Penerapan Distribusi Poisson pada Pertan
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Sepakbola adalah salah satu olahraga terpopuler di dunia saat ini. Seluruh
lapisan masyarakat mulai dari anak-anak hingga orang tua mengenal permainan
olahraga yang satu ini. Tidak heran jika klub-klub dan para pemain sepakbola
sering menjadi sorotan di media. Eropa memiliki sebuah liga antarklub paling
kompetitif dan terpopuler saat ini, yaitu Liga Champions, sebuah liga yang
mempertemukan klub-klub terbaik di seluruh daratan Eropa.
Liga Champions Eropa 2015 saat ini telah menyelesaikan babak penyisihan
grup dengan meloloskan 16 klub ke babak perdelapan final. Gol-gol yang tercipta
pada babak 16 besar tersebut adalah yang paling ditunggu-tunggu oleh semua
orang. Sejumlah orang terkadang menebak-nebak jumlah gol yang akan terjadi,
namun jika hanya menggunakan tebakan biasa saja, hasilnya tidak akan efektif.
Prediksi skor dan jumlah gol pada pertandingan sepakbola dapat dihitung
secara matematis menggunakan berbagai metode. Pada makalah ini saya
menghitung kemungkinan jumlah gol yang dapat muncul pada babak 16 besar
Liga Champions Eropa dengan menggunakan distribusi Poisson.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Apa yang dimaksud dengan distribusi Poisson?
2. Seperti apa data klasemen akhir babak penyisihan Liga Champions Eropa
2015?
3. Bagaimana rumus proses distribusi Poisson?
4. Bagaimana perhitungan kemungkinan jumlah gol pada babak 16 besar
Liga Champions Eropa 2015 dengan menggunakan distribusi Poisson?
1
C. Tujuan
Adapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Memahami sejarah dan perhitungan distribusi Poisson.
2. Menampilkan data-data skor pertandingan terakhir Liga Champions Eropa
2015.
3. Menjelaskan rumus proses distribusi Poisson.
4. Menghitung kemungkinan jumlah gol yang dapat muncul pada babak 16
besar Liga Champions Eropa dengan menggunakan distribusi Poisson.
2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian dan Sejarah Distribusi Poisson
Salah satu sebaran atau distribusi diskrit yang sangat bermanfaat adalah
sebaran Poisson. Sebaran ini dapat dipandang sebagai penghampir sebaran
binomial atau bentuk batas dari sebaran binomial. Poisson dapat juga didekati
sesuai dengan sebaran itu sendiri dengan pertimbangan proses Poisson.
Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,
distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson
(1781-1841), seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis. Poisson bukanlah
berasal dari keluarga bangsawan, meskipun sulit memilah perbedaan antara
bangsawan dengan kaum Borjuis di Perancis setelah terjadi revolusi, walaupun
sistem kelas atau kasta ini masih tetap berlaku di Perancis. Ayah Poisson adalah
seorang prajurit. Posisi prajurit selalu dapat deskriminasi sebelum akhirnya
mengundurkan diri dan beralih profesi dengan mengerjakan tugas-tugas
administrative. Kakak perempuan dan kakak laki-laki Poisson sudah meninggal
karena sakit, sehingga kelahiran Poisson menjadi berkah tersendiri bagi keluarga
ini.
Ketika Poisson berusia 8 tahun, terjadi pemberontakan penduduk Paris pada
tanggal 14 Juli 1789 yang dianggap memicu terjadi revolusi Prancis. Semua yang
merasa menderita oleh kaum bangsawan memberontak, termasuk ayah Poisson.
Ayahnya memutuskan agar Poisson menjadi ahli bedah, karena pamannya adalah
seorang ahli bedah ternama di Fountainbleau. Nyatanya Poisson tidak cocok
menjadi asisten ahli bedah karena kurang mempunyai koordinasi dalam gerakan
tangan dan tidak mempunyai minat dengan profesi di bidang medikal.
Tahun 1796, Poisson menuntut ilmu di Ecole Centrale. Kurangnya koordinasi
tangan, namun mempunyai minat belajar yang besar pada bidang matematika.
Prestasi akademik dengan cepat dapat diraih oleh Poisson. Sukses akademis dapat
3
diraih dengan antusiasme tinggi dan kerja keras. Menggunakan waktu luangnya
untuk menikmati opera atau aktivitas sosial. Kelemahan koordinasi tangan hilang
apabila dia mulai menggambar diagram-diagram matematika. Laplace dan
Lagrange adalah dua dosen yang dengan segera mengenali bakat matematika
Poisson.
Makalah yang ditulis oleh Poisson yang saat itu masih berumur 18 tahun
menarik perhatian Legendre. Poisson berkutat dengan geometri deskriptif yang
menjadi topik utama di Ecole, namun harus “mengalah” kepada Monge, karena
dia tidak dapat menggambar diagram. Pada tahun akhir Poisson menulis makalah
tentang teori-teori persamaan dan teorema Bezout, yang membuatnya lulus tanpa
perlu menjalani ujian akhir. Prestasi ini membuat Poisson diangkat menjadi
asisten di Ecole dengan rekomendasi dari Laplace.
Karir Poisson terus melejit seiring dengan banyaknya tanggung jawab yang
ada di pundaknya. Tahun 1815, diangkat sebagai penguji di Ecole Militaire dan
tahun berikutnya menjadi penguji ujian akhir di Ecole Polytechnique. Tetap
melakukan penelitian dan mengajar sehingga perannya makin mencorong dalam
organisasi matematikawan Perancis. Penelitiannya mencakup banyak bidang
termasuk matematika terapan. Meskipun Poisson tidak dapat menemukan teori
baru, namun peran sebenarnya adalah mengembangkan teori-teori orang lain dan
menunjukkan kegunaan teori tersebut.
Tahun 1813, Poisson mempelajari potensi daya-tarik dalam molekul, hasilnya
akhirnya adalah aplikasi elektrostatis. Disusul dengan penelitian dalam bidang
elektrik dan magnetik. Membuat makalah tentang kecepatan suara dalam medium
gas, media penghantar panas, getaran-getaran elastik. Buku tentang panas yang
diterbitkan Poisson membuat Fourier berang, dan menuduh Poisson seorang
plagiator. Alasan yang dikemukan Poisson dimaklumi Fourier pada tahun 1820,
sebelum pada tahun 1823 menerbitkan artikel tentang panas, yang hasilnya
memberi pengaruh kepada Sadi Carnot. Banyak karya-karya Poisson dipengaruhi
atau merupakan pengembangan karya Laplace.
Lewat buku Recherches sur la probabilite des jugements en matiere
criminelle et matiere civile, yang terbit pada tahun 1837, Poisson membahas teori
4
probabilitas,
dan
istilah
distribusi
Poisson
muncul.
Distribusi
Poisson
mengambarkan probabilitas terhadap persitiwa acak (random) yang akan terjadi
pada jeda (interval) waktu atau ruang dengan kondisi probabilitas sangat kecil,
meskipun jumlah percobaan yang dilakukan besar tetapi hasilnya tidak berarti.
Ide-ide Poisson yang beragam membuat namanya diabadikan dalam istilah,
sebagai contoh: integral Poisson, [tanda] kurung Poisson dalam integral, nisbah
(ratio) Poisson dalam elastisitas, dan konstanta Poisson dalam elektrik.
Meskipun selama hidup, namanya relatif kurang kurang dikenal sebagai
matematikawan Perancis, namun reputasinya sebagai matematikawan terkemuka
diakui oleh para matematikawan mancanegara. Rupanya ide-ide Poisson menular
kepada mereka. Poisson sendiri mendarmabaktikan diri sepenuhnya untuk
matematika, seperti yang ditulis oleh Arago, “Kehidupan ini indah hanya dalam
dua hal: mempelajari matematika dan mengajarkannya.”
Distribusi
Poisson merupakan
distribusi
diskrit
yang
mengestimasi
probabilitas munculnya suatu keluaran dalam suatu standar unit tertentu sebanyak
x kali. Rata-rata kemunculan keluaran tersebut per unitnya konstan sebesar
standar unit ini dapat berupa interval waktu (menit, detik, hari, dan bulan) atau
luas daerah tertentu (walpole, 1982). Contoh penerapannya adalah jumlah
deringan telepon per jam di suatu kantor, jumlah goresan atau cacat dari suatu
permukaan produk, jumlah bakteri dalam suatu kultur, dan kesalahan sambung
pada nomor telepon.
Karakteristik distribusi Poisson yaitu terdiri dari n buah percobaan yang saling
bebas. Ukuran n yang sangat besar dalam setiap percobaan hanya satu hasil saja
yang dijadikan titik pengamatan, probabilitas terjadinya suatu hasil sukses konstan
untuk setiap percobaan dan besarnya proposional terhadap selang waktu atau luas
daerahnya, dan probabilitas terjadinya keluaran lebih dari satu dalam suatu selang
waktu atau interval yang sangat sempit dapat diabaikan.
Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak
yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dan seterusnya. Distribusi Poisson adalah
distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya
hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu
5
daerah tertentu. Fungsi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa
aplikasi praktis. Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat
bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap
probabilitas binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. Suatu kejadian dimana n
sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil
seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk
dari distribusi ini adalah rumus pendekatan distribusi Poisson untuk peluang
binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam
situasi tertentu.
Ciri-ciri percobaan Poisson adalah sebagai berikut.
1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau
suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan
yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang
singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan
panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak
bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang
waktu atau daerah tersebut.
3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang
waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah kecil tersebut, dapat
diabaikan.
Distribusi Poisson banyak digunakan dalam hal sebagai berikut.
1. Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang
atau isi, luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari
kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak
oleh bank. Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit,
restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol. Semua contoh
ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi
Poisson.
6
2. Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil
(p 0
menggambarkankan intensitas proses.
b. Menghitung di daerah terpisah adalah bebas.
c. Kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu
daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil
ketika ukuran menjadi kecil.
B. Data Klasemen Akhir Babak Penyisihan Liga Champions Eropa 2015
Liga Champions UEFA (bahasa Inggris: UEFA Champions League) adalah
kejuaraan antarklub sepak bola tahunan antara klub-klub sepak bola tersukses
di Eropa, dan sering dianggap sebagai trofi tingkat klub yang paling prestisius di
Eropa. Real Madrid telah menjuarai kompetisi ini sepuluh kali dan menjadi yang
terbanyak di seluruh Eropa. Tim-tim yang paling sukses berikutnya adalah AC
Milan (7 kali juara), Liverpool FC, FC Bayern München, dan FC Barcelona (5
kali
juara), AFC
Ajax (4
kali
juara), Manchester
United
F.C. dan F.C.
Internazionale Milano (3 kali juara).
Liga Champions Eropa 2015 diikuti oleh 32 klub yang masing-masing terbagi
ke dalam 8 grup klasemen. Berikut ini adalah tabel hasil pertandingan babak
penyisihan terakhir Liga Champions Eropa yang berlangsung pada hari Rabu dan
Kamis lalu (9 dan 10 Desember 2015).
No
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pertandingan
Jumlah Gol
Manchester City 4−2 Monchengladbach
Real Madrid 8−0 Malmo
Galatasaray 1−1 Astana
PSV 2−1 CSKA Moskwa
Wolfsburg 3−2 Manchester United
Sevilla 1−0 Juventus
6
8
2
3
5
1
7
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
PSG 2−0 Shakhtar
Benfica 1−2 Atletico Madrid
Olympiakos 0−3 Arsenal
AS Roma 0−0 BATE
Dinamo Kyiv 1−0 M. Tel-Aviv
Chelsea 2−0 FC Porto
Gent 2−1 Zenit St. Petersburg
Bayern Leverkusen 1−1 FC Barcelona
Valencia 0−2 Lyon
Dinamo Zagreb 0−2 Bayern Munchen
Total Gol
2
3
3
0
1
2
3
2
2
2
45
Poin dari hasil pertandingan-pertandingan tersebut diakumulasikan dengan
poin-poin pada pertandingan sebelumnya, sehingga diperoleh data klasemen akhir
masing-masing grup sebagai berikut.
Grup A
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Real Madrid
PSG
Shakhtar
Malmo
16
13
3
3
Grup B
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Wolfsburg
PSV
Manchester United
CSKA Moskwa
12
10
8
4
Grup C
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Atletico Madrid
Benfica
Galatasaray
Astana
13
10
5
4
Grup D
8
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Manchester City
Juventus
Sevilla
Monchengladbach
12
11
6
5
Grup E
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
FC Barcelona
AS Roma
Bayern Leverkusen
BATE
14
6
6
5
Grup F
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Bayern Munchen
Arsenal
Olympiakos
Dinamo Zagreb
15
9
9
3
Grup G
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Chelsea
Dinamo Kyiv
FC Porto
M. Tel-Aviv
13
11
10
0
Grup H
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Zenit St. Petersburg
Gent
Valencia
Lyon
15
10
6
4
9
Klub-klub yang lolos ke babak 16 besar adalah klub peringkat pertama dan
peringkat kedua dari masing-masing grup. Keenambelas klub tersebut adalah Real
Madrid, PSG, Wolfsburg, PSV, Atletico Madrid, Benfica, Manchester City,
Juventus, FC Barcelona, AS Roma, Bayern Munchen, Arsenal, Chelsea, Dinamo
Kyiv, Zenit St. Petersburg, dan Gent.
Pengundian babak 16 besar dilakukan pada hari Senin, 14 Desember 2015
waktu Eropa. Berikut ini adalah daftar pertandingan dari hasil pengundian
tersebut. Klub-klub ini akan bertanding antara bulan Februari dan Maret 2016
mendatang.
No
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Pertandingan
GentvsWolfsburg
AS RomavsReal Madrid
PSGvsChelsea
ArsenalvsFC Barcelona
JuventusvsBayern Munchen
PSVvsAtletico Madrid
BenficavsZenit St. Petersburg
Dynamo KyivvsManchester City
Jumlah total gol yang mungkin terjadi dari pertandingan-pertandingan
tersebut dihitung menggunakan distribusi Poisson yang akan diuraikan pada
subbab berikutnya.
C. Rumus Proses Distribusi Poisson
Sebagai ilustrasi, misalkan kita tertarik oleh jumlah gol yang mungkin terjadi
pada semua pertandingan babak 16 besar Liga Champions Eropa, dengan
ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kemunculan
gol dalam interval waktu jika proses kemunculannya mempunyai karakteristik
sebagai berikut.
1. Tingkat kemunculan rata-rata setiap unit waktu adalah konstan. Dalam
ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kemunculan gol rata-rata
misalkan 3 kemunculan setiap 1 kali pertandingan (90 menit, tanpa
memasukkan injury time), maka tingkat ini melambangkan interval waktu
10
pada satu penuh waktu pertandingan, yaitu tingkat yang dapat diubah
kepada rata-rata yaitu 1,5 kemunculan gol setiap 45 menit atau 0,0333
kemunculan gol setiap menit.
2. Jumlah kemunculan gol pada interval waktu tidak bergantung pada apa
yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat
berarti bahwa kesempatan dari sebuah kemunculan gol di menit berikutnya
adalah sama.
3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kemunculan gol
dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol
adalah probabilitas yang lebih dari satu kemunculan. Dalam ilustrasi tadi,
bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu gol yang
dapat terjadi dalam waktu satu detik.
Rumus distribusi Poisson :
P(x; λ) =
e−λ . λ x
x!
Keterangan :
λ = Tingkat rata-rata kemunculan tiap unit waktu
x = Jumlah kemunculan
e = 2,718
D. Perhitungan Kemungkinan Jumlah Gol pada Babak 16 Besar Liga
Champions Eropa 2015 dengan Menggunakan Distribusi Poisson
Babak 16 besar Liga Champions Eropa terdiri dari 8 pertandingan dan
diberikan tiga kondisi, yaitu :
1. Jumlah gol yang muncul tepat 20.
2. Jumlah gol yang muncul tidak lebih dari 7.
3. Jumlah gol yang muncul lebih dari 7.
Pertama-tama, mari kita lihat kembali tabel hasil pertandingan babak
penyisihan terakhir.
11
No
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Pertandingan
Jumlah Gol
Manchester City 4−2 Monchengladbach
Real Madrid 8−0 Malmo
Galatasaray 1−1 Astana
PSV 2−1 CSKA Moskwa
Wolfsburg 3−2 Manchester United
Sevilla 1−0 Juventus
PSG 2−0 Shakhtar
Benfica 1−2 Atletico Madrid
Olympiakos 0−3 Arsenal
AS Roma 0−0 BATE
Dinamo Kyiv 1−0 M. Tel-Aviv
Chelsea 2−0 FC Porto
Gent 2−1 Zenit St. Petersburg
Bayern Leverkusen 1−1 FC Barcelona
Valencia 0−2 Lyon
Dinamo Zagreb 0−2 Bayern Munchen
Total Gol
6
8
2
3
5
1
2
3
3
0
1
2
3
2
2
2
45
Dari tabel ini kita dapat menarik kesimpulan bahwa terdapat 45 gol yang
tercipta pada 16 pertandingan, maka terdapat :
45
16 = 2,8125 ≈ 3 gol dalam 90 menit (1 pertandingan).
Rata-rata jumlah gol yang muncul dalam 1 pertandingan telah diketahui,
selanjutnya penyelesaian kondisi-kondisi kemunculan gol dalam 720 menit (8
pertandingan) diuraikan sebagai berikut :
1. Jumlah Gol yang Muncul Tepat 20
Maka, x = 20 dan λ = 3 x 8 = 24.
P(20; 24) =
=
2,718−24 .24 20
20!
3,784 x 10−11 . 4,019 x 1027
2,432 x 1018
= 6,252 x 10−2
= 6,252 x 10−2 x 100%
P(20; 24) = 6,252%
12
Jadi, kemungkinan terjadi tepat 20 gol dalam 8 pertandingan babak 16
besar Liga Champions Eropa adalah 6,252%.
2. Jumlah Gol yang Muncul Tidak Lebih dari 7
Maka, x ≤ 7 dan λ = 3 x 8 = 24.
P(0; 24) =
2,718−24 .24 0
= 3,784 x 10−11
0!
P(1; 24) =
2,718−24 .24 1
= 90,816 x 10−11
1!
P(2; 24) =
2,718−24 .24 2
= 1089,792 x 10−11
2!
P(3; 24) =
2,718 .24
= 8718,336 x 10−11
3!
P(4; 24) =
2,718−24 .24 4
= 52310,016 x 10−11
4!
P(5; 24) =
2,718−24 .24 5
= 251088,0768 x 10−11
5!
P(6; 24) =
2,718−24 .24 6
= 1004352,307 x 10−11
6!
P(7; 24) =
2,718−24 .24 7
= 3443493,625 x 10−1
7!
−24
3
Kita akan mencari P(x ≤ 7; 24), maka :
P(x ≤ 7; 24) = P(0; 24) + P(1; 24) + P(2; 24) + P(3; 24) + P(4; 24) +
P(5; 24) + P(6; 24) + P(7; 24)
= 3,784 x 10−11 + 90,816 x 10−11 + 1089,792 x 10−11 +
8718,336 x 10−11 + 52310,016 x 10−11 + 251088,0768 x
10−11 + 1004352,307 x 10−11 + 3443493,625 x 10−1
= 3443,493757 x 10−4
= 3443,493757 x 10−4 x 100%
P(x ≤ 7; 24) = 34,434%
Jadi, kemungkinan terjadi tidak lebih dari 7 gol dalam 8 pertandingan
babak 16 besar Liga Champions Eropa adalah 34,434%.
13
3. Jumlah Gol yang Muncul Lebih dari 7
Maka, x > 7 dan λ = 3 x 8 = 24.
P(x > 7; 24) = 100% − P(x ≤ 7; 24)
= 100% − 34,434%
P(x > 7; 24) = 65,566%
Jadi, kemungkinan terjadi lebih dari 7 gol dalam 8 pertandingan babak 16
besar Liga Champions Eropa adalah 65,566%.
14
BAB III
KESIMPULAN
Jadi, distribusi Poisson merupakan distribusi diskrit yang mengestimasi
probabilitas munculnya suatu keluaran dalam suatu standar unit tertentu sebanyak
x kali. Rata-rata kemunculan keluaran tersebut per unitnya konstan sebesar
standar unit ini dapat berupa interval waktu (menit, detik, hari, dan bulan) atau
luas daerah tertentu. Hasil penerapan distribusi Poisson dalam menghitung
kemungkinan jumlah gol yang dapat terjadi dalam 720 menit (8 pertandingan)
babak 16 besar Liga Champions Eropa 2015, yaitu : kemungkinan terjadi tepat 20
gol adalah 6,252%, kemungkinan terjadi tidak lebih dari 7 gol adalah 34,434%,
dan kemungkinan terjadi lebih dari 7 gol adalah 65,566%.
15
DAFTAR PUSTAKA
Learn.Cyber. (2008). Modul Distribusi Poisson, [Online]. Tersedia: http://cyberlearn.blogspot.co.id/2008/09/modul-distribusi-poisson.html
[13
Desember
2015].
Mr.
Shared.
(2012).
Distribusi
Poisson,
[Online].
Tersedia:
http://21slowspeed.blogspot.co.id/2012/11/distribusi-poisson-sejarahdistribusi.html [14 Desember 2015].
Novianto,
Gangsar.
(2011).
Distribusi
Poisson,
[Online].
Tersedia:
http://gangsarnovianto.blogspot.co.id/2011/05/distribusi-poisson.html
[13
Desember 2015].
Partini. (2015). Hasil Lengkap, Klasemen Dan Top Skor Liga Champions Tadi
Malam, Rabu-Kamis 9 & 10 Desember 2015, [Online]. Tersedia:
http://www.radarindo.com/4727/hasil-lengkap-klasemen-dan-top-skor-ligachampions-tadi-malam-rabu-kamis-9-10-desember-2015/
[13
Desember
2015].
Sufahmi Afdhal. (2014). Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson, [Online].
Tersedia:
http://blablablalabla.blogspot.co.id/2014/10/distribusi-binomial-
dan-distribusi.html [13 Desember 2015].
http://www.bola.net/champions/
https://id.wikipedia.org/wiki/Liga_Champions_UEFA
16
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Sepakbola adalah salah satu olahraga terpopuler di dunia saat ini. Seluruh
lapisan masyarakat mulai dari anak-anak hingga orang tua mengenal permainan
olahraga yang satu ini. Tidak heran jika klub-klub dan para pemain sepakbola
sering menjadi sorotan di media. Eropa memiliki sebuah liga antarklub paling
kompetitif dan terpopuler saat ini, yaitu Liga Champions, sebuah liga yang
mempertemukan klub-klub terbaik di seluruh daratan Eropa.
Liga Champions Eropa 2015 saat ini telah menyelesaikan babak penyisihan
grup dengan meloloskan 16 klub ke babak perdelapan final. Gol-gol yang tercipta
pada babak 16 besar tersebut adalah yang paling ditunggu-tunggu oleh semua
orang. Sejumlah orang terkadang menebak-nebak jumlah gol yang akan terjadi,
namun jika hanya menggunakan tebakan biasa saja, hasilnya tidak akan efektif.
Prediksi skor dan jumlah gol pada pertandingan sepakbola dapat dihitung
secara matematis menggunakan berbagai metode. Pada makalah ini saya
menghitung kemungkinan jumlah gol yang dapat muncul pada babak 16 besar
Liga Champions Eropa dengan menggunakan distribusi Poisson.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Apa yang dimaksud dengan distribusi Poisson?
2. Seperti apa data klasemen akhir babak penyisihan Liga Champions Eropa
2015?
3. Bagaimana rumus proses distribusi Poisson?
4. Bagaimana perhitungan kemungkinan jumlah gol pada babak 16 besar
Liga Champions Eropa 2015 dengan menggunakan distribusi Poisson?
1
C. Tujuan
Adapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Memahami sejarah dan perhitungan distribusi Poisson.
2. Menampilkan data-data skor pertandingan terakhir Liga Champions Eropa
2015.
3. Menjelaskan rumus proses distribusi Poisson.
4. Menghitung kemungkinan jumlah gol yang dapat muncul pada babak 16
besar Liga Champions Eropa dengan menggunakan distribusi Poisson.
2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian dan Sejarah Distribusi Poisson
Salah satu sebaran atau distribusi diskrit yang sangat bermanfaat adalah
sebaran Poisson. Sebaran ini dapat dipandang sebagai penghampir sebaran
binomial atau bentuk batas dari sebaran binomial. Poisson dapat juga didekati
sesuai dengan sebaran itu sendiri dengan pertimbangan proses Poisson.
Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,
distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson
(1781-1841), seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis. Poisson bukanlah
berasal dari keluarga bangsawan, meskipun sulit memilah perbedaan antara
bangsawan dengan kaum Borjuis di Perancis setelah terjadi revolusi, walaupun
sistem kelas atau kasta ini masih tetap berlaku di Perancis. Ayah Poisson adalah
seorang prajurit. Posisi prajurit selalu dapat deskriminasi sebelum akhirnya
mengundurkan diri dan beralih profesi dengan mengerjakan tugas-tugas
administrative. Kakak perempuan dan kakak laki-laki Poisson sudah meninggal
karena sakit, sehingga kelahiran Poisson menjadi berkah tersendiri bagi keluarga
ini.
Ketika Poisson berusia 8 tahun, terjadi pemberontakan penduduk Paris pada
tanggal 14 Juli 1789 yang dianggap memicu terjadi revolusi Prancis. Semua yang
merasa menderita oleh kaum bangsawan memberontak, termasuk ayah Poisson.
Ayahnya memutuskan agar Poisson menjadi ahli bedah, karena pamannya adalah
seorang ahli bedah ternama di Fountainbleau. Nyatanya Poisson tidak cocok
menjadi asisten ahli bedah karena kurang mempunyai koordinasi dalam gerakan
tangan dan tidak mempunyai minat dengan profesi di bidang medikal.
Tahun 1796, Poisson menuntut ilmu di Ecole Centrale. Kurangnya koordinasi
tangan, namun mempunyai minat belajar yang besar pada bidang matematika.
Prestasi akademik dengan cepat dapat diraih oleh Poisson. Sukses akademis dapat
3
diraih dengan antusiasme tinggi dan kerja keras. Menggunakan waktu luangnya
untuk menikmati opera atau aktivitas sosial. Kelemahan koordinasi tangan hilang
apabila dia mulai menggambar diagram-diagram matematika. Laplace dan
Lagrange adalah dua dosen yang dengan segera mengenali bakat matematika
Poisson.
Makalah yang ditulis oleh Poisson yang saat itu masih berumur 18 tahun
menarik perhatian Legendre. Poisson berkutat dengan geometri deskriptif yang
menjadi topik utama di Ecole, namun harus “mengalah” kepada Monge, karena
dia tidak dapat menggambar diagram. Pada tahun akhir Poisson menulis makalah
tentang teori-teori persamaan dan teorema Bezout, yang membuatnya lulus tanpa
perlu menjalani ujian akhir. Prestasi ini membuat Poisson diangkat menjadi
asisten di Ecole dengan rekomendasi dari Laplace.
Karir Poisson terus melejit seiring dengan banyaknya tanggung jawab yang
ada di pundaknya. Tahun 1815, diangkat sebagai penguji di Ecole Militaire dan
tahun berikutnya menjadi penguji ujian akhir di Ecole Polytechnique. Tetap
melakukan penelitian dan mengajar sehingga perannya makin mencorong dalam
organisasi matematikawan Perancis. Penelitiannya mencakup banyak bidang
termasuk matematika terapan. Meskipun Poisson tidak dapat menemukan teori
baru, namun peran sebenarnya adalah mengembangkan teori-teori orang lain dan
menunjukkan kegunaan teori tersebut.
Tahun 1813, Poisson mempelajari potensi daya-tarik dalam molekul, hasilnya
akhirnya adalah aplikasi elektrostatis. Disusul dengan penelitian dalam bidang
elektrik dan magnetik. Membuat makalah tentang kecepatan suara dalam medium
gas, media penghantar panas, getaran-getaran elastik. Buku tentang panas yang
diterbitkan Poisson membuat Fourier berang, dan menuduh Poisson seorang
plagiator. Alasan yang dikemukan Poisson dimaklumi Fourier pada tahun 1820,
sebelum pada tahun 1823 menerbitkan artikel tentang panas, yang hasilnya
memberi pengaruh kepada Sadi Carnot. Banyak karya-karya Poisson dipengaruhi
atau merupakan pengembangan karya Laplace.
Lewat buku Recherches sur la probabilite des jugements en matiere
criminelle et matiere civile, yang terbit pada tahun 1837, Poisson membahas teori
4
probabilitas,
dan
istilah
distribusi
Poisson
muncul.
Distribusi
Poisson
mengambarkan probabilitas terhadap persitiwa acak (random) yang akan terjadi
pada jeda (interval) waktu atau ruang dengan kondisi probabilitas sangat kecil,
meskipun jumlah percobaan yang dilakukan besar tetapi hasilnya tidak berarti.
Ide-ide Poisson yang beragam membuat namanya diabadikan dalam istilah,
sebagai contoh: integral Poisson, [tanda] kurung Poisson dalam integral, nisbah
(ratio) Poisson dalam elastisitas, dan konstanta Poisson dalam elektrik.
Meskipun selama hidup, namanya relatif kurang kurang dikenal sebagai
matematikawan Perancis, namun reputasinya sebagai matematikawan terkemuka
diakui oleh para matematikawan mancanegara. Rupanya ide-ide Poisson menular
kepada mereka. Poisson sendiri mendarmabaktikan diri sepenuhnya untuk
matematika, seperti yang ditulis oleh Arago, “Kehidupan ini indah hanya dalam
dua hal: mempelajari matematika dan mengajarkannya.”
Distribusi
Poisson merupakan
distribusi
diskrit
yang
mengestimasi
probabilitas munculnya suatu keluaran dalam suatu standar unit tertentu sebanyak
x kali. Rata-rata kemunculan keluaran tersebut per unitnya konstan sebesar
standar unit ini dapat berupa interval waktu (menit, detik, hari, dan bulan) atau
luas daerah tertentu (walpole, 1982). Contoh penerapannya adalah jumlah
deringan telepon per jam di suatu kantor, jumlah goresan atau cacat dari suatu
permukaan produk, jumlah bakteri dalam suatu kultur, dan kesalahan sambung
pada nomor telepon.
Karakteristik distribusi Poisson yaitu terdiri dari n buah percobaan yang saling
bebas. Ukuran n yang sangat besar dalam setiap percobaan hanya satu hasil saja
yang dijadikan titik pengamatan, probabilitas terjadinya suatu hasil sukses konstan
untuk setiap percobaan dan besarnya proposional terhadap selang waktu atau luas
daerahnya, dan probabilitas terjadinya keluaran lebih dari satu dalam suatu selang
waktu atau interval yang sangat sempit dapat diabaikan.
Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak
yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dan seterusnya. Distribusi Poisson adalah
distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya
hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu
5
daerah tertentu. Fungsi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa
aplikasi praktis. Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat
bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap
probabilitas binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. Suatu kejadian dimana n
sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil
seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk
dari distribusi ini adalah rumus pendekatan distribusi Poisson untuk peluang
binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam
situasi tertentu.
Ciri-ciri percobaan Poisson adalah sebagai berikut.
1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau
suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan
yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang
singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan
panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak
bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang
waktu atau daerah tersebut.
3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang
waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah kecil tersebut, dapat
diabaikan.
Distribusi Poisson banyak digunakan dalam hal sebagai berikut.
1. Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang
atau isi, luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari
kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak
oleh bank. Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit,
restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol. Semua contoh
ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi
Poisson.
6
2. Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil
(p 0
menggambarkankan intensitas proses.
b. Menghitung di daerah terpisah adalah bebas.
c. Kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu
daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil
ketika ukuran menjadi kecil.
B. Data Klasemen Akhir Babak Penyisihan Liga Champions Eropa 2015
Liga Champions UEFA (bahasa Inggris: UEFA Champions League) adalah
kejuaraan antarklub sepak bola tahunan antara klub-klub sepak bola tersukses
di Eropa, dan sering dianggap sebagai trofi tingkat klub yang paling prestisius di
Eropa. Real Madrid telah menjuarai kompetisi ini sepuluh kali dan menjadi yang
terbanyak di seluruh Eropa. Tim-tim yang paling sukses berikutnya adalah AC
Milan (7 kali juara), Liverpool FC, FC Bayern München, dan FC Barcelona (5
kali
juara), AFC
Ajax (4
kali
juara), Manchester
United
F.C. dan F.C.
Internazionale Milano (3 kali juara).
Liga Champions Eropa 2015 diikuti oleh 32 klub yang masing-masing terbagi
ke dalam 8 grup klasemen. Berikut ini adalah tabel hasil pertandingan babak
penyisihan terakhir Liga Champions Eropa yang berlangsung pada hari Rabu dan
Kamis lalu (9 dan 10 Desember 2015).
No
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pertandingan
Jumlah Gol
Manchester City 4−2 Monchengladbach
Real Madrid 8−0 Malmo
Galatasaray 1−1 Astana
PSV 2−1 CSKA Moskwa
Wolfsburg 3−2 Manchester United
Sevilla 1−0 Juventus
6
8
2
3
5
1
7
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
PSG 2−0 Shakhtar
Benfica 1−2 Atletico Madrid
Olympiakos 0−3 Arsenal
AS Roma 0−0 BATE
Dinamo Kyiv 1−0 M. Tel-Aviv
Chelsea 2−0 FC Porto
Gent 2−1 Zenit St. Petersburg
Bayern Leverkusen 1−1 FC Barcelona
Valencia 0−2 Lyon
Dinamo Zagreb 0−2 Bayern Munchen
Total Gol
2
3
3
0
1
2
3
2
2
2
45
Poin dari hasil pertandingan-pertandingan tersebut diakumulasikan dengan
poin-poin pada pertandingan sebelumnya, sehingga diperoleh data klasemen akhir
masing-masing grup sebagai berikut.
Grup A
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Real Madrid
PSG
Shakhtar
Malmo
16
13
3
3
Grup B
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Wolfsburg
PSV
Manchester United
CSKA Moskwa
12
10
8
4
Grup C
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Atletico Madrid
Benfica
Galatasaray
Astana
13
10
5
4
Grup D
8
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Manchester City
Juventus
Sevilla
Monchengladbach
12
11
6
5
Grup E
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
FC Barcelona
AS Roma
Bayern Leverkusen
BATE
14
6
6
5
Grup F
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Bayern Munchen
Arsenal
Olympiakos
Dinamo Zagreb
15
9
9
3
Grup G
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Chelsea
Dinamo Kyiv
FC Porto
M. Tel-Aviv
13
11
10
0
Grup H
No
.
1.
2.
3.
4.
Tim
Poin
Zenit St. Petersburg
Gent
Valencia
Lyon
15
10
6
4
9
Klub-klub yang lolos ke babak 16 besar adalah klub peringkat pertama dan
peringkat kedua dari masing-masing grup. Keenambelas klub tersebut adalah Real
Madrid, PSG, Wolfsburg, PSV, Atletico Madrid, Benfica, Manchester City,
Juventus, FC Barcelona, AS Roma, Bayern Munchen, Arsenal, Chelsea, Dinamo
Kyiv, Zenit St. Petersburg, dan Gent.
Pengundian babak 16 besar dilakukan pada hari Senin, 14 Desember 2015
waktu Eropa. Berikut ini adalah daftar pertandingan dari hasil pengundian
tersebut. Klub-klub ini akan bertanding antara bulan Februari dan Maret 2016
mendatang.
No
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Pertandingan
GentvsWolfsburg
AS RomavsReal Madrid
PSGvsChelsea
ArsenalvsFC Barcelona
JuventusvsBayern Munchen
PSVvsAtletico Madrid
BenficavsZenit St. Petersburg
Dynamo KyivvsManchester City
Jumlah total gol yang mungkin terjadi dari pertandingan-pertandingan
tersebut dihitung menggunakan distribusi Poisson yang akan diuraikan pada
subbab berikutnya.
C. Rumus Proses Distribusi Poisson
Sebagai ilustrasi, misalkan kita tertarik oleh jumlah gol yang mungkin terjadi
pada semua pertandingan babak 16 besar Liga Champions Eropa, dengan
ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kemunculan
gol dalam interval waktu jika proses kemunculannya mempunyai karakteristik
sebagai berikut.
1. Tingkat kemunculan rata-rata setiap unit waktu adalah konstan. Dalam
ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kemunculan gol rata-rata
misalkan 3 kemunculan setiap 1 kali pertandingan (90 menit, tanpa
memasukkan injury time), maka tingkat ini melambangkan interval waktu
10
pada satu penuh waktu pertandingan, yaitu tingkat yang dapat diubah
kepada rata-rata yaitu 1,5 kemunculan gol setiap 45 menit atau 0,0333
kemunculan gol setiap menit.
2. Jumlah kemunculan gol pada interval waktu tidak bergantung pada apa
yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat
berarti bahwa kesempatan dari sebuah kemunculan gol di menit berikutnya
adalah sama.
3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kemunculan gol
dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol
adalah probabilitas yang lebih dari satu kemunculan. Dalam ilustrasi tadi,
bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu gol yang
dapat terjadi dalam waktu satu detik.
Rumus distribusi Poisson :
P(x; λ) =
e−λ . λ x
x!
Keterangan :
λ = Tingkat rata-rata kemunculan tiap unit waktu
x = Jumlah kemunculan
e = 2,718
D. Perhitungan Kemungkinan Jumlah Gol pada Babak 16 Besar Liga
Champions Eropa 2015 dengan Menggunakan Distribusi Poisson
Babak 16 besar Liga Champions Eropa terdiri dari 8 pertandingan dan
diberikan tiga kondisi, yaitu :
1. Jumlah gol yang muncul tepat 20.
2. Jumlah gol yang muncul tidak lebih dari 7.
3. Jumlah gol yang muncul lebih dari 7.
Pertama-tama, mari kita lihat kembali tabel hasil pertandingan babak
penyisihan terakhir.
11
No
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Pertandingan
Jumlah Gol
Manchester City 4−2 Monchengladbach
Real Madrid 8−0 Malmo
Galatasaray 1−1 Astana
PSV 2−1 CSKA Moskwa
Wolfsburg 3−2 Manchester United
Sevilla 1−0 Juventus
PSG 2−0 Shakhtar
Benfica 1−2 Atletico Madrid
Olympiakos 0−3 Arsenal
AS Roma 0−0 BATE
Dinamo Kyiv 1−0 M. Tel-Aviv
Chelsea 2−0 FC Porto
Gent 2−1 Zenit St. Petersburg
Bayern Leverkusen 1−1 FC Barcelona
Valencia 0−2 Lyon
Dinamo Zagreb 0−2 Bayern Munchen
Total Gol
6
8
2
3
5
1
2
3
3
0
1
2
3
2
2
2
45
Dari tabel ini kita dapat menarik kesimpulan bahwa terdapat 45 gol yang
tercipta pada 16 pertandingan, maka terdapat :
45
16 = 2,8125 ≈ 3 gol dalam 90 menit (1 pertandingan).
Rata-rata jumlah gol yang muncul dalam 1 pertandingan telah diketahui,
selanjutnya penyelesaian kondisi-kondisi kemunculan gol dalam 720 menit (8
pertandingan) diuraikan sebagai berikut :
1. Jumlah Gol yang Muncul Tepat 20
Maka, x = 20 dan λ = 3 x 8 = 24.
P(20; 24) =
=
2,718−24 .24 20
20!
3,784 x 10−11 . 4,019 x 1027
2,432 x 1018
= 6,252 x 10−2
= 6,252 x 10−2 x 100%
P(20; 24) = 6,252%
12
Jadi, kemungkinan terjadi tepat 20 gol dalam 8 pertandingan babak 16
besar Liga Champions Eropa adalah 6,252%.
2. Jumlah Gol yang Muncul Tidak Lebih dari 7
Maka, x ≤ 7 dan λ = 3 x 8 = 24.
P(0; 24) =
2,718−24 .24 0
= 3,784 x 10−11
0!
P(1; 24) =
2,718−24 .24 1
= 90,816 x 10−11
1!
P(2; 24) =
2,718−24 .24 2
= 1089,792 x 10−11
2!
P(3; 24) =
2,718 .24
= 8718,336 x 10−11
3!
P(4; 24) =
2,718−24 .24 4
= 52310,016 x 10−11
4!
P(5; 24) =
2,718−24 .24 5
= 251088,0768 x 10−11
5!
P(6; 24) =
2,718−24 .24 6
= 1004352,307 x 10−11
6!
P(7; 24) =
2,718−24 .24 7
= 3443493,625 x 10−1
7!
−24
3
Kita akan mencari P(x ≤ 7; 24), maka :
P(x ≤ 7; 24) = P(0; 24) + P(1; 24) + P(2; 24) + P(3; 24) + P(4; 24) +
P(5; 24) + P(6; 24) + P(7; 24)
= 3,784 x 10−11 + 90,816 x 10−11 + 1089,792 x 10−11 +
8718,336 x 10−11 + 52310,016 x 10−11 + 251088,0768 x
10−11 + 1004352,307 x 10−11 + 3443493,625 x 10−1
= 3443,493757 x 10−4
= 3443,493757 x 10−4 x 100%
P(x ≤ 7; 24) = 34,434%
Jadi, kemungkinan terjadi tidak lebih dari 7 gol dalam 8 pertandingan
babak 16 besar Liga Champions Eropa adalah 34,434%.
13
3. Jumlah Gol yang Muncul Lebih dari 7
Maka, x > 7 dan λ = 3 x 8 = 24.
P(x > 7; 24) = 100% − P(x ≤ 7; 24)
= 100% − 34,434%
P(x > 7; 24) = 65,566%
Jadi, kemungkinan terjadi lebih dari 7 gol dalam 8 pertandingan babak 16
besar Liga Champions Eropa adalah 65,566%.
14
BAB III
KESIMPULAN
Jadi, distribusi Poisson merupakan distribusi diskrit yang mengestimasi
probabilitas munculnya suatu keluaran dalam suatu standar unit tertentu sebanyak
x kali. Rata-rata kemunculan keluaran tersebut per unitnya konstan sebesar
standar unit ini dapat berupa interval waktu (menit, detik, hari, dan bulan) atau
luas daerah tertentu. Hasil penerapan distribusi Poisson dalam menghitung
kemungkinan jumlah gol yang dapat terjadi dalam 720 menit (8 pertandingan)
babak 16 besar Liga Champions Eropa 2015, yaitu : kemungkinan terjadi tepat 20
gol adalah 6,252%, kemungkinan terjadi tidak lebih dari 7 gol adalah 34,434%,
dan kemungkinan terjadi lebih dari 7 gol adalah 65,566%.
15
DAFTAR PUSTAKA
Learn.Cyber. (2008). Modul Distribusi Poisson, [Online]. Tersedia: http://cyberlearn.blogspot.co.id/2008/09/modul-distribusi-poisson.html
[13
Desember
2015].
Mr.
Shared.
(2012).
Distribusi
Poisson,
[Online].
Tersedia:
http://21slowspeed.blogspot.co.id/2012/11/distribusi-poisson-sejarahdistribusi.html [14 Desember 2015].
Novianto,
Gangsar.
(2011).
Distribusi
Poisson,
[Online].
Tersedia:
http://gangsarnovianto.blogspot.co.id/2011/05/distribusi-poisson.html
[13
Desember 2015].
Partini. (2015). Hasil Lengkap, Klasemen Dan Top Skor Liga Champions Tadi
Malam, Rabu-Kamis 9 & 10 Desember 2015, [Online]. Tersedia:
http://www.radarindo.com/4727/hasil-lengkap-klasemen-dan-top-skor-ligachampions-tadi-malam-rabu-kamis-9-10-desember-2015/
[13
Desember
2015].
Sufahmi Afdhal. (2014). Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson, [Online].
Tersedia:
http://blablablalabla.blogspot.co.id/2014/10/distribusi-binomial-
dan-distribusi.html [13 Desember 2015].
http://www.bola.net/champions/
https://id.wikipedia.org/wiki/Liga_Champions_UEFA
16