S MTK 1000690 chapter6

BAB VI
KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya didapat beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
1. Fungsi �: ℝ → ℝ+ dikatakan fungsi Young jika
a) � konvek pada ℝ

b) � −

=�

c) � 0 = 0, � ±∞ = ∞, dan
d) jika

= sup �� � ∈ ℝ maka lim

→� −

�

=�

.

Lebih jauh, fungsi Young �: ℝ → ℝ+ dan komplemennya � ∗ : ℝ → ℝ+ ,
berturut-turut dapat direpresentasikan sebagai

�

dan

| |

=∫ �
0

| |

�∗

≔∫ �

0

,

dimana �, �: [0, ∞ → ℝ , tak turun, kontinu kiri, bukan merupakan fungsi

konstan 0 atau ∞. Juga berlaku ketaksamaan Young
≤�

+ �∗

.

2. Ruang Orlicz adalah ruang fungsi
�

�, � ≔ {�: � → ℝ, � terukur|∃� > 0, ∫ � ��
�

� < ∞},

dan merupakan ruang Banach. Pada ruang Orlicz didefinisikan beberapa
norm diantaranya Norm Luxemburg ‖. ‖� dan norm Orlicz |. |� , dimana
keduanya adalah norm yang ekivalen. Jika

�� � = ℝ,

Hazmy, Sofhara AL. 2014
EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

�

.

dan

108

�

�

� merupakan norm untuk

Orlicz |. |� ,

�

. , dan

�
�

′
�

dan

kontinu pada
kontinu pada

′
�,

�,

�.

dimana
dan

juga norm Luxemburg ‖. ‖� , norm

� semuanya ekivalen.

3. Dual ruang Orlicz besar
adalah

�,

�

′
�

dan ruang Orlicz kecil
′
�

�

berturut-turut

adalah himpunan semua fungsional linear

adalah himpunan semua fungsional linear

Berdasarkan ketaksamaan Holder, untuk setiap ℎ ∈

didefinisikan suatu fungsional linear yang memetakan

untuk semua � ∈ � , dan pemetaan yang memetakan
ℎ ⟶ ℓℎ adalah isomorfisma. Akibatnya �′ ≅ �∗ .

dapat

�

ke ℝ dengan

�∗

⟶

ℓℎ � = ∫ ℎ� �
�

�∗

′

�

dimana