Handouts_Matematika II – Diferensial, Integral, Persamaan Diferensial

• Fungsi Polinom
• Perkalian Fungsi, Pangkat dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
• Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial Integral:
• Integral Tak-Tentu
• Integral Tentu

II II

• Persamaan Diferensial Orde-1
• Persamaan Diferensial Orde-2

  4 Pengertian-Pengertian

  3 4 x y

  2

  1

  2

  1

  ∆x ∆y

  ∆ = Bagaimanakah dengan garis lengkung?

  − − = ∆

  2 x x y y x y m

  1

  2

  1

  ) ( ) (

  kemiringan garis lurus adalah

  Turunan Turunan Turunan Turunan Fungsi Fungsi Fungsi Fungsi----Fungsi Fungsi Fungsi Fungsi

  Persamaan Diferensial

  2 ISI Turunan Fungsi-Fungsi:

  1

  II Sudaryatno Sudirham

  Matematika Matematika Matematika Matematika II

• 1

3 Kita telah melihat bahwa

  P ¹ ∆y ∆x x y

  2

  ,y

  Garis lurus dengan kemiringan ∆ y/ ∆ x memotong garis lengkung di dua titik

  Garis Lengkung

  1

  ) (x

  2

  ,y

  )

  1

  x y f

  = Pada suatu garis lengkung kita dapat memperoleh turunannya di berbagai titik pada garis lengkung tersebut

  P ² y = f(x)

  mendekati nol, kita peroleh ) (

  x

  Pada kondisi ∆

  x di perkecil menjadi ∆ x *

  Jarak kedua titik potong semakin kecil jika ∆

  (x

2 P

  5

  = ∆ = ∆

  2

  1 = =

  1

  ( 2 )

  Contoh: x x f y

  → ∆ x x x f x x f y x

  − ∆ + = ′

  ) ( ) ( lim

  2 ) lim (

  7 = k x f y = ) (

  kita baca “turunan fungsi y terhadap x ”

  dalam dalam domain tersebut kita katakan bahwa fungsi f ( x ) dapat di-diferensiasi dalam domain.

  x

  ) dapat di-diferensiasi di semua

  x

  (

  f

  2 ( 2 )

  1 = ∆

  → ∆

  3

  8 Mononom

  Fungsi ramp Fungsi tetapan

  1 = ′ x f

  ( 2 )

  1 =

  2

  4 5 x y x y

  2

  ∆ = ∆ − ∆ +

  1

  10

  8

  6

  4

  2

  Contoh:

  = ′ → ∆ x x x x x x x f x

  ) lim ( Jika dalam suatu domain suatu fungsi

  ∆ ∆ = =

  P ¹ ∆y* ∆x* x y y = f(x) ∗

  x 1 , y

  ) di titik (

  x

  ′(

  1 ), f

  x 1 , y

  di titik (

  1 ) adalah turunan y

  ) di titik (

  2 ) adalah turunan y

  x

  ′(

  ′ = ∆ − ∆ +

  = ∆ ∆

  → ∆ → ∆

  Ini merupakan fungsi turunan dari

  ) (x f di titik P

  Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

  x 2 , y

  di titik (

  x y y dx d dx dy x

  ∆ ∆ → ∆

  Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

  x .

  memang merupakan fungsi

  y

  di mana benar ada Penurunan ini dapat dilakukan jika

  1

  Jika pada suatu titik lim x

  ) ( ) ( lim lim x f

  x 2 , y

  ) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”

  x

  (

  f

  maka dikatakan bahwa fungsi

  6

  x x f x x f x y x x

  2 ) ), ( x f y

  x y x

  Secara umum, turunan fungsi mononom

2 Contoh: y = f ( x ) =

  2 x

  2

  2 n y f ( x ) mx

  = =

  2

  2

  2

  2

  2 ( x x ) 2 x 2 ( x 2 x x x ) 2 x

• 2

  ∆ − ∆ ∆ − + +

  adalah

  f ( x ) lim lim ′ = =

  2 ∆ x → ∆ x ∆ x → ∆ x

  ( n − 1 ) y ( m n ) x

  ′ = ×

  2 2 x 2 x ) 4 x

  = × ∆ = ∆ x → n n y mx *)

• lim (

  Jika = 1 maka kurva fungsi = berbentuk garis lurus Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus)

  y f ( x ) k

  dan turunannya berupa nilai konstan, ′ = ′ =

  n

  3 n y mx

  Jika > 1, maka turunan fungsi = akan merupakan

  Contoh: y = f ( x ) =

  2 x

  3

  3 x y f (x )

  fungsi , ′ = ′

  3

  3

  2 x

• 2 ( x x )

  ∆ − f ( x ) lim

  ′ =

  3 ∆ x → x

  ∆

  Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi

  2

  3

  3

  3

  turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi 2 ( x 3 x ∆ x

  3 x ∆ x ∆ x ) − 2 x lim

• 3

  = x x

  ∆ → ∆ y f (x ) y f (x )

  ′′ = ′′ turunan dari ′ = ′

  lim

  2 3 x

  2 3 x x 2 x 6 x

  = × × ∆ ∆ = x

  ∆ → y ′′′ f ′′′ (x ) y ′′ = f ′′ (x )

  = turunan dari

• *) Untuk n berupa

  Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom

  bilangan tak bulat akan

  pangkat 2 (kurva parabola)

  dibahas kemudian

  9

  10 dy y f ( x )

  ′ = ′ =

  disebut turunan pertama,

  n dx

  Kurva fungsi mononom y f ( x ) mx yang memiliki beberapa turunan

  = =

  2 akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya. d y y f ( x )

  ′′ = ′′ =

  turunan kedua,

  2 dx

  4 Contoh: Fungsi y x dan turunan-turunannya

  =

  3 d y

  3

  2 turunan ke-tiga, dst. y ′′′ = f ′′′ ( x ) = y

  24 x y

  24

  y ′ 4x y ′′ = 12x ′′′ = ′ ′′′ = =

  3 dx

  200

  2 y ′′ 12 x

  =

  3

  4

  3 y f ( x )

  2 x

  y = x Contoh: = = y ′ = 4x

  4

  4 100 (

  3 − 1 )

  2 2 y ′′′ = 24 x y 2 ( 3 ) x 6 x ; y ′′ = 12x

  4 ′ = = y ′ ′′′

  24 (

  2 1 ) =

  − y ′′ 6 ( 2 ) x 12 x ;

  4 = =

• 3 -2 -1

  1

  2

  3

  4 y

  12 4 ′′′ =

  3 y ′ = 4x

• 100

  11

  12

• = =
• − + ∆ + = ′

• 1
• 5

  2

  8

  2

  { } { }

  4 − + + = = x x x x f y

  4

  3

  2

  4 ( 5 )

  2

  5

  → ∆ x x x x x x x x x y x

  3

  2

  4 lim

  2

  4 ( 5 ) ( 2 )

  2

  5

  4

  2

  2

  8

  2

  { } { }

  3 − + = = x x x f y

  3

  2

  2 ( 4 )

  15

  2

  14 Contoh:

  → ∆ x x x x x x x x x x x x x x y x

  16 Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

  maka

  vw y = Jika

  ) ( ) (

  ∆ ∆

  = ∆ − ∆ + =

  ∆ ∆ ∆

  v w v w w v vw w w v v y y ∆ ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ + ∆ + = ∆ + x w v x v w x w v x vw v w v w w v wv x y y y x y

  ) ( ) )( ( ) (

  ) (

  15 dx dv w dx dw v dx vw d dx dy

  Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.

  Contoh: Secara Umum:

  4

  4

  3

  2

  3

  2

  2

  2

  5 lim

  5 ( 5 ) ( 2 ) ( 4 )

  4

  2

  5

  5

  3

  5

  3

  4 x y Contoh:

  2

  )=4

  x

  (

  f

  Turunan fungsi ini sama dengan turunan

  1 = x f

  '

  ( 4 )

  2 x y

  10

  8

  6

  4

  (x) = 4x + 2

  1

  → ∆ x x x x x f x x f

  1 = ∆

  4 ) lim (

  4 ( 2 )

  2

  4

  x x f y { } { }

  1

  1

  2 ( 4 )

  Contoh:

• 15
• 10

  x

• 1 -0,5 0,5 1 1,5
• 4
• 2

  karena turunan dari tetapan 2 adalah 0.

  Secara Umum:

  Jika

  2

  1

  10

  5

  ( 4 ) 2 ==== ′′′′ x f

  2 −−−− ==== x x f

  ) 2 ( ( 4 )

  2 = ′ x f

  ( 4 )

  2 − = x x f

  8 ( 4 )

  2 − = = x x f y

  2

  ) 2 ( ( 4 )

  )

  f ′ ( x

  ) =

  F ʹ( x

  maka

  K

  ) +

  x

  (

  f

  ) =

  x

  (

  F

13 Polinom

• = + × = ∆ − + − − ∆ + + ∆ + = ′
• = + × + × = ∆ − + + − − ∆ + + ∆ + + ∆ + = ′
• ∆ ∆ = ∆ − ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
• ∆ ∆
• = =

  Fungsi Yang Merupakan Pangkat

  5

4 Contoh: y 6x y ′ 30x

  Turunan = adalah =

  dari suatu Fungsi

  Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi

  3

  2 d (

  2 x 3 x )

  ×

  2

  2

  4

  4

  4

  6

  3

  2 y

  2 x 6 x 3 x 6 x 12 x 18 x 30 x

  ′ = = × × = = + y v v v v

• 3

  = = × × Contoh:

  1 dx

  2

  3 dy dv dv dv

  3

  2

  3

  2

  = dx dx dx dx

• ( v v ) ( v v ) ( v v )
• 1

  Jika y uvw

  =

  2

   

  dv  dv dv  dv dv

   

  4

  3

  2 d ( uvw ) d ( uv )( w ) dw d ( uv ) dw dv du

   

  v  v v v = + +

• v v  v
• 5

  = = =   + +

• ( uv ) w ( uv ) w u v

   

  dx  dx dx  dx dx dx dx dx dx dx dx dx

     

  dw dv du

   

  dv dv dv dv dv

  5

  5

  5

  4

  ( uv ) ( uw ) ( vw )

  = + + v

  2 v v v  v v 

  = + + + + dx dx dx dx dx dx dx dx

   

  dv

  5

  5 =

  6 v

  y = 6x Contoh: dx

  6

  6 Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi dv dv dv dv

  5

  6 v Contoh ini menunjukkan bahwa = =

  dy d ( uvw ) dx dv dx dx

  2

  2 = = (

  2 x × 3 x )( 1 ) ( 2 x × x )( 6 x )

• 2

  n dx dx dv dv n

  1 −

  Secara Umum: nv =

  2

  4

  4

  4

  4

  (3x x )(

  × + + +

  4 x ) = 6 x 12 x 12 x = 30 x

  dx dx

  17

  18 Fungsi Rasional

  2

  3

  3

  2

  1 ) ( x 1 )

  = −

• Contoh: y ( x

  Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

  v −

  1 y

  = y vw

  atau =

  w

  2

  2

  3 dy d ( x

  1 ) d ( x 1 )

  2

  3

  2

• 3

  ( x 1 ) ( x 1 )

  − 1 −

  1 = + − + dy d  v  d ( vw ) dw dv

  3 −

  −

  dx dx dx

    v w

  = = =

• 1

  2

  3

  3

  2

  3

  2

  2

  2 dx dx  w  dx dx dx

  ( x 1 ) 2 ( x 1 )( 3 x ) ( x 1 ) 3 ( x 1 ) 2 x

  = − − + + + dv dv − v dv

  1 dv

  − −

  2

  1

  2

  2

  3

  3

  3

  2

  2

  2 vw w

  6 ( 1 ) ( 1 ) 6 ( 1 ) ( 1 )

  = − = + + = x x x − x x − x

  2 dx dx dx w dx w

  2

  2

  3

  1 )( x 1 ) ( 2 x x 1 )

  = − −

• 6 x ( x
• 3

  1  dv dw   w v 

  = −

  2

   dx dx 

  w

   dv dw   w v 

  −

   

  d v  dx dx  Jadi:

   

  =

  2 dx  w  w

  19

  20

  q p n

• − = − − = − − =

  1 / 1 q p p q q p q v v y

  ( ) ) / (

  − − = =

  ) (

  1 1 /

  dx dv qy pv dx v d dx dy q p q p

  Jika y ≠ 0, kita dapatkan

  1 − 1 − =

  dx dv pv dx dy qy p q

  Bilangan tidak bulat

  = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0

  (v adalah fungsi yang bisa diturunkan)

• =
• =
• − − − −

  21

  (agar penyebut tidak nol) Contoh:

  x x x x x x x x x x x x dx dy

  − − − = −

  − − = −

  2 ) 1 ( 2 ) 1 (

  2 ) 1 (

  2

  2

  2

  4 ) 1 (

  − − −

  1 ( ) / ( 1 /

  = = dv v p dx dv v q p dx dv qv pv dx v d dx dy q p q p p p q p p p q p / 1 ) ( ) / ( )

  ) ( ) ( t g t f F y

  24 Fungsi Implisit

  implisit . Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x.

  Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi

  Kaidah Rantai

  =

  ) (x F y

  = =

  ) ( dan ) ( t f y t f x

  Apabila kita mempunyai persamaan maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk

  =

  = = dapat diturunkan terhadap t menjadi maka dt dx dx dy dt dy

  = dapat diturunkan terhadap x dan Jika ( )

  ) (

  ) (x F y

  = dapat diturunkan terhadap t,

  ) (t f x

  22 Fungsi Berpangkat Tidak Bulat Kaidah rantai

  Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

  = v y

  / = = p q

  q p n v v y

  sehingga

  = = = =

  −

  ) 1 (

  2

  2

  2

  2

  2

  Contoh:

  x x x x x x x x x x x dx dy

  ) 3 ( 2 (

  2 ) 3 )(

  9 3 (

  9 )

  3

  2

  6

  2

  4

  4

  2

  6

  2

  4

  − =

  x x y

  3

  2

  3

  1

  x = x y +

  3

  2

  2

  3

  3

  2

  2

  2

  2

  x x x y

  2 ≠ −

  2

  1

  2

  1

  ; 1 dengan

  Contoh:

  − = × − ×

  x x x x x dx dy

  2

  1

  2

  4

  2

  2

• − − =

23 Fungsi Parametrik dan

  3

  4

  3

  4 = − + y xy x

  12 4 ) 3 (

  4

  4 )

  ) 3 ( 4 (

  4

  4

  3

  3

  2

  3

  4

  3

  Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

  4

  3

  Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh

  2

  8

  2

  2 = + +

  Contoh: y xy x y x dx dy y x dx dy y dx dx y dx dy x x

  − − = + = + + +

  2 ) 2 (

  2

  4

  Untuk y xy kita dapat memperoleh turunan

  2 ≠ −

  3

  ) (

  3 y xy y x dx dy

  3

  Contoh:

  3 = − + + = − + + dx dy y y dx dy y x x dx y d dx x d y dx dy x x

• − =
• − =

  25

  Jika maka Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos ∆ x = 1 dan sin ∆ x = ∆ x .

  28

  − =

  x dx x d sin cos

  Oleh karena itu

  Jika maka Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos ∆ x = 1 dan sin ∆ x = ∆ x .

  =

  x y cos

  cos sin sin cos cos ) cos cos( cos

  − ∆ + = =

  ∆ − ∆ − ∆ = ∆

  x x x x x x x x x x dx x d dx dy

  =

  x dx x d cos sin

  Oleh karena itu

  x y sin =

  ) (

  sin sin cos cos sin ) sin sin( sin

  − ∆ + = =

  ∆ − ∆ + ∆ = ∆

  26 x x x x x x x x x x dx x d dx dy

  y x y x dx dy

  2

  2

  ) 2 (

  −

  ≠ + y x

  Jika kita peroleh turunan

  2

  3

  3 ) (

27 Turunan Fungsi Trigonometri

• 6

  2 , 5 ,

  1

  31 x y

  0.04 0.05 t [detik]

  0.03

  0.02

  0.01

  L

  L i

  L v

  L i

  = × × × = − × = = v

  2

  400 400 200 400 sin sin 2 , 5 , 2 400 cos

  = y x sin

  L L

  ( ) t t t dt d dt di L v

  L L =

  dt di L v

  adalah

  L

  dan arus induktor i

  L

  0,2cos400t ampere. Hubungan antara tegangan induktor v

  −

  Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus i L =

  30 Contoh:

  C t [detik]

  sin −

  = ydy dx cos

  C v

  2

  32 Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

  − =

  = ydy dx sin

  − = y x cos

  1 cos

  1 x − y x y

  2

  1

  − − = x

  x dx dy

  1

  1

  − =

  = y dx dy

  1

  sin

  1 x − y y dx dy

  2

  1

  − = x

  x dx dy

  1

  1

  2

  =

  1

  cos

  C i

  C i

  cot csc sin cos sin

  2

  =    

  2 = = − −

  2

  ) sin ( cos 1 sec

  = x x x x x x x dx d dx x d tan sec cos sin cos

    

    

  =

  − = − = − −

  ) (cos cos sin sin cos cot

  csc sin 1 sin

  2

  0.05 v

  2

  2

  = x x x x x x x x dx d dx x d

    

    

  = = − − =

  ) sin ( sin cos cos sin tan

  sec cos 1 cos

  2

  2

  2

  2

    = x x x x x x x dx d dx x d

  ) (cos sin 1 csc

  Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

  adalah

  0.04

  0.03

  0.02

  0.01

  C C = × × = =

  6 t t dt d dt dv C i

  2

  10

  , 160 400 ampere cos 400 sin 200

  ( )

  C C =

  dt dv C i

  C

  2

  dan arus kapasitor i

  C

  = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah Hubungan antara tegangan kapasitor v

  C

  farad merupakan fungsi sinus v

  10

  Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2 ×

  =

    

    

  = − =

  2 − = −

  x x x x x x x x dx d dx x d

• 200
• 100 100 200

29 Contoh:

• 200
• 100 100 200
• y
• =
• y
• − =

  dx dv v dx dv x x x v v dx d dx v d

  2

  2

  2

  2

  sec cos sin cos cos

  ) sin (tan

    

  =

    

  = dx dv v v v dx d dx v d

  2

  csc sin ) cos (cot

  − =

    

    

  Jika v = f(x), maka

  − = =

  sin ) (cos ) (cos

  = − × − = −

  1

  1 cos sin

  2

  2

  2

  2 − −

  = x x x x x y y dx dy

  = = dx dv v dx dv dv v d dx v d

  1

  x

  1

  2

  − x y

  34 dx dv v dx dv dv v d dx v d

  cos ) (sin ) (sin

  = dx dv v v dx dv v v v dx d dx v d

  (sec 1 )

  tan sec cos sin cos

  2

  − dx dw w dx w d

  2

  1

  1 (cot 1 )

  − dx dw w w dx w d

  1 (sec 1 )

  1 − =

  1

  − dx dw w w dx w d

  1 (csc 1 )

  2

  1 − − =

  −

  Jika w = f(x), maka

  36

  1 (tan 1 )

  2

  2 =

  =

    

    

  = dx dv v v v dx d dx v d

  cot csc sin (csc 1 )

  − =

    

    

  dx dw w dx w d

  − − = − dx dw w dx w d

  2

  1

  1 (sin 1 )

  − = − dx dw w dx w d

  2

  1

  1 (cos 1 )

  1

  1

  − =

  2

  1 x

  x y

  1

  cot

  − = y x cot

  = dy y dx

  sin

  1

  1

  − = y dx dy

  2

  − sin =

  2

  1

  1

  2

  x

  sin ) (cos

  cos

  x y

  1

  tan

  − =

  = y x tan dy y dx

  2

  1

  x dx dy

  = y dx dy

  2

  cos

  =

  2

  1

  1

  x dx dy

  x

  1

  2

     

     

  − × = = x x x x x y y dx dy

  1

  x

  1

  − x y x y

  2

  1

  csc

  − = y y x

  sin

  1 csc

  = = dy y x dx

  2

  2 − =

  2

  2

  1 sec

  1 x

  33 x y

  1

  sec

  − = y y x

  cos

  = = dy y x dx

  2

  2

  cos ) sin ( − −

  =

  1

  1

  1

  1 sin cos

• =
• =
• − =
• =

35 Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi

  Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

  ) ( lim x f

  , yang disebut sebagai

  F dx x dy ) ( ' = 2). dy

  ) ( x F y =

  y merupakan fungsi dari x:

  0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan

  ≠

  Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx

  = → ∆

  ′ = ∆ ∆

  x y dx dy x

  didefinisikan sebagai berikut: Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi

  ,

  dy

  dan

  38 dx

  − − −

  x e dx x d e dx dy x x

  1 tan ^{1 1}

  2 tan 1 tan

  − =

  x e y ¹ tan

  Jika

  diferensial y

  adalah fungsi dari x dan dx

  ) (x v v

  dx dy θ y x

  dx dy θ x y

  P

  dx dy θ x y

  P

  θ x y

  40 P dx dy

  adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx adalah laju perubahan y terhadap perubahan x.

  ) dx dy (tan θ =

  θ = tan dx dy

  Jika dx berubah, maka dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva

  P

  yang dinyatakan dengan 1). dx , yang disebut sebagai diferensial x , adalah bilangan nyata dan merupakan

  F dx x dy ) ( ' =

  (peubah tak bebas)

  Ini adalah peubah bebas Ini adalah fungsi

  dx dy θ y x

  P

  Penjelasan secara grafis

  39 Diferensial dx dan dy

  ;

  x

  lain selain

  peubah bebas

  =

  = =

  Turunan Fungsi Logaritmik

  3

  1 ln   

  1

  ∫ = x dt t x

  4 y

  3

  2

  1

  6

  5

  4

  2

  ∆ = ∆ − ∆ +

  1

  1/(x+∆x)

  x +∆x

  1/x 1/t

  x t

  luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x

  ) x x f ln ( = didefinisikan melalui suatu integral Fungsi logaritmik

  ∫ x dt t x x f x

  1 > = =

  1 ) ln (

  ) (

    

  = ∫

  

.

dx dv e dx dv dv de dx de v v v

  = =

  dst.

  = ′′ ′

  = ′′ x e y

  = ′ x e y

  x e y

  itu sendiri

  x

  adalah e

  x

  atau Jadi turunan dari e

  = = dx dy y dx y d x e y dx dy

  ∆ + x x x dt t x x x x x dx x d

  ln ln penurunan secara implisit di kedua sisi 1 1 ln

  = =

  = x e x y

  37 Turunan Fungsi Eksponensial x e y

  ln(x+ ∆ x) − lnx Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut

  =

  (Δx × 1/x). x dx x d 1 ln

  × 1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan

  1/x). Namun jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx

  persegi panjang (Δx ×

  1 ) 1 ) ln( ln( ln

• = =
• dw dv w v d = + ) ( dx dv w dx dw v dx dvw
• = wdv vdw vw d
• =
• ) (
• − = ′
• =
• − = sehingga

  43 Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk

  x x y ) dx x x dy

  5

  6 3 (

  2

  Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

  dx x x dx xdx dx x d x d x d x d dy

  )

  5

  6 3 (

  5

  6 3 ) ) 6 (

  ) 5 ( ) 3 ( (

  2

  42 Integral

  mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan ) (x f

  3

  2

  44

  Contoh persamaan diferensial Pengertian-Pengertian

  y x dx dy xy dx y d x x dx dy

  2 = + +

  2

  2

  2

  dx dy =

  2

  5

  6

  6

  3

  Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial.

  2

  6

  1. Integral Tak Tentu

  5

  Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.

  Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

  ; konstan = = c dx dc dx dv c dx dcv

  = dx dw dx dv dx w v d

  = cdv dcv ; konstan

  = = c dc

  ) (

  2 w dx dw v dx dv w dx w v d

  − =    

   

  2 w vdw wdv w v d

  − =   

     dx dv nv dx dv n n

  1 −

  = dv nv dv n n 1 −

  =

  Contoh:

  3 − + − = x x x y

  2

  3

  5

  6

  2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)

  1 −

  1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.

  41 Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

  Diferensial Turunan Fungsi

• − =
• − = − + + − + =

  − =

  1 ) (

  = n n cnx dx dcx dx cnx cx d n n

• =

  dy dF ( x ) f ( x )

  Tinjau persamaan diferensial = f ( x )

  = dx dx y F (x )

  =

  Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan dapat dituliskan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi

  dF ( x ) = f ( x ) dx dF ( x )

  ( ) Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

  = f x dx

  ( ) ( ) ( )

  f ( x ) dx F ( x ) K d F x K dF x dK dF x = + +

  [ ]

  Karena

  ∫

  maka

  = + = + dx dx dx dx integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri

  Jadi

• fungsi y = F ( x ) K juga merupakan solusi