=
� � � �, =
Persamaan (4) diatas dapat ditulis menjadi
=√
+
+
�−�
(4.4)
+�
(4.5)
Yang jika diferensialnya dikuadratkan menghasilkan
=
2
2+ 2
2+
+� 2
2+
2+ 2+
+
+� 2
+�
+
+�
(4.6)
Dengan mendiferensiasikan persamaan (4.4) maka diperoleh
= � �
�
= � � � �
=
�
−
+
+
�
� �−
� � � �+
� � �
� � � � �
� �
� �
(4.7)
Universitas Sumatera Utara
27
Yang jika kita menjumlahkan kuadrat persamaan (4.7) diperoleh
+
+
−
=
� + �
� �
(4.8)
Dengan mengisikan pers. (4.5), (4.6) dan (4.8) ke dalam pers. (4.2) dan masingmasing pembilang dan penyebut dibagi dengan R diperoleh
−
� =−
+
2
�2
�
−
/�
2+ 2+ 2 −
+
�2
+
+
+
2 2 2
√ + 2 +( + 2 + )
�
�
[− +
+
�
−
2 2 2
√ + 2 +( + 2 + )
�
+
�2
/�
+
+
�
−
�
+
�
+
+
2
]×[
�2
+
�
+
]
�
(4.9)
Selanjutnya ditinjau daerah kecil (lokal) di sekitar pusat serta diasumsikan
bahwa R cukup besar sehingga | /�|, | /�| dan | /�|