Generalisasi beberapa aturan dalam geometri dengan menggunakan darab eksterior - USD Repository

  

GENERALISASI BEBERAPA ATURAN DALAM GEOMETRI

DENGAN MENGGUNAKAN DARAB EKSTERIOR

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  Oleh: Albertus Dedi

  NIM: 053114015

  

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2010

  

GENERALIZATION OF SOME LAWS IN GEOMETRY

USING THE EXTERIOR PRODUCT

  Final Project Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

  To Obtain the SARJANA SAINS Degree In Mathematics

  By: Albertus Dedi

  Student Number: 053114015

  

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2010

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, Januari 2010 Penulis

  Albertus Dedi

  

ABSTRAK

  Darab eksterior dari vektor-k dan vektor-m adalah kombinasi linear dari vektor- (k+m) sederhana. Simpleks-k dan balokgenjang berdimensi-k dapat dinyatakan _n sebagai darab eksterior dari k buah vektor di . Dalam skripsi ini akan dibahas generalisasi dari aturan kosinus pada segitiga dengan cara menyatakan sebuah segitiga sebagai simpleks-2 berorientasi dan sisi-sisi segitiga dinyatakan sebagai permukaan berorientasi berdimensi-(k-1) yang tidak memuat suatu titik sudut simpleks-k berorientasi. Sedangkan, aturan jajargenjang digeneralisasikan dengan cara menyatakan sebuah jajargenjang sebagai balokgenjang berorientasi berdimensi- 2 dan diagonal jajargenjang dinyatakan sebagai permukaan berorientasi berdimensi- (k-1) yang dipasangkan dengan suatu titik sudut balokgenjang berorientasi.

  

ABSTRACT

  The exterior product of k-vectors and m-vectors is a linear combination of simple (k+m)-vectors. The oriented k-simplexes and k-dimensional oriented parallelepipeds _n can be represented as exterior product of k vector in . In this thesis we will show a generalization of the law of cosines on a triangle by representing a triangle as oriented 2-simplexes and its sides are represented as (k-1)-dimensional oriented face that does not contain a vertex of oriented k-simplexes. While the law of parallelogram is generalized by representing a parallelogram as 2-dimensional oriented parallelepiped and diagonal of parallelogram is represented as (k-1)- dimensional oriented face which is associated with a vertex of oriented parallelepiped.

  

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

  Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Albertus Dedi Nomor Mahasiswa : 053114015

  Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

  

GENERALISASI BEBERAPA ATURAN DALAM GEOMETRI

DENGAN MENGGUNAKAN DARAB EKSTERIOR

  Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

  Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta. Pada Tanggal: 15 Januari 2010 Yang menyatakan, (Albertus Dedi)

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

  Berkat dukungan dan bantuan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

  1. Ibu Maria Vianney Any Herawati S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah memberikan pengarahan dan bimbingan selama penyusunan skripsi ini.

  2. Bapak Yosef Agung Cahyanta S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah mendukung penulis selama penyusunan skripsi ini.

  3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih S.Si., M.Si. selaku Kaprodi Matematika yang telah memberikan nasehat, saran dan dukungan kepada penulis.

  4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo S.J. selaku Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2005 yang telah memberikan nasehat, saran dan dukungan kepada penulis.

  5. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.

  6. Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi beserta staf yang telah memberikan pelayanan administrasi kepada penulis selama masa perkuliahan.

  7. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan fasilitas dan memberikan kemudahan kepada penulis selama masa perkuliahan.

  8. Kedua orang tuaku tercinta: Bapak Paulus Kasno dan Ibu Lucia Sri Amaliyah yang dengan penuh cinta kasih telah memberikan nasehat, semangat, saran dan dukungan kepada penulis dalam segala hal.

  9. Saudaraku: Paulina Andriyani, Titus Budi Hariyanto, Yustinus Cahyono, Martinus Endar Hermawan, dan semua keluarga besar yang telah memberikan doa dan dukungan kepada penulis.

  10. Teman-teman Matematika 2005 yang telah memberikan saran dan nasehat kepada penulis.

  Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat saya sebutkan satu- persatu di sini.

  Yogyakarta, Januari 2010 Penulis

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL...................................................................................... i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING............................................ iii HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ iv HALAMAN PERSEMBAHAN..................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA................................... vi HALAMAN ABSTRAK................................................................................ vii HALAMAN ABSTRACT.............................................................................. viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA

  ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS....................................... ix KATA PENGANTAR.................................................................................... x DAFTAR ISI.................................................................................................. xii

  BAB I PENDAHULUAN....................................................................... 1 A. Latar Belakang....................................................................... 1 B. Perumusan Masalah................................................................ 3 C. Pembatasan Masalah.............................................................. 3 D. Tujuan Penulisan.................................................................... 3 E. Metode Penulisan................................................................... 4 F. Manfaat Penulisan.................................................................. 4 G. Sistematika Penulisan............................................................. 4

  BAB II ALJABAR LINEAR.................................................................... 6 A. Matriks................................................................................... 6 B. Vektor.................................................................................... 31 C. Ruang Vektor......................................................................... 37 BAB III DARAB EKSTERIOR................................................................ 54 A. Hubungan Matriks dengan Vektor......................................... 54 B. Vektor-k Sederhana................................................................ 61 C. Operasi pada Vektor-k Sederhana.......................................... 78 D. Vektor-k................................................................................. 93 BAB IV APLIKASI DARAB EKSTERIOR............................................. 100 A. Simpleks-k.............................................................................. 100 B. Aturan Kosinus pada Simpleks-k........................................... 114 C. Aturan Pythagoras pada Simpleks-k Ortogonal..................... 123 D. Aturan Jajargenjang pada Balokgenjang Berdimensi-k......... 128 BAB V PENUTUP................................................................................... 140 A. Kesimpulan............................................................................ 140 B. Saran...................................................................................... 141 DAFTAR PUSTAKA.................................................................................... 142

  DAFTAR GAMBAR

  Gambar 1........................................................................................................ 1 Gambar 2........................................................................................................ 2 Gambar 3........................................................................................................ 62 Gambar 4........................................................................................................ 63 Gambar 5........................................................................................................ 64 Gambar 6........................................................................................................ 72 Gambar 7........................................................................................................ 75 Gambar 8........................................................................................................ 79 Gambar 9........................................................................................................ 88 Gambar 10...................................................................................................... 91 Gambar 11...................................................................................................... 101 Gambar 12...................................................................................................... 113 Gambar 13...................................................................................................... 114 Gambar 14...................................................................................................... 115 Gambar 15...................................................................................................... 116 Gambar 16...................................................................................................... 117 Gambar 17...................................................................................................... 118 Gambar 18...................................................................................................... 123 Gambar 19...................................................................................................... 128 Gambar 20...................................................................................................... 130 Gambar 21...................................................................................................... 134

BAB I PENDAHULUAN B. Latar Belakang Masalah Dalam matematika, khususnya geometri sering dijumpai suatu aturan yang

  dinamakan aturan kosinus dan aturan jajargenjang. Aturan kosinus diterapkan dalam suatu segitiga. Aturan kosinus dalam segitiga digunakan untuk mencari sudut antara sisi-sisi segitiga dan panjang sisi-sisi segitiga. Sedangkan, aturan jajargenjang diterapkan pada jajargenjang. Aturan jajargenjang digunakan untuk mencari panjang sisi-sisi jajargenjang dan panjang diagonal jajargenjang.

  a b c

  Aturan kosinus untuk sebarang segitiga dengan panjang sisi-sisinya , , dan salah satu sudutnya θ seperti yang tampak pada gambar 1 adalah sebagai berikut: a b

  θ

  c ^{2 2 2}

  2 bc cos θ

= −

• +

  a b c

  Gambar 1. Aturan kosinus pada segitiga

  a b

  Aturan jajargenjang untuk sebarang jajargenjang dengan panjang sisi-sisinya ,

  c d

  dan panjang diagonalnya , seperti yang tampak pada Gambar 2 adalah sebagai berikut:

  a b c b d _{2 2} a _{2 2 2 2}

a b a b c d

₂ = + + + + ₂

  sisi diagonal

  ∑ = ∑

  Gambar 2. Aturan jajargenjang Selain dalam segitiga dan jajargenjang, aturan kosinus dan aturan jajargenjang dapat diperumum. Generalisasi dari suatu segitiga disebut simpleks berorientasi berdimensi-k atau simpleks-k berorientasi. Sedangkan, generalisasi dari suatu jajargenjang disebut balokgenjang berorientasi berdimensi-k.

  Untuk menggeneralisasikan aturan kosinus dan aturan jajargenjang pada simpleks-k berorientasi dan balokgenjang berorientasi berdimensi-k, dibutuhkan suatu operasi yang disebut darab eksterior. Darab eksterior dilambangkan dengan tanda .

  ∧ _{k n m n}

  Misalkan a a adalah vektor-k dan b b adalah

  

= ∑ λ i i ∈ Λ = ∑ β j j ∈ Λ

_{i = 1 j = 1}

  vektor-m, maka darab eksterior dari a dan b didefinisikan sebagai berikut:  

     

   

a b a b ( a b ) .

  

∧ = ∑ λ i i ∧ ∑ β j j = ∑ λ i β j i ∧ j

     i ^{1  j 1 ij}

  =  = 

  C. Perumusan Masalah

  Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

  1. Apa yang dimaksud darab eksterior?

  2. Bagaimana cara memperoleh generalisasi aturan kosinus pada simpleks-k menggunakan darab eksterior?

  3. Bagaimana cara memperoleh generalisasi aturan jajargenjang pada balokgenjang berdimensi-k menggunakan darab eksterior?

  D. Pembatasan Masalah

  Pembahasan masalah dalam skripsi ini dimulai dari dasar teori mengenai aljabar linear yang hanya dikhususkan pada pembahasan mengenai matriks, vektor dan ruang vektor. Selain itu, penulis hanya membahas mengenai kegunaan darab eksterior pada aturan kosinus dan aturan jajargenjang dan tidak membahasnya pada permasalahan goemetri yang lain.

  E. Tujuan Penulisan

  Penulisan skripsi ini bertujuan untuk 1. Mempelajari dan memahami mengenai darab eksterior.

  2. Memperoleh generalisasi aturan kosinus pada simpleks-k dengan menggunakan darab eksterior.

  3. Memperoleh generalisasi aturan jajargenjang pada balokgenjang berdimensi-k dengan menggunakan darab eksterior.

  F. Metode Penulisan

  Metode yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal dan karangan ilmiah yang telah dipublikasikan, sehingga belum ditemukan hal baru.

  G. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah:

  1. Membahas mengenai darab ekterior agar dapat diteliti lebih lanjut demi perkembangan ilmu Matematika.

  2. Mengembangkan pengaplikasian darab eksterior pada geometri, antara lain untuk memperoleh generalisasi aturan kosinus dan aturan jajargenjang.

  H. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan F. Manfaat Penulisan G. Sistematika Penulisan

BAB II ALJABAR LINEAR A. Matriks B. Vektor C. Ruang Vektor BAB III DARAB EKSTERIOR A. Hubungan Matriks dengan Vektor B. Vektor-k Sederhana C. Operasi pada Vektor-k Sederhana D. Vektor-k BAB IV APLIKASI DARAB EKSTERIOR A. Simpleks-k B. Aturan Kosinus pada Simpleks-k C. Aturan Pythagoras pada Simpleks-k Ortogonal D. Aturan Jajargenjang pada Balokgenjang Berdimensi-k BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

BAB II ALJABAR LINEAR Dalam bab ini dibahas dasar-dasar aljabar linear mengenai matriks, vektor dan ruang

  vektor yang akan dipakai sebagai landasan untuk pokok bahasan pada bab-bab berikutnya.

A. Matriks Definisi 2.1 Secara singkat, matriks adalah jajaran bilangan berbentuk empat persegi panjang.

  Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Untuk menuliskan matriks tanpa secara khusus menulis entri-entrinya dapat dipergunakan huruf kapital A , B, C dan sebagainya. Ukuran suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horizontal) dan kolom (arah vertikal) yang dimilikinya. Orde dari matriks adalah ukuran dari matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Pada umumnya, a akan menyatakan entri matriks A yang berada pada _ij baris ke- dan kolom ke- j .

  i Definisi 2.2 m n

  Jika matriks A adalah matriks × dan adalah suatu skalar, maka perkalian

  α skalar A adalah matriks m n yang entri ke- ij nya adalah a . α × α ij

  Definisi 2.3

  ×

• Jika A dan B keduanya adalah matriks berukuran m n , maka jumlah A B

  × ij ij pasang ( j i , ) .

• adalah matriks berukuran m n yang entri ke- ij nya adalah a b untuk setiap

  Definisi 2.4

  Jika A adalah matriks berukuran m n dan B adalah matriks berukuran n r ,

  × ×

  maka hasil kali AB adalah matriks C berukuran m r yang entri-entrinya

  ×

  didefinisikan sebagai berikut: _n

c a b .

_{ij = ∑ ik kj}

_k

  

=

¹

Definisi 2.5 Matriks satuan adalah matriks I [ α ] berorde n di mana

  = ij

  

  i j

  1 jika

  =

  

  = α ij i j  jika .

  ≠ Contoh 2.1

  Contoh dari matriks satuan berorde

  5 adalah

   

  1    1   

I .

  =

  1    

  1    1 

  Definisi 2.6

Invers perkalian dari suatu matriks A berorde n adalah matriks B sedemikian se-

AB BA

  I hingga = = . Contoh 2.2

  Misalkan terdapat sebuah matriks  

  2

  4 A ,

  =

   

  3

  1   maka matriks

  

−

¹

²

    _{10 5} B

  =

    _{3 − 1}  ^{10 5 } adalah invers dari matriks A , karena _{1 2}

  

−

       

  2

  4 _{10 5}

  1 AB

  = =

        ₃

  − ¹

  3

  1

  1       _{10 5} dan

  − ^{1 2}

        _{10 5}

  2

  4

  1 BA .

  = =

        _{3 − 1}

  3

  1

  1       _{10 5} Teorema 2.1 Invers dari suatu matriks A adalah tunggal.

  Bukti

  Misalkan B dan C kedua-duanya adalah invers dari A , maka

  B BI B AC BA C

  IC C ( ) ( ) .

  

= = = = =

  Jadi, terbukti bahwa invers dari suatu matriks A adalah tunggal. ■ Selanjutnya, untuk menyebut invers perkalian dari suatu matriks A cukup dengan

  − ¹ A A mengatakan invers dari dan ditulis sebagai .

  Definisi 2.7

  Suatu matriks A berorde n dikatakan singular jika matriks A tersebut tidak memiliki invers.

  Teorema 2.2

  Jika A dan B adalah matriks-matriks yang tak singular dengan ukuran yang sama, maka AB tak singular dan

  −

^{1 −}

^{1 − 1} ( AB ) B A .

  

=

Bukti

  Perhatikan kesamaan berikut: _{1 1 1 1 1 1}

  

− − − − − −

  ( AB )( B A ) A ( BB ) A AIA AA

  I = = = =

  dan

  − ^{1 − 1 −}

^{1 −}

^{1 − 1 − 1}

  ( B A )( AB ) B ( AA ) B BIB BB I .

  = = = = _{1 1} − −

  Dengan demikian, terbukti bahwa matriks B A merupakan matriks invers dari matriks AB atau matriks AB tak singular.

  ■

  Definisi 2.8

Transpos dari suatu matriks A berukuran m n adalah matriks B berukuran n m

  × ×

  yang didefinisikan sebagai berikut:

  

b a

_{ij = ji}

  untuk i

  1 , 2 , , m dan j 1 , 2 , , n .

  = = _T Transpos dari matriks A dinyatakan oleh A .

  Contoh 2.3

  Jika  

  4

  8

  2 A ,

  =

   

  6

  8

  10   maka

   

  4

  6 _T  

  A 

  8 8  .

  =

   

  2

  10  

  Definisi 2.9 Operasi baris elementer pada matriks A berukuran m n ada tiga macam, yaitu:

  × I. Mempertukarkan dua baris atau kolom dari matriks A .

  II. Mengalikan suatu baris atau kolom dari matriks A dengan konstanta bukan nol.

  III. Menjumlahkan kelipatan dari satu baris atau kolom pada baris atau kolom yang lain dari matriks A .

  Definisi 2.10 Matriks elementer adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer.

  1

  1

  3

  =

      

  2. Contoh dari matriks elementer jenis II adalah matriks     

  I .

  Matriks ₁ E adalah matriks elementer jenis I karena diperoleh dengan mempertukarkan kolom pertama dengan kolom kedua dari matriks

  1 ₁ E .

  1

  Terdapat tiga jenis matriks-matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer, yaitu:

  =

      

  1. Contoh dari matriks elementer jenis I adalah matriks     

  Contoh 2.4

  I .

  3. Matriks elementer jenis III adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan kelipatan dari satu baris atau kolom pada baris atau kolom yang lain dari matriks

  2. Matriks elementer jenis II adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris atau kolom dari matriks I dengan konstanta bukan nol.

  I .

  1. Matriks elementer jenis I adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan dua baris atau kolom dari matriks

  1 ₂ E . Matriks E adalah matriks elementer jenis II karena diperoleh dengan ₂ mengalikan baris ketiga dari matriks

  I dengan konstanta tiga.

  3. Contoh dari matriks elementer jenis III adalah  

  1

  3  

  E   ₃ = 1 .

   

  1  

  Matriks E adalah matriks elementer jenis III karena diperoleh dengan ₃ menjumlahkan 3 kali baris ketiga pada baris pertama dari matriks

  I .

  Definisi 2.11

Determinan dari suatu matriks A berorde n , dinyatakan sebagai det(A ) , adalah

  A

  suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks dan didefinisikan sebagai berikut: 

  a jika n ₁₁

  1

  =

  det( A ) 

  = a A a A a A a A a A a A jika n _{i 1 i 1 i 2 i 2 in in = 1 j 1 j 2 j 2 j nj nj >}

  1

   untuk i n dan j n .

  = 1 , 2 , , = 1 , 2 , ,

  Di mana

• + i j

  A ( _{ij = − ij} 1 ) det( M ) adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris ke- i atau

  kolom ke- j dalam matriks A . Sedangkan, det( M ) adalah minor dari a di mana _{ij ij}

  

M adalah matriks n n yang diperoleh dari matriks A dengan

_ij ( − 1 ) × ( − 1 ) menghapus baris dan kolom yang mengandung a . _ij

• =

  3

  5

• − =

  6

  4

  2

  1

  2

  )

  5 12 ( 4 )

  10 18 ( 5 )

  8 6 (

  2 − + − − − =

  16 − = .

  Teorema 2.3

  Jika matriks B adalah matriks berukuran n n

  ×

  yang diperoleh dari matriks A dengan cara mengalikan sebuah baris ke-i atau kolom ke-j dari matriks A dengan suatu skalar

  α

  , maka

  

) det( ) det(

A B

  

α

= .

  Bukti

  Jika ) det(B diekspansikan dengan kofaktor-kofaktor sepanjang baris ke-i, maka _{in in i i i i}

  A a a a A A B α α α

  ) det( ) ( _{2 2 1 1 in in i i i i}

  2

  5

  6

  4

  Contoh 2.5

  Misalkan terdapat sebuah matriks A berukuran

  3

  3 ×

      

      

  =

  6

  4

  5

  2

  1

  3

  4

  5

  2 A , maka dengan mengekspansikan det(A) sepanjang baris pertama diperoleh _{13 13 12 12 11 11} ) det( A A A A a a a

  ) det( ) ) 1 ( det( ) ) 1 ( det( ) 1 ( _{13 13} ⁴ ₁₂

₁₂

³ _{11 11} ² M M M a a a

  − + − + − =

  4

  5

  1

  3

• =
_{2 2 1 1}

  A a a a A A

• = α

  α det(A ) .

  =

  Jika det(B ) diekspansikan dengan kofaktor-kofaktor sepanjang kolom ke-j, maka

  B a A a A a A

det( ) = + + α + α α

_{1 j 1 j 2 j 2 j nj nj}

  α ( a A a A a A ) = j j j j nj nj _{1 1 2 2} + + + det(A ) .

  = α

  Dengan demikian, terbukti bahwa jika matriks B berukuran n n yang diperoleh

  ×

  dari matriks A dengan cara mengalikan sebuah baris atau kolom matriks A dengan suatu skalar , maka

  α det( B ) α det( A )

  = ■ Teorema 2.4 Misalkan matriks A adalah suatu matriks berukuran n n .

  × A

  1. Jika matriks memiliki baris atau kolom yang semua elemennya adalah nol,

  A maka det( ) = . A A 2. Jika matriks memiliki dua baris atau kolom yang sama, maka det( ) = . Bukti

  1. Misalkan matriks A memiliki baris ke-i yang semua elemennya adalah nol, maka

         

  Karena matriks A diperoleh dari matriks ^{) 1 (}

  = _{nn n} ^{n n}

a a

a a

a a

        

  Misalkan matriks A memiliki kolom ke-j yang semua elemennya adalah nol, maka       

  α .

  

= = =

A A A

  ) det( . ) det( ) det( ^{) ) 1 ( 1 (}

  = α , maka berdasarkan Teorema 2.3 diperoleh

  A dengan cara mengalikan baris ke- i dengan suatu skalar

  2 ^{1 2 1 1}

¹²

^{11 ) 1 (} A .

         

  = _{nn n n} ^{in i i n} a a a a a a a a a

         

  Misalkan        

  2 ^{1 2 1 1}

¹²

¹¹ . . . .

  = _{nn n n in i i} ⁿ a a a a a a a a a

         

         

  

2

^{1 1}

¹²

¹¹ A

  = _{nn n n} ⁿ

a a a

a a a

  1 ^{2 21 1 11} A

        

  Dengan demikian, terbukti bahwa jika matriks

  maka

  A ,

  

=

b a b a

    

  yang mempunyai dua baris yang sama, yaitu:   

  2 ×

  2

  Misalkan matriks A adalah matriks berukuran

  2 = n .

  a. Teorema 2.4 bagian 2 akan dibuktikan untuk

  ■ 2. Teorema 2.4 bagian 2 akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika.

  ) det( = A .

  memiliki baris atau kolom yang semua elemennya adalah nol, maka

  A

  α .

        

  = = =

A A A

  ) det( . ) det( ) det( ^{) ) 2 ( 2 (}

  = α , maka berdasarkan Teorema 2.3 diperoleh

  ke- j dengan suatu skalar

  A dengan cara mengalikan kolom

  Karena matriks A diperoleh dari matriks ^{) 2 (}

  1 ^{2 2 21 1 1 11 ) 2 (} A .

  = _{nn nj n} ^{n j n j} a a a a a a a a a

        

  Misalkan       

  1 ^{2 2 21 1 1 11} .

  .

  .

  = _{nn nj n} ^{n j n j} a a a a a a a a a .

  ) det( = − = A ab ab . Misalkan matriks A adalah matriks berukuran

  2 2 yang mempunyai dua ×

  kolom yang sama, yaitu:  

  c d A

  = ,

   

  c d

    maka

  det( A ) cd cd .

  = − =

  Jadi, Teorema 2.4 bagian 2 terbukti untuk n 2 .

  =

  b. Diasumsikan Teorema 2.4 bagian 2 benar untuk n k , sehingga Teorema 2.4

  = bagian 2 berlaku untuk semua matriks A berukuran k k .

  ×

  c. Teorema 2.4 bagian 2 akan dibuktikan berlaku untuk semua matriks A berukuran ( k

  1 ) ( k 1 ) .

• ×

  Dengan mengekspansikan det(A ) sepanjang baris ke- i dari matriks A di mana baris ke- i tidak sama dengan baris yang lain, maka diperoleh

  

A a M a M a M

det( ) det( ) det( ) det( ) .

  = ± ^{i 1 i 1 ± i 2 i 2 ± ± i , k 1 i , k 1}

  M k k

  Karena semua adalah matriks-matriks berukuran × di mana dua _ij barisnya sama, maka det( M ) (berdasarkan Teorema 2.4 bagian 2b). _ij = Akibatnya

  A a a a det( ) . . . .

  = ± i ^{1 ± ± ±}

ⁱ

^{2 i , k 1 =}
• Dengan mengekspansikan det(A ) sepanjang kolom ke- j dari matriks A di mana kolom ke- j tidak sama dengan kolom yang lain, maka diperoleh

  

A a M a M a M

det( ) = ± det( ) ± det( ) ± ± det( ) . _{1 j 1 j 2 j 2 j k}
• ^{1 , j k 1 , j}

  M k k

  Karena semua adalah matriks-matriks berukuran × di mana dua _ij kolomnya sama, maka det( M ) (berdasarkan Teorema 2.4 bagian 2b). _{ij =} Akibatnya det( A ) a . a . a . .

  = ± j ± j ± ± ^{1 2 k j = 1 ,}

• Dengan demikian, terbukti bahwa jika matriks A adalah matriks yang memiliki dua baris atau kolom yang sama, maka

  det( A ) .

  = ■ Teorema 2.5

  Misalkan matriks A adalah suatu matriks berukuran n n . Jika A menyatakan

  × jk a A a k n

  kofaktor dari dan menyatakan kofaktor dari untuk _{jk ki ki =} 1 , 2 . , , maka

  a A a A a A a A a A a A _{i 1 j 1 i 2 j 2 in jn} = _{1 j 1 i}

_{2 j}

_{2 i nj ni} + + + + + +

   det(A ) jika i j

  =

   ..................................(1)

  =

  jika i j  ≠

  Bukti

  Jika i j , maka persamaan (1) taklain adalah ekspansi kofaktor dari det(A )

  =

  sepanjang baris ke-i atau kolom ke- j dari matriks A . Jadi, berdasarkan Definisi 2.11 terbukti bahwa

• a A a A a A a A a A a A det( A ) .

  _{i j i j in jn = j i j i nj ni =}
_{1 1 2 2 1 1 2 2} + + + + + Selanjutnya, persamaan (1) akan dibuktikan dalam kasus i j . _{( 3 )} ≠ A

  Misalkan matriks adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti baris ke-j

   

  a a a ₁₁

₁₂

_{1 n}

       

  a a a _{i 1 i 2 in ( 3 )}  

   

A .

  =

   

  a a a _{i 1 i 2 in}

       

  a a a _{( 3 )}  n ^{1 n 2 nn }

  Karena dua baris dari matriks A adalah sama, maka berdasarkan Teorema 2.4 _{( 3 )} bagian 2 determinan dari matriks A sama dengan nol. _{( 3 )} Jika det( A ) diekspansikan oleh kofaktor-kofaktor sepanjang baris ke-j, maka _{( 3 ) ( 3 ) ( j 1 j 3 ) ( 2 jn 3 )}

  

det( A ) a A a A a A

= = i i in _{1 2} + + + a A a A a A . _{( 4 )} = i ^{1 j 1 i 2 j 2 in jn} + + +

  Misalkan matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-i

  A A

  dari matriks dengan kolom ke-j dari matriks , yaitu:  

  a a a a _{11 1 j 1 j 1 n}

    _{( 4 )}  a a a a  _{21 2 j 2 j 2 n}

A .

  =

       

  a a a a _{n 1 nj nj nn}

    _{( 4 )} Karena dua kolom dari matriks A adalah sama, maka berdasarkan Teorema 2.4 _{( 4 )} bagian 2 determinan dari matriks A sama dengan nol. _{( 4 )} Jika det( A ) diekspansikan oleh kofaktor-kofaktor sepanjang kolom ke-i, maka _{( 4 ) ( 4 ) ( 1 i 4 ) ( 2 i ni 4 )} det( A ) a A a A a A

  = = j j nj _{1 2} + + + a A a A a A .

  = ^{1 j 1 i}

^{2 j}

^{2 i nj ni} + + +

  A a A

  Dengan demikian, terbukti bahwa jika menyatakan kofaktor dari dan _{jk jk ki} menyatakan kofaktor dari a untuk k _{ki =} 1 , 2 . , n , maka

  a A a A a A a A a A a A _{i j i j in jn = j i j i nj ni 1 1 2 2} + + + + + + _{1 1 2 2}

   det(A ) jika i j

  =

  

  = ■

  jika i j  ≠

  Teorema 2.6

B n n A

  Jika matriks berukuran diperoleh dari matriks dengan cara

  × c c

  menambahkan kali baris ke-i pada baris ke-j atau menambahkan kali kolom ke-i pada kolom ke-j, maka

  

det( B ) det( A ) .

  

=

Bukti

  Jika det(B ) diekspansikan oleh kofaktor-kofaktor sepanjang baris ke-j, maka