Tentukan probabilitas bahwa kartu yang terambil secara
Disusun Oleh :
Februl Defila (10050051)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT
BAB I PELUANG
1.1 Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari sebuah experience, d isimbolkan “S”. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/event. Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan kejadian dasar. Contoh :
1. Jika sebuah koin dilempar 3 kali, kejadian yang mungkin adalah : S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dengan S adalah ruang sampel.
2. S = {1,2,3}
S 2 = { ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Dari pernyataan diatas diperoleh : {1} S
{1} S {1} S
Dimana S adalah power set atau himpunan bagian.
3. Sebuah dadu dilempar 120 kali. Dari kejadian tersebut, diperoleh hasil eksperimen atau frekuensi kejadian sebagai berikut : Angka 1 sebanyak 20 kali, angka 2 sebanyak 19 kali, angka 3 sebanyak 18 kali, angka 4 sebanyak 21 kali, angka 5 sebanyak 17 kali, angka 6 sebanyak 25 kali. Tentukan banyaknya jumlah frekuensi jika :
a) Ada sebuah kejadian munculnya angka genap.
b) Ada sebuah kejadian munculnya angka ganjil.
c) Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4. Jawab : Untuk menjawab pertanyaan diatas, pengertian peluang dapat diterjemahkan menggunakan frekuensi relatif kejadian yang didefinisikan sebagai : c) Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4. Jawab : Untuk menjawab pertanyaan diatas, pengertian peluang dapat diterjemahkan menggunakan frekuensi relatif kejadian yang didefinisikan sebagai :
f ( S ) 120 a)
A = {2,4,6} maka f(A) = 19 + 21 + 25 = 65
B = {1,3,5} maka f(B) = 20 + 18 + 17 = 55
f ( S ) 120
f ( B ) 55
c) C = {1,2,3} maka f(C) = 20 + 19 + 18 = 57
f ( S ) 120
f ( C ) 57
Dari contoh soal diatas, frekuensi relatif memiliki sifat :
f n ( A ) B f n A f n B jika A B
Kejadian dikatakan saling asing jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama. Jika ruang sampel suatu percobaan dengan kejadian dasar S = {S i }, maka peluang
timbulnya kejadian dasar S = {S i } dengan i = 1,2,…,n adalah : P i = P[{S i }], i = 1,2,…,n dengan sifat : P i 0
Jika A 1 ,…,A k adalah kejadian dalam S yang saling asing maka P P i P i
1.2 Peluang Klasik
1 Peluang Klasik adalah suatu kejadian yang mempunyai peluang yang sama, yaitu
P i , i , i 1 , 2 ,..., N
P A
, dengan sifat : P ( A ) 0 ; P ( S ) 1 ; P ( ) 0 dan P ( A B ) P ( A ) P ( B ) n ( S )
jika A B
Sifat – sifat lain dari peluang, dinyatakan dalam teorema berikut : Jika A,B suatu kejadian dalam S, maka :
Contoh : Dua kartu diambil secara acak satu – persatu, tentukan peluang bahwa kartu yang terambil pertama adalah kartu Jack dan kartu yang terambil kedua adalah kartu Queen! Jawab : Peluang dari kejadian diatas adalah :
1.3 Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat suatu kejadian dengan syarat terjadinya peristiwa yang lain (sebelumnya) didefinisikan sebagai berikut :
dengan P B 0
P B
Secara umum, jika dua peristiwa A 1 dan A 2 saling asing A 1 A 2 , maka :
P B
P B
P B P B
P A 1 | B P A 2 | B
Sifat – sifat lain dari peluang bersyarat adalah sebagai berikut :
1. P(A|B) = P A | B
2. P A 1 A 2 | B = P A 1 | B P A 2 | B P A 1 A 2 | B
3. 0 P A | B 1
Contoh :
1. Empat kartu diambil secara random satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan probabilitas bahwa kartu yang terambil secara berturut – turut adalah as waru hitam (As WH ), as waru merah (As WM ), as wajik (As W ), as semanggi (As S )! Jawab :
P ( As WH As WM As WJ As s ) P As WH P As WM | As WH P As WJ | As WH As WM P As s | As WH As WM As WJ
2. Kotak A berisi 10 bola merah (M A ) dan 15 bola hijau (H A ). Kotak B berisi 12 bola merah (M B ) dan 17 bola hijau (H B ). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang bahwa 2 bola yang terambil berwarna hijau! Jawab :
P H A H B P H A P H B | H A
1.4 Hukum Total Probabilitas
Menurut teori himpunan, telah diuraikan bahwa jika kejadian B dan kejadian B saling asing, maka :
1. B B 3. A 5. A S A
2. B B S 4. A A 6. A S S
Hukum diatas disebut dengan Hukum Identitas.
A B B = A B A B n A B B = n A B n A B , sehingga P A = P A B B = P A B P A B
Secara umum, jika B 1 , B 2 ,..., B k kejadian – kejadian saling asing, maka
S B 1 B 2 ... B k . Sehingga :
A S A B 1 B 2 ... B k A B 1 A B 2 ... A B k
Teorema : Jika B 1 , B 2 ,..., B k himpunan kejadian saling asing, maka untuk sebarang peristiwa A berlaku :
P A P B i P A | B i
Bukti :
Karena A A B 1 ... A B k
P A P A B 1 ... P A B k = P B 1 . P A | B 1 ... P B k . P A | B k
= P B i . P A | B i
Contoh :
a. Terdapat 3 dos berisi barang elektronik (lampu). Dos I berisi 25 lampu dan 5 diantaranya rusak. Dos II berisi 35 lampu dan 10 diantaranya rusak. Dos III berisi 40 lampu dan 5 diantaranya rusak. Sebuah dos dipilih secara random, tentukan probabilitas bahwa produk yang terambil rusak! Jawab: Misal : A = lampu yang rusak
B1 = dos 1 B2 = dos 2 B3 = dos 3
P A P A B 1 P A B 2 P A B 3 = P B 1 P A | B 1 P B 2 P A | B 2 P B 3 P A | B 3
Dari contoh di atas, dapat dikaitkan konsep aturan Bayes, sebagai berikut : Jika diasumsikan seperti syarat pada teorema sebelumnya, maka untuk setiap j,j=1, 2, 3, ... , k berlaku :
P B j P A | B j
P B j P A | B j
1.5 Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian dikatakan saling bebas jika tidak saling mempengaruhi. Secara statistik, A dan
B dikatakan bebas / independent, jika :
P A B = P A P B Saling Bebas P A B P A P B Tidak bebas / Saling tergantung Sehingga : P A | B P A , jika A, B bebas : P A | B P B , jika B, A bebas
Teorema : Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas jika dan hanya jika :
7. A dan B , bebas
8. A dan B, bebas
9. A dan B , bebas Bukti :
10. P A B = P A P A B
= P A P A P B = P A 1 P B
= P B P A
Secara umum, jika A i , i , i 1 , 2 ,..., k adalah peristiwa saling bebas, maka :
P A i P A i
Contoh : Jika dua dadu dilempar satu kali secara bersamaan, tunjukkan bahwa dua kejadian dibawah ini saling bebas ! Jawab :
A : Dua dadu berjumlah tujuh.
B : Dua dadu memiliki angka yang sama.
Jawab :
A 1 , 6 , 2 , 5 , 3 , 4 , 4 , 3 , 5 , 2 , 6 , 1
B 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6
Sehingga dapat diketahui bahwa :
P A P B , P A B P
6 6 6 36
A B , P A B 0
Karena P A B P A P B , maka dua kejadian A dan B adalah kejadian yang saling
bebas.
BAB II VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI DISTRIBUSI
2.1 Variabel Random
Variabel random adalah sebuah fungsi dengan domain kecil hasil pengamatan dan kodomainnya merupakan himpunan bilangan real. Variabel random disimbolkan dengan huruf kapital ( X, Y, Z, dll ). Contoh :
1. Sebuah koin dilemparkan tiga kali, maka ruang sampelnya adalah : S = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
2. Misalkan X merupakan variabel random yang menyatakan banyaknya angka yang muncul, Y adalah variabel random yang menyatakan banyaknya gambar yang muncul, maka apa hubungan antara X dan Y? Jawab :
P(X)
P(Y) 1 1
AAA
AAG 3 3
AGA GAA AGG
3 3 GAG
GGA 1 1
GGG
Keterangan :
Karena P X P Y , dan X , maka X dan Y merupakan variabel acak identik. Selain Y
itu, karena P X Y P X P Y X , Y independent.
Macam-macam variabel acak :
a. Variabel Acak Diskrit (Countable)
b. Variabel Acak Continue (Measurable)
2.2 Variabel Acak Diskrit (pdf)
Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel random X dinamakan variabel random diskrit. Suatu fungsi dengan domain variabel acak diskrit dinamakan fungsi densitas probabilitas diskrit. Disingkat dengan pdf diskrit atau dinamakan fungsi masa probabilitas.
Teorema : Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskrit jika hanya jika memenuhi sifat:
1. f (x) > 0
2. f x 1
3. Penulisan lain f (x) f X x dengan x = nilai variabel random X
Contoh : Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), jelas bahwa f (x) = P (X = x), x = 0, 1, 2, 3. Semuanya dan jumlahnya = 1 0
2.3 Fungsi Distributif Kumulatif (CDF)
CDF dari variabel acak X didefinisikan untuk sebarang bilangan real x berlaku :
F x P X x F X x = P X x 1 F x
Teorema : Misal X variabel acak diskrit dengan pdf = f(x) dan CDF = F(x). Jika nilai-nilai dari variabel acak X yang mungkin adalah berurutan naik, maka :
x 1 x 2 x 3 .....
f x 1 F x 1 dan j , j>1 , berlaku f x j = F x j F x j 1
Sedangkan untuk x < x i , maka F(x) = 0
Sehingga F x f x j
Sifat-sifat CDF :
a. lim F x 1
b. X lim F x 0
c. lim F x h F x
h 0
d. a b F a F b
Contoh : Dari contoh pelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilemparkan tiga kali), bentuklah fungsi distribusinya! Jawab :
F x
2.4 Variabel Acak Kontinu
Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat pdf f(x), sedemikian hingga CDF -nya dapat dinyatakan sebagai :
F x f t dt
CDF
f x F x
pdf
dx
Secara khusus, jika X variabel acak kontinu, maka :
a. P a x b P a x b P a x b P a x b
a. P x k 0 , dengan k = konstanta
b. P a x b f x dx
Teorema : Suatu fungsi f (x) adalah pdf untuk beberapa variabel acak kontinu X, jika memenuhi :
1. f x 0 , bilangan real X.
2. f x dx 1
Contoh :
Jika X merupakan variabel acak kontinu dengan pdf f x
3 c 1 x , x 0
Tentukan CDF nya! Jawab :
c 1 x dx = 1
Maka, CDF nya adalah :
F 3
x f t dt = 2 t
1 dt
F x
2 1 1 x , x 0
2.5 Nilai Harapan
Apabila X adalah variabel acak diskrit dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan dari X
didefinisikan sebagai : E x xf x
Contoh : Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), didapat
E x . E x 3 . 2 . 1 . 0 .
Jika X variabel acak kontinu dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan E x xf x dx
Contoh : Dari contoh di atas (Jika X merupakan variabel acak kontinu), maka :
E 3
x x . 0 . dx x . 2 1 x dx 1
Sifat – sifat umum nilai harapan
Teorema : Jika X variabel random dengan pdf f(x) dan u(x) merupakan fungsi bernilai real dari variabel random X, maka :
E u x u x f x , X VAD
E u x u x f x dx , X VAK
Jika X variabel random dengan pdf f(x), a, b suatu konstanta dan g(x), h(x) suatu fungsi bernilai real dari variabel x, maka:
E a . g x bh x aE g x bE h x
Bukti : Misalkan V variable acak kontinu, maka :
E a . g x bh x a . g x bh x f x dx
= a . g x f x dx bh x f x dx
= a g x f x dx b h x f x dx
= aE g x bE h x Secara khusus, E ax b aE x E b
E b bf x dx E f x dx 1
2.6 Distribusi Campuran (Mixed Distribution)
Suatu distribusi probabilitas untuk variabel random X dinamakan campuran, jika CDF-nya dapat dinyatakan sebagai berikut :
F x F d x 1 F c x , dengan 0 x 1
Contoh : Misal X adalah variabel random yang menyatakan waktu tunggu sebuah proses dengan CDF
F x x 0 , 4 . F d x 0 , 6 . F c x , dengan F d x 1 dan F c x 1 e , untuk x 0 . Tentukan
bentuk CDF campuran tersebut! Jawab :
P x = t F x
P x = t 1 F x x 0 P x 0 0 , 4
1 e 0 , 636
x x 5 0 , 4 0 , 6
P x 0 danP x t
Jadi, P x x t | 0 =
F t F 0
0 t , 4 0 , 6
f t
t F t 1 e e
dt dt
2.7 Varian
Varian dari variabel acak X didefinisikan sebagai Var(x) = V(x) =
x E x E x , 0 , dengan E x
Atau 2 Var
x x f x , variabel acak diskrit
Atau 2
Var x x f x dx , variabel acak kontinu
Teorema :
2 Jika X variabel acak kontinu, maka 2 v
x E x
Bukti :
V x x f x dx E x
x x 2
x 2 E x E
= 2 E
2 2 V x E x
Contoh : Perhatikan contoh pelemparan koin sebelumnya, dengan mean = 3 . Tentukan varian dan
simpangan bakunya! Jawab : x = 0, 1, 2, 3
Var(x) = 2
x f x
Var(x) = 0.75
Maka, V x 0 , 75 0 , 8661
Teorema : Jika X variabel acak dan a, b suatu konstanta, maka :
V(ax+b)=V(ax) 2 sehingga V(ax+b) = a V(x) Bukti :
ax b E ax b E ax b
ax b E ax b
= 2 a v
Jika X,Y dua buah variabel random, maka berlaku :
V x y V x V y 2 Cov x , y
Jika X, Y independen dan cov (x, y) = 0, maka berlaku : v ( x y ) v ( x ) v ( y )
Cov x , y E x x y y
= E xy E x . E y
Jika X, Y independen, maka :
E xy E x . E y
Sehingga Cov (x,y) = 0
x , y korelasi (x, y)
cov( x , y ) =
V y V x
Secara khusus, V ( x ) cov( x , x )
2.8 Momen
Momen ke-k di sekitar x=0 dari variabel random X didefinisikan sebagai : k
k E x
Momen ke k disekitar x = k , didefinisikan :
Jika k=1 1 E x E ( x ) 0
k=2 2 ( x 2 E 2 )
Contoh : Misalkan ada seorang pembalap mobil yang diasumsikan waktu berkendaranya antara 20 hingga 30 menit. Jika X adalah variable acak yang menyatakan waktu dalam menit, maka tentukan momen ke k dari variable tersebut! Jawab :
f X 1 x 10 , 20 x 30
1 10 , untuk yang lain. Momen ke k dari variable acak tersebut adalah :
m k E X dx
30 k
20 10 k 1 k 30 1 20
10 k 1
, dimana k = 1, 2, 3, …
Sehingga diperoleh :
25 dan m 2
2 Karena 2 m
1 X , sehingga diperoleh X 25 . Dan karena m 2 X X , maka diperoleh
Batas – batas probabilitas
Jika X suatu variabel random dan fungsi bernilai real non-negatif, maka untuk sembarang x
konstanta positif c, berlaku :
E x
p ( x ) c c
Dari teorema batas – batas probabilitas di atas, dapat diturunkan sebuah pertidaksamaan Chebychev, sebagai berikut : Teorema :
Jika X variabel random dengan mean dan varian , maka untuk sebarang k>0, berlaku : 2
P x k 2 or p x k 1 2
Jika diambil k k
P x 2 atau p x 1 2
2.9 Aproksimasi Mean dan Varian
Jika suatu fungsi dari variabel random X dapat dinyatakan atau diekspansikan dengan Deret Taylor di sekitar x , maka mean dan variannya dapat ditentukan. Selanjutnya, misalkan
x , H x ,...., H x dan H x dapat diekspansikan menurut Deret
turunan dari fungsi n H
''
Taylor di sekitar x , maka :
H x H
H
H " .........
Sehingga : E H ( x ) E H x H
H ....)
2 H "
= H E x H E x .
= H 0 0
H ''
Jadi, E H x H H e e
H x V H x H ........
x H
H v x
H
2 Jadi, 2 V
H x H r
Contoh :
Jika X variabel random bernilai positif dengan pdf f x ln x , maka tentukan E ln x dan
V ln x
Jawab :
H x ln x maka H ln x
H x
H " x 2
1 2 ''
E ln x ln x H x
= ln x 2
= ln 2
ln x H
2.10 Momen Generation Function (MGF)
Jika X variabel random, maka MGF dari X didefinisikan sebagai berikut : M tx
x t E e , h t h , h 0
Ekspektasi ini ada nilainya, jika :
x t E e e f x 1
X txi Variabel acak diskrit M
tx
x t E e e f x dx
X tx Variabel acak kontinu M
tx
Fungsi ini penting terutama dalam mendapatkan mean dan varian. Secara khusus, jika X variabel diskrit, maka berlaku :
x t e f x i
M txi
x t xie f x i
M txi '
2 M txi "
x t x i e f x i
x t x i e f x i
r M txi
Jika t = 0, maka : M '
x 0 x i f x i = E x
''
x 0 x i f x i
x r
x f x i x i f x i
Jadi , ' M x 0
2 M x
0 M x 0
2 ''
Contoh :
x e , x 0 , maka tentukan MGF! Jawab : M tx
Jika X variabel acak kontinu dengan x f
x t e f x dx
tx = x
e e dx
t 1 x
= e dx
t 1 x
d t 1 x
0 t 1 1 t 1 x
1 t x
1 t 1
M x t 1 t
x t 1 1 t 1
1 t M ' x 0 1
x t 2 1 t 1
1 t M " x 0 2 Jadi, E x 1
Contoh :
Jika X variabel acak diskrit dengan pdf f x dengan x=0,1... Tentukan MGF-nya!
Jawab :
x t e f x i
= 1 s s ...
= t deret konvergen 2 e
Jadi, t e 2 t ln 2
Sifat-sifat MGF :
1. bt Jika y = ax+b, maka MGF-nya adalah M
y t e M x at
2. t y x M
y t e M x t
Teorema :
E x t
r
Jika MGF X ada, maka E x M x 0 dengan M x t 1
BAB III HUKUM – HUKUM PROBABILITAS
Distribusi Probabilitas Terdapat dua macam distribusi probabilitas, yaitu :
1. Variabel acak diskrit
2. Variabel acak kontinu
Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak diskrit :
1. Distribusi Bernoulli
2. Distribusi Binomial
3. Distribusi Hipergeometrik
4. Distribusi Poisson
5. Distribusi Uniform, dll.
Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak kontinu :
1. Distribusi Uniform
2. Distribusi Gamma
3. Distribusi Eksponensial
4. Distribusi Weibull
5. Distribusi Normal, dll.
VARIABEL ACAK DISKRIT
3.1 Distribusi Bernoulli
Suatu variabel acak X berdistribusi Bernoulli jika pdf-nya berbentuk :
1 f x ( x ) p q , x 0 , 1 ,...
p = sukses, jika 0 < p < 1 q = gagal, jika (1 - p)
Teorema : Jika X Bernoulli, maka :
E ( x ) p v ( x ) pq
Contoh : Buktikan teorema diatas dan cari MGF-nya! Jawab :
2 2 E ( x ) xf ( x ) E ( x ) x f ( x )
= 0 . q 1 . p = 0 . q 1 . p = p
2 2 Sehingga, v ( x ) E ( x ) ( E ( x ))
= pq
t M x ( t ) ( pe q )
3.2 Distribusi Binomial
Ciri-ciri :
a. Percobaan dilakukan n kali dan independen
b. Peluang sukses (p) dan gagal (q)
Suatu variabel acak X berdistribusi Binomial, jika pdf-nya berbentuk : n x n x
f ( x ) p q , x 0 , 1 ,...
f ( x ) b ( x , n , p ) = BIN ( n , p )
Teorema : Jika X BIN (n, p), maka :
E ( x ) np v ( x ) npq
n M x ( t ) ( pe q ) Bukti :
tx M
tx i n x n x
= e p
= ( e p ) i q i
n = ( pe q )
nn
( a b ) = a b
3.3 Distribusi Hipergeometris
Suatu populasi akan berdistribusi Hipergeometris apabila memenuhi :
a. Berukuran M, diantaranya bersifat a (tertentu).
b. Sampel diambil secara random berukuran n, x diantaranya bersifat a.
c. Pengambilannya tanpa pengembalian.
Definisi : Variabel random X dikatakan berdistribusi Hipergeometris, jika pdf-nya berbentuk :
M N M x
n x
, x 0 , 1 , 2 ,..., n
N
Teorema : Jika X distribusi Hipergeometris, maka :
E ( x ) xf ( x )
y x 1 y x 1 , maka x , sehingga y 1 , 0
Sehingga :
Jadi , E ( x )
2 2 Dengan cara yang sama, maka v ( x ) E ( x ) ( E ( x ))
Jadi , v ( x )
Contoh : Sepuluh produk diambil dari sebuah dos besar berisi 1000 produk, 400 diantaranya rusak. Sampel tersebut diambil secara random. Dari sepuluh yang diambil tadi, terdapat lima produk yang cacat. Jawab : x = 5, n=10, N=1000, M=400
h ( x , n , N , M ) h ( 5 , 10 , 1000 , 400 )
Teorema : Jika X berdistribusi Hipergeometris dan x 0 , 1 ,..., n , N , M , M P ,maka :
3.4 Distribusi Poisson
Suatu variabel random X berdistribusi Poisson jika pdf-nya berbentuk :
, x 0 , 1 , 2 ,..., 0
Teorema : ( e t 1 ) Jika X berdistribusi Poisson, maka E ( x ) , v ( x ) , M
x ( t ) e Bukti :
ix M
tx e
tx
x ! x et = e e
( e t 1 ) = e
x ( e t 1 ) M ''
x ( 0 ))
Teorema : Jika X BIN ( n , p ) , maka untuk setiap nilai x = 0,1,2,…,n dan P 0 dengan np
suatu konstanta, maka
n lim p ( 1 p )
, dengan
Contoh : Buktikan teorema diatas! Jawab :
n ( n 1 )( n 2 )...( n x 1 )
x ( x 1 )( x 2 )...( 1 )
n ( n 1 )( n 2 )...( n x 1 )
x 1 1
n ( n 1 )( n 2 )...( n x 1 )
n
n ( n 1 )...( n x 1 )
x ! (Terbukti)
3.5 Distribusi Uniform Diskrit (Seragam)
Suatu variabel random X berdistribusi Uniform Diskrit, jika pdf-nya berbentuk : 1
, N 1 , 2 ,..., N
f (x) =
Memiliki peluang yang sama
0, yang lain
Teorema :
Jika X DU (N ) , maka E ( x ) ( N 1 ), dan v ( x ) ( N 1 )
Contoh : Buktikan teorema diatas! Jawab :
E ( x ) xf ( x )
= 1 2 ... N
= N N 1
2 (Terbukti)
x f ( x ) xf x
= 1 2 3 ... N N 1
12 (Terbukti)
VARIABEL ACAK KONTINU
3.6 Distribusi Uniform Kontinu
Suatu variabel acak X berdistribusi Uniform Kontinu pada interval (a,b), jika pdf-nya berbentuk :
x UNIF (b a , )
pdf f ( x , a , b )
b a = 0, yang lain
CDF F ( x , a , b )
Teorema :
X UNIF a
Jika 2 (b , ) , maka E ( x ) ( b a ), dan v ( x ) ( b a )
Contoh : Buktikan teorema diatas! Jawab :
E ( x ) xf ( x ) dx
dx
= x
b a 2 b
a b b a 2 2
b a b a
b 2 a 1
2 (Terbukti)
v ( x ) x f ( x ) dx xf ( x ) dx
dx b a
= x
b a 3 b 4
b a b 2 ab a
b a b ab a b ab a
= b 2 ab a
12 (Terbukti)
3.7 Distribusi Gamma
Untuk memahami distribusi Gamma, perlu diketahui fungsi Gamma secara umum dan sifat-sifatnya. Secara umum, fungsi Gamma didefinisikan sebagai :
1 t
x t e dt
Sifat-sifatnya :
1. x 1 x , 0
2. n n 1 ! , n A
X suatu variabel acak kontinu dengan distribusi Gamma dengan parameter positif dan negatif, jika pdf-nya berbentuk :
x GAM ( , ) : f x , ,
dan merupakan parameter-parameter tertentu, merupakan parameter bentuk dan merupakan parameter skala. Karena merupakan bentuk, maka bentuk kurva distribusi Gamma tergantung dari nilai .
Teorema :
Jika 2 X GAM ( , ) , maka E ( x ) , dan v ( x )
Contoh : Buktikan teorema diatas! Jawab :
E ( x ) xf x dx
= x x e dx
0 x
x e dx x
x
dx
1 x e dx
= (Terbukti)
Akibat khusus :
CDF -nya : X GAM ( , )
F x , , t e dt
Jika 2 dan , maka x x GAM ( ) GAM 2 , 2 2
Jika 1 , maka GAM , 1 eksponensi al
3.8 Distribusi Eksponensial
X berdistribusi Eksponensial ( X exp( ) ), jika pdf-nya :
Jika , maka : f x , e , 0 , x 0
CDF -nya berbentuk : F ( x , ) 1 e
Teorema :
Jika X berdistribusi Eksponensial, maka 2 E ( x ) , dan v ( x )
Secara khusus, distribusi Eksponensial merupakan distribusi yang sangat penting, khususnya di bidang teori (keandalan). Pada umumnya, pada distribusi eksponensial berlaku sifat no memory, seperti pada teorema berikut :
X exp( ) , jika hanya jika : P x a t | x a P x t , a o , t 0 no memory
Bukti :
P x a t danP x a
= P x t (Terbukti)
Contoh : Masa usia sejenis komponen listrik berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 100 jam. Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut dapat digunakan 50 jam lagi dari batas yang ditentukan perusahaan! Jawab : P = 0,6065
3.9 Distribusi Weibull
Seperti pembahasan sebelumnya, distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk mendapatkan keandalan sejenis komponen tertentu. Sama seperti distribusi Gamma maupun distribusi Eksponensial.
Definisi :
Suatu variabel acak X wei , , 0 , 0 , maka :
0, yang lain
Jika 1 , maka : f x , , 1 e x exp( )
2 Jika
2 , maka : f x , , 2 xe x Rayleigh
Bentuk CDF-nya : F
Terorema : Jika X wei ( , ) , maka :
E (x ) 1
1 v ( x ) 1 1
3.10 Distribusi Normal
Distribusi ini dinamakan juga distribusi Gauss dan mempunyai 2 parameter. Selain kelebihan di atas, distribusi ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa kasus / persoalan yang terkait dengan distribusi hampiran (limited distribution). Salah satu teorema yang terkenal yang terkait dengan distribusi Normal adalah CLT (Central Limited Distribution). Definisi : Variabel X acak kontinu berdistribusi Normal dengan parameter (mean) dan (simpangan baku).
1 x 1 2
e , , 0 , x
v ( x ) x f x dx xf x dx
Sifat-sifat :
1. f x , , 0
2. f x , , dx 1
Contoh :
Buktikan : f x , , dx 1
Jawab : 1 x 1 2
2 e dx
Ambil z
dz dx
= 2 2 e dz
Misal : 2 z 2 v
1 1 z 2 v dz 2 . v 2 dv 2
= 2 e 2 v 2 dv
= v e dv
= v v 2 e dv
t dt 1
Selanjutnya, jika Z berdistribusi Normal baku dengan rata-rata = 0 dan = 1, yang
dinotasikan z N ( 0 , 1 ) , maka pdf-nya berbentuk :
pdf
2 z e , z
CDF z t dt
Sifat-sifat :
1. z z fungsigena p
2. N ( 0 , 1 ) simetris di z = 0
Teorema :
x Jika X N ( , ) , maka F x x
Contoh : Misalkan X variabel acak yang menyatakan masa pakai suatu komponen listrik dengan ukuran bulan. Jika variabel diasumsikan berdistribusi Normal dengan = 60 dan 2 = 36 Contoh : Misalkan X variabel acak yang menyatakan masa pakai suatu komponen listrik dengan ukuran bulan. Jika variabel diasumsikan berdistribusi Normal dengan = 60 dan 2 = 36
P x 48
Teorema :
t 1 2 t 2
Jika X N ( , ) , maka M x t e 2
Bukti : M tx
x t E e
x Misal : z
M tx
x t E e
t 2 = e f z dz
tz
= e e 2 dz
1 z 1 1 t 2 t 2
= e 2 e 2 dt
1 t 2 1 1 z t 2
= e 2 e 2 dz
Sehingga M x t M 2 t Sehingga M x t M 2 t
= e 2 (Terbukti)
Teorema : Jika X N ( , ) , maka :
E x ' x 0
v 2
x " x 0 ' x 0
BAB IV JOIN DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM
4.1 Join Distribusi (Distribusi Bersama)
Dalam analisis statistik, distribusi bersama umumnya distribusi yang terdiri dari k buah variabel random (berdimensi k) atau sering dinamakan vektor random.
X X 1 , X 2 ,..., X k vektoracak
Definisi : pdf bersama dari variabel acak diskrit berdimensi k (vektor random) didefinisikan sebagai berikut :
f X 1 ,..., X k P X 1 x 1 ,..., X k x k = P X 1 x 1 ... X k x k
Untuk semua nilai (x), X X 1 , X 2 ,..., X k dari vektor random yang mungkin.
Contoh : Sebuah dos berisi 1000 bolpen, 400 warna merah, 400 warna hitam, sisanya biru. Jika 10 bolpen diambil secara random sekaligus tanpa pengembalian, maka tentukan probabilitas banyaknya bolpen yang terambil berwarna merah, hitam, dan biru. Jawab :
1000 , 10 , X , X
1 2 , dengan X 1 X 2 X 3 n
Distribusi bersama biasanya terkait dengan distribusi multinomial (perluasan dari binomial).
4.2 Distribusi Multinomial
Misalkan terdapat k 1 kejadian yang terbatas dan saling asing, yakni e 1 , e 2 ,..., e k 1 dengan e
= event yang terjadi dari sebuah eksperimen dan misalkan P i P E i .
Misalkan X i variabel acak menyatakan banyaknya kejadian E i dari n eksperimen, maka vektor random dikatakan berdistribusi multinomial, jika pdf-nya berbentuk :
X 1 ,..., X k
, P 1 ... P k 1
X 1 !... X k 1 !
X mult n , P 1 , P 2 ,..., P k
Teorema :
Suatu fungsi f X 1 ,..., X k adalah pdf bersama untuk beberapa vektor random jika hanya jika
berlaku :
a. f X 1 ,..., X k 0 , i , i 1 , 2 ,..., k
b. ... f X 1 ,..., X k 1
Contoh :
1. Sebuah bidang tetrahedron dilemparkan sebanyak 20 kali, masing-masing permukaaan mempunyai peluang yang sama, yakni 1/4. Tentukan probabilitas bahwa dari percobaan tersebut munculnya angka 1 adalah 4 kali, angka 2 adalah 6 kali, angka 3 dan 4 adalah 5 kali. Jawab :
2. X mult 3 ; 0 , 4 ; 0 , 4
0,216 f 1 (0) = P(X 1 =0)
0 0,432 f 1 (1) = P(X 1 =1)
0 0 0,288 f 1 (2) = P(X 1 =2)
0 0 0 0,064 f 1 (3) = P(X 1 =3)
0 0 Peluang : harus 1 (0,4) 3 (0,4) (0,2) = 0,008
P x X f 0 , 1 f 0 , 2 f 0 , 3 f 1 , 2 f 1 , 3 f 2 , 3
Definisi :
Jika pasangan variabel acak diskrit X 1 , X 2 mempunyai pdf f X 1 ,X 2 , maka pdf marginal
dari X 1 dan X 2 adalah :
f 1 X 1 f X 1 , X 2 (X 1 fixed and X 2 variable)
f 2 X 2 f X 1 , X 2 (X 2 fixed and X 1 variable)
CDF bersama dari k variabel acak (vector random) adalah suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :
F X 1 ,..., X k F X 1 x 1 ,..., X k x k
Teorema :
Suatu fungsi F X 1 ,X 2 adalah CDF bivarian jika hanya jika berlaku :
1. lim F X 1 , X 2 F , X 2 0 , X X 2
2. lim F X 1 , X 2 F X 1 , 0 , X X 1
3. X lim F X , X F , 1
4. F b , d F b , c F a , d F a , c 0 , a b , c d
5. lim F X 1 h , X 2 lim F X X
4.3 Variabel Acak Kontinu Bersama
Suatu variabel random (vektor random) dikatakan kontinu jika terdapat fungsi pdf bersama
f X 1 ,..., X k dari vector random tersebut, sedemikian sehingga CDF-nya dapat dinyatakan
sebagai berikut :
F X 1 , X 2 ..., X k ..... f t 1 , t 2 ,..., t k dt 1 ,..., dt k , t 1 ,..., t k
Teorema :
pdf bersama f X 1 ,..., X k jika hanya jika memenuhi :
a. f X 1 ,..., X k 0
b. ..... f X 1 ,..., X k dX 1 ,..., dX k 1
Pdf marginal : f 1 X 1 f X 1 , X 2 dX 2
= f X 1 , X 2 dX 1
Contoh : Misalkan X 1 menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 1 dan X 2 menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 2. Jika diasumsikan bahwa pdf
bersamanya f X 1 ,. X 2 4 X 1 X 2 , 0 X 1 1 ; 0 X 2 1 , maka tentukan CDF-nya.
Jawab :
F X 1 , X 2 ..... f t 1 , t 2 dt 1 . dt 2
= ..... 4 . t 1 t 2 . dt 1 . dt 2
X 1 ,X 2
4.4 Variabel Random Bebas Stokastik
Dalam analisis statistik (inferensi statistik), variabel random bebas stokastik merupakan pokok bahasan yang penting, karena hampir sebagian besar persoalan analisis statistic terkait dengan variabel random bebas stokastik.
Definisi :
X 1 dan X 2 variabel acak diskrit dengan pdf bersama f X 1 ,X 2 , dikatakan bebas stokastik
jika dapat dinyatakan sebagai : f X 1 , X 2 f 1 X 1 . f 2 X 2
Dengan cara yang sama, apabila X 1 dan X 2 merupakan variabel acak kontinu sedemikian
sehingga f X 1 , X 2 f 1 X 1 . f 2 X 2 , maka :
P a X 1 b , c X 2 d f X 1 , X 2 dX 1 dX 2
= f X 1 . f X 2 dX 1 dX 2
= f X dX . f X dX 1 1 1 2 2 2
Jadi, P a X 1 b , c X 2 d P a X 1 b . P c X 2 d
Secara umum, variabel random
X 1 ,..., X 2 dikatakan bebas stokastik jika k
a i b i , i 1 , 2 ,..., k berlaku bahwa : P a 1 X 1 b 1 ,..., a k X k b k P a i X i b i
Teorema : Vektor random X bebas stokastik jika hanya jika :
CDF F X 1 ,..., X k F i X i
pdf f X 1 ,..., X k f i X i
f (1,2) = 0,1 f 1 , 1 f 1 1 . f 2 1
f 1 , 2 f 1 1 . f 2 2 0 , 2 0 , 4 . 0 , 5
f 1 (X 1 ) = 0,4
f 2 (X 2 ) = 0,2 Sehingga bebas stokastik Sehingga bukan bebas stokastik
4.5 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Jika X 1 ,X 2 variabel acak diskrit atau variabel acak kontinu dengan pdf bersama f X 1 ,X 2 ,
maka pdf bersyarat dari X 2 dengan syarat :
, f 1 X 1 0
f 1 X 1
Dengan cara yang sama,
, f 2 X 2 0
f 2 X 2
Jika X 1 ,X 2 bebas stokastik, maka : Jika X 1 ,X 2 bebas stokastik, maka :
a. f X 2 | X 1 f 2 X 2 f X 2 | X 1
f 2 X 2
f 1 X 1 f 1 X 1
b. f X 1 | X 2 f 1 X 1
Contoh : Jika x dan y dua variabel acak kontinu yang mempunyai pdf bersama :
f x , y x y , 0 x 1 ; 0 y 1
Tentukan :
a. f y | x
b. P 0 y | x
Jawab :
f x , y x y
a. f y | x
f x
x x y . dy
= 4 . dy
1 2 1 1 y y 2
Sifat –sifat probabilitas
1. Jika X vektor random yang mempunyai pdf bersama f X 1 ,..., X k dan jika y u (x )
merupakan fungsi dari vektor random, maka : Variabel acak diskrit
E ( y ) E ( u ( x ))
= ... u ( X 1 ,..., X k ) f ( X 1 ,..., X k )
Variabel acak kontinu
E ( y ) E ( u ( x ))
1 ,..., k
... . u ( X 1 ,..., X k ) f ( X 1 ,... , X k ) dX dX
Teorema :
Jika X 1 ,X 2 suatu random variabel dengan pdf bersama f X 1 ,X 2 , maka :
Bukti :
X X 2 f ( X 1 1 , X 2 ) dX 1 dX 2
X 1 f ( X 1 , X 2 ) dX
1 X 2 f ( X 1 , X 2 ) dX 2
= E ( X 1 ) ( X 2 ) Jadi, terbukti bahwa E ( X 1 X 2 ) E ( X 1 ) E ( X 2 )
2. Jika a i , i 1 , 2 ,..., k suatu konstanta, maka :
Teorema : Jika x, y dua variabel random bebas stokastik g(x) dan h(y) sebuah fungsi, maka :
E ( g ( x ) h ( y )) E ( g ( x ). E ( h ( y ))
Secara umum, jika x vektor random saling independen dan u(x) suatu fungsi, maka :
E ( u ( x )) E ( u ( X 1 )),..., u ( X k ))
E ( u X 1 E u = ( )),..., ( ( X k ))
4.6 Covarian
Definisi covarian bersama antara x dan y :
cov x , y E x x y y xy E xy E x E y
Jika x = y, maka cov x , x E x x x x
x 2 xx x
x E x
= v x
Teorema : Jika x dan y bebas stokastik, maka :
E x , y E x E y , sehingga cov (x, y) = 0
Apabila cov (x, y) = 0, maka tidak berlaku x dan y bebas stokastik.
Sifat – sifat covarian
1. Cov Bukti:
Teorema : Jika X, Y variabel random, maka :
Jika X, Y independen, maka:
(Terbukti)
Jika X vector random yakni
suatu konstanta, maka varian
dan
jika x saling independen, maka :
Contoh :
4.7 Korelasi
Jika X dan Y merupakan variabel random dengan variansinya maisng-masing adalah
Maka korelasi X dan Y didefinisikan
dan kovariansinya adalah
Sifat – sifat korelasi :
0,jika -1,jika
3. a. xy 0 corr
b. xy 0 corr
c. xy 0 uncorrelat ed
Jika x,y bebas stokastik, maka tetapi tidak berlaku sebaliknya.
4.8 Ekspektasi Bersyarat
Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama f (X,Y), maka harapan Y yang diberikan X didefinisikan sebagai :
E Y | X x Y . f Y | x , x, y variabel acak diskrit
E Y | X x Y . f Y | x dy , x, y variabel acak kontinu
Contoh : Misalkan diketahui pdf bersama dari variabel random Y yang diberikan X sebagai berikut :
X 2 Cari E Y | X E Y | X Y E Y | X x !
Jawab :
E Y | X x Y Y . . dY . Y 2
x 2 0 4
Teorema : Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama, maka :
E E y | x E y
Bukti :
Misal : E y | x h x
E E y | x E h x h x f 1 x dx
= E y | x f 1 x dx
y . f y | x . f 1 x . dy . dx
y . f x , y . dy . dx
= y f x , y . dx . dy
= E y (Terbukti)
Contoh :
Dari soal sebelumnya, jika E y | x x dan f 1 x , 0 x 2 , maka cari E y !
Jawab :
dx . .
E y E y | x . f 1 x dx
Dari contoh-contoh di atas, ekspektasi bersyarat dapat juga digunakan untuk 2 variabel yang saling bebas stokastik. Jika x, y bebas stokastik, maka :
a. E y | x E y
b. E x | y E x
Variansi bersyarat dari y diberikan x didefinisikan sebagai :
Teorema : Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama, maka :
y E var y | x var E y | x
v 2
Bukti :
var y | x E E y | x E y | x
y E E y |x
y E y E y E E y |x
y E E y | x E y
2 2 = var
= var y var E y | x
4.9 MGF Bersama
MGF bersama dari vector random X jika ada, didefinisikan sebagai : k
M x t E exp t i X i , h t 1 h
Jika M x , y t 1 ,t 2 ada, maka variabel random x, y bebas jika hanya jika :
M x , y t 1 , t 2 M x t 1 . M y t 2
BAB V FUNGSI VARIABEL RANDOM
Tujuan dari subpokok bahasan ini adalah menentukan distribusi pdf dari fungsi variabel acak. Dengan syarat, variabel acak sebelumnya (x) biasanya sudah diketahui bentuk CDF-nya. Terdapat tiga metode / teknik untuk mendapatkan distribusi fungsi variabel acak. Teknik tersebut antara lain :
5.1 Metode CDF.
5.2 Metode transformasi variabel acak (transformasi satu-satu atau transformasi yang lain).
5.3 Metode MGF.
5.1 Metode CDF
Misalkan variabel acak X mempunyai CDF Fx (x). Dan misalkan y = u(x) suatu fungsi variabel acak X, maka teknik CDF ini adalah menentukan fungsi diatas dengan asumsi variabel acak X terdefinisi dengan jelas. Secara khusus, misalkan untuk setiap bilangan real y
didefinisikan Ay = {x |u(x) y}, maka Y y X Ay.
C = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j} Sehingga dari pengertian diatas bentuk CDF dari Y adalah : Fy (y) = P {u(x) y}
= P {x Ay}
=P[ x 1 x x 2 ]
= f x ( x ) dx
= Fy ( x 2 ) – Fy ( x 1 )
d Jadi, pdf =
CDF . d y
Contoh :
-3x
1. x Diketahui Fx (x) = 1 – e , 0 x . Tentukan pdf dari Y = e !
Jawab :
F y (y) = P[Y y] x = P[e y]
= P[x ln y] = P[Fx (hy)]
-3ln y =1 –e
=1 – 2 , 1 y
Jadi, F y (y) =
dy
= 3 , 1 y
2. 2 Jika X variabel acak kontinu. Tentukan pdf dari Y = x ! Jawab :
d F x y d F x y
dy
dy
= f x y f x y , untuk y 0
Teorema :
Misalkan X vector random dari variabel acak kontinu dengan pdf bersama X x 1 , x 2 ,..., x k .
Maka CDF dari Y berbentuk F y y P u x y = f x 1 , x 2 ,..., x k dx 1 ... dx k dengan Y =
u x dan A y x | u x y
Contoh :
Misalkan Y = x 1 dengan x 2 x i ~ Exp 1 , tentukan pdf dari Y, p x 1 y x 2 , 0 x 1 y ?
Jawab :
F Y y = P Y y
= f x 1 , x 2 dx 1 dx 2
e dx 1 dx 2
e 2 1 e dx 1 dx 2
= e e dx 0 2
= 1 e e dx 2
e e dx 2
y = e ye 1
y = 1 e ye
1 e ye
Jadi, pdf dari y y x
1 x 2 adalah
dy
5.2 Metode Transformasi Variabel Acak
Dalam metode transformasi ini, terdapat dua hal, yaitu :
5.2.1 Metode Transformasi Satu – Satu
Misalkan X variabel acak diskrit dengan pdf f(x) dan misalkan y = u(x) merupakan fungsi transformasi satu-satu, maka pdf dari Y dinyatakan sebagai:
f y y f x w y , y B dengan B y f y y 0
Contoh : x 1. X ~ GEO (p) dengan pdf f
x x pq 1 , x 1 , 2 ,...
Dan y = x-1, tentukan pdf Y! Jawab : x = y+1
f y y f x w y = fx y 1 y 1 1 p . q
y pq , y 0 , 1 ,....
Misalkan X variabel acak kontinu dengan pdf f(x) diasumsikan bahwa y=u(x)
merupakan fungsi satu-satu dari himpunan A x f y x 0 , B y f y y 0 dengan
transformasi invers x=w(y). Jika turunan w’(y) kontinu dan tidak bernilai nol pada himpunan
dinyatakan sebagai
f y y f x w y w y Contoh :
dy
x 1 e , maka tentukam pdf dari y x e dengan metode transformasi!
2 Misalkan CDF dari variabel random X adalah x F
Jawab : Jawab :
1 w ' y
f y y f x w y j
2 ln y
f y w F y y 1 , dengan 1 y
dy
x x 1 e
f x x F x x
dx
f y y f x w y J
2 ln y 1 = 2 e
2. Misalkan X variabel acak kontinu berdistribusi uniform U , . Tentukan 2 2
distribusi fungsi Y b tan x a !
Jawab :
pdf U a , b 1
f x x U , f x x U ,
Misal : f y
f ' y
Maka : w ' y
1 f y
dw y
f y y f x w y J
b y a
5.2.2 Metode Transformasi Bukan Satu – Satu ( Umum )
Transformasi untuk k buah variabel random Secara umum, transformasi variabel random dapat diterapkan k buah variabel, y = u(x) dengan asumsi fungsi variabel tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.
X=(x 1 ,x 2 ,...,x k ) dan mempunyai jacobian matriks sebagai berikut :
Teorema : Jika X suatu vektor random yang kontinu dengan PDF bersama:
pada himpunan A dan Y= , merupakan transformasi satu-satu yakni y i= u(x i ), i=1,2,...,k dan jacobian matriks kontinu tidak nol, maka PDF dari y adalah
X=
solusi tunggal dari y.
Contoh : Misalkan x 1 & x 2 adalah 2 variabel random independen yang masing-masing berdistribusi eksponensial satu.
x=1
exp(1)
Dengan pdf bersamanya :
,x 1 >0, x 2 >0
Maka tentukan pdf bersama dari y 1 &y 2 bila diketahui y 1 = ,y 2 =
Jawab:
1 Jadi G
5.3 Metode MGF
Sebagaimana metode sebelumnya, metode MGF ini juga dapat digunakan dengan mudah untuk menentukan distribusi variabel random atau jumlah fungsi variabel random.
Jika (x 1 ,x 2 ,...,x k ) merupakan n buah variabel random yang saling independen aatau bebas dan masing-masing punya MGF :
maka jumlah n buah variabel random diatas yakni :
x,y independen
Contoh : Misalkan variabel random berdistribusi binomial yang saling independen :
dengan Tentukan distribusi dari
5.4 Order Statistik (y i )
Konsep order statistik merupakan konsep yang terkait variabel random yang nilai-nilai observasinya diurutkan sesuai variabel random tersebut. Contoh : Misalkan x variabel random yang menentukan lamanya waktu tahan hidup dari 5 macam bola lampu yang diuji hasilnya.
bulan
bulan
y 3 pengurutan mulai dari yang terkecil x 4 = 10
Secara umum
(misal terdapat n pengamatan)
Teorema : Jika
variabel random dari suatu populasi yang kontunyu, maka PDF bersamanya dari statistik urut
Misalkan : A 1 =
Dengan memperhatikan nilai-nilai jacobian diatas dan berdasarkan metode transformasi sebelumnya, maka PDF bersama dari kasus diatas merupakan perkalian dari faktor-faktor
, sehingga PDF bersamanya dinyatakan :
Contoh :
1. Misalkan
menyatakan sampel random dengan PDF . Tentukan PDF bersama dari statistik bersama
dan PDF marginal!
Jawab :
Penurunan distribusi dari order statistik ke-k dapat juga dilakukan hubungan antara PDF dan CDF :
2. Misalkan
, variabel acak kontinyu dengan PDF :
. Tentukan bentuk dari distribusi marginal dari (pengamatan yang terkecil)! Jawab:
; a< <b
Dari contoh diatas maka PDF marginal secara umum dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut : sampel random berorder n dari suatu PDF
yang kontinyu dengan >0
Untuk a<x<b, maka PDF order statistik ke-k (marginal) dapat dinyatakan sebagai :
dengan a< <b Dalam praktek order statistik smallest & biggest atau minimum dan maksimum,
mempunyai peran penting khusunya dalam statistik inferensi. Oleh karena itu, terkait dengan teorema diatas, maka statistik urut minimum dan maksimum dapat dirumuskan melalui 2 macam pendekatan :
1. Variabel acak kontinyu
2. Variabel acak diskrit
Untuk variabel acak kontinyu PDF max
dinyatakan sebagai:
dan PDF min
CDF :
5.5 Distribusi Limit
Dalam analisis statistik (inferensi) peran dari distribusi limit merupakan bagian yang penting, karena terkait dengan model distribusi pendekatan limit dari variabel random. Dalam distribusi limit ini, akan dibicarakan konsep-konsep yang terkait dengan konvergen distribusi, konvergen stokastik, konvergen hampir pasti, theorema CLT dari sebuah variabel atau barisan random. Jadi barisan adalah suatu fungsi dengan domain bilangan asli.
Definisi : Jika
Maka
dan dinyatakan Contoh :
dikatakan konvergen dalam distibusi ke
Misalkan sampel random dari distribusi eksponensial dan order statistik terkecil. Maka tentukan CDF ! Jawab :
F(- ∞) = 0 F(∞) = 1
Definisi : Suatu barisan dari variabel random
dikatakan konvergen stokastik pada konstanta c jika barisan tersebut mempunyai distribusi limit pada y=c.
Dari definisi tersebut, maka dapat diturunkan definisi distribusi generate.
5.6 Distribusi Generate
Fungsi G(y) adalah CDF dari distribusi generate pada nilai y=c jika :
Dengan kata lain, G(y) adalah CDF dari distribusi variabel acak diskrit jika probabilitas bernilai 1 pada titik y=c dan bernilai 0 pada yang lain.
5.7 Distribusi Paretto
Suatu variabel acak kontinu X dikatakan berdistribusi paretto dengan θ>0, ɸ>0 Jika PDF-nya berbentuk :
Contoh : Misalkan
order statistik terkecil, maka tentukan CDF dari
berdistribusi paretto satu-satu dan
Jawab :
= G(Y)
5.8 Teorema Limit Pusat
Misalkan suatu barisan variabel random dengan CDF masing-masing :
dan MGF masing-masing adalah
Jika M(t) suatu MGF dan CDFnya G(Y) dengan
Maka
Contoh : Misalkan
suatu sampel random dari distribusi bernoulli dengan Y n = sedemikian hingga np= maka tentukan distribusi limit dengan CLT!
Jawab : M (t)
, maka Y n =
=M(t)
Dari contoh diatas, konsep distribusi limit dan CLT dan keduanya menentukan dengan pendekatan
Satu hal yang perlu diketahui, apabila bentuk CDF tidak memenuhi sifat-sifat umum, maka barisan Y n tidak mempunyai distribusi limit pendekatan. Teorema limit pusat secara khusus : Jika
merupakan sampel random dari sebuah distribusi dengan PDF f(x), dan mean dan varian berhingga, maka distribusi limit dari :
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa Theorema limit Central dapat dimodifikasi berdasar konsep-konsep statistik dasar, yaitu :
5.9 Aplikasi CLT
Untuk menerapkan dalil limit pusat dalam permasalahan sehari-hari maka theorema limit pusat dapat dimodifikasi sesuai dengan kasus. Terdapat beberapa modifikasi dalam beberapa hal :
Contoh : Misalkan adalah mean sampel random berukuran 75 dari distribusi dengan PDF
Tentukan peluang P(0,45<
Jawab :
5.10 Konvergen Stokastik
Konsep konvergen stokastik banyak digunakan untuk menunjukkan bagaimana sebuah random variabel dapat digunakan untuk pendekatan asimtotik normal. Misalkan
merupakan distribusi dari variabel random yang distribusinya tergantung pada bilangan bulat positif n. Jika c merupakan konstanta yang tidak tergantung pada n maka
variabel random dikatakan konvergen stokastik/ probabilistik/ lemah ke-c jika dan hanya jika untuk setiap
berlaku :
Dari konsep diatas, konvergensi stokastik dapat diperluas terhadap barisan variabel random. Misalkan {X n } barisan variabel random , n=1,2,.... dan X=variabel random yang terdefinisi pada ruang parameter (ῼ) maka : konvergensi dari barisan tersebut dapat diuraikan melalui 3 macam konvergen :
1. Konvergen almost sure / konvergen dengan probabiitas 1 / konvergen strong
2. Konvergen stokastik / konvergen probabilistik / konvergen weak
3. Konvergen distribusi / konvergen lengkap
Definisi : Misalkan X n barisan variabel random dikatakan konvergen hampir pasti ke-x, jika untuk
setiap ε > 0 berlaku :
X n dikatakan konvergen lema ke- x jika untuk setiap ε > 0 berlaku :
X n dikatakan konvergen dalam distribusi ke-x jika :
Untuk menentukan konvergensi sebuah barisan variabel random, dapat digunakan Chebychev.
Langkah-langkah menentukan konvergensi :
1. Gunakan pertidaksamaan cheybychev
2. Tentukan mean dan variansinya
3. Subtitusikan ke cheybychev
4. Selesaikan
Contoh : Misalkan
merupakan sampel random dari distribusi eksponensial. Buktikan konvergen stokastik ke ! Jawab :
Buktikan :
lim n ( 1