Handout Aljabar Linear ruang vektor x 0
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT
RUANG VEKTOR
Disusun oleh:
Dwi Lestari, M.Sc
email: dwilestari@uny.ac.id
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2012
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
MATERI ALJABAR LINEAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
IV
V
No
1
2
3
4
Ruang vektor
Subruang vektor
Kombinasi linear dan bebas linear
Basis dan Dimensi
Ruang baris dan Ruang kolom
Ruang hasil kali dalam
Orthogonalitas, basis ortonormal
Transformasi Linear, Matrik transformasi
Nilai eigen dan vektor eigen
Referensi/Sumber Bahan
A. Wajib
Anton, H. 1995. Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley and Sons.
B. Anjuran
Setiadji, 1990. Pengantar Aljabar Linear. Diktat Kuliah.
Evaluasi
Komponen
Partisipasi Kuliah
Tugas-tugas
Ujian Tengah Semester
Ujian Semester
Jumlah
Bobot (%)
10
25
30
35
100 %
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
BAB I
RUANG VEKTOR
Sebelum sampai pada definisi ruang vektor secara abstrak, lebih dulu diperkenalkan pengertian
lapangan (field). Lapangan adalah suatu sistem aljabar dengan dua operasi yang dinamakan
“addisi”(dinotasikan +) dan “multiplikasi”(dinotasikan . ), yang memenuhi aksioma-aksioma berikut ini :
1. Terhadap addisi:
a. Tertutup
b. Assosiatif
c. Terdapat elemen netral
d. Setiap elemen mempunyai invers
e. Komutatif
2. Terhadap multiplikasi:
a. Tertutup
b. Assosiatif
c. Terdapat elemen satuan
d. Setiap elemen tak nol mempunyai invers
e. Komutatif
Sebagai contoh struktur aljabar yang merupakan lapangan yang sering dijumpai yaitu:
a. ( , +, .) merupakan himpunan bilangan riil terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan riil.
b. ( , +, .) merupakan himpunan bilangan kompleks terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan
kompleks.
c. ( , +, .) merupakan himpunan bilangan rasional terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan
rasional.
Diberikan himpunan tak kosong V bersama dengan suatu operasi ⊕ pada V. Diberikan suatu
lapangan (field) ( ℝ , +, .). Diberikan suatu operasi perkalian skalar
ruang vektor atas ℝ terhadap oeprasi perkalian skalar
: ℝ × V → V. Himpunan V disebut
jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini:
1. (∀u , v ∈ V )u + v ∈ V
2. (∀u , v ∈ V )u + v = v + u
3. (∀u, v, w ∈ V )u + ( v + w ) = (u + v) + w
6. α ∈ ℝ, u ∈ V ⇒ α u ∈ V
4.
9. α , β ∈ ℝ,u ∈ V ⇒ α ( β u ) = (αβ ) u
( ∃0 ∈V ) ( ∀v ∈V ) 0 + v = v + 0 = v
5. (∀u ∈ V ) ( ∃ ( −u ) ∈ V ) u + ( −u ) = 0
7. α , β ∈ ℝ,u ∈ V ⇒ (α + β ) u = α u + β u
8. α ∈ ℝ, u , v ∈ V ⇒ α ( u + v ) = α u + α v
10. 1.u = u
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
Contoh:
Buktikan bahwa ℝ 2 merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
skalar.
Bukti:
1. Ambil sebarang ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) berlaku
( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ ℝ 2
∈ℝ
∈ℝ
SIFAT KOMUTATIF
2. ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
= ( x2 + x1 , y2 + y1 )
= ( x2 , y2 ) + ( x1 , y1 )
3.
SIFAT ASOSIATIF
[ ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )] + ( x3 , y3 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) + ( x3 , y3 )
= ( x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 )
= ( x1 , y1 ) + ( x2 + x3 , y2 + y3 )
= ( x1 , y1 ) + [ ( x2 , y2 ) + ( x3 , y3 )]
4. ∃0, ∀ ( x1 , y1 ) berlaku ( x1 , y1 ) + 0 = ( x1 , y1 )
ADA ELEMEN
IDENTITAS
( x1 , y1 ) + 0 = ( x1 , y1 )
0 = ( x1 , y1 ) − ( x1 , y1 ) = ( x1 − x1 , y1 − y1 ) = (0, 0)
Jadi, terdapat 0 = (0, 0) sehingga ( x1 , y1 ) + 0 = ( x1 , y1 ) .
5. ∀( x1 , y1 ), ∃p ∈ ℝ 2 berlaku ( x1 , y1 ) + p = 0
( x1 , y1 ) + p = 0
( x1 , y1 ) + ( p, q ) = (0, 0)
p = (0, 0) − ( x1 , y1 )
p = (0 − x1 , 0 − y1 ) = (− x1 , − y1 )
Jadi, ∀( x1 , y1 ), ∃(− x1 , − y1 ) berlaku ( x1 , y1 ) + (− x1 , − y1 ) = 0
ADA ELEMEN
INVERS
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
SIFAT 1 – 5 merupakan sifat GRUP KOMUTATIF terhadap penjumlahan. SIFAT TERTUTUP
6. Ambil sebarang α ∈ ℝ dan ( x1 , y1 ) ∈ ℝ 2 berlaku
Terhadap perkalian
skalar
α ( x1 , y1 ) = (α x1 , α y1 ) ∈ ℝ 2
7.
(α + β ) ( x1 , y1 ) = (α + β ) x1 , (α + β ) y1
= (α x1 + β x1 , α y1 + β y1 )
Sifat 7 dan 8
SIFAT DISTRIBUTIF
= (α x1 , α y1 ) + ( β x1 , β y1 )
= α ( x1 , y1 ) + β ( x1 , y1 )
8. α [ ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) ] = α ( x1 + x2 , y1 + y2 )
= (α x1 + α x2 , α y1 + α y2 )
= (α x1 , α y1 ) + (α x2 , α y2 )
= α ( x1 , y1 ) + α ( x2 , y2 )
9. α [ β ( x1 , y1 ) ] = α ( β x1 , β y1 )
SIFAT ASOSIATIF
= (αβ x1 , αβ y1 )
= αβ ( x1 , y1 )
10. 1 ⋅ ( x1 , y1 ) = (1 ⋅ x1 ,1 ⋅ y1 ) = ( x1 , y1 )
SIFAT 6 – 10 merupakan sifat dengan operasi perkalian skalar.
KES: ℝ 2 merupakan RUANG VEKTOR.
TUGAS: Selidikilah apakah himpunan berikut membentuk ruang vektor bentuk operasi jumlah
dan perkalian yang didefinisikan.
1. Himpunan A = {( x, y ) ∈ ℝ 2 | x + y = 0} dengan definisi:
( x, y ) + ( x ', y ') = ( x + x ', y + y ')
α ( x , y ) = (α x , α y )
2. Himpunan ℝ 2 dengan definisi:
( x, y ) + ( x ', y ') = ( x + x '+ 1, y + y ')
α ( x , y ) = ( α x, α y )
3. Diberikan M2( ) =
4. Buktikan
=
. Buktikan bahwa M2( ) merupakan ruang vektor !
merupakan ruang vektor atas .
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
5. Buktikan
Jurdikmat FMIPA UNY
!" merupakan ruang vektor atas .
=
6. Latihan 4.2 halaman 141
Jika V ruang vektor atas ℝ :
a. α ⋅ 0 = 0 , ∀α ∈ ℝ
b. 0 ⋅ v = 0 , ∀v ∈ V
c. −1 ⋅ v = −v , ∀v ∈ V
d. α ⋅ v = 0 , maka α = 0 atau v = 0
Bukti:
(i) Bukti yang d sebagai latihan
(ii) Ambil sebarang α ∈ ℝ dan # ∈ V, perhatikan
1$#=#
= (0 + 1) $ #
= (0 $ #) + (1 $ #)
= (0 $ #) + #
sehingga diperoleh
# + (-# = % & $ #
#' + (- #
(&
= & $ #
#
#
(
= & $#
&
=& $ #
Jadi terbukti bahwa 0 $ # = &(.
(iii)
Sekarang perhatikan
# + (-1 $ #) = (1 $ #) ⊕ (-1 $ #)
= (1 + (-1)) $ #
=0$#
= &(
=#
#
dengan menggunakan sifat kanselasi dari kiri, maka diperoleh bahwa (-1 $ #) = #.
(iv)
α$0=α$ #
#
=α$% ! $#
! $# '
= α $ ((1 + (-1)) $ #)
= α) !
= (α)0) $ #
=0$#
!
$#
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
= 0.
SUB RUANG VEKTOR
Definisi:
V ruang vektor, W ⊂ V
W dikatakan sub ruang vektor dari V jika W terhadap operasi yang sama pada V, W membentuk
ruang vektor.
Contoh : A = {( x, y ) ∈ ℝ 2 | x + y = 0}
2
A sub ruang vektor dari ℝ atau
A ⊂ ℝ2 .
TEOREMA:
V ruang vektor dan W ⊆ V , berlaku W subruang vektor dari V jika dan hanya jika:
i)
ii)
∀u , v ∈ W berlaku u + v ∈ W
∀α ∈ ℝ, ∀u ∈ W berlaku α u ∈ W
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
KUIS:
1. Diberikan
B = {( x, y , z ) ∈ ℝ 3 | x + y = z}
Tentukan apakah B ruang vektor atau bukan?
2. V: himpunan semua fungsi kontinu bernilai real dengan operasi berikut
f(x) + g(x) = (f+g) (x)
dan
α ⋅ f ( x) = (α f )( x)
Jurdikmat FMIPA UNY
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT
RUANG VEKTOR
Disusun oleh:
Dwi Lestari, M.Sc
email: dwilestari@uny.ac.id
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2012
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
MATERI ALJABAR LINEAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
IV
V
No
1
2
3
4
Ruang vektor
Subruang vektor
Kombinasi linear dan bebas linear
Basis dan Dimensi
Ruang baris dan Ruang kolom
Ruang hasil kali dalam
Orthogonalitas, basis ortonormal
Transformasi Linear, Matrik transformasi
Nilai eigen dan vektor eigen
Referensi/Sumber Bahan
A. Wajib
Anton, H. 1995. Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley and Sons.
B. Anjuran
Setiadji, 1990. Pengantar Aljabar Linear. Diktat Kuliah.
Evaluasi
Komponen
Partisipasi Kuliah
Tugas-tugas
Ujian Tengah Semester
Ujian Semester
Jumlah
Bobot (%)
10
25
30
35
100 %
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
BAB I
RUANG VEKTOR
Sebelum sampai pada definisi ruang vektor secara abstrak, lebih dulu diperkenalkan pengertian
lapangan (field). Lapangan adalah suatu sistem aljabar dengan dua operasi yang dinamakan
“addisi”(dinotasikan +) dan “multiplikasi”(dinotasikan . ), yang memenuhi aksioma-aksioma berikut ini :
1. Terhadap addisi:
a. Tertutup
b. Assosiatif
c. Terdapat elemen netral
d. Setiap elemen mempunyai invers
e. Komutatif
2. Terhadap multiplikasi:
a. Tertutup
b. Assosiatif
c. Terdapat elemen satuan
d. Setiap elemen tak nol mempunyai invers
e. Komutatif
Sebagai contoh struktur aljabar yang merupakan lapangan yang sering dijumpai yaitu:
a. ( , +, .) merupakan himpunan bilangan riil terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan riil.
b. ( , +, .) merupakan himpunan bilangan kompleks terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan
kompleks.
c. ( , +, .) merupakan himpunan bilangan rasional terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan
rasional.
Diberikan himpunan tak kosong V bersama dengan suatu operasi ⊕ pada V. Diberikan suatu
lapangan (field) ( ℝ , +, .). Diberikan suatu operasi perkalian skalar
ruang vektor atas ℝ terhadap oeprasi perkalian skalar
: ℝ × V → V. Himpunan V disebut
jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini:
1. (∀u , v ∈ V )u + v ∈ V
2. (∀u , v ∈ V )u + v = v + u
3. (∀u, v, w ∈ V )u + ( v + w ) = (u + v) + w
6. α ∈ ℝ, u ∈ V ⇒ α u ∈ V
4.
9. α , β ∈ ℝ,u ∈ V ⇒ α ( β u ) = (αβ ) u
( ∃0 ∈V ) ( ∀v ∈V ) 0 + v = v + 0 = v
5. (∀u ∈ V ) ( ∃ ( −u ) ∈ V ) u + ( −u ) = 0
7. α , β ∈ ℝ,u ∈ V ⇒ (α + β ) u = α u + β u
8. α ∈ ℝ, u , v ∈ V ⇒ α ( u + v ) = α u + α v
10. 1.u = u
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
Contoh:
Buktikan bahwa ℝ 2 merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
skalar.
Bukti:
1. Ambil sebarang ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) berlaku
( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ ℝ 2
∈ℝ
∈ℝ
SIFAT KOMUTATIF
2. ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
= ( x2 + x1 , y2 + y1 )
= ( x2 , y2 ) + ( x1 , y1 )
3.
SIFAT ASOSIATIF
[ ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )] + ( x3 , y3 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) + ( x3 , y3 )
= ( x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 )
= ( x1 , y1 ) + ( x2 + x3 , y2 + y3 )
= ( x1 , y1 ) + [ ( x2 , y2 ) + ( x3 , y3 )]
4. ∃0, ∀ ( x1 , y1 ) berlaku ( x1 , y1 ) + 0 = ( x1 , y1 )
ADA ELEMEN
IDENTITAS
( x1 , y1 ) + 0 = ( x1 , y1 )
0 = ( x1 , y1 ) − ( x1 , y1 ) = ( x1 − x1 , y1 − y1 ) = (0, 0)
Jadi, terdapat 0 = (0, 0) sehingga ( x1 , y1 ) + 0 = ( x1 , y1 ) .
5. ∀( x1 , y1 ), ∃p ∈ ℝ 2 berlaku ( x1 , y1 ) + p = 0
( x1 , y1 ) + p = 0
( x1 , y1 ) + ( p, q ) = (0, 0)
p = (0, 0) − ( x1 , y1 )
p = (0 − x1 , 0 − y1 ) = (− x1 , − y1 )
Jadi, ∀( x1 , y1 ), ∃(− x1 , − y1 ) berlaku ( x1 , y1 ) + (− x1 , − y1 ) = 0
ADA ELEMEN
INVERS
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
SIFAT 1 – 5 merupakan sifat GRUP KOMUTATIF terhadap penjumlahan. SIFAT TERTUTUP
6. Ambil sebarang α ∈ ℝ dan ( x1 , y1 ) ∈ ℝ 2 berlaku
Terhadap perkalian
skalar
α ( x1 , y1 ) = (α x1 , α y1 ) ∈ ℝ 2
7.
(α + β ) ( x1 , y1 ) = (α + β ) x1 , (α + β ) y1
= (α x1 + β x1 , α y1 + β y1 )
Sifat 7 dan 8
SIFAT DISTRIBUTIF
= (α x1 , α y1 ) + ( β x1 , β y1 )
= α ( x1 , y1 ) + β ( x1 , y1 )
8. α [ ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) ] = α ( x1 + x2 , y1 + y2 )
= (α x1 + α x2 , α y1 + α y2 )
= (α x1 , α y1 ) + (α x2 , α y2 )
= α ( x1 , y1 ) + α ( x2 , y2 )
9. α [ β ( x1 , y1 ) ] = α ( β x1 , β y1 )
SIFAT ASOSIATIF
= (αβ x1 , αβ y1 )
= αβ ( x1 , y1 )
10. 1 ⋅ ( x1 , y1 ) = (1 ⋅ x1 ,1 ⋅ y1 ) = ( x1 , y1 )
SIFAT 6 – 10 merupakan sifat dengan operasi perkalian skalar.
KES: ℝ 2 merupakan RUANG VEKTOR.
TUGAS: Selidikilah apakah himpunan berikut membentuk ruang vektor bentuk operasi jumlah
dan perkalian yang didefinisikan.
1. Himpunan A = {( x, y ) ∈ ℝ 2 | x + y = 0} dengan definisi:
( x, y ) + ( x ', y ') = ( x + x ', y + y ')
α ( x , y ) = (α x , α y )
2. Himpunan ℝ 2 dengan definisi:
( x, y ) + ( x ', y ') = ( x + x '+ 1, y + y ')
α ( x , y ) = ( α x, α y )
3. Diberikan M2( ) =
4. Buktikan
=
. Buktikan bahwa M2( ) merupakan ruang vektor !
merupakan ruang vektor atas .
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
5. Buktikan
Jurdikmat FMIPA UNY
!" merupakan ruang vektor atas .
=
6. Latihan 4.2 halaman 141
Jika V ruang vektor atas ℝ :
a. α ⋅ 0 = 0 , ∀α ∈ ℝ
b. 0 ⋅ v = 0 , ∀v ∈ V
c. −1 ⋅ v = −v , ∀v ∈ V
d. α ⋅ v = 0 , maka α = 0 atau v = 0
Bukti:
(i) Bukti yang d sebagai latihan
(ii) Ambil sebarang α ∈ ℝ dan # ∈ V, perhatikan
1$#=#
= (0 + 1) $ #
= (0 $ #) + (1 $ #)
= (0 $ #) + #
sehingga diperoleh
# + (-# = % & $ #
#' + (- #
(&
= & $ #
#
#
(
= & $#
&
=& $ #
Jadi terbukti bahwa 0 $ # = &(.
(iii)
Sekarang perhatikan
# + (-1 $ #) = (1 $ #) ⊕ (-1 $ #)
= (1 + (-1)) $ #
=0$#
= &(
=#
#
dengan menggunakan sifat kanselasi dari kiri, maka diperoleh bahwa (-1 $ #) = #.
(iv)
α$0=α$ #
#
=α$% ! $#
! $# '
= α $ ((1 + (-1)) $ #)
= α) !
= (α)0) $ #
=0$#
!
$#
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
= 0.
SUB RUANG VEKTOR
Definisi:
V ruang vektor, W ⊂ V
W dikatakan sub ruang vektor dari V jika W terhadap operasi yang sama pada V, W membentuk
ruang vektor.
Contoh : A = {( x, y ) ∈ ℝ 2 | x + y = 0}
2
A sub ruang vektor dari ℝ atau
A ⊂ ℝ2 .
TEOREMA:
V ruang vektor dan W ⊆ V , berlaku W subruang vektor dari V jika dan hanya jika:
i)
ii)
∀u , v ∈ W berlaku u + v ∈ W
∀α ∈ ℝ, ∀u ∈ W berlaku α u ∈ W
Hand-out Aljabar Linear lanjut__Dwi Lestari, M.Sc
Jurdikmat FMIPA UNY
KUIS:
1. Diberikan
B = {( x, y , z ) ∈ ℝ 3 | x + y = z}
Tentukan apakah B ruang vektor atau bukan?
2. V: himpunan semua fungsi kontinu bernilai real dengan operasi berikut
f(x) + g(x) = (f+g) (x)
dan
α ⋅ f ( x) = (α f )( x)