Distribusi Markov-Binomial Negatif

DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
TESIS Oleh RINA WIDYASARI 107021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh RINA WIDYASARI
107021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF : Rina Widyasari : 107021009 : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota

Ketua Program Studi (Prof. Dr. Herman Mawengkang)

Dekan (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Desember 2012

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 17 Desember 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Opim Salim S., M.Sc 3. Dr. Yulita Molliq, M.Sc
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.

Medan, 17 Desember 2012 Penulis, Rina Widyasari
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Salah satu cara untuk memperoleh suatu distribusi peubah acak adalah dengan mendefinisikan distribusi peubah acak dengan kejadian acak yang membentuk rantai Markov. Penelitian tesis ini melakukan pengulasan kejadian-kejadian ber-distribusi binomial negatif dan membentuk suatu rantai Markov. Andaikan Xn adalah barisan percobaan {0,1} yaitu percobaan kombinasi sukses atau gagal, dan Sn menghitung jumlah sukses, maka kejadian pada percobaan ke-n selanjutnya didefinisikan sebagai percobaan yang membentuk rantai Markov berdistribusi binomial. Jika suatu peubah acak Nb(s) menyatakan nilai ketetapan muncul sukses ke-s pada percobaan ke-n dan merupakan penjumlahan kejadian berdistribusi geometri maka apabila sukses muncul perhitungan rantai Markov akan berulang kembali. Namun, karena barisan membentuk rantai Markov, tetap mempertimbangkan state awal, state ke-n − 1, dan state ke-n apakah muncul 0 atau 1. Tujuan penelitian ini adalah memodelkan fungsi massa peluang (fmp), fungsi ekspektasi dan fungsi varians peubah acak Nb(s) berdistribusi Markov-binomial negatif. Selain itu, peneliti juga memodelkan diagram kontrol dalam quality control sebagai salah satu terapan distribusi Markov-binomial negatif. Kata kunci: Distribusi binomial negatif, Rantai Markov, Distribusi Markov-bino-
mial, Distribusi Markov-binomial negatif
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT The way to find a new distribution of random variables is defining the distribution which associated with Markov chain. In this research, researcher defines all the random variables identically independent distributed negative binomial distribution and form a Markov chain. Suppose that Xn is a sequence of Bernoulli trials that if 1 occurs means ”success” and 0 occurs means ”failure”. Nb(s) defined as random variables sth success in n trials. Each trial form a Markov chain, in note that if we consider that Nb(k) are total geometrically even, then if success occurs, then Markov chain must be counted from the beginner. But, if we look Xn as a sequence in {0, 1} combination, then we must look beginner state condition 0 or 1, also consider (n−1)th and nth state in 0 or 1. Therefore, researcher try to model pmf and varians of a random variables iid negative binomial associated with Markov chain then called it by Negative Binomial Distribution for Markov Process with two conditions and mode a control diagram as its application in quality control. Keywords: Negative binomial distribution, Markov chain, Markov-binomial distri-
bution.
iii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayah yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembimbing I, dan banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembanding-I yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Ibu Dr. Yulita Molliq, M.Sc, Pembanding-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara

Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2010 genap (Aghni, Dhia, Lena, Novi, Kak Vivi, Amin, Agusmanto, Bang Zul, Bang Hindra dan Bang Ronal) yang telah memberikan bantuan moril dan motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Sulastri dan ayahanda Junaidi serta adikadik, Irmayati, A.Md, Rizky Ayu Lestari, Fajar Fathurrahman dan Nabila Azzuhra juga Mas Sentot Budi Santoso, SP yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendoakan dan memberikan semangat kepada penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, Desember 2012 Penulis, Rina Widyasari
v
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Rina Widyasari dilahirkan di Medan pada tanggal 18 Juli 1988 dari pasangan Bapak Junaidi & Ibu Sulastri. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar Negeri 060927 Medan tahun 2000, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 2 Medan tahun 2003, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 2 Medan tahun 2006. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Sumatera Utara fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu (S-1) dan lulus tahun 2010. Pada tahun 2011, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Sejak April 2011, penulis dipercaya sebagai asisten dosen di Universitas Sumatera Utara jurusan matematika program studi D3 Statistika sampai sekarang. Kemudian pada Desember 2011 - Juli 2012, penulis dipercayakan sebagai asisten dosen Dr. Sutarman, M.Sc mata kuliah Biostatistika Magister Kesehatan Masyarakat STIKes Helvetia. Kemudian, Februari 2012, penulis menjadi dosen tamu di Akademi Analis Kesehatan Yayasan Dr. Rusdi Medan sampai sekarang.
vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

i ii iii iv vi vii
1
1 3 3 3 4
6

BAB 3 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN RANTAI MARKOV
3.1 Distribusi Bernoulli 3.2 Distribusi Binomial 3.3 Distribusi Geometri 3.4 Distribusi Binomial Negatif 3.5 Rantai Markov
3.5.1 Proses Markov 3.5.2 Matriks peluang transisi suatu rantai Markov 3.6 Rantai Markov Khusus

8
8 8 9 10 11 11 14 15

vii
Universitas Sumatera Utara

3.6.1 Rantai Markov dua state 3.6.2 Rantai Markov berkaitan dengan peubah acak yang terdis-
tribusi identik dan independen 3.6.3 Rantai Markov pada percobaan muncul ”sukses” 3.7 Distribusi Geometri yang Berkaitan dengan Rantai Markov 3.7.1 Definisi

15
20 21 22 23

BAB 4 DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF

24

4.1 Distribusi Markov-Binomial

24

4.2 Distribusi Markov-Binomial Negatif

27

4.2.1 Fungsi pembangkit momen distribusi Markov-binomial negatif 31

4.2.2 Model distribusi Markov-binomial negatif dalam quality control 33

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

35

5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA

35 36 37

viii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Salah satu cara untuk memperoleh suatu distribusi peubah acak adalah dengan mendefinisikan distribusi peubah acak dengan kejadian acak yang membentuk rantai Markov. Penelitian tesis ini melakukan pengulasan kejadian-kejadian ber-distribusi binomial negatif dan membentuk suatu rantai Markov. Andaikan Xn adalah barisan percobaan {0,1} yaitu percobaan kombinasi sukses atau gagal, dan Sn menghitung jumlah sukses, maka kejadian pada percobaan ke-n selanjutnya didefinisikan sebagai percobaan yang membentuk rantai Markov berdistribusi binomial. Jika suatu peubah acak Nb(s) menyatakan nilai ketetapan muncul sukses ke-s pada percobaan ke-n dan merupakan penjumlahan kejadian berdistribusi geometri maka apabila sukses muncul perhitungan rantai Markov akan berulang kembali. Namun, karena barisan membentuk rantai Markov, tetap mempertimbangkan state awal, state ke-n − 1, dan state ke-n apakah muncul 0 atau 1. Tujuan penelitian ini adalah memodelkan fungsi massa peluang (fmp), fungsi ekspektasi dan fungsi varians peubah acak Nb(s) berdistribusi Markov-binomial negatif. Selain itu, peneliti juga memodelkan diagram kontrol dalam quality control sebagai salah satu terapan distribusi Markov-binomial negatif. Kata kunci: Distribusi binomial negatif, Rantai Markov, Distribusi Markov-bino-
mial, Distribusi Markov-binomial negatif
ii

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT The way to find a new distribution of random variables is defining the distribution which associated with Markov chain. In this research, researcher defines all the random variables identically independent distributed negative binomial distribution and form a Markov chain. Suppose that Xn is a sequence of Bernoulli trials that if 1 occurs means ”success” and 0 occurs means ”failure”. Nb(s) defined as random variables sth success in n trials. Each trial form a Markov chain, in note that if we consider that Nb(k) are total geometrically even, then if success occurs, then Markov chain must be counted from the beginner. But, if we look Xn as a sequence in {0, 1} combination, then we must look beginner state condition 0 or 1, also consider (n−1)th and nth state in 0 or 1. Therefore, researcher try to model pmf and varians of a random variables iid negative binomial associated with Markov chain then called it by Negative Binomial Distribution for Markov Process with two conditions and mode a control diagram as its application in quality control. Keywords: Negative binomial distribution, Markov chain, Markov-binomial distri-
bution.
iii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Percobaan Bernoulli merupakan suatu percobaan yang memiliki dua nilai outcome (kemunculan) yang mungkin yakni ”sukses” dan ”gagal” yang masing-masing dinotasikan dengan nilai n = 1 dan n = 0. Apabila nilai n = 1, berarti muncul sukses. memiliki peluang p sedangkan n = 0 berarti muncul gagal memiliki peluang q = 1 − p, (Evans, et al., 2000). Saat ini, banyak aplikasi percobaan Bernoulli dapat ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya proses pencocokan barisan DNA (Clay, 2001), pemeriksaan kualitas produk dalam quality control (Ross, et al., 2012), banyaknya produk berkualitas baik dalam stok pasar, dan pengujian keacakan suatu sampel (Omey, et al., 2008). Apabila percobaan Bernoulli dilakukan berkalikali kemudian masing-masing hasilnya dijumlahkan maka percobaan tersebut akan berdistribusi binomial.

Dalam teori peluang dan statistika, distribusi binomial merupakan distribusi

peluang diskrit yang menyatakan jumlah sukses dalam barisan n percobaan (suk-

ses/gagal) yang independen. Andaikan bahwa setiap Xi bernilai {0,1} dan untuk

n ≥ 1, ambil Sn =

n i=1

Xi

sebagai

jumlah

sukses

dalam

barisan

(X1, X2, . . . , Xn).

Jika Xi terdistribusi secara independen dan identik dengan P(Xi = 1) = p dan P(Xi

= 0) = q = 1− p, maka Sn tersebut diketahui berdistribusi binomial Sn ∼ BIN(n, p)

(Omey, et al., 2008). Namun, apabila suatu percobaan dilakukan berkali-kali sam-

pai muncul sukses atau gagal, maka tidak lagi dikatakan berdistribusi binomial

melainkan berdistribusi geometri. Jumlah n distribusi geometri akan menghasilkan

suatu percobaan berdistribusi binomial negatif.

Berbeda dengan distribusi binomial, Markov chain (rantai Markov) merupakan model yang digunakan untuk menggambarkan proses-proses stokastik. Suatu proses stokastik dikatakan termasuk Markov chain apabila memenuhi Markovian property (sifat Markov) yang menyatakan bahwa peluang bersyarat suatu kejadian pada (t+1) (dengan dietahui kejadian pada (t − 1) dan keadaan sekarang,(t)), tidak bergantung pada kejadian (t − 1) melainkan hanya bergantung pada kejadian (t).

1
Universitas Sumatera Utara

2
Kini, banyak distribusi peluang yang didefinisikan melalui pencampuran atau penggabungan dua distribusi peluang atau lebih. Salah satu untuk memperoleh suatu distribusi diskrit baru adalah mendefinisikan perhitungan distribusi-distribusi yang berhubungan dengan rantai Markov. Omey, et al. (2008) melakukan penggabungan distribusi binomial dan rantai Markov yang disebut dengan distribusi Markov-binomial.
Distribusi Markov-binomial adalah suatu distribusi peluang diskrit dari kejadian sukses atau gagal yang membentuk suatu rantai Markov. Ilustrasi yang dapat menggambarkan distribusi ini yakni, dalam quality control diputuskan untuk memeriksa semua unit yang diproduksi. Alternatif yang muncul dari persoalan tersebut yaitu hanya memeriksa satu unit dan kemudian menerima atau menolak semua unit yang diproduksi. Namun, distribusi ini kurang cocok digunakan dalam situasi kegiatan yang memperhatikan muncul sukses atau gagal ke-k setelah melakukan r kali percobaan yang sering dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif yang juga membentuk suatu rantai Markov. Oleh karena itu, penelitian ini diajukan untuk mendefinisikan perhitu-ngan distribusi binomial negatif yang berhubungan dengan rantai Markov sehingga terbentuk suatu distribusi diskrit baru yang disebut distribusi Markov-binomial negatif.
Pada penelitian tentang Markov-binomial sebelumnya, Wang (1981) mengadakan penelitian tentang limit distribusi Markov-binomial. Cekanavicius dan Roos (2007) menggunakan distribusi binomial untuk pendekatan distribusi Markov binomial begitu juga dengan Xia dan Zhang (2009) yang menganalisis pendekatanpendekatan pada distribusi Markov-binomial. Namun, penelitian yang paling mendasari penelitian ini adalah penelitian yang dilakukan oleh Omey, et al. (2008). Mereka melakukan penelitian tentang hal-hal yang berkaitan dengan distribusi binomial dan membentuk rantai Markov yakni melakukan analisis pada Xi, i ≥ 1 yang dinyatakan sebagai barisan {0,1} dan membentuk suatu rantai Markov serta mempelajari jumlah sukses kejadian binomial Sn = X1 + X2 + · · · + Xn. Dengan mempelajari hal-hal dasar dalam penelitian Omey et al. (2008), peneliti mencoba memodelkan fungsi massa peluang, fungsi ekspektasi dan fungsi varians suatu kejadian yang mengamati sukses ke-s muncul pada percobaan ke-n dan membentuk rantai Markov dengan terlebih dahulu menghitung jumlah kejadian terdistribusi secara identik dan independen tersebut yang dinotasikan Nb(s). Pada bagian akhir
Universitas Sumatera Utara

3
penelitian ini, akan ditunjukkan aplikasi distribusi Markov-binomial negatif dalam kalibrasi alat sistem quality control. Namun, pada hakikatnya aplikasi ini tidak hanya diharapkan dapat diterapkan dalam sistem quality control, tetapi dapat diterapkan dalam penyebaran penyakit bidang ilmu epidemik, pencocokan DNA, stok pasar, dan percobaan Bernoulli lainnya.
1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan uraian yang diungkapkan pada bagian latar belakang, distribusi
Markov-binomial ialah distribusi diskrit yang diperoleh melalui penggabungan antara distribusi binomial dan rantai Markov. Distribusi ini hanya dapat digunakan untuk persoalan yang memperhitungkan percobaan muncul sukses atau gagal tanpa memperhatikan apakah sukses atau gagal ke-s muncul pada percobaan ke-n yang dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif. Persoalan muncul, bagaimanakah model suatu distribusi diskrit dari percobaan-percobaan yang berdistribusi binomial negatif dengan mengaitkan bahwa setiap percobaan membentuk rantai Markov dan bagaimana pula model diagram kontrol sebagai terapan dalam quality control.
1.3 Tujuan Penelitian Mengembangkan model distribusi Markov-binomial dan distribusi binomial
negatif menjadi suatu distribusi Markov-binomial negatif serta memodelkan aplikasinya dalam sistem quality control.
1.4 Manfaat Penelitian Memperkaya literatur distribusi peluang diskrit dalam statistika yang dapat
diaplikasikan dalam bidang riset operasi.
Universitas Sumatera Utara

4
1.5 Metode Penelitian Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpul-
kan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menguraikan fungsi distribusi peluang geometri menjadi distribusi peluang binomial negatif.
2. Mengidentifikasi kejadian-kejadian yang berdistribusi binomial negatif dan membentuk rantai Markov.
3. Menentukan asumsi awal dan notasi terkait. 4. Mempartisi kejadian pada waktu t dan t + 1 ke dalam 2 kemungkinan, Apabila
pada waktu t + 1 muncul 1 maka kejadian pada waktu t mungkin 0 atau 1. Sebaliknya, apabila pada waktu t + 1 muncul 0 maka kejadian pada waktu t mungkin 0 atau 1 juga. 5. Menentukan fungsi massa peluang (fmp), fungsi rata-rata (ekspektasi), dan fungsi varians pada 2 kondisi tersebut. 6. Memodelkan diagram kontrol menggunakan fungsi varians sebagai terapan dalam sistem quality control.
Definisi perhitungan-perhitungan dalam distribusi Markov-binomial negatif dilakukan dengan menggabungkan dan memodifikasi teknik-teknik yang telah dilakukan Omey, et al. (2008). Pendekatan dilakukan dalam dua langkah besar sebagai berikut.
Definisi Sn Dengan menggunakan teknik dalam distribusi binomial dan rantai Markov, akan didefinisikan barisan kejadian-kejadian yang berdistribusi binomial negatif dan membentuk suatu rantai Markov.
Universitas Sumatera Utara

5
Modifikasi Distribusi Markov-Binomial Setelah Sn telah didefinisikan pada proses di atas, langkah selanjutnya adalah modifikasi distribusi Markov-binomial berikut. Distribusi awal P (ξ0 = 1) = p0, P (ξ0 = 0) = 1 − p0, p0 ∈ [0, 1] dan peluang transisi
P (ξi = 1 | ξi−1 = 1) = p, P (ξi = 0 | ξi−1 = 1) = q P (ξi = 1 | ξi−1 = 0) = ¯q, P (ξi = 0 | ξi−1 = 0) = p¯
p + q = ¯q +p¯=1, p, q ∈ (0, 1), i ∈ N.

Distribusi Geometri p(k) = P {Z(r) = k} = qk.p = (1 − p)k.p

Distribusi binomial negatif

p(k)=P {Y

(r)

=

k}=

(k+r−1)! (r−1)!k!

pr

(1

−

p)k ,

k

=

0,

1,

.

.

.

,

n.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Distribusi Markov-binomial negatif merupakan distribusi yang diperoleh melalui pengembangan distribusi Markov-binomial. Sedangkan distribusi Markov-binomial merupakan distribusi yang diperoleh melalui penggabungan kejadian-kejadian binomial dan membentuk rantai Markov (Omey et al., 2008). Distribusi binomial erat kaitannya dengan distribusi Bernoulli karena distribusi binomial diperoleh dari penjumlahan percobaan yang berdistribusi Bernoulli. Percobaan Bernoulli merupakan percobaan yang terdiri dari barisan variabel {0,1}, dimana 1 berarti muncul ”sukses” dengan peluang p dan 0 berarti muncul ”gagal” dengan peluang q = 1 − p (Omey et al., 2008).
Beberapa artikel membahas tentang distribusi Markov-Binomial serta pendekatannya melalui beberapa distribusi. Omey et al. (2008) melakukan perhitungan waktu tunggu untuk percobaan-percobaan Bernoulli yang membentuk rantai Markov. Kemudian penelitiannya dilanjutkan pada tahun yang sama dengan menjumlahkan percobaan binomial yang berupa barisan variabel {0,1} dan mengandaikan bahwa barisan tersebut membentuk rantai Markov. Lain halnya dengan penelitian yang dilakukan Omey dan van Gulck (2006) yang mengasumsikan beberapa ketergantungan dalam barisan percobaan Bernoulli dan memberikan sebuah parameter tambahan sehingga model dapat digunakan lebih realistis.
Ghitany et al. (2002) menginvestigasi beberapa sifat penting dari distribusi hipergeometrik binomial negatif diperumum. Distribusi baru tersebut diperoleh dengan cara penggabungan distribusi. Distribusi binomial negatif diperoleh dengan cara menggabungkan distribusi Poisson dan distribusi gamma.
Barbour dan Lindvall (2006) menggunakan distribusi Poisson yang ditranslasi untuk mendekati distribusi suatu penjumlahan peubah acak bernilai integer yang distribusinya bergantung pada state rantai Markov. Dalam kondisi aperiodik, Barbour dan Lindvall (2006) mengembangkan batas error yang berkenaan dengan jarak total varians kemudian membandingkannya dengan perolehan melalui pendekatan distribusi normal yang berkenaan dengan jarak Kolmogorov terlemah.
6
Universitas Sumatera Utara

7
Cekanavicius dan Roos (2007) mendemonstrasikan bahwa distribusi binomial merupakan pendekatan yang sesuai untuk distribusi Markov-binomial dengan sebuah pendekatan error, yang dihitung dalam norm variasi total, yaitu 1/√n. Kemudian, Xia dan Zhang (2009) melanjutkan penelitian yang dilakukan oleh Barbour dan Lindvall (2006) dan Cekanavicius dan Roos (2007), yakni mencari distribusi pendekatan yang paling sesuai dengan distribusi Markov-binomial dan mengembangkan batas error sebagai fungsi eksplisit dari parameter-parameter distribusi Markov-binomial.
Inoue dan Aki (2007) melakukan penggabungan distribusi dari banyaknya sukses yang muncul dalam barisan percobaan Markov yang dependen dan terdiri dari banyak state. Economou dan Kapodistria (2009) melakukan ilustrasi kegunaan framework barisan q-hipergeometrik dalam perhitungan sistem transisi binomial yang muncul dari proses sinkronisasi serta mempelajari karakteristik sinkronisasi yang juga bersesuaian dengan rantai Markov spasial yang tidak homogen.
Pada tahun 2010, Yang dan Miao menggunakan distribusi Markov-binomial untuk mengestimasi simpangan (deviasi) sedang dan simpangan (deviasi) luas untuk banyaknya sukses Sn dan banyaknya kejadian Yr hingga muncul sukses ke-r.
Penelitian ini berhubungan dengan distribusi Markov-binomial dan distribusi binomial negatif. Suatu proses binomial negatif didasarkan pada banyaknya tak terhingga percobaan yang dilakukan sepanjang waktu, dengan hanya dua kejadian diskrit sebagai outcome yang mungkin muncul untuk sembarang percobaan yakni sukses dan gagal dengan peluang muncul sebuah sukses diasumsikan tetap sepanjang waktu. Proses binomial negatif digunakan untuk mempelajari distribusi dari banyaknya percobaan-percobaan sebelum menetapkan suatu bilangan khusus kemunculan sukses (Taylor dan Karlin, 1994). Kemudian, peneliti menggabungkan antara barisan {0,1} percobaan yang berdistribusi binomial negatif dan membentuk rantai Markov untuk mendefinisikan suatu distribusi penggabungan yang disebut distribusi Markov-binomial negatif. Selain itu, penelitian ini juga menentukan karakteristik dari distribusi Markov-binomial negatif tersebut.
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN RANTAI MARKOV

Pada bab ini dipaparkan teori distribusi peluang diskrit khususnya distribusi binomial, geometri dan binomial negatif serta rantai Markov. Materi tersebut akan dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini sehingga mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab selanjutnya.

3.1 Distribusi Bernoulli

Percobaan Bernoulli merupakan suatu percobaan yang memiliki dua nilai outcome yang mungkin yaitu n = 0 dan n = 1, n = 1 berarti muncul sukses dengan peluang p dan n = 0 berarti muncul gagal dengan peluang q = 1 − p, 0 < p < 1 (Evans, et al., 2000). Nilai ekspektasi dan varians kejadian berdistribusi Bernoulli adalah E[X] = p dan V ar[X] = p(1 − p).

Peubah acak Bernoulli muncul secara frekuensi sebagai indikator dari suatu kejadian. Indikator suatu kejadian A merupakan peubah acak, yakni

1 Jika A muncul I(A) = IA = 0 Jika A tidak muncul

(3.1.1)

(Taylor dan Karlin, 1994), sehingga IA merupakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p = E[IA] = P r{A}.

3.2 Distribusi Binomial

Anggap kejadian independen X1, X2, . . . , Xn memiliki peluang muncul yang sama yaitu p = P(Xi). Misalkan Sn menyatakan total kejadian di antara X1, X2, . . . , Xn yang muncul, maka Sn berdistribusi binomial dengan parameter n dan p. Fungsi massa peluang (fmp) Sn ialah

pSn (k)

=

P (Sn

=

k)

=

n! k!(n −

k)! pk (1

−

p)n−k , k

=

0, 1, 2, . . . , n.

(3.2.1)

8
Universitas Sumatera Utara

9

Persamaan (3.2.1) adalah fmp yang menghitung peluang banyaknya sukses atau gagal setelah melakukan n percobaan. Jika Sn dituliskan sebagai jumlah indikatorindikator dalam bentuk Sn = 1(X1) + 1(X2) + · · · + 1(Xn), maka
E[Sn] = E[1(X1)] + E[1(X2)] + · · · + E[1(Xn)] = p + p + p + p + · · · + p = np. (3.2.2)
Persamaan (3.2.2) juga merupakan rata-rata (nilai ekspektasi) Sn, dengan n menyatakan banyaknya percobaan. Kemudian, dengan menggunakan sifat independensi dapat ditentukan bahwa
V ar[Sn] = V ar[1(X1)] + V ar[1(X2)] + · · · + V ar[1(Xn)] = np(1 − p), (3.2.3)
(Taylor dan Karlin, 1994). Persamaan (3.2.3) merupakan rumus untuk menghitung varians Sn.

3.3 Distribusi Geometri

Andaikan A1, A2, . . . merupakan kejadian independen yang memiliki peluang yang dinotasikan dengan p = P r{Ai}. Apabila dikatakan bahwa k merupakan sebuah sukses (S) atau gagal (F) berdasarkan Ak muncul atau tidak, dan anggap Z menyatakan banyaknya gagal yang terjadi sebelum muncul sukses pertama. Jadi, Z = k jika dan hanya jika I(A1) = 0, . . . , I(Ak) = 0 dan I(Ak+1) = 1, maka Z berdistribusi geometri dengan parameter p. Fungsi massa peluang (fmp) Z ialah

pz(k) = p(1 − p)k

untuk k = 0, 1, . . . ,

(3.3.1)

(Taylor dan Karlin, 1994). Persamaan (3.3.1) merupakan fungsi untuk menghitung peluang apabila dalam k + 1 percobaan terdapat k gagal dan 1 sukses. Fungsi ratarata dan varians Z ialah

E[Z]

=

1

− p

p;

V ar[Z]

=

1

− p2

p

,

(3.3.2)

(Taylor dan Karlin, 1994).

Universitas Sumatera Utara

10

3.4 Distribusi Binomial Negatif

Andaikan bahwa sebarisan percobaan Bernoulli yang independen memiliki dua kemungkinan kemunculan yang disebut sukses dan gagal. Setiap percobaan, sukses memiliki peluang p dan gagal memiliki peluang (1−p). Lakukan percobaan berulang-ulang sebanyak r hingga muncul sukses, maka bilangan acak gagal akan berdistribusi binomial negatif (Pascal). Dengan kata lain, proses binomial negatif digunakan untuk mempelajari distribusi dari banyaknya percobaan-percobaan sebelum menetapkan suatu bilangan khusus kemunculan sukses (Taylor dan Karlin, 1994).

Pada setiap percobaan, tetapkan suatu bilangan bulat r ≥ 1 dan misalkan Y (r) adalah jumlah gagal yang diamati sebelum muncul sukses ke-r dalam X1, X2, . . . , Xn, maka Y (r) berdistribusi binomial negatif dengan parameter r dan p. Kejadian (Yr) = k menyebutkan (A) dengan r − 1 sukses dalam percobaan k + r − 1 pertama, diikuti dengan (B) sebuah sukses pada percobaan ke k + r. Peluang (A) diperoleh dari distribusi binomial, sedangkan peluang (B) = p, sehingga diperoleh pmf:

p(k)

=

P {Y

(r)

=

k}

=

(k + r − 1)! (r − 1)!k!

pr

(1

−

p)k, k

=

0, 1, . . . , n.

(3.4.1)

Dengan cara lain, tuliskan Y (r) sebagai jumlah dari variabel acak independen yang masing-masing berdistribusi geometri sebagai Y (r) = Z1 + Z2 + · · · + Zr, maka rata-rata (ekspektasi) dan varians Y (r) dapat dituliskan sebagai

E[Y

(r)]

=

r(1 − p

p) ; V

ar[Y

(r)]

=

r(1 − p2

p) ,

(3.4.2)

(Taylor dan Karlin, 1994).

Bukti:

r
E[Y (r)] = Zi
i=1

= E[Z1 + Z2 + · · · + Zr]

= E[Z1] + E[Z2] + · · · + E[Zr]

= r.E[Z]

=

r(1 − p

p) ,

Universitas Sumatera Utara

11

dan

r
V ar[Y (r)] = Zi
i=1

= V ar[Z1 + Z2 + · · · + Zr]

= V ar[Z1] + V ar[Z2] + · · · + V ar[Zr]

= r.V ar[Z]

=

r(1 − p2

p) .

Persamaan (3.4.2) merupakan fungsi untuk menghitung rata-rata dan varians su-

atu percobaan berdistribusi binomial negatif. Y (r) merupakan peubah acak yang

diperoleh dari penjumlahan peubah acak berdistribusi geometri, Zr dan tiap-tiap Zr

saling

independen

dan

memiliki

nilai

peluang

yang

sama

sehingga

E[Zr]

=

(1−p) p

dan

E[Y (r)]

=

(1−p) p

+

(1−p) p

+···+

(1−p) p

=

r(1−p) p

serta

V ar[Y (r)]

=

(1−p) p2

+

(1−p) p2

+···+

(1−p) p2

=

r(1−p) p2

.

3.5 Rantai Markov 3.5.1 Proses Markov
Suatu proses Markov {Xt, t ∈ T } ialah suatu proses stokhastik dengan sifat bahwa, jika diberikan nilai Xt, nilai Xs untuk s > t tidak dipengaruhi oleh nilai Xu untuk u < t. Dengan kata lain, peluang sebarang kejadian pada proses di masa depan, ketika keadaan sekarang diketahui, tidak dipengaruhi oleh pengetahuan tambahan yang terjadi di masa lampau.
Suatu rantai Markov waktu diskrit merupakan suatu proses Markov yang ruang statenya adalah himpunan berhingga dengan waktu T = (0, 1, 2, . . . ). Sifat Markov apabila dibentuk rumus, hasilnya ialah
P {Xn + 1 = j|X0 = i0, · · · , Xn−1 = in−1, Xn = i} = P {Xn+1 = j|Xn = i}, (3.5.1)
untuk semua waktu n dan semua state i0, . . . , in−1, i, j. Persamaan (3.5.1) melabelkan ruang state rantai Markov melalui bilangan bulat nonnegatif {0, 1, 2, . . . } dan Xn = i merepresentasikan proses dalam state i pada waktu (tingkat) n.

Universitas Sumatera Utara

12

Peluang ketika Xn+1 berada di state j jika diberikan bahwa Xn berada di state i disebut peluang transisi satu langkah dan dinotasikan sebagai Pinj,n+1, yakni

Pinj,n+1 = P {Xn+1 = j|Xn = i}.

(3.5.2)

Notasi pada persamaan (3.5.2) menyatakan bahwa secara umum, peluang transisi

merupakan fungsi yang tidak hanya berisi state awal dan state akhir, tetapi juga

waktu transisi. Jika peluang transisi satu-langkah independen untuk variabel waktu n yaitu Pinj,n+1 = Pij, maka rantai Markov dikatakan memiliki peluang transisi yang stasioner. Penelitian ini hanya mendiskusikan proses Markov yang memiliki peluang

transisi stasioner. Apabila angka-angka Pij disusun dalam sebuah matriks, hasilnya

ialah

p0,0 p0,1 p0,2 p0,3 · · ·

p1,0 p1,1 p1,2 p1,3 · · ·

p2,0 p2,1 p2,2 p2,3 · · ·

P

=

 



...

...

...

...

 

,





pi,0

pi,1

pi,2

pi,3

· · · 

... ... ... ...

(Taylor dan Karlin, 1994).

Notasi P = Pij dinyatakan sebagai matriks Markov atau matriks peluang transisi. Baris ke-i + 1 pertama dari matriks P merupakan nilai distribusi peluang dari Xn+1

di bawah kondisi Xn = i.

Oleh karena peluang bernilai non-negatif dan karena proses harus melakukan transisi ke beberapa state, hal ini berarti bahwa

Pij ≥ 0 untuk i, j = 0, 1, 2, . . . ,

(3.5.3)

∞
Pij = 1 untuk i = 0, 1, 2, . . . .
j=0

(3.5.4)

Persamaan (3.5.4) mengekspresikan suatu kenyataan bahwa beberapa transisi dapat

terjadi dalam setiap percobaan.

Suatu proses Markov secara lengkap didefinisikan sebagai suatu kejadian yang matriks peluang transisinya dan state awal X0 (secara umum, peluang transisi X0) telah ditentukan.

Universitas Sumatera Utara

13

Andaikan P {X0 = i} = p, hal ini dapat menunjukkan bagaimana menghitung kuantitas persamaan (3.5.5)

P {X0 = i0, X1 = i1, X2 = i2, . . . , Xn = in},

(3.5.5)

karena sebarang peluang meliputi Xj1, . . . , Xjk , untuk j1 < · · · < jk, dapat diperoleh berdasarkan aksioma total peluang yaitu melalui penjumlahan tiap-tiap Xn dalam persamaan (3.5.5).

Berdasarkan definisi peluang bersyarat, diperoleh

P {X0 = i0, Xt = i1, · · · , Xn = in} = P {X0 = i0, Xt = i1, · · · , Xn−1 = in−1} ×P {Xn = in|X0 = i0, X1 = i1, · · · , Xn−1 = in−1}.

(3.5.6)

Kemudian, dari definisi proses Markov, yaitu kejadian pada waktu ke n hanya bergantung pada kejadian waktu ke-n − 1,

P {Xn = in | X0 = i0, X1 = i1, · · · , Xn−1 = in−1} = P {Xn = in | Xn−1 = in−1} = P .in−1,in
Substitusi persamaan (3.5.7) ke persamaan (3.5.6), maka

(3.5.7)

P {X0 = i0, X1 = i1, · · · , Xn−1 = in−1} = P {X0 = i0, X1 = i1, · · · , Xn−1 = in−1}Pin−1,in .
Sehingga melalui induksi matematika, persamaan (3.5.5) menjadi

P {X0 = i0, X1 = i1, · · · , Xn = in} = Pi0Pi0,i1 · · · Pin−1,in. Hal ini juga berarti bahwa

(3.5.8)

P {Xn+1 = j1, · · · , Xn+m = in+m = jm|X0 = i0, X1 = i1, · · · , Xn = in}

= P {Xn+1 = j1, · · · , Xn+m = jm|Xn = in},

(3.5.9)

untuk semua waktu n, m dan semua state i0, . . . , in, j1, . . . , jm.

Universitas Sumatera Utara

14

3.5.2 Matriks peluang transisi suatu rantai Markov

Andaikan Pinj menyatakan peluang dimana proses berasal dari state i ke state j dalam

transisi ke n sehingga

Pi(jn) = P {Xm+n = j|Xm = i}

(3.5.10)

Matriks peluang transisi n-langkah kemudian diekspresikan oleh P(n) = Pi(jn) . Sifat Markov pada persamaan (3.5.9) dengan syarat Pi(jn) ditetapkan melalui
teorema (3.1)

Teorema 3.1 Matriks peluang transisi langkah ke-n suatu rantai Markov memenuhi

∞

Pi(jn) =

Pik Pk(jn−1)

k=0

(3.5.11)

dan didefinisikan

P (0) = ij

1 i=j 0 i=j

Berdasarkan teori matriks, persamaan (3.5.10) diakui sebagai bentuk rumus perkalian

matriks, sehingga matriks peluang transisi P(n) =P× P(n−1). Melalui proses iterasi,

dapat diperoleh

P(n) = P × P × P · · · × P = Pn

(3.5.12)

Dengan kata lain, peluang transisi ke-n Pinj merupakan entri-entri dalam matriks Pn, yaitu pangkat ke-n matriks P.

Bentuk umum dari persamaan (3.5.10) dikenal sebagai persamaan Chapman-Kol-

mogorov yakni

∞

Pi(jn+m) =

Pink Pkmj

k=0

untuk semua n, m ≥ 0, semua i, j

(3.5.13)

Bukti. Pembuktian dilakukan melalui analisis langkah pertama, analisis transisi yang mungkin pada langkah pertama, diikuti oleh aplikasi sifat Markov. Kejadian dari state i ke state j dalam n kali transisi dapat direalisasikan dengan cara yang saling mutually exclusive yaitu melalui perpindahan ke beberapa state k (k = 0, 1, . . . )dalam transisi pertama, dan kemudian dari state k ke state j dalam transisi (n − 1). Berdasarkan sifat Markov, peluang transisi kedua adalah Pk(jn−1), maka

Universitas Sumatera Utara

15

jelaslah peluang transisi pertama adalah Pik. Jika digunakan hukum total peluang, maka persamaan (3.5.10) diperoleh. Langkah-langkah memperoleh persamaan (3.5.10) ialah

∞
Pi(jn) = P r{Xn = j | X0 = i} = P r{Xn = j, X1 = k | X0 = i}
k=0
∞
= P r{X1 = k | X0 = i}P r{Xn = j | X0 = i, X1 = k}
k=0
= ∞ PikPk(jn−1),
k=0
(Taylor dan Karlin, 1994).

Jika peluang ketika proses awal berada di state j adalah pj yaitu hukum dis-

tribusi X0 adalah Pr{X0 = j} = pj, maka peluang ketika proses berada di state k

pada waktu n ialah

∞

p(kn) =

pj Pj(kn) = P{Xn = k}.

j=0

(3.5.14)

3.6 Rantai Markov Khusus 3.6.1 Rantai Markov dua state

Apabila diketahui sebarisan percobaan Bernoulli (barisan {0,1}) membentuk rantai

Markov, andaikan distribusi awal diberikan oleh P (X1 = 1) = p dan P (X1 = 0) =

q = 1 − p dan untuk i, j = 0,1, andaikan pi,j = P {X2 = j|X1 = i} menotasikan

peluang transisi. Masalah yang tidak berarti dapat dihindari dengan mengandaikan

bahwa 0 < pi,j < 1 . Matriks transisi satu langkah rantai markov dapat dilihat pada

persamaan (3.6.1):

P=

p0,0 p1,0

p0,1 p1,1

=

1−p q

p 1−q

(3.6.1)

dan 0 < p, q < 1.

Ketika p = 1 − q sehingga entri baris-baris pada matriks P adalah sama, maka state X1, X2, . . . menjadi variabel bebas yang terdistribusi secara identik dan independen dengan Pr{Xn = 0} = q dan Pr{Xn = 0} = p. Ketika p = 1 − q, distribusi peluang Xn bergantung pada hasil yang muncul (outcome) Xn−1 pada state sebelumnya.

Universitas Sumatera Utara

16

Pada rantai Markov dua state, persamaan (3.6.1) dapat diverifikasi melalui induksi bahwa matriks transisi langkah ke n diberikan sebagai

Pn

=

p

1 +

q

q q

p p

+

(1

−p− p+q

q)n

p −q

−p q.

(3.6.2)

Untuk membuktikan bentuk umum Pn di atas, maka dapat dilakukan dengan membuat suatu pemisalan
q p p −p A = q p dan B = −q q ,

sehingga persamaan (3.6.2) dapat dituliskan sebagai

Pn = (p + q)−1[A + (1 − p − q)nB].

Kemudian, periksa perkalian berikut
q p  1−p p  AP = q p ×  q 1 − q 
q − pq + pq pq + p − pq = q − pq + pq pq + p − pq
qp = q p = A,

dan

p −p

1−p p

BP =

×

−q q

q 1−q

p − p2 − pq p2 − p + pq =
−q + pq + p2 −pq + q − q2

= (1 − p − q)B.

Universitas Sumatera Utara

17
Pembuktian induksi dapat disempurnakan dengan measumsikan persamaan (3.6.2) benar untuk n = k, maka

PkP = (p + q)−1[A + (1 − p − q)kB]P = (p + q)−1[AP + (1 − p − q)kBP] = (p + q)−1[A + (1 − p − q)k+1B] = Pk+1.

Karena persamaan (3.6.2) terbukti memenuhi untuk n = k +1, oleh karena itu, tidak dapat dipungkiri persamaan (3.6.2) terbukti untuk semua n = k.

Catatan bahwa | 1 − p − q |< 1 ketika 0 < p, q < 1 dan | 1 − p − q |n→ 0 ketika

n → ∞ sehingga

lim Pn =
n→∞

qp p+q p+q
qp p+q p+q

.

(3.6.3)

Persamaan (3.6.3) mengatakan bahwa dalam suatu sistem yang panjang, ketika

berada

dalam

state

0

memiliki

peluang

q (p+q)

dan

ketika

berada

dalam

state

1

memi-

liki

peluang

p (p+q)

mengabaikan

state

awal

pada

sistem

(Taylor

dan

Karlin,

1994).

Jika dihubungkan dengan penelitian yang dilakukan oleh Omey et al. (2008), pertama, catatan bahwa rantai Markov memiliki suatu vektor stasioner yang tunggal sebagai (x, y) = (p1,0, p0,1)/(p0,1 + p1,0). Nilai eigen matriks P adalah λ1 = 1 dan λ2 = 1 − p0,1 − p1,0=1 − p − q, karena p0,1 = 1 − p0,0 = 1 − q dan p1,0 = 1 − p1,1 = 1 − p maka λ2 = p0,0 + p1,1 − 1 = q + p − 1, dimana | λ2 |< 1 . Melalui induksi matematika, maka matriks transisi n langkah dapat dituliskan sebagai Pn = A + λ2nB, dimana

ba A= b a ,
a −a B = −b b .

Pembuktiannya dapat dilihat dari proses induksi persamaan (3.6.2). Hal tersebut berarti bahwa P0(n,0)= b + λ2na dan P1(n,0)= b − λ2nb = b(1 − λn2 ) . Dengan menggunakan hubungan ini, untuk n ≥ 1 diperoleh:

P {Xn = 1} = a + λn2−1(pb − qa) = a − λn2−1(a − p),

(3.6.4)

Universitas Sumatera Utara

18

P {Xn = 0} = a + λn2−1(a − p),

(3.6.5)

(Omey, et al., 2008). Persamaan (3.6.4) menyatakan peluang apabila sampai percobaan ke-n muncul sukses, sederhananya dapat dilihat untuk n = 1, yakni

P {X1 = 1} = a − λ21−1(a − p) = a − (a − p) = p.

Hal tersebut juga berlaku pada persamaan (3.6.5), persamaan (3.6.5) menyatakan peluang apabila sampai percobaan ke-n muncul gagal, sederhananya dapat dilihat untuk n = 1, yakni
P {X1 = 0} = b + λn2−1(a − p) = b + (a − p) = a + b − p = 1 − p, jumlah nilai a dan b pada matriks A adalah 1.
Teori tentang momen Xn diberikan pada lemma 3.1.
Lemma 3.1 Untuk n ≥ 1 diperoleh
1. E[Xn] = P (Xn = 1) = a − λn2−1(a − p). 2. V ar[Xn] = (b − λn2−1(a − p))(b + λn2−1(a − p)). 3. Untuk n ≥ m diperoleh Cov[Xn, Xm] = λn2−mV ar[Xm].
Bukti. Pembuktian bagian (1)
∞
E[Xn] = Xn.P (Xn)
n=1
= X1P (X1) + X2P (X2) + · · · + XnP {Xn}.
jika kejadian X1 sampai dengan kejadian Xn−1 adalah gagal maka E[Xn] = 0.P {X1 = 0} + 0.P {X2 = 0} + · · · + 0.P {Xn−1 = 0} + 1.P {Xn = 1} E[Xn] = P {Xn = 1} = a − λn2−1(a − p).

Universitas Sumatera Utara

19

Pembuktian bagian (2),

∞∞

V ar[Xn] = E[Xn2] − (E[Xn])2 = Xn2.P {Xn} −

Xn.P (Xn)

n=1

n=1

= 12.P {Xn = 1} − (1.P {Xn = 1})2 = p − p2 = p(1 − p),

2

dari persamaan (3.6.4) dan (3.6.5) P {Xn = 1} = a − λ2n−1(a − p) dan P {Xn = 0} = a + λn2−1(a − p), diperoleh
V ar[Xn] = (a − λn2−1(a − p))(a + λn2−1(a − p)).
Pembuktikan bagian (3) dapat dilakukan dengan mempertimbangkan bahwa E[XnXm] = P {Xn = 1, Xm = 1} = p(1n,1−m)P {Xm = 1}. Hal ini berarti bahwa Cov[Xn, Xm] = (p(1n,1−m) − P {Xn = 1})P {Xm = 1}. Gunakan ekspresi yang diperoleh sebelumnya sehingga diperoleh
Cov[Xn, Xm] = (a + λn2−mb − a + λn2−1(a − p))P {Xm = 1}
= λn2−m(b + λm2 −1(a − p))P {Xm = 1}.
Oleh karena pada kasus khusus, peneliti mempertimbangkan tipe korelasi dalam percobaan Bernoulli (Wang, 1981), maka dalam model ini, diasumsikan bahwa P (Xn = 1) = p, P (Xn = 0) = q = 1 − p dan ρ = ρ(Xn, Xn+1) = 0 untuk semua n ≥ 1. Hal ini mengakibatkan Cov(Xn, Xn+1) = ρpq dan P (Xn = 1, Xn+1 = 1) = p(p + ρq) dengan penjabaran sebagai berikut
Cov(Xn, Xn+1) = [E(Xn, Xn+1) − E(Xn)E(Xn+1)].ρ(Xn, Xn+1).
Dari Lemma 3.1, E(Xn) = P (Xn = 1), sehingga
Cov(Xn, Xn+1) = [P (Xn = 1, Xn+1 = 1) − P (Xn = 1)P (Xn+1 = 1)]ρ(Xn, Xn+1) = [p111 − p.p]ρ(Xn, Xn+1) = (p − p.p)ρ = ρp(1 − p) = ρpq,

Universitas Sumatera Utara

20

dan Cov(Xn, Xn+1) = [P (Xn = 1, Xn+1 = 1) − P (Xn = 1)P (Xn+1 = 1)] ρpq = [P (Xn = 1, Xn+1 = 1) − p.p] ρpq = (P (Xn = 1, Xn+1 = 1) − p.p) (P (Xn = 1, Xn+1 = 1) = ρpq + p.p = p(p + ρq).
Karena P (Xn = 1) = p sehingga juga diperoleh bahwa

P (Xn = 0, Xn+1 = 1) = P (Xn = 1, Xn+1 = 0) = pq(1 − ρ).

(3.6.6)

Hal ini mengakibatkan bahwa P (Xn+1 = j|Xn = i) = pi,j (i, j = 0, 1), dimana pi,j

ialah

q + ρp p(1 − ρ)

P(p, ρ) =

.

q(1 − ρ) p + ρq

(3.6.7)

Dalam kasus ini diperoleh (x, y) = (q, p) dan λ2 = ρ. Untuk n ≥ m, hal ini berarti bahwa ρ(Xn, Xm) = ρn−m (Omey et al., 2008).

3.6.2 Rantai Markov berkaitan dengan peubah acak yang terdistribusi identik dan independen

Andaikan ξ menotasikan suatu nilai peubah acak diskrit yang merupakan bilangan
∞
bulat nonnegatif dan dimana P {ξ = i} = ai ≥ 0 untuk i = 0, 1, . . . dan ai = 1.
1=0
Misal ξ0, ξ1, . . . , ξn, . . . mewakili pengamatan-pengamatan independen ξ. Kemudi-
an, akan dipelajari jenis-jenis rantai Markov yang ruang statenya serupa dengan

pengamatan-pengamatan independen ξ yang nilainya berupa bilangan bulat non-

negatif.

Contoh Peubah Acak Independen. Anggap proses Xn, n = 0, 1, 2, . . . didefinisi-

kan oleh Xn = ξn (X0 = ξ0 sudah ditentukan). Matriks Markov (matriks peluang

transisinya) ialah

a0 a1 a2 . . .

a0

a1

a2

... 

P = a0

a1

a2

. . . . 

... ... ...

Setiap baris mengekspresikan fakta bahwa peubah acak Xn+1 independen dengan Xn.

Universitas Sumatera Utara

21

3.6.3 Rantai Markov pada percobaan muncul ”sukses”

Anggap kasus yang memimpin perulangan percobaan Bernoulli (setiap kejadian

hanya ada dua outcome yang muncul yaitu sukses S dan gagal F ). Andaikan bahwa

dalam setiap percobaan, peluang S adalah p dan peluang F adalah q = 1 − p. Ke-

mudian definisikan banyaknya percobaan dari suatu sukses yang muncul (banyaknya

kejadian sukses) sebagai banyaknya percobaan berurut yang menghasilkan sukses.

Yaitu, suatu sistem sukses dengan panjang r terjadi jika outcome tersebut muncul

dalam r+2 percobaan, termasuk percobaan terakhir, berturut-turut F, S, S, . . . , S, F .

Berilah label pada state sekarang dari proses oleh ukuran banyaknya sukses yang

sedang berlangsung. Proses tersebut merupakan proses Markov karena tiap-tiap per-

cobaan bersifat independen satu sama lain, dan matriks peluang transisinya ialah

sebagai berikut

β α 0 0 0 · · ·

β 0 α 0 0 · · · P = β 0 0 α 0 · · · .
β 0 0 0 α · · · 
... ... ... ... ...

Generalisasi proses ”sukses” di atas untuk kasus-kasus dimana state i+1 hanya dapat dicapai dari state i dan ukuran proses diperbaharui (kembali ke 0) jika sebuah kejadian ”gagal” muncul. Oleh karena itu, matriks peluang transisinya diberikan sebagai
p0 q0 0 0 0 · · · p1 r1 q1 0 0 · · · P = p2 0 r2 q2 0 · · · , p3 0 0 r3 q3 · · · 
... ... ... ... ...

dimana qi > 0, pi > 0, dan pi + qi + ri = 1 untuk i = 0, 1, 2, . . . . Catatan bahwa state 0 dapat dicapai dalam satu transisi dari state lainnya.

Universitas Sumatera Utara

22

3.7 Distribusi Geometri yang Berkaitan dengan Rantai Markov

Andaikan sebarisan peubah acak biner (Xn, n = 1, 2, . . . ), dimana state 1 menyatakan sebuah sukses dan 0 menyatakan sebuah gagal, peluang stasioner state

1 dan 0 ialah

P {Xn = 1} = p, P {Xn = 0} = q = 1 − p.

(3.7.1)

Kemudian, asumsikan Xn membentuk suatu rantai Markov yang mempertimbangkan korelasi antara kejadian Xn dan Xn+1, dengan peluang transisi (perhatikan kembali persamaan (3.5.6))

P {Xn+1 = 1|Xn = 1} = 1 − q(1 − ρ); P {Xn+1 = 0|Xn = 0} = 1 − p(1 − ρ), dengan keterangan bahwa ρ ∈ [0, 1) dan n = 1, 2, . . . .

(3.7.2)

Matriks peluang transisi 1-langkah

(Omey, et al., 2008).

1 − p(1 − ρ) p(1 − ρ) P= ,
q(1 − ρ) 1 − q(1 − ρ)

(3.7.3)

Nilai eigen matriks P adalah λ1 = 1 dan λ2 = 1 − p(1 − ρ) − q(1 − ρ) = ρ. Koefisien korelasi ρ(Xn, Xn+1) = ρ, untuk n = 1, 2, . . . . Melalui induksi matematika transisi n langkah dapat dituliskan sebagai Pn=A + λn2B, maka matriks peluang transisi langkah ke-n ialah

Pn = 1 − p(1 − ρn) p(1 − ρn) , q(1 − ρn) 1 − q(1 − ρn)

(3.7.4)

(Omey, et al., 2008). Pada kejadian yang tak terhingga, n → ∞, ρn → 0 sehingga

1 − p(1 − ρn) p(1 − ρn)

1−p p

lim Pn =

∼ Pn =

. (3.7.5)

n→∞

q(1 − ρn) 1 − q(1 − ρn)

q 1−q

Rantai Markov dengan matriks peluang transisi seperti di atas adalah rantai Markov yang mewakili peubah-peubah acak Bernoulli yang saling berkorelasi.

Universitas Sumatera Utara

23

3.7.1 Definisi Andaikan (X1, X2, . . . ) adalah barisan percobaan Bernoulli dengan kombinasi {0,1}, kemudian didefinisikan peubah acak Z menyatakan jumlah gagal yang muncul hingga muncul sukses pertama dalam rantai Markov dan peubah acak Zs menyatakan banyaknya transisi yang terjadi hingga pertama sukses. Oleh karena itu Zs = Z + 1. Sehingga fungsi massa peluang dari Z adalah

P {Z = 0} = p,

(3.7.6)

P {Z = 0} berarti pada percobaan acak tersebut tidak ada muncul gagal, dengan kata lain percobaan pertama muncul sukses sehingga P {Z = 0} = p, dan

P {Z = k} = q(1 − p(1 − ρ))k−1p(1 − ρ), k = 1, 2, . . . ,

(3.7.7)

(Omey, et al., 2008).

Persamaan (3.7.7) menyatakn peluang suatu percobaan geometri muncul gagal sebanyak k dengan state awal adalah 0.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4 DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF

Penelitian tesis ini merupakan penelitian yang berhubungan dengan suatu peubah acak binomial negatif dengan mempertimbangkan bahwa kejadian-kejadian berdistribusi binomial negatif tersebut membentuk suatu rantai Markov. Selain itu, peneliti memodelkan aplikasinya dalam quality control. Definisi perhitungan-perhitungan dalam distribusi Markov-binomial negatif dilakukan dengan menggabungkan dan memodifikasi teknik-teknik yang telah dilakukan Omey, et al. (2008). Pendekatan dilakukan dalam dua langkah besar yakni mendefinisikan Sn dalam model distribusi Markov-binomial yang telah dilakukan Omey, et al. (2008) kemudian mendefinisikan Zk sebagai peubah acak berdistribusi geometri yang berkaitan dengan rantai Markov, dan Nb(s) sebagai peubah acak berdistribusi binomial negatif yang berkaitan dengan rantai Markov. Oleh karena setiap percobaan membentuk rantai Markov, maka peneliti melakukan pembedaan yang dilihat dari state awal juga state ke-n dan ke-n + 1. Apabila stateke-n berhenti di 0 (gagal), maka terdapat dua kemungkinan pada state ke-n − 1, yakni 0 atau 1. Begitu juga sebaliknya apabila state ke-n berhenti di 1 (sukses).

4.1 Distribusi Markov-Binomial
Andaikan Sn adalah notasi yang digunakan untuk menyatakan jumlah sukses dari
n
tiap-tiap percobaan berdistribusi binomial, X1, X2, . . . , Xn, yaitu Sn = Xi, perlu
i=1
diingat bahwa percobaan yang berdistribusi binomial merupakan percobaan barisan
{0,1} dari percobaan Bernoulli. Apabila distribusi awal ialah P (X1 = 1) = p dan
P (X1 = 0) = q = 1 − p dan untuk i, j = {0,1}, andaikan pi,j = P {X2 = j|X1 = i}
menotasikan peluang transisi, dengan asumsi awal 0 < pi,j < 1. Matriks transisi
satu langkah rantai Markov: