handout aljabar linear iipanjang dan jarak vektor
Diktat Aljabar Linear II
PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM
Perlu diingat kembali definisi panjang dan jarak suatu vektor pada ruang hasil kali dalam
Euclid, yaitu runag vektor yang hasil kali dlamnya didefinisikan sebagai hasil kali titik ( hasil
kali dalam Euclid ). Panjang vektor v (v1 , v 2 ,..., v n ) R n didefinisikan sebagai:
v12
v
v22
... vn2
v1v1
v2v2
... vn vn =
v.v
dan jarak antara vektor v (v1 , v 2 ,..., v n ) dan u = (u1, u2 ,..., un ) didefinisikan sebagai:
(v1 u1) 2
d (v, u)
(v1
(v2
u2 ) 2
u1 )
(v2
u1 )(v1
un ) 2
... (vn
u2 )(v2
u2 ) ... (vn
un )(vn
un )
(v u)(v u)
1
v u 2
Sejalan dengan generalisasi definisi hasil kali dalam pada sebarang ruang vektor, maka
secara analog, didefinisikan panjang dan jarak vektor pada sebarang ruang hasil kali dalam
sebagai berikut:
Panjang vektor v V , yang selanjutnya dinotasikan dengan v , didefinisikan:
v
v, v
Jarak vektor v V dengan u V , yang selanjutnya dinotasikan dengan d (v, u ) , didefinisikan:
1
d (v, u )
v u 2
Contoh 2.2
Diberikan ruang vektor R 3 dan hasil kali dalam yang didefinisikan u, v
hitung panjang vektor v (3, 1,4) dan jarak vektor v dan u jika u
3u1v1
2u2v2
u3v3 ,
(0, 2,1) .
Jawab:
Panjang vektor v adalah v
3.3.3 2.( 1)( 1) 4.4
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
27
2 16
45
3 5.
44
Diktat Aljabar Linear II
Jarak vektor v dan u adalah:
1
v u 2
d (v, u )
(3 0)(3 0)
( 1 2)( 1 2)
(4 1)( 4 1)
9 1 9
19
Berikutnya diberikan sifat yang berlaku pada sebarang ruang hasil kali dalam, yang
selengkapnya diberikan pada teorema berikut:
Teorema 2.1
Jika v , u , w V dengan V adalah sebarang ruang hasil kali dalam, maka berlaku:
a.
0, v
v, 0
b.
u, k v
k u, v
c.
u, v
d.
u
e.
0
w
u, v
u, w
v, w
u, w
v, w
u v, w
u, w
v, w
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
45
Diktat Aljabar Linear II
Sudut Dan Orthogonalitas Pada Ruang Hasil Kali Dalam
Dalam bagian ini akan didefinisikan besarnya sudut antara dua vektor dalam ruang hasil
kali dalam, dan konsep ini akan digunakan untuk memperoleh kaitan antara vektor-vektor pada
ruang hasil kali dalam.
Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz
Perlu diingat kembali, pada ruang hasil kali titik ( dot product ) berlaku bahwa jika v , u
merupakan vektor-vektor tak nol di R 2 atau R 3 dan
adalah sudut antara dua vektor tersebut,
maka :
u.v
u v cos
atau:
u.v
u v
cos
Tujuan utama dalam bagian ini adalah mendefinisikan konsep suatu sudut antara dua
vektor pada sebarang ruang hasil kali dalam. Seperti pada generalisasi dari hasil kali titik, maka
konsep inipun analog dengan pendefinisian hasil kali dalam pada sebarang ruang vektor,
sehingga definisi sudut antara dua vektor tak nol pada sebarang ruang hasil kali dalam adalah
sebagai berikut:
u, v
cos
u v
Diketahui bahwa cos
1 , sehingga setiap pasangan vektor pada ruang hasil kali dalam
memenuhi pertidaksamaan :
u, v
u v
1
Teorema 2.2. Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz
Jika u , v vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real, maka berlaku u, v
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
u v
46
Diktat Aljabar Linear II
Bukti
Jika u
0 , sehingga
0 dan u
u, v
0 , sehingga kedua ruas sama. Dengan demikian
dipenuhi.
Asumsikan bahwa u
0 . Misalkan a
u , u , b 2 u, v , c
v, v , dan t sebarang bilangan
real. Dengan menggunakan aksioma kepositifan , hasil kali dalam dari suatu vektor dengan
dirinya sendiri selalu non negatif, sehingga:
0
tu
v, t u
v
u, u t 2
2 u, v t
v, v
at 2
bt
c
Pertidaksamaan ini berakibat bahwa polinomial kuadratik ini tidak mempunyai akar real atau
akar kembar. Sehingga diskriminannya harus memenuhi pertidaksamaan b2 4ac 0 . Jika
dinyatakan dengan pemisalan a
u , u , b 2 u, v , c
4 u, v
2
v, v , maka diperoleh:
4 u,u v, v
0
Atau:
u, v
2
u, u v, v
Dengan mencari akar kuadrat dari kedua ruas dan kenyataan dari sifat nonnegatif dari hasil
kali dalam, maka diperoleh:
1
u, v
1
u , u 2 v, v 2
Atau
u, v
u v
Selanjutnya, diberikan sifat-sifat panjang dan jarak suatu vektor yang dirangkum dalam teorema
berikut:
Teorema 2.3
Jika u , v vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real V dan jika k sebarang skalar, maka:
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
47
Diktat Aljabar Linear II
a.
u
b.
ku
c.
u
0
u 0
d.
u
v
u
0
k u
v
Teorema 2.4
Jika u , v , w vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real V dan jika k sebarang skalar,
maka:
a. d (u, v) 0
b. d (u , v) d (v, u )
c. d (u, v) 0
u
v
d. d (u, v) d (u, w) d ( w, v)
Orthogonalitas
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
48
PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM
Perlu diingat kembali definisi panjang dan jarak suatu vektor pada ruang hasil kali dalam
Euclid, yaitu runag vektor yang hasil kali dlamnya didefinisikan sebagai hasil kali titik ( hasil
kali dalam Euclid ). Panjang vektor v (v1 , v 2 ,..., v n ) R n didefinisikan sebagai:
v12
v
v22
... vn2
v1v1
v2v2
... vn vn =
v.v
dan jarak antara vektor v (v1 , v 2 ,..., v n ) dan u = (u1, u2 ,..., un ) didefinisikan sebagai:
(v1 u1) 2
d (v, u)
(v1
(v2
u2 ) 2
u1 )
(v2
u1 )(v1
un ) 2
... (vn
u2 )(v2
u2 ) ... (vn
un )(vn
un )
(v u)(v u)
1
v u 2
Sejalan dengan generalisasi definisi hasil kali dalam pada sebarang ruang vektor, maka
secara analog, didefinisikan panjang dan jarak vektor pada sebarang ruang hasil kali dalam
sebagai berikut:
Panjang vektor v V , yang selanjutnya dinotasikan dengan v , didefinisikan:
v
v, v
Jarak vektor v V dengan u V , yang selanjutnya dinotasikan dengan d (v, u ) , didefinisikan:
1
d (v, u )
v u 2
Contoh 2.2
Diberikan ruang vektor R 3 dan hasil kali dalam yang didefinisikan u, v
hitung panjang vektor v (3, 1,4) dan jarak vektor v dan u jika u
3u1v1
2u2v2
u3v3 ,
(0, 2,1) .
Jawab:
Panjang vektor v adalah v
3.3.3 2.( 1)( 1) 4.4
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
27
2 16
45
3 5.
44
Diktat Aljabar Linear II
Jarak vektor v dan u adalah:
1
v u 2
d (v, u )
(3 0)(3 0)
( 1 2)( 1 2)
(4 1)( 4 1)
9 1 9
19
Berikutnya diberikan sifat yang berlaku pada sebarang ruang hasil kali dalam, yang
selengkapnya diberikan pada teorema berikut:
Teorema 2.1
Jika v , u , w V dengan V adalah sebarang ruang hasil kali dalam, maka berlaku:
a.
0, v
v, 0
b.
u, k v
k u, v
c.
u, v
d.
u
e.
0
w
u, v
u, w
v, w
u, w
v, w
u v, w
u, w
v, w
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
45
Diktat Aljabar Linear II
Sudut Dan Orthogonalitas Pada Ruang Hasil Kali Dalam
Dalam bagian ini akan didefinisikan besarnya sudut antara dua vektor dalam ruang hasil
kali dalam, dan konsep ini akan digunakan untuk memperoleh kaitan antara vektor-vektor pada
ruang hasil kali dalam.
Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz
Perlu diingat kembali, pada ruang hasil kali titik ( dot product ) berlaku bahwa jika v , u
merupakan vektor-vektor tak nol di R 2 atau R 3 dan
adalah sudut antara dua vektor tersebut,
maka :
u.v
u v cos
atau:
u.v
u v
cos
Tujuan utama dalam bagian ini adalah mendefinisikan konsep suatu sudut antara dua
vektor pada sebarang ruang hasil kali dalam. Seperti pada generalisasi dari hasil kali titik, maka
konsep inipun analog dengan pendefinisian hasil kali dalam pada sebarang ruang vektor,
sehingga definisi sudut antara dua vektor tak nol pada sebarang ruang hasil kali dalam adalah
sebagai berikut:
u, v
cos
u v
Diketahui bahwa cos
1 , sehingga setiap pasangan vektor pada ruang hasil kali dalam
memenuhi pertidaksamaan :
u, v
u v
1
Teorema 2.2. Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz
Jika u , v vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real, maka berlaku u, v
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
u v
46
Diktat Aljabar Linear II
Bukti
Jika u
0 , sehingga
0 dan u
u, v
0 , sehingga kedua ruas sama. Dengan demikian
dipenuhi.
Asumsikan bahwa u
0 . Misalkan a
u , u , b 2 u, v , c
v, v , dan t sebarang bilangan
real. Dengan menggunakan aksioma kepositifan , hasil kali dalam dari suatu vektor dengan
dirinya sendiri selalu non negatif, sehingga:
0
tu
v, t u
v
u, u t 2
2 u, v t
v, v
at 2
bt
c
Pertidaksamaan ini berakibat bahwa polinomial kuadratik ini tidak mempunyai akar real atau
akar kembar. Sehingga diskriminannya harus memenuhi pertidaksamaan b2 4ac 0 . Jika
dinyatakan dengan pemisalan a
u , u , b 2 u, v , c
4 u, v
2
v, v , maka diperoleh:
4 u,u v, v
0
Atau:
u, v
2
u, u v, v
Dengan mencari akar kuadrat dari kedua ruas dan kenyataan dari sifat nonnegatif dari hasil
kali dalam, maka diperoleh:
1
u, v
1
u , u 2 v, v 2
Atau
u, v
u v
Selanjutnya, diberikan sifat-sifat panjang dan jarak suatu vektor yang dirangkum dalam teorema
berikut:
Teorema 2.3
Jika u , v vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real V dan jika k sebarang skalar, maka:
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
47
Diktat Aljabar Linear II
a.
u
b.
ku
c.
u
0
u 0
d.
u
v
u
0
k u
v
Teorema 2.4
Jika u , v , w vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real V dan jika k sebarang skalar,
maka:
a. d (u, v) 0
b. d (u , v) d (v, u )
c. d (u, v) 0
u
v
d. d (u, v) d (u, w) d ( w, v)
Orthogonalitas
Panjang dan Jarak Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
48