Data kualitatif adalah data yang berbent
Data kualitatif adalah data yang berbentuk kata-kata, bukan dalam bentuk angka. Data
kualitatif diperoleh melalui berbagai macam teknik pengumpulan data misalnya wawancara,
analisis dokumen, diskusi terfokus, atau observasi. Data kuantitatif adalah data yang
berbentuk angka atau bilangan. Sesuai dengan bentuknya, data kuantitatif dapat diolah atau
dianalisis menggunakan teknik perhitungan matematika atau statistika.
Syarat data yang baik yaitu obyektif, representative, mempunyai tingkat kesalahan yang
kecil, harus tepat waktu, relevan.
2. Distribusi Frekuensi Kelompok
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi
kelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.
Langkah ke-1 menentukan Jangkauan (J) = Xmax - Xmin
Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu: K= 1
+ 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan
bulat positif hasil pembulatan ke bawah.
Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:
J
I = ––––
K
Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas
bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas
terakhir.
Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan
nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.
Kuartil, Rata-rata Ukur, dan Rata-rata Harmonik
29 Sep
STATISTIKA EKONOMI I
BAB V
KUARTIL,RATA-RATA UKUR DAN
RATA-RATA HARMONIK
KUARTIL
Kuartil (K) adalah nilai-nilai yang membagi serangkaian data atau suatu frekuensi menjadi
empat bagian yang sama.
Menurut Sudijono, 2006:112. Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik
atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam empat bagian yang
sama besar, yaitu masing-masing sebesar 1/4N.
Dalam buku Suharyadi dan Purwanto SH, Kuartil diartikan sebagai ukuran letak yang
membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 4 bagian sama besar
atau setiap bagian dari kuartil sebesar 25%. Kuartil 1 (K1) membagi data sebelah kiri
sebesar25% dan sebelah kanan 75%. Kuartil 2 (K2) membagi data menjadi 2 bagian yang
sama yaitu sisi kanan dan sisi kiri sebesar 50%, jika kurva berbentuk simetris maka K2 sama
dengan Median. K3 membagi data sebelah kiri sebesar 75% dan sebelah kanan 25%.
RUMUS
Untuk mencari Q1,Q2 dan Q3 digunakan rumus sebagai berikut:
untuk data tunggal
Qn = 1 + ( n/4N-fkb)
fi
untuk data kelompok
Qn = 1 + (n/4N-fkb)x i
Fi
Keterangan :
Qn = kuartil yang ke-n. karena titik kuartil ada tiga buah, maka n dapat diisi dengan
bilangan: 1,2, dan 3.
1 = lower limit ( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn).
N= Number of cases.
Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung
Qn.
Fi= frekuensi aslinya (yaitu frekuensi dari skor atau interval yang mengandung Qn).
i= interval class atau kelas interval.
Catatan:
istilah skor berlaku untuk data tunggal.
istilah interval berlaku untuk data kelompok.
Contoh perhitungan kuartil untuk data tunggal
Misalkan dari 60 orang siswa MAN Jurusan IPA diperoleh nilai hasil EBTA bidang studi
Fisika sebagaimana tertera pada table distribusi frekuensi berikut ini. Jika kita ingin mencari
Q1, Q2, dan Q3 (artinya data tersebut akan kita bagi dalam empat bagian yang sama besar),
maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut:
Table 3.11. Distribusi frekuensi nilai hasil Ebta dalam bidang studi fisika dari 60 orang siswa
MAN jurusan ipa, dan perhitungan Q1, Q2, dan Q3.
Nilai (x)
F
Fkb
46
2
60
45
2
58
44
3
56
43
5
53
42
F1 (8)
48
41
10
20
40
F1 (12)
30
39
F1 (6)
18
38
5
12
37
4
7
36
2
3
35
1
1
Titik Q1= 1/4N = ¼ X 60 = 15 ( terletak pada skor 39). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 38,50; fi = 6; fkb = 12
Q1= 1 + ( n/4N-fkb) = 38,50 +(15-12)
Fi
6
= 38,50 +0,50
= 39
Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 60 = 30 ( terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 39,50; fi = 12; fkb = 18
Q2 = 1 + ( n/4N-fkb) = 39,50 +(30-18)
Fi
12
= 39,50 +1,0
= 40,50
Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 60 = 45 ( terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 41,50; fi = 8; fkb = 40
Q3 = 1 + ( n/4N-fkb) = 41,50 +(45-40)
Fi
8
= 41,50+ 0,625
= 42,125
Contoh perhitungan kuartil untuk data kelompok
Misalkan dari 80 orang siswa MAN jurusan IPS diperoleh skor hasil EBTA dalam bidan studi
tata buku sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi beikut ini ( lihat kolom 1 dan
2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka proses perhitungannya adalah sebagai
berikut:
Titik Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 ( terletak pada interval 35-39). Dengan demikian dapat
kita ketahui: 1= 34,50; fi = 7; fkb = 13, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 34,50 +(20-13) X5
Fi
7
= 34,50 +5
= 39,50
Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 ( terletak pada interval 45-49). Dengan demikian
dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi = 17; fkb = 35, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 44,50 +(40-35) X5
Fi
17
= 44,50 +1.47
= 45,97
Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 ( terletak pada interval 55-59). Dengan demikian
dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi = 7; fkb = 59, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 54,50 +(55-59) X5
Fi
7
= 54,50 + 0,71
= 55,21
Tabel 3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil EBTA bidang studi tata buku dari 80 orang
siswa man jurusan ips, berikut perhitungan Q1,Q2, dan Q3.
Nilai (x)
F
Fkb
70-74
3
80
65-69
5
77
60-64
6
72
55-59
7
66
50-54
7
59
45-49
17
52
40-44
15
35
35-39
7
20
30-34
6
13
25-29
5
7
20-24
2
2
Total
80= N
-
Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya
suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut:
1. Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva normal.
2. Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri(juling
positif).
3. Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan(juling
negatif).
DESIL
DESIL
Desil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data berkelompok
menjadi 10 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 10%.
Ukuran Letak
Desil 1 (D1)
Desil 2 (D2)
….
Desil 9 (D9)
Rumus Ukuran Letak
Data Tunggal
Data Berkelompok
[1(n+1)]/10
[2(n+1)]/10
…
[9(n+1)]/10
1n/10
2n/10
…
9n/10
CONTOH SOAL
Berikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45,
55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100, (n = 13). Cari nilai D1. D2, dan D9.
PENYELESAIAN
D1 = nilai ke 1(13 + 1)
10
= nilai ke-14/10
= nilai ke-14/10, berarti X1 + 4/10(X2 – X1)
= 30 + 4/10(35 – 30)
= 32
D2 = nilai ke 2(13 + 1)
10
= nilai ke-28/10, berarti X2 + 8/10 (X3 – X2)
= 35 + 8/10 (40 – 35)
` = 39
D9 = nilai ke 9(13 + 1)
10
= nilai ke-126/10, berarti X12 + 6/10 (X13 – X12)
= 95 + 6/10 (100 – 95)
= 98
Rumus Desil data berkelompok
Rumus Desil :
Keterangan :
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas
PRESENTIL
Presentil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang
berkelompok menjadi 100 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sbesar 1%.
Ukuran Letak
Presentil 1 (P1)
Presentil 2 (P2)
….
Presentil 99 (D9)
Rumus Ukuran Letak
Data Tunggal
Data Berkelompok
[1(n+1)]/100
[2(n+1)]/100
…
[99(n+1)]/100
1n/100
2n/100
…
99n/100
Apabila data sudah disusun mulai dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka
rumus persentil adalah sebagai berikut :
i(n + 1)
100
Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99
Untuk data berkelompok
Keterangan :
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas
Contoh penggunaan rumus yang hampir sama dengan sedikit perubahan dalam rumus yang
disebutkan….
Menentukan Presentil 40 dari tabel berikut.. tabel nilai siswa kelas XII IPS
Maka dapat dihasilkan sebagai berikut…
RATA-RATA UKUR
Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)
Untuk gugus data positif x1, x2, …, xn, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil
perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
Keterangan:
U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik)
n = banyaknya sampel
Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data.
Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata
tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan
tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.
1. Rata-Rata Ukur data Tunggal
Contoh 1:
Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?
Jawab:
atau:
2. Rata-Rata Ukur Distribusi Frekuensi
keterangan
xi = tanda kelas (nilai tengah)
fi = frekuensi yang sesuai dengan xi
Contoh 2:
Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab:
Kelas ke- Nilai Ujian fi xi log xi fi.log xi
1
31 – 40
2 35.5 1.5502 3.1005
2
41 – 50
3 45.5 1.6580 4.9740
3
51 – 60
5 55.5 1.7443 8.7215
4
61 – 70
13 65.5 1.8162 23.6111
5
71 – 80
24 75.5 1.8779 45.0707
6
81 – 90
21 85.5 1.9320 40.5713
7
91 – 100 12 95.5 1.9800 23.7600
8
Jumlah
80
149.8091
Rata-Rata Harmonik
Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata
hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
Secara umum, rata-rata harmonik jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data
yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi
sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
1. Rata-Rata Harmonik data Tunggal
Contoh 1:Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan
kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata
kecepatan pulang pergi?
Jawab:Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu
hasilnya
13.5
km/jam!
Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:
2. Rata-Rata Harmonil Distribusi Frekuensi
Contoh 2:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada table berikut
Jawab:
Kelas ke- Nilai Ujian fi xi
fi/xi
1
31 – 40
2 35.5 0.0563
2
41 – 50
3 45.5 0.0659
3
51 – 60
5 55.5 0.0901
4
61 – 70 13 65.5 0.1985
5
71 – 80 24 75.5 0.3179
6
81 – 90 21 85.5 0.2456
7
91 – 100 12 95.5 0.1257
8
Jumlah 80
1.1000
kualitatif diperoleh melalui berbagai macam teknik pengumpulan data misalnya wawancara,
analisis dokumen, diskusi terfokus, atau observasi. Data kuantitatif adalah data yang
berbentuk angka atau bilangan. Sesuai dengan bentuknya, data kuantitatif dapat diolah atau
dianalisis menggunakan teknik perhitungan matematika atau statistika.
Syarat data yang baik yaitu obyektif, representative, mempunyai tingkat kesalahan yang
kecil, harus tepat waktu, relevan.
2. Distribusi Frekuensi Kelompok
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi
kelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.
Langkah ke-1 menentukan Jangkauan (J) = Xmax - Xmin
Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu: K= 1
+ 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan
bulat positif hasil pembulatan ke bawah.
Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:
J
I = ––––
K
Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas
bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas
terakhir.
Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan
nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.
Kuartil, Rata-rata Ukur, dan Rata-rata Harmonik
29 Sep
STATISTIKA EKONOMI I
BAB V
KUARTIL,RATA-RATA UKUR DAN
RATA-RATA HARMONIK
KUARTIL
Kuartil (K) adalah nilai-nilai yang membagi serangkaian data atau suatu frekuensi menjadi
empat bagian yang sama.
Menurut Sudijono, 2006:112. Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik
atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam empat bagian yang
sama besar, yaitu masing-masing sebesar 1/4N.
Dalam buku Suharyadi dan Purwanto SH, Kuartil diartikan sebagai ukuran letak yang
membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 4 bagian sama besar
atau setiap bagian dari kuartil sebesar 25%. Kuartil 1 (K1) membagi data sebelah kiri
sebesar25% dan sebelah kanan 75%. Kuartil 2 (K2) membagi data menjadi 2 bagian yang
sama yaitu sisi kanan dan sisi kiri sebesar 50%, jika kurva berbentuk simetris maka K2 sama
dengan Median. K3 membagi data sebelah kiri sebesar 75% dan sebelah kanan 25%.
RUMUS
Untuk mencari Q1,Q2 dan Q3 digunakan rumus sebagai berikut:
untuk data tunggal
Qn = 1 + ( n/4N-fkb)
fi
untuk data kelompok
Qn = 1 + (n/4N-fkb)x i
Fi
Keterangan :
Qn = kuartil yang ke-n. karena titik kuartil ada tiga buah, maka n dapat diisi dengan
bilangan: 1,2, dan 3.
1 = lower limit ( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn).
N= Number of cases.
Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung
Qn.
Fi= frekuensi aslinya (yaitu frekuensi dari skor atau interval yang mengandung Qn).
i= interval class atau kelas interval.
Catatan:
istilah skor berlaku untuk data tunggal.
istilah interval berlaku untuk data kelompok.
Contoh perhitungan kuartil untuk data tunggal
Misalkan dari 60 orang siswa MAN Jurusan IPA diperoleh nilai hasil EBTA bidang studi
Fisika sebagaimana tertera pada table distribusi frekuensi berikut ini. Jika kita ingin mencari
Q1, Q2, dan Q3 (artinya data tersebut akan kita bagi dalam empat bagian yang sama besar),
maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut:
Table 3.11. Distribusi frekuensi nilai hasil Ebta dalam bidang studi fisika dari 60 orang siswa
MAN jurusan ipa, dan perhitungan Q1, Q2, dan Q3.
Nilai (x)
F
Fkb
46
2
60
45
2
58
44
3
56
43
5
53
42
F1 (8)
48
41
10
20
40
F1 (12)
30
39
F1 (6)
18
38
5
12
37
4
7
36
2
3
35
1
1
Titik Q1= 1/4N = ¼ X 60 = 15 ( terletak pada skor 39). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 38,50; fi = 6; fkb = 12
Q1= 1 + ( n/4N-fkb) = 38,50 +(15-12)
Fi
6
= 38,50 +0,50
= 39
Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 60 = 30 ( terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 39,50; fi = 12; fkb = 18
Q2 = 1 + ( n/4N-fkb) = 39,50 +(30-18)
Fi
12
= 39,50 +1,0
= 40,50
Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 60 = 45 ( terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 41,50; fi = 8; fkb = 40
Q3 = 1 + ( n/4N-fkb) = 41,50 +(45-40)
Fi
8
= 41,50+ 0,625
= 42,125
Contoh perhitungan kuartil untuk data kelompok
Misalkan dari 80 orang siswa MAN jurusan IPS diperoleh skor hasil EBTA dalam bidan studi
tata buku sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi beikut ini ( lihat kolom 1 dan
2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka proses perhitungannya adalah sebagai
berikut:
Titik Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 ( terletak pada interval 35-39). Dengan demikian dapat
kita ketahui: 1= 34,50; fi = 7; fkb = 13, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 34,50 +(20-13) X5
Fi
7
= 34,50 +5
= 39,50
Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 ( terletak pada interval 45-49). Dengan demikian
dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi = 17; fkb = 35, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 44,50 +(40-35) X5
Fi
17
= 44,50 +1.47
= 45,97
Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 ( terletak pada interval 55-59). Dengan demikian
dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi = 7; fkb = 59, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 54,50 +(55-59) X5
Fi
7
= 54,50 + 0,71
= 55,21
Tabel 3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil EBTA bidang studi tata buku dari 80 orang
siswa man jurusan ips, berikut perhitungan Q1,Q2, dan Q3.
Nilai (x)
F
Fkb
70-74
3
80
65-69
5
77
60-64
6
72
55-59
7
66
50-54
7
59
45-49
17
52
40-44
15
35
35-39
7
20
30-34
6
13
25-29
5
7
20-24
2
2
Total
80= N
-
Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya
suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut:
1. Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva normal.
2. Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri(juling
positif).
3. Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan(juling
negatif).
DESIL
DESIL
Desil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data berkelompok
menjadi 10 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 10%.
Ukuran Letak
Desil 1 (D1)
Desil 2 (D2)
….
Desil 9 (D9)
Rumus Ukuran Letak
Data Tunggal
Data Berkelompok
[1(n+1)]/10
[2(n+1)]/10
…
[9(n+1)]/10
1n/10
2n/10
…
9n/10
CONTOH SOAL
Berikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45,
55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100, (n = 13). Cari nilai D1. D2, dan D9.
PENYELESAIAN
D1 = nilai ke 1(13 + 1)
10
= nilai ke-14/10
= nilai ke-14/10, berarti X1 + 4/10(X2 – X1)
= 30 + 4/10(35 – 30)
= 32
D2 = nilai ke 2(13 + 1)
10
= nilai ke-28/10, berarti X2 + 8/10 (X3 – X2)
= 35 + 8/10 (40 – 35)
` = 39
D9 = nilai ke 9(13 + 1)
10
= nilai ke-126/10, berarti X12 + 6/10 (X13 – X12)
= 95 + 6/10 (100 – 95)
= 98
Rumus Desil data berkelompok
Rumus Desil :
Keterangan :
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas
PRESENTIL
Presentil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang
berkelompok menjadi 100 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sbesar 1%.
Ukuran Letak
Presentil 1 (P1)
Presentil 2 (P2)
….
Presentil 99 (D9)
Rumus Ukuran Letak
Data Tunggal
Data Berkelompok
[1(n+1)]/100
[2(n+1)]/100
…
[99(n+1)]/100
1n/100
2n/100
…
99n/100
Apabila data sudah disusun mulai dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka
rumus persentil adalah sebagai berikut :
i(n + 1)
100
Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99
Untuk data berkelompok
Keterangan :
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas
Contoh penggunaan rumus yang hampir sama dengan sedikit perubahan dalam rumus yang
disebutkan….
Menentukan Presentil 40 dari tabel berikut.. tabel nilai siswa kelas XII IPS
Maka dapat dihasilkan sebagai berikut…
RATA-RATA UKUR
Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)
Untuk gugus data positif x1, x2, …, xn, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil
perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
Keterangan:
U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik)
n = banyaknya sampel
Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data.
Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata
tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan
tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.
1. Rata-Rata Ukur data Tunggal
Contoh 1:
Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?
Jawab:
atau:
2. Rata-Rata Ukur Distribusi Frekuensi
keterangan
xi = tanda kelas (nilai tengah)
fi = frekuensi yang sesuai dengan xi
Contoh 2:
Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab:
Kelas ke- Nilai Ujian fi xi log xi fi.log xi
1
31 – 40
2 35.5 1.5502 3.1005
2
41 – 50
3 45.5 1.6580 4.9740
3
51 – 60
5 55.5 1.7443 8.7215
4
61 – 70
13 65.5 1.8162 23.6111
5
71 – 80
24 75.5 1.8779 45.0707
6
81 – 90
21 85.5 1.9320 40.5713
7
91 – 100 12 95.5 1.9800 23.7600
8
Jumlah
80
149.8091
Rata-Rata Harmonik
Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata
hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
Secara umum, rata-rata harmonik jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data
yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi
sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
1. Rata-Rata Harmonik data Tunggal
Contoh 1:Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan
kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata
kecepatan pulang pergi?
Jawab:Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu
hasilnya
13.5
km/jam!
Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:
2. Rata-Rata Harmonil Distribusi Frekuensi
Contoh 2:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada table berikut
Jawab:
Kelas ke- Nilai Ujian fi xi
fi/xi
1
31 – 40
2 35.5 0.0563
2
41 – 50
3 45.5 0.0659
3
51 – 60
5 55.5 0.0901
4
61 – 70 13 65.5 0.1985
5
71 – 80 24 75.5 0.3179
6
81 – 90 21 85.5 0.2456
7
91 – 100 12 95.5 0.1257
8
Jumlah 80
1.1000