Pendahuluan Pendugaan Titik Pendugaan Interval
Pendugaan Parameter
14
Statistika Industri 1
Semester Genap 2017/2018
Jurusan Teknik Industri - Universitas Brawijaya
2
Outline
Pendahuluan
Pendugaan Titik
Pendugaan Interval
Pendugaan Parameter:
Kasus 1 Sampel Rataan Populasi
Pendugaan Parameter:
Kasus 1 Sampel Proporsi
Pendugaan Parameter:
Kasus 2 sampel saling bebas & berpasangan selisih rataan dua populasi
Pendugaan Parameter:
Kasus 2 Sampel Selisih 2 Proporsi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
3
Pendahuluan (1)
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Pendahuluan (2)
4
• Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik
untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi
yang tidak diketahui.
• Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter
populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel
random yang diambil dari populasi bersangkutan.
• Pendugaan = Penaksiran
• Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan
untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat
diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak
diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel)
• Secara umum, parameter diberi lambang θ dan penduga diberi
lambang xxx
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
5
Pendahuluan (3)
Kriteria penduga yang baik
Tidak bias
Efisien
Populasi :
Parameter
Sampel :
Statistik
Konsisten
Statistik merupakan PENDUGA bagi
parameter populasi
PENDUGA à TAK BIAS DAN
MEMPUNYAI RAGAM
MINIMUM
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
6
Pendahuluan (4)
STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER
Dua jenis pendugaan parameter
TARGET
PENDUGA
TITIK
PENDUGA
SELANG
Penduga titik tidak selalu tepat menduga
parameter populasi maka digunakan
pendugaan dalam bentuk selang interval
Dalam setiap pendugaan mengandung
PELUANG kesalahan
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
penduga selang à konsep probability à SELANG
KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL)
18/07/2014
7
Pendugaan Titik (1)
¡ Pendugaan tunggal atau titik (point estimate)
ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja.
¡ Memberikan nilai yang kemungkinan besar
berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya.
TARGET
PENDUGA
TITIK
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Pendugaan Titik (2)
8
x
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Pendugaan Titik (3)
Satu Populasi
Dua Populasi
µ
p σ2
x
pˆ
s
9
2
µ1 − µ 2
x1 − x2
σ
p1 − p2 σ
2
1
2
2
2
1
2
2
pˆ1 − pˆ 2 s
s
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
10
Pendugaan Interval (1)
• Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak
memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai
penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya.
• Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang
derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka
kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval
estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik
dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga
parameter.
• Pendugaan interval (selang) : pendugaan berupa
interval, dibatasi dua nilai (batas bawah dan batas
atas)
• Pendugaan interval : interval kepercayaan atau
interval keyakinan (confidence interval) yang
dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper
confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower
confidence limit)
• U n t u k m e m b u a t p e n d u g a a n i n t e r v a l h a r u s
ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau
tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - α
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
TARGET
PENDUGA
TITIK
PENDUGA
SELANG
18/07/2014
Pendugaan Interval (2)
11
<
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (1)
Misalnya : 1 - α
12
= 0,90
α = 0,10 = 10 %.
α/2
= 0,05
jadi Zα/2 = Z 0,05 = (Z⏐P = 0,5 - α/2) = Z 0,5 – 0,05 = Z0,45 = 1,645
(lihat Tabel Normal).
Misalnya : 1- α = 0,98
dan n = 25
α = 0,02
α/2 = 0,01
jadi tα/2 ; v = tα/2 ; n – 1 = t 0,01 ; 25 –1 = t 0,01 ; 24 = 2,492
( lihat tabel Distribusi t).
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (2)
13
169) = 0.99
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
14
Menaksir Rataan
Pendugaan Titik untuk Rataan
Populasi
Penduganya
x
2
σ
2
s = x
σ2
n
cenderung akan menjadi penduga µ yang amat tepat, jika n (ukuran sampel) besar
µ
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
15
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
16
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
17
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
18
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
CONTOH
19
Lihat di tabel
dengan nilai
1-0,025 =0,9750
à z = 1,96
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
CONTOH
20
Dari soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk
rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana
sebelumnya
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
21
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
22
Pendugaan
Parameter:
Kasus Satu Sampel
Rataan Populasi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
23
µ
σ2
Rataan x contoh merupakan
PENDUGA tak bias bagi µ
s2 merupakan penduga tak
bias bagi σ2
x s2
1.96 σ
1.96 σ
x
x
µ
SAMPLING ERROR
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
24
Dugaan Selang
Syarat :
Tidak
kondisi σ2
diketahui
σ2 diduga dengan s2
x − tα 2( n−1)
s
n
< µ < x + tα 2( n−1)
s
n
diketahui
x − zα 2
σ
n
< µ < x + zα 2
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
σ
Berlaku juga untuk
sampel kecil (n < 30)
n
18/07/2014
Contoh
25
Survei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga
besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT).
Datanya diperoleh sebagai berikut:
RT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Biaya
(juta Rp)
2,30
4,50
4,00
5,00
3,80
7,20
6,25
5,75
6,70
7,80
RT
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Biaya
(juta Rp)
6,80
5,30
8,00
15,10
13,20
4,50
2,00
4,70
5,75
10,10
a.
b.
Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun
Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan
mengikuti sebaran normal.
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Penyelesaian
a.
26
Penduga rata-rata biaya pendidikan
µˆ = x = 6.44
Nilai s Dicari dari rumus
b.
Selang kepercayaan 95%
S2= Σ(xi – xbar)2 / n-1
sx = s / n = 3,275422 / 20 = 0,732407
t(0,05 / 2;db=19) = 2,093
6,44 − 2,093x0,732 ≤ µ ≤ 6,44 + 2,093x0,732
4,905 ≤ µ ≤ 7,970
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
27
Pendugaan
Parameter:
Kasus Satu Sampel
Proporsi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Proporsi pˆ contoh
merupakan
PENDUGA tak bias
bagi P
p
pˆ
1.96 σ pˆ
28
1.96 σ pˆ
p
SAMPLING ERROR
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Dugaan Selang / interval
29
Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p
Sampel Besar
pˆ − zα 2
pˆ (1 − pˆ )
< P < pˆ + zα 2
n
pˆ (1 − pˆ )
n
Sampel Kecil
pˆ − t(α 2;n−1)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
p(1−
p)
p(1−
p)
< P < pˆ + t(α 2;n−1)
n
n
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
30
Contoh
Dari sampel dengan n = 100 mahasiswa PTS “ABC”. Ternyata 25
mahasiswa memiliki IPK ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi
mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval
keyakinan 95%.
Penyelesaian :
Interval duga: p(0,206 < P < 0,335)
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Pendugaan Parameter
15
Debrina Puspita Andriani
www.debrina.lecture.ub.ac.id
E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id
32
Pendugaan
Parameter:
Kasus Dua sampel
saling bebas
Selisih rataan dua populasi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
33
µ1 - µ2
x1 − x2
1.96σ x
1 − x2
1.96σ x
1 − x2
µ1-µ2
SAMPLING ERROR
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Dugaan Selang
Syarat :
34
diketahui
σ 1 2 & σ2 2
( x1 − x2 ) − zα
2
σ 12 σ 22
σ 12 σ 22
+
< µ1 − µ2 < ( x1 − x2 ) + zα
+
2
n1 n2
n1 n2
Tidak
diketahui
sama
σ12 & σ22
Formula 1
Tidak
sama
Formula 2
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
a. Formula 1:
Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:
35
1⎞
1⎞
2 ⎛ 1
2 ⎛ 1
⎜⎜ + ⎟⎟ < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + tα 2 ( v ) s gab
⎜⎜ + ⎟⎟
( x1 − x2 ) − tα 2 ( v ) s gab
⎝ n1 n2 ⎠
⎝ n1 n2 ⎠
s
2
gab
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s22
=
dan v = n1 + n2 − 2
n1 + n2 − 2
b. Formula 2:
Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:
( x1 − x2 ) − tα 2 ( v )
⎛ s12 s22 ⎞
⎜⎜ + ⎟⎟ < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + tα 2 ( v )
⎝ n1 n2 ⎠
⎛ s12 s22 ⎞
⎜⎜ + ⎟⎟
⎝ n1 n2 ⎠
2
v=
⎡⎛ s 2 ⎞ 2
⎢⎜ 1 n ⎟
1⎠
⎢⎣⎝
2
⎛ s12
⎞
s
2
⎜ n + n ⎟
2⎠
1
⎝
⎤ ⎡⎛ s 2 ⎞ 2
(n1 − 1)⎥ + ⎢⎜ 2 n ⎟
2⎠
⎥⎦ ⎢⎣⎝
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
⎤
(n2 − 1)⎥
⎥⎦
Note:
Berlaku juga untuk sampel kecil
18/07/2014
36
Contoh
Interval Kepercayaan Selisih Rata-Rata Populasi (σ diketahui)
Dua buah mesin A dan B dibandingkan dlm konsumsi BBMnya. Random sampling mesin A sejumlah 50 dan B sejumlah
75 dipakai. Ternyata rata-rata konsumsi BBM mesin A adalah
36 mil/galon dan mesin B 42 mil/galon. Carilah interval
kepercayaan 96% bagi μB- μA bilamana diketahui standard
deviasi populasi bagi A= 6 mil/galon dan B = 8 mil/galon
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Penyelesaian
37
Diket.
XsA=36, XsB = 42; nA=50 dan nB =75. σA=6 dan σB=8
Interval kepercayaan 96% bagi μB- μA :
( xB − xA ) − z0.02
σ A2
nA
+
σ B2
nB
< ( µ B − µ A ) < ( xB − xA ) + z0.02
σ A2
nA
+
σ B2
nB
64 36
64 36
(42 − 36 ) − 2.05
+ < ( µ B − µ A ) < (42 − 36 ) + 2.05
+
75 50
75 50
3.43 < μB- μA < 8.57 .
Jadi beda rata2 konsumsi BBM antara mesin A dan mesin B berkisar
antara 3.43 sampai 8.57 mil/galon
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
38
Latihan
Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri
kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang
lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk
mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik,
dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10
lembar, dan diukur berapa beban yang mampu
ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :
¡
Persh. A
30
35
50
45
60
25
45
45
50
40
Persh. B
50
60
55
40
65
60
65
65
50
55
Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan dengan
selang kepercayaan 95%
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
39
Pendugaan
Parameter:
Kasus dua sampel
berpasangan
Selisih rataan dua populasi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Ditimbang
kondisi awal :
bobot kelinci
Diberi pakan
tertentu
Ditimbang
kondisi akhir :
bobot kelinci
40
Setelah periode tertentu
Perubahan akibat pemberian pakan :
selisih bobot akhir – bobot awal
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Dugaan Selang
41
µd
Selang kepercayaan (1-α)100% bagi µd
d − tα 2 ( n−1)
sd
sd
< µ D < d + tα 2 ( n −1)
n
n
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
d
18/07/2014
Contoh
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
42
18/07/2014
43
Contoh
d2
25
64
4
144
25
4
64
1
36
25
Jumlah:
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
- 16
392
18/07/2014
Penyelesaian
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
44
18/07/2014
45
Pendugaan
Parameter:
Kasus Dua sampel
Selisih dua proporsi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
46
p 1 - p2
pˆ1 − pˆ 2
1.96σ
pˆ 1 − pˆ 2
1.96σ
pˆ 1 − pˆ 2
p1-p2
SAMPLING ERROR
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Dugaan Selang
47
Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p1 - p2
Sampel Besar
( pˆ1 − pˆ 2 ) − zα 2
pˆ (1 − pˆ1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
pˆ1 (1 − pˆ1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
+
< P1 − P2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + zα 2 1
+
n1
n2
n1
n2
Sampel Kecil
( pˆ1 − pˆ 2 ) − tα 2;n1+n2−2
pˆ1 (1− pˆ1 ) pˆ 2 (1− pˆ 2 )
pˆ (1− pˆ1 ) pˆ 2 (1− pˆ 2 )
+
< P1− P2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + tα 2;n1+n2−2 1
+
n1
n2
n1
n2
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Contoh
48
BKKBN melakukan penelitian di dua daerah (D1 dan D2) untuk
mengetahui apakah ada perbedaan antara persentase penduduk
yang setuju KB di daerah tersebut. Kemudian akan dibuat
pendugaan interval mengenai besarnya selisih/perbedaan
persentase tersebut. Di daerah D1 dan D2 masing-masing dilakukan
wawancara terhadap 120 orang, antara lain menanyakan
apakah mereka setuju KB atau tidak.
Dari D1 ada 90 orang dan dari D2 ada 78 orang yang setuju KB.
Buatlah pendugaan interval dari perbedaan persentase tentang
pendapat penduduk yang setuju dengan KB, di kedua daerah
tersebut,dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
49
Penyelesaian
^
^
X1 90
X 2 78
p1 = =
= 0, 75, p 2 =
=
= 0, 65
n1 120
n2 120
^
^
p1 − p 2 = 0, 75 − 0, 65 = 0,10
( pˆ1 − pˆ 2 ) − zα 2
pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2
pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2
+
< p1 − p2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + zα 2
+
n1
n2
n1
n2
0,25
0,25
0,1 – 1,64 (0,059) < (P1 – P2) < 0,1 + 1,64 (0,059)
0,003 < (P1 – P2) < 0,197
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
14
Statistika Industri 1
Semester Genap 2017/2018
Jurusan Teknik Industri - Universitas Brawijaya
2
Outline
Pendahuluan
Pendugaan Titik
Pendugaan Interval
Pendugaan Parameter:
Kasus 1 Sampel Rataan Populasi
Pendugaan Parameter:
Kasus 1 Sampel Proporsi
Pendugaan Parameter:
Kasus 2 sampel saling bebas & berpasangan selisih rataan dua populasi
Pendugaan Parameter:
Kasus 2 Sampel Selisih 2 Proporsi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
3
Pendahuluan (1)
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Pendahuluan (2)
4
• Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik
untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi
yang tidak diketahui.
• Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter
populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel
random yang diambil dari populasi bersangkutan.
• Pendugaan = Penaksiran
• Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan
untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat
diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak
diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel)
• Secara umum, parameter diberi lambang θ dan penduga diberi
lambang xxx
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
5
Pendahuluan (3)
Kriteria penduga yang baik
Tidak bias
Efisien
Populasi :
Parameter
Sampel :
Statistik
Konsisten
Statistik merupakan PENDUGA bagi
parameter populasi
PENDUGA à TAK BIAS DAN
MEMPUNYAI RAGAM
MINIMUM
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
6
Pendahuluan (4)
STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER
Dua jenis pendugaan parameter
TARGET
PENDUGA
TITIK
PENDUGA
SELANG
Penduga titik tidak selalu tepat menduga
parameter populasi maka digunakan
pendugaan dalam bentuk selang interval
Dalam setiap pendugaan mengandung
PELUANG kesalahan
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
penduga selang à konsep probability à SELANG
KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL)
18/07/2014
7
Pendugaan Titik (1)
¡ Pendugaan tunggal atau titik (point estimate)
ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja.
¡ Memberikan nilai yang kemungkinan besar
berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya.
TARGET
PENDUGA
TITIK
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Pendugaan Titik (2)
8
x
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Pendugaan Titik (3)
Satu Populasi
Dua Populasi
µ
p σ2
x
pˆ
s
9
2
µ1 − µ 2
x1 − x2
σ
p1 − p2 σ
2
1
2
2
2
1
2
2
pˆ1 − pˆ 2 s
s
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
10
Pendugaan Interval (1)
• Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak
memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai
penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya.
• Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang
derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka
kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval
estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik
dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga
parameter.
• Pendugaan interval (selang) : pendugaan berupa
interval, dibatasi dua nilai (batas bawah dan batas
atas)
• Pendugaan interval : interval kepercayaan atau
interval keyakinan (confidence interval) yang
dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper
confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower
confidence limit)
• U n t u k m e m b u a t p e n d u g a a n i n t e r v a l h a r u s
ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau
tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - α
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
TARGET
PENDUGA
TITIK
PENDUGA
SELANG
18/07/2014
Pendugaan Interval (2)
11
<
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (1)
Misalnya : 1 - α
12
= 0,90
α = 0,10 = 10 %.
α/2
= 0,05
jadi Zα/2 = Z 0,05 = (Z⏐P = 0,5 - α/2) = Z 0,5 – 0,05 = Z0,45 = 1,645
(lihat Tabel Normal).
Misalnya : 1- α = 0,98
dan n = 25
α = 0,02
α/2 = 0,01
jadi tα/2 ; v = tα/2 ; n – 1 = t 0,01 ; 25 –1 = t 0,01 ; 24 = 2,492
( lihat tabel Distribusi t).
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (2)
13
169) = 0.99
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
14
Menaksir Rataan
Pendugaan Titik untuk Rataan
Populasi
Penduganya
x
2
σ
2
s = x
σ2
n
cenderung akan menjadi penduga µ yang amat tepat, jika n (ukuran sampel) besar
µ
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
15
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
16
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
17
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
18
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
CONTOH
19
Lihat di tabel
dengan nilai
1-0,025 =0,9750
à z = 1,96
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
CONTOH
20
Dari soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk
rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana
sebelumnya
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
21
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
22
Pendugaan
Parameter:
Kasus Satu Sampel
Rataan Populasi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
23
µ
σ2
Rataan x contoh merupakan
PENDUGA tak bias bagi µ
s2 merupakan penduga tak
bias bagi σ2
x s2
1.96 σ
1.96 σ
x
x
µ
SAMPLING ERROR
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
24
Dugaan Selang
Syarat :
Tidak
kondisi σ2
diketahui
σ2 diduga dengan s2
x − tα 2( n−1)
s
n
< µ < x + tα 2( n−1)
s
n
diketahui
x − zα 2
σ
n
< µ < x + zα 2
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
σ
Berlaku juga untuk
sampel kecil (n < 30)
n
18/07/2014
Contoh
25
Survei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga
besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT).
Datanya diperoleh sebagai berikut:
RT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Biaya
(juta Rp)
2,30
4,50
4,00
5,00
3,80
7,20
6,25
5,75
6,70
7,80
RT
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Biaya
(juta Rp)
6,80
5,30
8,00
15,10
13,20
4,50
2,00
4,70
5,75
10,10
a.
b.
Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun
Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan
mengikuti sebaran normal.
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Penyelesaian
a.
26
Penduga rata-rata biaya pendidikan
µˆ = x = 6.44
Nilai s Dicari dari rumus
b.
Selang kepercayaan 95%
S2= Σ(xi – xbar)2 / n-1
sx = s / n = 3,275422 / 20 = 0,732407
t(0,05 / 2;db=19) = 2,093
6,44 − 2,093x0,732 ≤ µ ≤ 6,44 + 2,093x0,732
4,905 ≤ µ ≤ 7,970
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
27
Pendugaan
Parameter:
Kasus Satu Sampel
Proporsi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Proporsi pˆ contoh
merupakan
PENDUGA tak bias
bagi P
p
pˆ
1.96 σ pˆ
28
1.96 σ pˆ
p
SAMPLING ERROR
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Dugaan Selang / interval
29
Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p
Sampel Besar
pˆ − zα 2
pˆ (1 − pˆ )
< P < pˆ + zα 2
n
pˆ (1 − pˆ )
n
Sampel Kecil
pˆ − t(α 2;n−1)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
p(1−
p)
p(1−
p)
< P < pˆ + t(α 2;n−1)
n
n
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
30
Contoh
Dari sampel dengan n = 100 mahasiswa PTS “ABC”. Ternyata 25
mahasiswa memiliki IPK ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi
mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval
keyakinan 95%.
Penyelesaian :
Interval duga: p(0,206 < P < 0,335)
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Pendugaan Parameter
15
Debrina Puspita Andriani
www.debrina.lecture.ub.ac.id
E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id
32
Pendugaan
Parameter:
Kasus Dua sampel
saling bebas
Selisih rataan dua populasi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
33
µ1 - µ2
x1 − x2
1.96σ x
1 − x2
1.96σ x
1 − x2
µ1-µ2
SAMPLING ERROR
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Dugaan Selang
Syarat :
34
diketahui
σ 1 2 & σ2 2
( x1 − x2 ) − zα
2
σ 12 σ 22
σ 12 σ 22
+
< µ1 − µ2 < ( x1 − x2 ) + zα
+
2
n1 n2
n1 n2
Tidak
diketahui
sama
σ12 & σ22
Formula 1
Tidak
sama
Formula 2
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
a. Formula 1:
Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:
35
1⎞
1⎞
2 ⎛ 1
2 ⎛ 1
⎜⎜ + ⎟⎟ < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + tα 2 ( v ) s gab
⎜⎜ + ⎟⎟
( x1 − x2 ) − tα 2 ( v ) s gab
⎝ n1 n2 ⎠
⎝ n1 n2 ⎠
s
2
gab
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s22
=
dan v = n1 + n2 − 2
n1 + n2 − 2
b. Formula 2:
Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:
( x1 − x2 ) − tα 2 ( v )
⎛ s12 s22 ⎞
⎜⎜ + ⎟⎟ < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + tα 2 ( v )
⎝ n1 n2 ⎠
⎛ s12 s22 ⎞
⎜⎜ + ⎟⎟
⎝ n1 n2 ⎠
2
v=
⎡⎛ s 2 ⎞ 2
⎢⎜ 1 n ⎟
1⎠
⎢⎣⎝
2
⎛ s12
⎞
s
2
⎜ n + n ⎟
2⎠
1
⎝
⎤ ⎡⎛ s 2 ⎞ 2
(n1 − 1)⎥ + ⎢⎜ 2 n ⎟
2⎠
⎥⎦ ⎢⎣⎝
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
⎤
(n2 − 1)⎥
⎥⎦
Note:
Berlaku juga untuk sampel kecil
18/07/2014
36
Contoh
Interval Kepercayaan Selisih Rata-Rata Populasi (σ diketahui)
Dua buah mesin A dan B dibandingkan dlm konsumsi BBMnya. Random sampling mesin A sejumlah 50 dan B sejumlah
75 dipakai. Ternyata rata-rata konsumsi BBM mesin A adalah
36 mil/galon dan mesin B 42 mil/galon. Carilah interval
kepercayaan 96% bagi μB- μA bilamana diketahui standard
deviasi populasi bagi A= 6 mil/galon dan B = 8 mil/galon
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Penyelesaian
37
Diket.
XsA=36, XsB = 42; nA=50 dan nB =75. σA=6 dan σB=8
Interval kepercayaan 96% bagi μB- μA :
( xB − xA ) − z0.02
σ A2
nA
+
σ B2
nB
< ( µ B − µ A ) < ( xB − xA ) + z0.02
σ A2
nA
+
σ B2
nB
64 36
64 36
(42 − 36 ) − 2.05
+ < ( µ B − µ A ) < (42 − 36 ) + 2.05
+
75 50
75 50
3.43 < μB- μA < 8.57 .
Jadi beda rata2 konsumsi BBM antara mesin A dan mesin B berkisar
antara 3.43 sampai 8.57 mil/galon
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
38
Latihan
Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri
kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang
lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk
mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik,
dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10
lembar, dan diukur berapa beban yang mampu
ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :
¡
Persh. A
30
35
50
45
60
25
45
45
50
40
Persh. B
50
60
55
40
65
60
65
65
50
55
Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan dengan
selang kepercayaan 95%
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
39
Pendugaan
Parameter:
Kasus dua sampel
berpasangan
Selisih rataan dua populasi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Ditimbang
kondisi awal :
bobot kelinci
Diberi pakan
tertentu
Ditimbang
kondisi akhir :
bobot kelinci
40
Setelah periode tertentu
Perubahan akibat pemberian pakan :
selisih bobot akhir – bobot awal
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Dugaan Selang
41
µd
Selang kepercayaan (1-α)100% bagi µd
d − tα 2 ( n−1)
sd
sd
< µ D < d + tα 2 ( n −1)
n
n
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
d
18/07/2014
Contoh
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
42
18/07/2014
43
Contoh
d2
25
64
4
144
25
4
64
1
36
25
Jumlah:
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
- 16
392
18/07/2014
Penyelesaian
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
44
18/07/2014
45
Pendugaan
Parameter:
Kasus Dua sampel
Selisih dua proporsi
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
46
p 1 - p2
pˆ1 − pˆ 2
1.96σ
pˆ 1 − pˆ 2
1.96σ
pˆ 1 − pˆ 2
p1-p2
SAMPLING ERROR
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Dugaan Selang
47
Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p1 - p2
Sampel Besar
( pˆ1 − pˆ 2 ) − zα 2
pˆ (1 − pˆ1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
pˆ1 (1 − pˆ1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
+
< P1 − P2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + zα 2 1
+
n1
n2
n1
n2
Sampel Kecil
( pˆ1 − pˆ 2 ) − tα 2;n1+n2−2
pˆ1 (1− pˆ1 ) pˆ 2 (1− pˆ 2 )
pˆ (1− pˆ1 ) pˆ 2 (1− pˆ 2 )
+
< P1− P2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + tα 2;n1+n2−2 1
+
n1
n2
n1
n2
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
Contoh
48
BKKBN melakukan penelitian di dua daerah (D1 dan D2) untuk
mengetahui apakah ada perbedaan antara persentase penduduk
yang setuju KB di daerah tersebut. Kemudian akan dibuat
pendugaan interval mengenai besarnya selisih/perbedaan
persentase tersebut. Di daerah D1 dan D2 masing-masing dilakukan
wawancara terhadap 120 orang, antara lain menanyakan
apakah mereka setuju KB atau tidak.
Dari D1 ada 90 orang dan dari D2 ada 78 orang yang setuju KB.
Buatlah pendugaan interval dari perbedaan persentase tentang
pendapat penduduk yang setuju dengan KB, di kedua daerah
tersebut,dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014
49
Penyelesaian
^
^
X1 90
X 2 78
p1 = =
= 0, 75, p 2 =
=
= 0, 65
n1 120
n2 120
^
^
p1 − p 2 = 0, 75 − 0, 65 = 0,10
( pˆ1 − pˆ 2 ) − zα 2
pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2
pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2
+
< p1 − p2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + zα 2
+
n1
n2
n1
n2
0,25
0,25
0,1 – 1,64 (0,059) < (P1 – P2) < 0,1 + 1,64 (0,059)
0,003 < (P1 – P2) < 0,197
Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018
18/07/2014