Menerapkan Eliminasi Gauss untuk Mendapa
Menerapkan Eliminasi Gauss untuk
Mendapatkan Determinan Matriks
Bujursangkar Orde n
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya
Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
Email: simamora@me.purbaya.ac.id
1
Pendahuluan
Diberikan matriks bujursangkar orde n:
a11
a12
...
a1j
a21
a
.
.
.
a2j
22
..
..
..
..
.
.
.
.
.
..
A = ai1
ai2
aij
.
.
..
..
..
..
.
.
a(n−1)1 a(n−1)2 . . . a(n−1)j
an1
an2
...
anj
...
...
..
.
..
.
..
.
a1(n−1)
a2(n−1)
..
.
a1n
a2n
..
.
ai(n−1)
..
.
ain
..
.
. . . a(n−1)(n−1)
...
an(n−1)
a(n−1)n
ann
,
(1)
dengan notasi aij (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n) merepresentasikan entri pada baris
i dan kolom j pada matriks tersebut. Metode eliminasi Gauss diterapkan pada
A untuk mengenolkan:
• entri (2,1) pada baris 2
• entri (3,1) dan (3,2) pada baris 3
• entri (i, 1), . . . , (i, j < i − 1) pada baris i > 2
1
sedemikian sehinggga diperoleh matriks segitiga atas1 :
0
a01(n−1)
a11 a012 . . . a01j . . .
0 a1 . . . a1 . . .
a12(n−1)
22
2j
.
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
..
..
U= 0
.
akij
0
aki(n−1)
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
m−1
0
0 . . . 0 . . . a(n−1)(n−1)
0
0 ... 0 ...
0
a01n
a12n
..
.
akin
..
.
m−1
a(n−1)n
am
nn
,
(2)
dengan akij merepresentasikan entri pada baris i dan kolom j pada U. Superskrip k = 0, . . . , m, m = n − 1 pada akij menunjukkan jumlah operasi eliminasi
yang dialami entri (i, j) pada A untuk menghasilkan U.
Jika eliminasi Gauss tersebut dilakukan dengan mempertimbangkan teorema
berikut ini2 :
(i) Jika B adalah matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran dua baris
pada A, maka determinan kedua matriks tersebut akan memiliki besar
yang sama namun berlawanan tanda, |B| = −|A|,
(ii) Jika B adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan suatu baris
dengan hasil perkalian baris yang lain pada A, maka |B| = A,
maka:
|A| ≡ (−1)p · |U|
m−1
= (−1)p · a011 · a122 · . . . · akij · . . . · a22
· am
nn ,
(3)
dengan p = 0, 1, . . . adalah jumlah pertukaran baris yang dilakukan selama perhitungan3 . Perhitungan (3) mungkin dilakukan mengingat determinan suatu
matriks segitiga adalah hasil perkalian diagonalnya.
Pada metode eliminasi Gauss, pertukaran baris pada suatu matriks dilakukan
ketika nilai pivot sama dengan nol. Konsekuensi pertukaran baris tersebut pada
nilai determinan harus diperhatikan dalam setiap tahap mendapatkan U.
Pendekatan dengan eliminasi Gauss ini berguna terutama untuk mendapatkan
determinan matriks bujursangkar dengan orde n > 3. Hal ini akan diperlihat
pada bagian Contoh.
1 Di
sini, pembahasan dibatasi pada matriks segitiga atas.
Bronson & Costa (2006), Teorema 8.9, hal. 269.
3 Di sini, (−1)p adalah (-1) pangkat p.
2 Lihat
2
2
Komputasi
Superskrip k = 0 pada (2) menunjukkan nilai mula-mula aij sebelum
Gauss diterapkan. Dengan demikian, (1) dapat ditulis ulang sebagai:
a011
a012
...
a01j
...
a01(n−1)
a01n
a0
a022
...
a02j
...
a02(n−1)
a02n
21
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
A= a
ai2
.
aij
.
ai(n−1)
ain
i1
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
0 .
a(n−1)1 a0(n−1)2 . . . a0(n−1)j . . . a0(n−1)(n−1) a0(n−1)n
a0n1
a0n2
...
a0nj
...
an(n−1)
a0nn
eliminasi
.
(4)
Karena di sini a011 digunakan sebagai pivot, maka nilai seluruh entri pada baris
pertama (4) dibiarkan tetap sepanjang komputasi.
Pengenolan entri (i > k, j = k) ketika k > 1 dilakukan dengan eliminasi Gauss,
yang diberikan oleh:
!
k−1
aik
k−1
k−1
k
akj
, i > k,
(5)
aij = aij −
k−1
akk
dengan k di sini juga digunakan sebagai penanda posisi baris dan atau kolom
suatu entri4 . Beberapa catatan untuk memperjelas (5):
• Penerapan (5) pada baris j = k akan mengkasilkan nilai nol. Misal, untuk k = 1, operasi baris pada entri (2,1) dan (3,1) masing-masing menghasilkan:
0
a21
1
0
a011 = 0
a21 = a21 −
a011
0
a31
1
0
a31 = a31 −
a011 = 0.
a011
• syarat i > k berarti ketika k = 1, operasi baris diterapkan pada baris
i = 2, . . . , n; ketika k = 2 operasi baris diterapkan pada baris i = 3, . . . , n;
dan seterusnya.
• Entri mengalami operasi baris adalah yang berada pada kolom j > k.
Misalnya, untuk k = 1, entri yang mengalami operasi baris adalah kolom
j = 1, . . . , n,untuk k = 2, entri yang mengalami operasi baris adalah
kolom j = 2, . . . , n, dan seterusnya.
4 Misal ak−1 untuk k = 1 adalah a0 , untuk k = 2 adalah a1 , dan seterusnya. Seharusnya
11
22
kk
tidak ada kerumitan tambahan karena ini.
3
3
Contoh
3.1
Skenario akk 6= 0
Hitung |A| jika diberikan:
5
2
A=
−5
1
4
2
1
3
1 −2
.
−7 −3
9
−2 −1
4
(6)
Metode reduksi orde dengan operasi baris elementer yang dilanjutkan dengan
perhitungan determinan orde tiga untuk (6) 5 menghasilkan |A| = 38.
Matriks segitiga atas untuk (6) memiliki
5 4
0 a122
U=
0 0
0 0
bentuk:
2
a123
a233
0
1
a124
.
a234
a344
• k=1:
Perhitungan untuk entri (2,1) sampai dengan (2,4) (i = 2):
0
a21
1
0
a011
a21 = a21 −
a011
2
5
=2−
5
= 0.
a021
a011
a021
a011
a021
a011
a122 = a022 −
2
=3−
4
5
(9)
a013
= 0.2.
a124 = a024 −
(10)
2
1
= −2 −
5
= −2.4.
5 lihat
Bronson & Costa (2006), Contoh 8.9., hal. 271
4
(8)
a012
= 1.4.
a123 = a023 −
2
=1−
2
5
(7)
a013
(11)
Perhitungan untuk entri (3,1) sampai dengan (3,4) (i = 3):
0
a31
1
0
a31 = a31 −
a011
a011
−5
5
= −5 −
5
= 0.
a132 = a032 −
= −7 −
= −3.
a133 = a033 −
= −3 −
= −1.
a031
a011
−5
5
a031
a011
−5
5
a031
a011
a012
4
(13)
a013
2
5
(14)
a014
a134 = a034 −
−5
1
=9−
5
= 10.
(12)
(15)
Perhitungan untuk entri (4,1) sampai dengan (4,4) (i = 4):
0
a41
1
0
a41 = a31 −
a011
a022
1
5
=1−
5
= 0.
a142 = a032 −
a041
a022
a041
a022
a041
a022
a012
1
4
= −2 −
5
= −2.8.
a143 = a033 −
(17)
a013
1
= −1 −
2
5
= 1.4
a144 = a034 −
1
1
=4−
5
(18)
a014
= 3.8.
(19)
• k=2:
Perhitungan untuk entri (3,2) sampai dengan (3,4) (i = 3):
1
a32
1
2
a32 = a32 −
a122
a122
−3
= −3 −
1.4
1.4
= 0.
a233 = a133 −
= −1 −
a234
a132
a122
−3
1.4
6
(20)
a123
0.2
= −0.571429.
1
a32
1
= a34 −
a124
a122
−3
(−2.4)
= 10 −
1.4
= 4.857143.
(16)
(21)
(22)
Perhitungan untuk entri (4,2) sampai dengan (4,4) (i = 3): i = 4:
1
a42
2
1
a42 = a32 −
a122
a122
−2.8
1.4
= −2.8 −
1.4
= 0.
a142
a122
a142
a122
a123
−2.8
0.2
= −1.4 −
1.4
a243 = a133 −
= −1.
a124
−2.8
= 3.8 −
(−2.4)
1.4
a244 = a134 −
= −1.
• k = 3 Perhitungan untuk entri (4,3) dan (4,4) (i = 4):
2
a43
3
0
a44 = a43 −
a233
a233
−1
− 0.571429
= −1 −
−0.571429
=0
a244 = a034 −
= −1 −
a142
a122
(24)
(25)
(26)
a124
−1
−0.571429
= −9.499994.
(23)
4.857143
(27)
Memasukkan nilai-nilai numerik (8)-(27) ke dalam (7), diperoleh matriks segitiga:
5
4
2
1
0 1.4
0.2
−2.4
.
U=
(28)
0
0 −0.571429
4.857143
0
0
0 −9.499994
Dengan demikian, (3) dapat diterapkan menggunakan (28) dengan p = 0. Ini
karena selama perhitungan tidak dilakukan pertukaran baris, diperoleh:
|A| ≡ (−1)p |U|
= (−1)0 · a011 · a122 · a233 · a344
= 1 · 5 · 1.4 · (−0.571429) · (−9.499994)
= 38.000004
7
3.2
Skenario akk = 0
Hitung |A| jika diberikan:
0 3.5
2
6 −1 .
A= 5
−4
3
3
Perhitungan dengan aturan Sarrus memberikan:
.
0 3.5
2 ..
0 3.5
.
.
|A| = 5
6 −1 .
5
6
.
−4
3
3 .. −4
3
(29)
= [(0 · 6 · 3) + (3.5 · (−1) · (−4)) + (2 · 5 · 3)]
− [((−4) · 6 · 2) + (3 · (−1) · 0) + (3 · 5 · 3.5)]
= 39.5.
(30)
Tampak bahwa a11 = 0. Hal ini berarti pertukaran baris perlu dilakukan untuk
mengganti pivot. Di sini, baris 1 bertukar dengan baris 3 sehingga diperoleh:
−4
3
3
6 −1 .
(31)
B= 5
0 3.5
2
Bentuk matriks yang dikehendaki adalah matriks segitiga yang berasal dari B:
−4
3
3
U = 0 b122 b123 .
(32)
0
0 b233
yang mengikuti bentuk (31).
• k=1:
Perhitungan untuk entri (2,1):
b121
=
b021
−
=0
b021
b011
b011
(33)
(34)
Perhitungan untuk entri (2,2):
0
a21
b012
b122 = b122 −
b011
5
=6−
3
−4
= 9.75
8
(35)
Perhitungan untuk entri (2,3):
b123
b021
=
−
b013
a011
5
3
= −1 −
−4
b123
= 2.75.
(36)
Tampak pada 31 bahwa nilai entri (3,1) sama dengan nol. Karena
0
b031
=
= 0,
b011
−4
maka nilai entri (3,2) dan (3,3) untuk k = 1 tidak berubah:
b132 = b032 = 3.5
(37)
b133
(38)
=
b033
= 2.
• k=2:
Perhitungan untuk entri (3,2):
b232
=
b131
= 0.
−
b131
b122
b122
(39)
Perhitungan untuk entri (3,3):
b233
b131
b123
=
−
b122
3.5
=2−
2.75
9.75
b133
= 1.012821.
(40)
Memasukkan nilai-nilai numerik (33)-(40) ke dalam (32), diperoleh matriks segitiga:
−4
3
3
2.75
U = 0 9.75
(41)
0
0 1.012821
Penerapan (3) dapat diterapkan menggunakan (41) dengan p = 1. Ini karena
selama perhitungan dari A hingga mendapatkan U dilakukan satu kali pertukaran baris. Sehingga diperoleh:
|A| ≡ (−1)p |U|
= (−1)1 · b011 · b122 · b233
= (−1) · (−4) · 9.75 · 1.012821
= 39.500019
9
Kepustakaan
1. Bronson, R. & Costa, G.B., Differential Equations (Schaum’s Outlines).
Third Edition, McGraw-Hill, 2006.
2. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Seventh
Edition, McGraw-Hill, 2014.
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun
konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli
penulisnya.
This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no any
concept or method in this paper that represents the author’s original contribution.
Versi 0.0, November 2, 2017
10
Mendapatkan Determinan Matriks
Bujursangkar Orde n
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya
Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
Email: simamora@me.purbaya.ac.id
1
Pendahuluan
Diberikan matriks bujursangkar orde n:
a11
a12
...
a1j
a21
a
.
.
.
a2j
22
..
..
..
..
.
.
.
.
.
..
A = ai1
ai2
aij
.
.
..
..
..
..
.
.
a(n−1)1 a(n−1)2 . . . a(n−1)j
an1
an2
...
anj
...
...
..
.
..
.
..
.
a1(n−1)
a2(n−1)
..
.
a1n
a2n
..
.
ai(n−1)
..
.
ain
..
.
. . . a(n−1)(n−1)
...
an(n−1)
a(n−1)n
ann
,
(1)
dengan notasi aij (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n) merepresentasikan entri pada baris
i dan kolom j pada matriks tersebut. Metode eliminasi Gauss diterapkan pada
A untuk mengenolkan:
• entri (2,1) pada baris 2
• entri (3,1) dan (3,2) pada baris 3
• entri (i, 1), . . . , (i, j < i − 1) pada baris i > 2
1
sedemikian sehinggga diperoleh matriks segitiga atas1 :
0
a01(n−1)
a11 a012 . . . a01j . . .
0 a1 . . . a1 . . .
a12(n−1)
22
2j
.
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
..
..
U= 0
.
akij
0
aki(n−1)
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
m−1
0
0 . . . 0 . . . a(n−1)(n−1)
0
0 ... 0 ...
0
a01n
a12n
..
.
akin
..
.
m−1
a(n−1)n
am
nn
,
(2)
dengan akij merepresentasikan entri pada baris i dan kolom j pada U. Superskrip k = 0, . . . , m, m = n − 1 pada akij menunjukkan jumlah operasi eliminasi
yang dialami entri (i, j) pada A untuk menghasilkan U.
Jika eliminasi Gauss tersebut dilakukan dengan mempertimbangkan teorema
berikut ini2 :
(i) Jika B adalah matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran dua baris
pada A, maka determinan kedua matriks tersebut akan memiliki besar
yang sama namun berlawanan tanda, |B| = −|A|,
(ii) Jika B adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan suatu baris
dengan hasil perkalian baris yang lain pada A, maka |B| = A,
maka:
|A| ≡ (−1)p · |U|
m−1
= (−1)p · a011 · a122 · . . . · akij · . . . · a22
· am
nn ,
(3)
dengan p = 0, 1, . . . adalah jumlah pertukaran baris yang dilakukan selama perhitungan3 . Perhitungan (3) mungkin dilakukan mengingat determinan suatu
matriks segitiga adalah hasil perkalian diagonalnya.
Pada metode eliminasi Gauss, pertukaran baris pada suatu matriks dilakukan
ketika nilai pivot sama dengan nol. Konsekuensi pertukaran baris tersebut pada
nilai determinan harus diperhatikan dalam setiap tahap mendapatkan U.
Pendekatan dengan eliminasi Gauss ini berguna terutama untuk mendapatkan
determinan matriks bujursangkar dengan orde n > 3. Hal ini akan diperlihat
pada bagian Contoh.
1 Di
sini, pembahasan dibatasi pada matriks segitiga atas.
Bronson & Costa (2006), Teorema 8.9, hal. 269.
3 Di sini, (−1)p adalah (-1) pangkat p.
2 Lihat
2
2
Komputasi
Superskrip k = 0 pada (2) menunjukkan nilai mula-mula aij sebelum
Gauss diterapkan. Dengan demikian, (1) dapat ditulis ulang sebagai:
a011
a012
...
a01j
...
a01(n−1)
a01n
a0
a022
...
a02j
...
a02(n−1)
a02n
21
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
A= a
ai2
.
aij
.
ai(n−1)
ain
i1
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
0 .
a(n−1)1 a0(n−1)2 . . . a0(n−1)j . . . a0(n−1)(n−1) a0(n−1)n
a0n1
a0n2
...
a0nj
...
an(n−1)
a0nn
eliminasi
.
(4)
Karena di sini a011 digunakan sebagai pivot, maka nilai seluruh entri pada baris
pertama (4) dibiarkan tetap sepanjang komputasi.
Pengenolan entri (i > k, j = k) ketika k > 1 dilakukan dengan eliminasi Gauss,
yang diberikan oleh:
!
k−1
aik
k−1
k−1
k
akj
, i > k,
(5)
aij = aij −
k−1
akk
dengan k di sini juga digunakan sebagai penanda posisi baris dan atau kolom
suatu entri4 . Beberapa catatan untuk memperjelas (5):
• Penerapan (5) pada baris j = k akan mengkasilkan nilai nol. Misal, untuk k = 1, operasi baris pada entri (2,1) dan (3,1) masing-masing menghasilkan:
0
a21
1
0
a011 = 0
a21 = a21 −
a011
0
a31
1
0
a31 = a31 −
a011 = 0.
a011
• syarat i > k berarti ketika k = 1, operasi baris diterapkan pada baris
i = 2, . . . , n; ketika k = 2 operasi baris diterapkan pada baris i = 3, . . . , n;
dan seterusnya.
• Entri mengalami operasi baris adalah yang berada pada kolom j > k.
Misalnya, untuk k = 1, entri yang mengalami operasi baris adalah kolom
j = 1, . . . , n,untuk k = 2, entri yang mengalami operasi baris adalah
kolom j = 2, . . . , n, dan seterusnya.
4 Misal ak−1 untuk k = 1 adalah a0 , untuk k = 2 adalah a1 , dan seterusnya. Seharusnya
11
22
kk
tidak ada kerumitan tambahan karena ini.
3
3
Contoh
3.1
Skenario akk 6= 0
Hitung |A| jika diberikan:
5
2
A=
−5
1
4
2
1
3
1 −2
.
−7 −3
9
−2 −1
4
(6)
Metode reduksi orde dengan operasi baris elementer yang dilanjutkan dengan
perhitungan determinan orde tiga untuk (6) 5 menghasilkan |A| = 38.
Matriks segitiga atas untuk (6) memiliki
5 4
0 a122
U=
0 0
0 0
bentuk:
2
a123
a233
0
1
a124
.
a234
a344
• k=1:
Perhitungan untuk entri (2,1) sampai dengan (2,4) (i = 2):
0
a21
1
0
a011
a21 = a21 −
a011
2
5
=2−
5
= 0.
a021
a011
a021
a011
a021
a011
a122 = a022 −
2
=3−
4
5
(9)
a013
= 0.2.
a124 = a024 −
(10)
2
1
= −2 −
5
= −2.4.
5 lihat
Bronson & Costa (2006), Contoh 8.9., hal. 271
4
(8)
a012
= 1.4.
a123 = a023 −
2
=1−
2
5
(7)
a013
(11)
Perhitungan untuk entri (3,1) sampai dengan (3,4) (i = 3):
0
a31
1
0
a31 = a31 −
a011
a011
−5
5
= −5 −
5
= 0.
a132 = a032 −
= −7 −
= −3.
a133 = a033 −
= −3 −
= −1.
a031
a011
−5
5
a031
a011
−5
5
a031
a011
a012
4
(13)
a013
2
5
(14)
a014
a134 = a034 −
−5
1
=9−
5
= 10.
(12)
(15)
Perhitungan untuk entri (4,1) sampai dengan (4,4) (i = 4):
0
a41
1
0
a41 = a31 −
a011
a022
1
5
=1−
5
= 0.
a142 = a032 −
a041
a022
a041
a022
a041
a022
a012
1
4
= −2 −
5
= −2.8.
a143 = a033 −
(17)
a013
1
= −1 −
2
5
= 1.4
a144 = a034 −
1
1
=4−
5
(18)
a014
= 3.8.
(19)
• k=2:
Perhitungan untuk entri (3,2) sampai dengan (3,4) (i = 3):
1
a32
1
2
a32 = a32 −
a122
a122
−3
= −3 −
1.4
1.4
= 0.
a233 = a133 −
= −1 −
a234
a132
a122
−3
1.4
6
(20)
a123
0.2
= −0.571429.
1
a32
1
= a34 −
a124
a122
−3
(−2.4)
= 10 −
1.4
= 4.857143.
(16)
(21)
(22)
Perhitungan untuk entri (4,2) sampai dengan (4,4) (i = 3): i = 4:
1
a42
2
1
a42 = a32 −
a122
a122
−2.8
1.4
= −2.8 −
1.4
= 0.
a142
a122
a142
a122
a123
−2.8
0.2
= −1.4 −
1.4
a243 = a133 −
= −1.
a124
−2.8
= 3.8 −
(−2.4)
1.4
a244 = a134 −
= −1.
• k = 3 Perhitungan untuk entri (4,3) dan (4,4) (i = 4):
2
a43
3
0
a44 = a43 −
a233
a233
−1
− 0.571429
= −1 −
−0.571429
=0
a244 = a034 −
= −1 −
a142
a122
(24)
(25)
(26)
a124
−1
−0.571429
= −9.499994.
(23)
4.857143
(27)
Memasukkan nilai-nilai numerik (8)-(27) ke dalam (7), diperoleh matriks segitiga:
5
4
2
1
0 1.4
0.2
−2.4
.
U=
(28)
0
0 −0.571429
4.857143
0
0
0 −9.499994
Dengan demikian, (3) dapat diterapkan menggunakan (28) dengan p = 0. Ini
karena selama perhitungan tidak dilakukan pertukaran baris, diperoleh:
|A| ≡ (−1)p |U|
= (−1)0 · a011 · a122 · a233 · a344
= 1 · 5 · 1.4 · (−0.571429) · (−9.499994)
= 38.000004
7
3.2
Skenario akk = 0
Hitung |A| jika diberikan:
0 3.5
2
6 −1 .
A= 5
−4
3
3
Perhitungan dengan aturan Sarrus memberikan:
.
0 3.5
2 ..
0 3.5
.
.
|A| = 5
6 −1 .
5
6
.
−4
3
3 .. −4
3
(29)
= [(0 · 6 · 3) + (3.5 · (−1) · (−4)) + (2 · 5 · 3)]
− [((−4) · 6 · 2) + (3 · (−1) · 0) + (3 · 5 · 3.5)]
= 39.5.
(30)
Tampak bahwa a11 = 0. Hal ini berarti pertukaran baris perlu dilakukan untuk
mengganti pivot. Di sini, baris 1 bertukar dengan baris 3 sehingga diperoleh:
−4
3
3
6 −1 .
(31)
B= 5
0 3.5
2
Bentuk matriks yang dikehendaki adalah matriks segitiga yang berasal dari B:
−4
3
3
U = 0 b122 b123 .
(32)
0
0 b233
yang mengikuti bentuk (31).
• k=1:
Perhitungan untuk entri (2,1):
b121
=
b021
−
=0
b021
b011
b011
(33)
(34)
Perhitungan untuk entri (2,2):
0
a21
b012
b122 = b122 −
b011
5
=6−
3
−4
= 9.75
8
(35)
Perhitungan untuk entri (2,3):
b123
b021
=
−
b013
a011
5
3
= −1 −
−4
b123
= 2.75.
(36)
Tampak pada 31 bahwa nilai entri (3,1) sama dengan nol. Karena
0
b031
=
= 0,
b011
−4
maka nilai entri (3,2) dan (3,3) untuk k = 1 tidak berubah:
b132 = b032 = 3.5
(37)
b133
(38)
=
b033
= 2.
• k=2:
Perhitungan untuk entri (3,2):
b232
=
b131
= 0.
−
b131
b122
b122
(39)
Perhitungan untuk entri (3,3):
b233
b131
b123
=
−
b122
3.5
=2−
2.75
9.75
b133
= 1.012821.
(40)
Memasukkan nilai-nilai numerik (33)-(40) ke dalam (32), diperoleh matriks segitiga:
−4
3
3
2.75
U = 0 9.75
(41)
0
0 1.012821
Penerapan (3) dapat diterapkan menggunakan (41) dengan p = 1. Ini karena
selama perhitungan dari A hingga mendapatkan U dilakukan satu kali pertukaran baris. Sehingga diperoleh:
|A| ≡ (−1)p |U|
= (−1)1 · b011 · b122 · b233
= (−1) · (−4) · 9.75 · 1.012821
= 39.500019
9
Kepustakaan
1. Bronson, R. & Costa, G.B., Differential Equations (Schaum’s Outlines).
Third Edition, McGraw-Hill, 2006.
2. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Seventh
Edition, McGraw-Hill, 2014.
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun
konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli
penulisnya.
This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no any
concept or method in this paper that represents the author’s original contribution.
Versi 0.0, November 2, 2017
10