4 persamaan diferensial ordo 1

(1)

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

A. Pengertian

Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut.

Contoh : dy

dx5x 5 0 disebut PD orde I d y

dx x

2 6  7 0 disebut PD orde II

B. Pemecahan Persamaan Diferensial

Prinsipnya : Menghilangkan Koefisien Deferensialnya sehingga tinggal hubungan antara y dan x nya.

Pemecahan PD dapat dilakukan dengan cara : Integrasi Langsung (paling mudah) Pemisahan Variabel

Substitusi Y=V.X

Persamaan Linier (Penggunaan FI)

1. Pemecahan Dengan Integrasi Langsung → Dy/Dx = F(X)

Contoh 1

Pecahkanlah persamaan

dx  3x 6x5

(2)

Y = x3 - 3x2 + 5x + c

Jawaban ini disebut dengan jawaban umum karena masih memuat unsur c (constanta). Jika sudah tidak memuat unsur c disebut dengan jawaban khusus.

Contoh :

Pecahkanlah permaan

dx  2x4, dengan y = 8, x = 1

Jawab Y 





2x4



Y= x2 _{+ 4x +c} 8 = 1 + 4 + c

c = 3

Jadi Y = x2_{+ 4x + 3 ( Jawaban Khusus)}

2. DENGAN PEMISAHAN VARIABEL→ dy/dx = f(x,y)

Contoh

dy

dx

x

y





2

1 (

)

Prinsipnya F(y), dipindah ke Ruas Kiri (ke Ruas dy

dx)

Jawab :





x

dx

dy

y



1 

2

Kedua ruas di integrasikan terhadap x









dx



xdx

dx dy

y 1 2 .

(3)

y

x

c

y

_

_













_

2

Bentuk Umum



f

(

y

)

.

dy





f

(

x

)

.

dx

3. PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI Y = v . x Contoh :

dy

dx

x

y

x





3

2

 soal ini susah memisahkan Y-nya.

Jawab :

Y = v . x , disubstitusikan ke persamaan :

2 3 1 2 3 2 ) . ( 3 v x vx x x x v x dx

dy _  _  _ 

Jadi : dy

 1 3

2 ……… persamaan (1)

Kita lihat Rumus :

Y = v . x, maka turunannya :

dx v x

dv dx

 .1 . ……. persamaan (2)

Catatan : Ingat rumus Y=U.V maka Y’=U.V’+V.U’

Jika persamaan (1) dimasukkan ke persamaan (2)

1 3

2 

 

v x dv dx .

(4)

x dv

v v .  1 3 

dv dx

v v .  1 3 

2 2

x

dv

dx

v

.



1 

2

1 ( v) . 

dx x  Sudah dinyatakan dalam bentuk

V dan X

Kemudian masing-masing ruas diintegrasikan ke x

1 

 



 



_v dv_dxdx



x .dx

2 n



1v



 n xc

Jika Constanta C diganti bentuk lain yaitu : C = nA

2 n



1v



n xn A

n(1+ v)2₌__n_{(A . x)}

(1+ v)2_{= A . x}……….(3)

Jika

Y = v . x  V = y

x maka persamaan (3) dapat ditulis

menjadi

1 







 

y

x

A x

 apabila semua ruas dikalikan x2

(5)

3 2

2

1 

yx



y



A

x





3 2

x

A

y

x





Catatan :

Persamaan dalam soal di atas yaitu

dy

dx

x

y

x





3

2

disebut

sebagai “PERSAMAAN DEFERENSIAL HOMOGEN”.

Artinya X dan Y mempunyai pangkat yang derajatnya sama , yaitu 1.

4. PERSAMAAN LINIER (Penggunaan Faktor Integral)

Metode penggunaan FI ini dipakai apabila metode nomor 1-3 sulit untuk diterapkan.

Bentuk umum dari Persamaan Linier Orde Pertama adalah

dx  py  Q

Contoh1 : x

dx  y x

(6)

Jawab :

Soal diatas dibuat menjadi berbentuk persamaan linier orde pertama

xdy

dx  y x

, semua dibagi dengan x 2

x

y

dx

dy





_atau

. 1

x y x dx dy



 _{, persamaan ini sama dengan}dy

dx  p y  Q

P, Q = Konstanta fungsi x dari persamaan tsb.

Harga P = 1

(7)

Rumus Faktor Integral (IF)

IF



e

P.dx

Karena P = 1

x maka

dx x

e

IF





Sehingga IF =

e

n x

Karena

e

n x



x

Maka IF = x

Kembali ke soal diatas

.

1 x

y

x

dx

dy

_

_

 semua ruas dikalikan dengan IF

x

dy

dx

y

x

.



1 .



3_{... persamaan (1)}

bentuk persamaan (1) tersebut sama saja dengan y = u . v

dy

dx

u

du

dx

v

dv

dx



.



.

_{atau y}1_{= u . v}1_{+ v . u}1

Jadi harga

x dy

dx y

u v u v

.  .

   



1 1

dapat ditulis dengan d u v

dx ( . )

atau

dx x y d( . )

(8)

Atau

_dx

x

y

d

y

dx

dy

x

.



1 .



(

.

)

_{………..persamaan (2)}

Jika persamaan (1) = persamaan (2)

d yx

( )

= x3

Maka yx 



masing-masing ruas kemudian diintegrasikan ke x maka,



dx 



x dx

dx yx

d( ) 3



d(yx)



x3dx

Ingat jika



d(x) x maka



d(yx) yx , sehingga

yx



x



c

1

4

(9)

Jika soal diatas dikerjakan dengan menggunakan rumus FI maka akan lebih singkat :

y FI

.





Q FI dx

.

Dari penyelesaian diatas diketahui FI=x dan Q=x2 sehingga

dx

x

yx





.

_{yang menghasilkan}

yx



1 x



c

4

(10)

contoh 2 :

Pecahkanlah

5 y

x

dx

dy

x





Jawab

5 y

x

dx

dy

x





__{masing-masing dibagi x}

5 x

y

dx

dy





_{sudah berbentuk persamaan linier ordopertama}

dx  py  Q

dengan P =

x

5 

Q =x6

Faktor Integral (FI) =

e



p dx=



 dx

e

Dimana



 dx

x 5

= 



x 5

= -5 ln x = ln x-5

Jadi (FI) = ln( )



e

= x-5 = 5

1 x

Rumus Faktor integral

y FI

.





Q FI dx

.

(11)





dx

x

y

.

1

₅ 6

.

1

₅

.







x

dx

x

y

.

c

x

y





2

1

 jika semua ruas dikalikan x5

5

7 .

2

1 x

c

x

(1)

56 Jawab :

Soal diatas dibuat menjadi berbentuk persamaan linier orde pertama

xdy

dx  y x

, semua dibagi dengan x

x

y

dx

dy





_atau 2

. 1

x y x dx dy



 _{, persamaan ini sama dengan}dy

dx  p y  Q

P, Q = Konstanta fungsi x dari persamaan tsb.

Harga P = 1

(2)

57 Rumus Faktor Integral (IF)

IF



e

P.dx Karena P = 1

x maka dx x

e

IF

. 1 



Sehingga IF =

e

n x Karena

e

n x



x

Maka IF = x

Kembali ke soal diatas

.

1 x

y

x

dx

dy

_

_

 semua ruas dikalikan dengan IF

x

dy

dx

y

x

.



1 .



3_{... persamaan (1)}

bentuk persamaan (1) tersebut sama saja dengan y = u . v

dy

dx

u

du

dx

v

dv

dx



.



.

_{atau y}1_{= u . v}1_{+ v . u}1

Jadi harga

x dy

dx y

u v u v

.  .

   



1 1

dapat ditulis dengan d u v

dx ( . ) atau dx x y d( . )

(3)

Atau

_dx

x

y

d

y

dx

dy

x

.



1 .



(

.

)

_{………..persamaan (2)}

Jika persamaan (1) = persamaan (2)

d yx

dx ( )

= x3 Maka yx 



masing-masing ruas kemudian diintegrasikan ke x maka,



dx 



x dx dx

d( ) 3



d(yx)



x3dx

Ingat jika



d(x) x maka



d(yx) yx , sehingga

yx



x



c

1

4

(4)

Jika soal diatas dikerjakan dengan menggunakan rumus FI maka akan lebih singkat :