FISIKA MATEMATIKA 1 BILANGAN KOMPLEKS

MATERI PERKULIAHAN
FISIKA MATEMATIKA 1
“BILANGAN KOMPLEKS”

DOSEN PEMBIMBING:
Sri Hartini, M.Sc
Oleh Kelompok 2
Hana Pertiwi
Marlina
Mahmudah
M. Hafiz Ridho
Nor Hanifah

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT
BANJARMASIN

2017
BAB II

BILANGAN KOMPLEKS
a z 2+ bz+ c=0
Penyelesaian:
z=

−b ± √ 4 ac−b2
2a

Deskriminan d= √ b 2−4 ac
Jika D < 0, maka akar negatif (jika

√ d bernilai negatif, maka dinyatakan dengan

bilangan imajiner.

√ −1=i (Bilangan Imajiner)
Contoh :

√ −16=4 √−1=4 i
√−25=5 √−1=5 i

2

i =√−1 . √−1=−1
2

4 i . 5i=20i =20
Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bagian real dan bagian imajiner
z=( x +iy )

x : bagian real, Re (z) = x
y : bagian Imajiner Im (z) = y
-

-

Untuk memplot bilangan kompleks pada suatu bidang dapat dilakukan pada

bidang kompleks atau diagram Argand.
- Bidang kompleks dapat digunakan koordinat kartesius dan koordinat polar.
Pada koordinat kartesius sumbu x disebut sumbu real dan sumbu y disebut

sumbu imajiner.

Hubungan koordinat kartesius dan polar
r= √ x 2 + y 2 , r 2 =x2 + y 2
y
sin θ= , y=r sinθ
r
x
cos θ= , x=r cos θ
r
y
tan θ= ,θ=arc tan θ
x
x+ iy=r cos θ+ i r sin θ
¿ r (cos θ +isin θ)
INGAT:
Persamaan Euler
e iθ =cos θ+i sin θ
x+ iy=r cos θ+ ir sin θ
¿ r (cos θ +isin θ)

iθ
¿r e

Contoh soal :
Titik (1, √ 3) pada koordinat kartesius jika dinyatakan dalam bentuk polar
adalah…
Jawab :

√

2

r= √ x 2 + y 2= ( 1 )2+ ( √3 ) =√ 1+ 3
¿ √ 4=2
y
sin θ= , y=2sin θ
r
x
cos θ= , x=2 cos θ
r

y
3
tan θ= = √ =√ 3
x 1
tan θ=√ 3
o

o

x+ iy=2 cos 60 + i2 sin 60

1
1
¿ 2 . +i 2. √ 3
2
2

θ=arc tan √ 3
o

θ=60 =

π
3

¿ 1+i √ 3

Koordinat polar adalah

π
P ( r ,θ )=P(2, )
3

π
π
x+ i √ 3=2 cos +i 2sin
3
3
i

¿2e
1.

π
3

Kompleks Konjugate
Z =x+iy=r cos θ+i r sin θ
¿ r (cos θ +isin θ)
¿ r eiθ
¿
Z atauZ adalahbilangan konjugate
θ
−sin ¿
Z ¿ =Z=x−iy=r cos(−θ)+ir ¿
¿ r (cos θ−i sinθ)
−iθ

¿r e
Contoh :

Z =−i , Z ¿ =i

Z =5+7 i, Z¿ =5−7 i
2. Aljabar pada Bilangan Kompleks
Contoh :
1) ( 1+i 2 )=( 1+i ) (1+i )
2
¿ 1+2i+i
¿ 1+2i−1=2i
2+i 3+i
6+5 i+ i2
6+5 i−1 5+5 i
×
=
2) 3−i 3+i 9−3 i+3 i−i2 = 9+1 = 10
1 1
¿ + i
2 2
3. Absolute z

z=x +iy →r =√ x2 + y 2
|z|=r=√ x 2+ y 2
z . z∗¿=( x +iy ) ( x−iy )
√¿
¿ x 2+iyx−iyx−i 2 y 2=x 2−i 2 y2 =√ x 2 + y 2
z . z∗¿
|z|=r=√ x 2+ y 2 =√¿
Absolute z
Contoh

Tentukan nilai absolute z dari

|√ |
5+3 i
1−i

Jawab :
z . z∗¿
|z|=¿ √¿

|

| |√

5+3 i √ 5−3i
5−3 √5 i+ 3 √ 5 i−9 i 2
|z|= √
.
=
2
1−i

1+i

|√ | |√ | √

¿

1+i−i−i

|

5+ 9
14
=
= 7
1+ 1
2
Absolute z dari

|√ |
5+3 i
1−i

adalah

√7

Latihan!
1. Plot bilangan kompleks berikut pada bidang kompleks dan tentukan konjugatenya!
i−1
a.
b. −4 i

c.
d.

π
π
2(cos +i sin )
6
6
cos π−i sin π
3+ i
2+i
5−2 i
5+2i

2. Sederhanakan bilangan kompleks
3. Tentukan nilai absolute z dari

Jawab :
1a) i−1 → x=−1 , y =1
y 1
r= √ x 2− y 2 tan θ= = =−1
x −1
3
2
2
r= √ (−1) −( 1 ) = √2 θ=arc tan−1=135 °= π
4
z=x +iy=r cos θ+ir sin θ
3
3
¿ √ 2cos π +i √ 2 sin π
4
4
¿ √ 2(cos
i

1b)

3
3
π+ isin π)
4
4

3π
4

¿ √ 2e
−4 i→ x=0 , y=−4
y −4
2
2
r= √ x − y tan θ= =
x 0
r= √ (0)2−(−4 )2 θ=arc tan

−4
3
=270° = π
0
2

r= √ 16=4
z=x +iy=r cos θ+ir sin θ
3
3
¿ 4 cos π + i4 sin π
2
2
3
3
¿ 4 (cos π +i sin π )
2
2
i

¿4 e

3π
2

1c)

π
6
π
π 180 °
cos +i sin ¿→ =
=30°
6
6
6
2¿
π
6
30°
cos 30 °+i sin ¿
¿
π
+i sin ¿=2¿
6
cos ¿
→2 ¿

1
1
√ 3+i )
2
2
¿ √ 3+1
¿ 2(

1d)

2)

3)

→ Konjugate
z=√ 3+i
¿
z = √ 3−i
cos π−i sin π → π =180 °
→=cos 180 °−i sin 180 ° r =√ x 2 + y 2
¿−1−i(0)=√(−1)2+ 02
¿−1=√ 1=1
2
2
3+ i 3+i 2−i 6−3i+2 i−i 6−i−i
→
×
=
=
2
2+i 2+i 2−i 4−2 i+2 i−i 2
4−i
7−i 7−i
¿
=
4+1
5
z . z∗¿∨¿
|z|=¿ √¿

|√

|z|=

| |√

|√ | |√ | √

¿

| |√

5−2i 5+2i
25+10 i−10 i−4 i 2
25−4 i2
.
=
=
2
2
5+2 i 5−2 i
25−10 i+10 i−4 i
25−4 i

25−4
29
=
= 1=1
25−4
29

|

Deret Kompleks Tak Hingga
 Deret Parsial Kompleks (hingga suku ke-n)

S n= X n + Y n
Xn dan Yn real
 Deret akan konvergen jika :
S= X n+ iY n= lim S n

Menyelidiki deret
kompleks yang
konvergen atau tidak
(pakai uji rasio)

n→ ∞

 Ujilah deret
∞
(1+i)n
∑ 2n
n →1

| ||

(1+i)n+ 1
an +1
(1+i)n+1
2n+1
2n
ρ=
=
=
.
an
(1+i)n
2n +1 (1+i) n
2n

| |

|

|

|| |
| |√ | |√ | √
|√ | |√ | |√
√
n

1

(1+i) (1+i)
2n
1+i
¿
.
=
n
1
n
2
2 .2
( 1+i )

1−i
1−i+i−i2
1−i 2
2
2
=
=
=
=
2
4
4
4
2
2
Syarat konvergen ρ