S MTK 1000690 chapter3
FUNGSI YOUNG DAN KOMPLEMEN YOUNG
Pada bab ini, dibahas tentang definisi fungsi Young dengan domain real diperluas dan komplemennya.
Sebelumnya, dalam studi deret Fourier, W. H. Young telah menganalisis fungsi konvek �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ yang bersifat � − = � , � = , dan
lim →∞� = ∞, dimana setiap fungsi � dapat diasosiasikan dengan fungsi
konvek lain �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ yang memiliki sifat yang sama dengan �, yang mana
� ≔ sup{ | | − � }.
Oleh sebab itu � dinamakan fungsi Young, dan � dinamakan komplemen Young. Pada bab ini, definisi fungsi Young akan dimodifikasi. Fungsi Young akan didefinisikan pada ℝ̅ dengan menambahkan syarat � ±∞ = ∞ dan
lim → −� = � dengan = sup � � .
3.1 Fungsi Young dan Komplemen Young
Berikut merupakan fungsi Young yang dimodifikasi
Definisi 3.1.1
Suatu fungsi �: ℝ̅ → ℝ̅̅̅̅+ dikatakan fungsi young jika memenuhi kondisi: 1. � konvek pada ℝ
2. � − = �
3. � = ,� ±∞ = ∞, dan
(2)
Untuk kasus : ℝ → ℝ̅̅̅̅+ , definisi fungsi Young diatas ekivalen dengan Definisi 1.1 [3].
Remark 1.
a) Sifat � − = � dan � = mengindikasikan � mencapai minimum di dan tak turun pada [ , ∞
b) Untuk sembarang fungsi Young, terdapat , > sedemikian sehingga
� ∈ [ , ∞ dan � ∈ , ∞]. c) Berdasarkan b), = sup � � > .
d) Fungsi Young kontinu pada interior ��. Secara khusus, fungsi Young
finite merupakan fungsi kontinu pada ℝ.
e) Berdasarkan d), jika sup � � maka lim → −� = � . Jika > sup � � , maka lim → −� = ∞ = � .
f) Berdasarkan Definisi 3.1.1, lim →∞� = ∞.
Untuk setiap fungsi Young �, dapat dibentuk fungsi �: ℝ̅ → ℝ̅̅̅̅+ yang berasosiasi dengan � yang didefinisikan
� ≔ sup{ | | − � }.
� disebut komplemen dari � dan berlaku ketaksamaan Young
� + � .
Berdasarkan definisi fungsi �, � konveks, � − = � , � = , � ±∞ =
∞, dan lim →∞� = ∞.
Misalkan = sup � � ∈ ℝ, berdasarkan ketaksamaan Young untuk setiap ∈ ℝ
lim→ −� − �
(3)
lim→ −� sup { − � } = � .
Tetapi, karena � tak turun pada [ , ], maka lim → −� � . Akibatnya
lim → −� = � . Jadi, � juga merupakan fungsi Young.
Pada topik analisis konvek, untuk fungsi Young �: ℝ+ { } → ℝ, � dapat direpresentasikan sebagai
� = sup{ | | − � } = �+′ | | | | − �(�+′ | | ).
Contoh 3.1.2
Misalkan �� ∶= | |�, . �� merupakan fungsi Young. Untuk = ,
� = untuk | | dan � = ∞ untuk | | > juga merupakan fungsi Young dan komplemen Young dari �. Hal ini menunjukkan komplemen fungsi Young tidak selalu kontinu pada ℝ.
Contoh 3.1.3
Misalkan �∞ ≔ { , | |
∞, | | > . �∞ juga merupakan fungsi Young, dimana � = | | untuk setiap ∈ ℝ.
Proposisi 3.1.4
Misalkan , ⊆ ℝ dan fungsi �: , → ℝ. � konveks pada , jika dan hanya jika untuk setiap subinterval tutup [ , ] ⊂ , ,
(4)
dimana �: , → ℝ, tak turun, dan fungsi kontinu kiri. Juga, � mempunyai turunan kiri dan kanan di setiap titik pada , dan bernilai sama kecuali di sejumlah terhitung titik-titik.
Bukti. Untuk setiap � > yang cukup kecil, didefinisikan
ℎ� ≔ ∫� + � − �� , ∈ [ , ].
Karena � konvek, maka �� = lim�→ � −� −�
� . Definisikan � ≔ �� . Berdasarkan Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue
lim
�→ ∫
� + � − �
� = ∫ � .
Dilain pihak, karena � kontinu, maka
∫� + � − �� = � ∫ � +� +�
− ∫ �
= � ∫ � +�
− ∫ � +�
⟶ � − � .
Sehingga � − � = � . Karena � ≔ lim�→ � −� −�
� , maka � tak turun dan kontinu kiri.
Sebaliknya, misalkan , ∈ , dan � ∈ [ , ]. Misalkan pula =
� + − � , jika . . terpenuhi, maka
� − �� − − � � = �[� − � ] − − � [� − � ]
(5)
� − � − − � − �
= � − � − � − − � � − � = .
Karena � monoton, maka � memiliki turunan hampir dimana-mana pada , . Terbukti.
Perhatikan bahwa fungsi Young �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi konvek dan
� = , tetapi mungkin terdapat jump ke ∞ di suatu titik. Misalkan � = ∞, jelas � = ∞ untuk | | | |. Untuk kasus ini, nilai � = ∞ untuk | | > | | dan definisikan � = .
Akibat 3.1.6
Jika �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi Young, maka � dapat direpresentasikan sebagai
� = ∫ �
| |
.
Dimana �: ℝ+ { } → ℝ̅̅̅̅+, tak turun, dan kontinu kiri.
Remark 2. Fungsi bernilai real diperluas � dikatakan kontinu kiri di jika dan hanya jika lim → − � = � .
Bukti Akibat 3.1.6. Retriksikan �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ menjadi �: ℝ+ → ℝ dimana � =
� . Misalkan � ∈ ℝ untuk dan � = ∞ untuk > (atau < dan � = ∞ untuk ). Berdasarkan teorema 1, untuk =
(6)
� = ∫ � , < . . .7
Definisikan � ∶= ∞ untuk > dan � ≔ lim →�� , sehingga persamaan . .7 berlaku untuk semua . Karena � fungsi genap, maka
� = � | | = � | | = | |� . Terbukti.
Karena � = dan lim →∞� = ∞ maka � bukan fungsi konstan. Sehingga � bukan merupakan fungsi konstan atau ∞. Oleh sebab itu Akibat 3.1.6 dapat dimodifikasi kedalam pernyataan yang lebih kuat, dan disajikan pada akibat berikut
Akibat 3.1.8
Fungsi �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi Young jika dan hanya jika � dapat direpresentasikan sebagai
� = ∫ �
| |
,
dengan �: ℝ { } → ℝ̅̅̅̅+, tak turun, kontinu kiri, dan bukan merupakan fungsi konstan atau ∞.
Berdasarkan definisi integral tak wajar, � ∞ = lim →∞� . Karena � bukan fungsi konstan , maka terdapat > sehingga � > . Karena � tak turun, diperoleh
� ∞ = lim→∞� = lim→∞∫ � | |
lim→∞ ∫ � | |
0
(7)
Selanjutnya akan diperkenalkan komplemen Young yang berbeda dari definisi komplemen Young sebelumnya, dan pada pembahasan-pembahasan berikutnya akan digunakan komplemen Young yang akan dibahas berikut ini.
Definisikan perluasan fungsi invers �: ℝ+ { } → ℝ̅̅̅̅+, dimana
� ≔ inf� , . .9
maka � = dan tak konstan. Karena { |� } ⊆ { |� } untuk , berdasarkan sifat infimum � = inf� > inf� > = � . Sehingga � tak turun.
Ketika → −, berdasarkan ilustrasi gambar 3.1.10, � → � . Sehingga � kontinu kiri. Karenanya { |� > } adalah interval buka � , ∞]. Berdasarkan . juga diperoleh
Jika � > maka > �
Jika > � maka �
Jika < � maka � < .
�
0 � � Gambar 3.1.10
(8)
Definisikan
� ≔ ∫ �
| |
. .
Berdasarkan Akibat 3.1.8, � merupakan fungsi Young.
Proposisi 3.1.12
Misalkan � fungsi Young dan � didefinisikan oleh . . Maka
| | � + � , . .
dan kesamaan berlaku ketika = � | | atau = � | | .
Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus dan . Jika � = ∞ atau
� = ∞, ketaksamaan . . terbukti. Jika � < ∞ dan � < ∞, maka
= ∫ ∫ = ∬
{ , | � }
+ ∬
{ , | � }
= ∬
{ , | � }
+ ∬
{ , | � }
= ∫ ∫ i ( ,� )
+ ∫ ∫
i ( ,� )
(9)
= � + � .
Jika diberikan, maka kesamaan pada langkah kedua terakhir terjadi jika dan hanya jika � untuk , sehingga = � . Jika diberikan, maka kesamaan terjadi ketika � , sehingga = � . Terbukti.
Pada pembahasan-pembahasan selanjutnya notasi � akan diganti dengan notasi �∗ dan berdasarkan ilustrasi . . , �∗∗ = �.
(1)
dimana �: , → ℝ, tak turun, dan fungsi kontinu kiri. Juga, � mempunyai turunan kiri dan kanan di setiap titik pada , dan bernilai sama kecuali di sejumlah terhitung titik-titik.
Bukti. Untuk setiap � > yang cukup kecil, didefinisikan
ℎ� ≔ ∫� + � − �� , ∈ [ , ].
Karena � konvek, maka �� = lim�→ � −� −�
� . Definisikan � ≔ �� . Berdasarkan Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue
lim
�→ ∫
� + � − �
� = ∫ � .
Dilain pihak, karena � kontinu, maka
∫� + � − �� = � ∫ � +� +�
− ∫ �
= � ∫ � +�
− ∫ � +�
⟶ � − � .
Sehingga � − � = � . Karena � ≔ lim�→ � −� −�
� , maka � tak turun dan kontinu kiri.
Sebaliknya, misalkan , ∈ , dan � ∈ [ , ]. Misalkan pula =
� + − � , jika . . terpenuhi, maka
� − �� − − � � = �[� − � ] − − � [� − � ]
(2)
� − � − − � − �
= � − � − � − − � � − � = .
Karena � monoton, maka � memiliki turunan hampir dimana-mana pada , . Terbukti.
Perhatikan bahwa fungsi Young �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi konvek dan
� = , tetapi mungkin terdapat jump ke ∞ di suatu titik. Misalkan � = ∞, jelas � = ∞ untuk | | | |. Untuk kasus ini, nilai � = ∞ untuk | | > | | dan definisikan � = .
Akibat 3.1.6
Jika �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi Young, maka � dapat direpresentasikan sebagai
� = ∫ �
| |
.
Dimana �: ℝ+ { } → ℝ̅̅̅̅+, tak turun, dan kontinu kiri.
Remark 2. Fungsi bernilai real diperluas � dikatakan kontinu kiri di jika dan hanya jika lim → − � = � .
Bukti Akibat 3.1.6. Retriksikan �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ menjadi �: ℝ+ → ℝ dimana � =
� . Misalkan � ∈ ℝ untuk dan � = ∞ untuk > (atau < dan � = ∞ untuk ). Berdasarkan teorema 1, untuk =
(3)
� = ∫ � , < . . .7
Definisikan � ∶= ∞ untuk > dan � ≔ lim →�� , sehingga persamaan . .7 berlaku untuk semua . Karena � fungsi genap, maka
� = � | | = � | | = | |� . Terbukti.
Karena � = dan lim →∞� = ∞ maka � bukan fungsi konstan. Sehingga � bukan merupakan fungsi konstan atau ∞. Oleh sebab itu Akibat 3.1.6 dapat dimodifikasi kedalam pernyataan yang lebih kuat, dan disajikan pada akibat berikut
Akibat 3.1.8
Fungsi �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi Young jika dan hanya jika � dapat direpresentasikan sebagai
� = ∫ �
| |
,
dengan �: ℝ { } → ℝ̅̅̅̅+, tak turun, kontinu kiri, dan bukan merupakan fungsi konstan atau ∞.
Berdasarkan definisi integral tak wajar, � ∞ = lim →∞� . Karena � bukan fungsi konstan , maka terdapat > sehingga � > . Karena � tak turun, diperoleh
� ∞ = lim→∞� = lim→∞∫ � | |
lim→∞ ∫ � | |
0
(4)
Selanjutnya akan diperkenalkan komplemen Young yang berbeda dari definisi komplemen Young sebelumnya, dan pada pembahasan-pembahasan berikutnya akan digunakan komplemen Young yang akan dibahas berikut ini.
Definisikan perluasan fungsi invers �: ℝ+ { } → ℝ̅̅̅̅+, dimana
� ≔ inf� , . .9
maka � = dan tak konstan. Karena { |� } ⊆ { |� } untuk , berdasarkan sifat infimum � = inf� > inf� > = � . Sehingga � tak turun.
Ketika → −, berdasarkan ilustrasi gambar 3.1.10, � → � . Sehingga � kontinu kiri. Karenanya { |� > } adalah interval buka � , ∞]. Berdasarkan . juga diperoleh
Jika � > maka > �
Jika > � maka �
Jika < � maka � < .
�
0 � � Gambar 3.1.10
(5)
Definisikan
� ≔ ∫ �
| |
. .
Berdasarkan Akibat 3.1.8, � merupakan fungsi Young.
Proposisi 3.1.12
Misalkan � fungsi Young dan � didefinisikan oleh . . Maka
| | � + � , . .
dan kesamaan berlaku ketika = � | | atau = � | | .
Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus dan . Jika � = ∞ atau
� = ∞, ketaksamaan . . terbukti. Jika � < ∞ dan � < ∞, maka
= ∫ ∫ = ∬
{ , | � }
+ ∬
{ , | � }
= ∬
{ , | � }
+ ∬
{ , | � }
= ∫ ∫ i ( ,� )
+ ∫ ∫
i ( ,� )
(6)
= � + � .
Jika diberikan, maka kesamaan pada langkah kedua terakhir terjadi jika dan hanya jika � untuk , sehingga = � . Jika diberikan, maka kesamaan terjadi ketika � , sehingga = � . Terbukti.
Pada pembahasan-pembahasan selanjutnya notasi � akan diganti dengan notasi �∗ dan berdasarkan ilustrasi . . , �∗∗ = �.