handout aljabar linear iisub ruang vektor 2
Diktat Aljabar Linear II
f
g
C atau
d ( f g)
dx
(f
d ( f g)
dx
df
g)
g ) 0 . Diperoleh bahwa:
(f
dg
dx
df
dx
(f
dg
dx
f
df
dx
g)
g
0
dg
dx
0
f
g
0
Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar:
Ambil f
R . Ditunjukkan bahwa
C,
diketahui bahwa
d( .f )
dx
.df
dx
( .f)
Jadi terbukti bahwa C
f
F
df
dx
C atau
.f
df
dx
( .f)
f
0
d( . f )
dx
f
( .f) 0 .
.0 0 .
adalah sub ruang vektor F .
Contoh 1.2.5.
Apakah himpunan D
a
bx
cx 2
P2
a
b
1
sub ruang vektor dari P2 ?
Jawab:
Ambil (a
(a
bx
bx
cx 2 )
cx 2 )
.a
D , sehingga
.bx
a
b
1 dan
R , sehingga:
.cx 2 , apakah asil perkalian skalar ini merupakan
elemen di D ? Ambil 0 R , maka
(a
Akan tetapi, 0 0 x 0 x2 D sebab
0
0
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
bx
cx 2 )
0.a
0.bx
0.cx 2
0
0 x 0 x2
0.
1 . Jadi D bukan sub ruang vektor.
23
Diktat Aljabar Linear II
Dalam suatu ruang vektor, pasti dipenuhi sifat tertutup terhadap penjumlahan
vektor maupun perkalian skalar. Dari sifat tersebut, himpunan suatu vektor dapat
dilihat ada suatu vektor yang dapat dinyatakan sebagai perkalian skalar dari vektor
yang lain. Di lain pihak, mungkin saja dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari
dua vektor atau lebih. Bahkan mungkin kombinasi dari keduanya. Sebagai contoh,
cermati himpunan berikut:
A
R2
(1,2), (2,4 ), (0,1), (1,0 )
Dari himpunan vektor di atas , diperoleh hubungan sebagai berikut:
(1,2)
1
(2,4) atau (1,2) 1(1,0)
2
2(0,1) atau (1,2) (2,4) (1,0)
2(0,1)
dan masih banyak lagi cara menyajikan vektor tersebut sebagai penjumlahan
sekaligus perkalian skalar secara simultan.
Dari
kondisi tersebut, didefinisikan suatu konsep kombinasi linear yang
diberikan sebagai berikut:
Definisi 1.2.4. Jika a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n adalah vektor – vektor di dalam ruang vektor V ,
maka kombinasi linear dari a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n adalah suatu vektor dalam bentuk :
a = 1 a1
dengan
1 , 2 , 3 ,..., n
2 a2
3 a3
...
n an
R
Contoh 1.2.6:
Diberikan himpunan vektor – vektor di R3 : B
(1, 1,2), ( 3,2,1), (2,2,2) , maka
(0,7 ,3) adalah kombinasi linear dari himpunan tersebut, sebab:
(0,7 ,3) = ( 1)(1, 1,2) 1.( 3,2,1) 2.(2,2,2)
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
24
Diktat Aljabar Linear II
Contoh 1.2.7 :
Apakah vektor
2
2 x2 , 4
1 2x
3x
x2 , 2 x
x
vektor – vektor
2 x2 merupakan kombinasi linear dari
x2 ,
2
2 x2 .
Untuk menyelesaikan masalah ini, sama halnya kita mencari skalar
, , ,
R , sehingga dipenuhi :
2
2 x2 =
3x
( 1 2 x 2 x2 )+
( 4 x x2 )+ ( 2 x x2 )+
( 2 2 x2 )
Berdasarkan pada definisi perjumlahan dan perkalian skalar pada P2 , diperoleh:
4
2
2
2
2
2
3
2
2
Sehingga dipunyai suatu sistem persamaan linear dengan 3 persamaan dan 4 variabel.
Untuk menyelesaikannya dapat digunakan operasi baris elementer, yang pernah
dipelajari pada Aljabar Linear Elementer:
1
2
4
0
1
2
2
0
4
0
1
9
7
9
1
0
0
2
2
0
3
2
2
1
2
3
8 11
0
3
1
0
4 0
9
0
9
8
7
4
9
4
4
0
1
2
2
3
1
0
1 11
2
1 4
0
0
0
3
4 7
0
0
3 3
1
2
2
0
3
0
0
8
0 0 3
4
1 0 9
4
Jadi didapatkan penyelesaian selengkapnya sebagai berikut:
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
25
Diktat Aljabar Linear II
9
8
11 9
8
8
3 7
4
4
9
9
4
4
11
8
7
4
3
4
9
4
9
4
atau
sehingga, untuk nilai beta tertentu, senantiasa dapat ditemukan nilai
demikian vektor
2 x2 , 4
1 2x
2
3x
x2 , 2 x
x
2 x2 merupakan kombinasi linear dari
x2 ,
2
, , . Dengan
vektor – vektor
2 x2 .
Contoh 1.2.8
1
Apakah vektor
1 1
1 1
,
1 1
1 0
,
3
2
1 1
0 0
M 2 2 merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor
2
,
1 0
?
0 0
Sejalan dengan bukti pada contoh soal sebelumnya diperoleh:
1
2
3
2
=
1 1
1 1
1 1
1 0
1 1
1 0
0 0
0 0
2
2
3
1
, atau
, atau
, atau
4
5
1
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
26
Diktat Aljabar Linear II
Definisi 1.2.5. Andaikan a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n adalah vektor – vektor di dalam ruang
vektor V , maka vektor-vektor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n dikatakan merentang ( span ) ruang
vektor V , yang dinotasikan dengan
jika semua vektor di V merupakan
rt V
kombinasi linear dari vektor – vektor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n .
Contoh 1.2.9.
Apakah vektor-vektor (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) merentang runag vektor R3 ?
Untuk menjawab pertanyaan di atas, maka perlu dibuktikan, apakah semua vektor di
R3 merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor tersebut. Dengan demikian,
ambil sebarang vektor di R3 , sebut x, y, z . Sekarang tinggal diuji, vektor x, y, z ini
merupakan kombinasi linear dari (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) atau bukan:
x, y, z =
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,0,0)
diperoleh:
z
y
x
atau
y
atau
z
x y
Jadi setiap vektor di R3 merupakan kombinasi linear dari (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) atau
vektor-vektor (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) merentang runag vektor R3 .
Proposisi berikut memberikan sifat-sifat yang berlaku terkait dengan definisi
vektor – vektor yang merentang suatu ruang vektor:
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
27
Diktat Aljabar Linear II
Proposisi 1.2.6. Andaikan a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n adalah vektor – vektor di dalam ruang
vektor V , maka rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ) adalah sub ruang vektor dari V .
Bukti :
Dibuktikan rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ) tertutup terhadap penjumlahan vektor:
Ambil sebarang vektor a , b
a = 1 a1
2 a2
a + b = ( 1 a1
=(
2 a2
1 )a 1
1
Jadi a + b
3 a3
(
rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ), sehingga
...
n an
3 a3
...
dan
n an
2 )a 2
2
b = 1 a1
(
)+(
1 a1
4 )a 3
3
2 a2
3 a3
...
n an
2 a2
3 a3
...
n an
... (
n
)
n )a n
rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ).
Dibuktikan rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ) tertutup terhadap perkalian skalar
Ambil sebarang
a = 1 a1
2 a2
a = ( 1 a1
=
3 a3
2 a2
1 a1
Karena
R dan a
2 a2
i
R, i
rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ), sehingga
...
3 a3
n an
...
3 a3
,
n an )
...
n an
1,2,3,..., n sehingga
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
a
rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n )
28
f
g
C atau
d ( f g)
dx
(f
d ( f g)
dx
df
g)
g ) 0 . Diperoleh bahwa:
(f
dg
dx
df
dx
(f
dg
dx
f
df
dx
g)
g
0
dg
dx
0
f
g
0
Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar:
Ambil f
R . Ditunjukkan bahwa
C,
diketahui bahwa
d( .f )
dx
.df
dx
( .f)
Jadi terbukti bahwa C
f
F
df
dx
C atau
.f
df
dx
( .f)
f
0
d( . f )
dx
f
( .f) 0 .
.0 0 .
adalah sub ruang vektor F .
Contoh 1.2.5.
Apakah himpunan D
a
bx
cx 2
P2
a
b
1
sub ruang vektor dari P2 ?
Jawab:
Ambil (a
(a
bx
bx
cx 2 )
cx 2 )
.a
D , sehingga
.bx
a
b
1 dan
R , sehingga:
.cx 2 , apakah asil perkalian skalar ini merupakan
elemen di D ? Ambil 0 R , maka
(a
Akan tetapi, 0 0 x 0 x2 D sebab
0
0
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
bx
cx 2 )
0.a
0.bx
0.cx 2
0
0 x 0 x2
0.
1 . Jadi D bukan sub ruang vektor.
23
Diktat Aljabar Linear II
Dalam suatu ruang vektor, pasti dipenuhi sifat tertutup terhadap penjumlahan
vektor maupun perkalian skalar. Dari sifat tersebut, himpunan suatu vektor dapat
dilihat ada suatu vektor yang dapat dinyatakan sebagai perkalian skalar dari vektor
yang lain. Di lain pihak, mungkin saja dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari
dua vektor atau lebih. Bahkan mungkin kombinasi dari keduanya. Sebagai contoh,
cermati himpunan berikut:
A
R2
(1,2), (2,4 ), (0,1), (1,0 )
Dari himpunan vektor di atas , diperoleh hubungan sebagai berikut:
(1,2)
1
(2,4) atau (1,2) 1(1,0)
2
2(0,1) atau (1,2) (2,4) (1,0)
2(0,1)
dan masih banyak lagi cara menyajikan vektor tersebut sebagai penjumlahan
sekaligus perkalian skalar secara simultan.
Dari
kondisi tersebut, didefinisikan suatu konsep kombinasi linear yang
diberikan sebagai berikut:
Definisi 1.2.4. Jika a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n adalah vektor – vektor di dalam ruang vektor V ,
maka kombinasi linear dari a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n adalah suatu vektor dalam bentuk :
a = 1 a1
dengan
1 , 2 , 3 ,..., n
2 a2
3 a3
...
n an
R
Contoh 1.2.6:
Diberikan himpunan vektor – vektor di R3 : B
(1, 1,2), ( 3,2,1), (2,2,2) , maka
(0,7 ,3) adalah kombinasi linear dari himpunan tersebut, sebab:
(0,7 ,3) = ( 1)(1, 1,2) 1.( 3,2,1) 2.(2,2,2)
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
24
Diktat Aljabar Linear II
Contoh 1.2.7 :
Apakah vektor
2
2 x2 , 4
1 2x
3x
x2 , 2 x
x
vektor – vektor
2 x2 merupakan kombinasi linear dari
x2 ,
2
2 x2 .
Untuk menyelesaikan masalah ini, sama halnya kita mencari skalar
, , ,
R , sehingga dipenuhi :
2
2 x2 =
3x
( 1 2 x 2 x2 )+
( 4 x x2 )+ ( 2 x x2 )+
( 2 2 x2 )
Berdasarkan pada definisi perjumlahan dan perkalian skalar pada P2 , diperoleh:
4
2
2
2
2
2
3
2
2
Sehingga dipunyai suatu sistem persamaan linear dengan 3 persamaan dan 4 variabel.
Untuk menyelesaikannya dapat digunakan operasi baris elementer, yang pernah
dipelajari pada Aljabar Linear Elementer:
1
2
4
0
1
2
2
0
4
0
1
9
7
9
1
0
0
2
2
0
3
2
2
1
2
3
8 11
0
3
1
0
4 0
9
0
9
8
7
4
9
4
4
0
1
2
2
3
1
0
1 11
2
1 4
0
0
0
3
4 7
0
0
3 3
1
2
2
0
3
0
0
8
0 0 3
4
1 0 9
4
Jadi didapatkan penyelesaian selengkapnya sebagai berikut:
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
25
Diktat Aljabar Linear II
9
8
11 9
8
8
3 7
4
4
9
9
4
4
11
8
7
4
3
4
9
4
9
4
atau
sehingga, untuk nilai beta tertentu, senantiasa dapat ditemukan nilai
demikian vektor
2 x2 , 4
1 2x
2
3x
x2 , 2 x
x
2 x2 merupakan kombinasi linear dari
x2 ,
2
, , . Dengan
vektor – vektor
2 x2 .
Contoh 1.2.8
1
Apakah vektor
1 1
1 1
,
1 1
1 0
,
3
2
1 1
0 0
M 2 2 merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor
2
,
1 0
?
0 0
Sejalan dengan bukti pada contoh soal sebelumnya diperoleh:
1
2
3
2
=
1 1
1 1
1 1
1 0
1 1
1 0
0 0
0 0
2
2
3
1
, atau
, atau
, atau
4
5
1
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
26
Diktat Aljabar Linear II
Definisi 1.2.5. Andaikan a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n adalah vektor – vektor di dalam ruang
vektor V , maka vektor-vektor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n dikatakan merentang ( span ) ruang
vektor V , yang dinotasikan dengan
jika semua vektor di V merupakan
rt V
kombinasi linear dari vektor – vektor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n .
Contoh 1.2.9.
Apakah vektor-vektor (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) merentang runag vektor R3 ?
Untuk menjawab pertanyaan di atas, maka perlu dibuktikan, apakah semua vektor di
R3 merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor tersebut. Dengan demikian,
ambil sebarang vektor di R3 , sebut x, y, z . Sekarang tinggal diuji, vektor x, y, z ini
merupakan kombinasi linear dari (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) atau bukan:
x, y, z =
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,0,0)
diperoleh:
z
y
x
atau
y
atau
z
x y
Jadi setiap vektor di R3 merupakan kombinasi linear dari (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) atau
vektor-vektor (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) merentang runag vektor R3 .
Proposisi berikut memberikan sifat-sifat yang berlaku terkait dengan definisi
vektor – vektor yang merentang suatu ruang vektor:
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
27
Diktat Aljabar Linear II
Proposisi 1.2.6. Andaikan a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n adalah vektor – vektor di dalam ruang
vektor V , maka rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ) adalah sub ruang vektor dari V .
Bukti :
Dibuktikan rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ) tertutup terhadap penjumlahan vektor:
Ambil sebarang vektor a , b
a = 1 a1
2 a2
a + b = ( 1 a1
=(
2 a2
1 )a 1
1
Jadi a + b
3 a3
(
rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ), sehingga
...
n an
3 a3
...
dan
n an
2 )a 2
2
b = 1 a1
(
)+(
1 a1
4 )a 3
3
2 a2
3 a3
...
n an
2 a2
3 a3
...
n an
... (
n
)
n )a n
rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ).
Dibuktikan rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ) tertutup terhadap perkalian skalar
Ambil sebarang
a = 1 a1
2 a2
a = ( 1 a1
=
3 a3
2 a2
1 a1
Karena
R dan a
2 a2
i
R, i
rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ), sehingga
...
3 a3
n an
...
3 a3
,
n an )
...
n an
1,2,3,..., n sehingga
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
a
rt ( a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n )
28