DIKTAT KULIAH GEOMETRI ANALITIK

DIKTAT KULIAH
GEOMETRI
ANALITIK
DOSEN PENGAMPU
BUDI NURACHMAN, IR
File bisa didownload di :
http://sites.google.com/site/stkipkn06 [klik diktat ajar]

Matematika dan Ciri Pokok Matematika
 Pada hakekatnya, matematika merupakan

sistem aksomatis deduktif formal
 matematika memuat komponen-komponen
dan aturan komposisi/ pengerjaan yang dapat
menjalin hubungan secara fungsional antar
komponen
 Komponen-komponen dalam sistem
matematika dapat dikelompokkan menjadi 2
(dua), yakni kelompok pernyataan dan
kelompok pengertian
 Di dalam kelompok pernyataan terdapat

pernyataan pangkal yang disebut aksioma
yang merupakan landasan berpikir matematik

 Banyak defnisi tentang matematika. Disatu pihak

berpendapat bahwa matematika adalah ” ilmu
tentang bilangan”, di pihak lain berpendapat bahwa
matematika adalah ” ilmu tentang bangun-bangun
abstrak”
 Berdasarkan defnisi-defnisi yang diajukan oleh para
ahli, dapat ditarik beberapa hal pokok atau ciri pokok
yang sama (ciri pokok) matematika
 Ciri pokok matematika adalah (1) matematika
memiliki obyek kajian abstrak, (2) matematika
mendasarkan diri pada kesepakatan, (3) matematika
sepenuhnya menggunakan pola pikir deduktif
(matematika harus dikembangkan berdasarkan atas
pola berpikir/penalaran deduktif dan setiap prinsip,
teorema, sifat, dalil harus dibuktikan kebenarannya
secara formal berdasarkan kebenaran konsistensi),

(4) matematika dijiwai dengan kebenaran konsisten

Pengertian Geometri dan Objek Geometri
 Istilah ”geometri” berasal dari bahasa Yunani

yang berarti ”ukuran bumi”, maksudnya
mencakup segala sesuatu yang ada di bumi.
 Geometri kuno sebagian besar dimulai dari
kegiatan praktis bersifat empiris, berupa
pengukuran untuk keperluan pertanian pada
orang-orang Babylonia dan Mesir.
 Kemudian berkembang menjadi kegiatan utk
perhitungan panjang ruas garis, luas dan volum.
 Obyek-obyek geometri berupa obyek-obyek
pikiran yang abstrak. Pengertian pangkal dalam
geometri adalah titik, sedangkan pengertianpengertian lainnya dalam geometri dapat
dikembangkan dari titik.

Persamaan dan Pertidaksamaan di R
 Himpunan bilangan riel R dapat dikaitkan secara

korespondensi satu-satu dengan himpunan titik-titik pada
sebuah garis lurus, artinya setiap bilangan riel berkaitan
dengan tunggal satu titik pada sebuah garis lurus dan setiap
titik pada sebuah garis berkaitan dengan tunggal satu
bilangan riel. Dalam hal ini, titik dinamakan grafk dari
bilangan, bilangan dinamakan koordnat dari tititk, dan garis
yang dimaksud dinamakan garis bilangan (number line)
 Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan
ungkapan ”sama dengan”, sedangkan pertidaksamaan adalah
kalimat terbuka yang menyatakan ungkapan ” tidak sama”
 Sedangkan grafk dari himpunan penyelesaian (HP) dari
persamaan/pertidaksamaan berderajat pertama dengan satu
variabel, merupakan objek geometri yang antara lain dapat
berupa titik, ruas garis, sinar garis.


Jarak Berarah, dan Nilai mutlak
 Sebuah bilangan riel positif dapat ”assigned”

terhadap jarak tidak berarah antara dua titik pada
garis bilangan. Arah dari satu titik ke titik lain dapat
ditunjukkan oleh sebuah bilangan bertanda (a signed
number). Jika jarak berarah QR dinyatakan dengan 3,
maka jarak berarah RQ dinyatakan dengan -3. Sedang
jarak tidak berarah (undirected distance) antara titik Q
dan titik R adalah 3
 Notasi nilai mutlak (absolute value) dapat digunakan
secara khusus untuk jarak tak berarah antara dua titik.
Bilangan a dan –a, berkaitan dengan titik-titik pada
garis bilangan yang berjarak sama terhadap titik asal
(origin). Notasi [a], dibaca nilai mutlak dari a, biasanya
digunakan untuk menunjukkan jarak, walaupun dapat
juga digunakan dalam konteks yang lain

Definitioin.
 The absolute value of a real number a, denoted by [a], equals a if a 0,
and –a if a < 0.
Teorema:
 Penyelesaian dari ax + b = c, dengan c merupakan penyelesaian dari

ax + b = c atau –(ax + b) = c
 Contoh:
Penyelesaian dari persamaan x = 5 merupakan penyelesaian dari x = 5
atau -x = 5. Himpunan penyelesaiannya adalah {5, -5}
Penyelesaian dari persamaan 2x - 3 = 5, adalah penyelesaian dari 2x –
3 = 5 atau – (2x – 3) = 5 . Himpunan penyelesaiannya adalah { 4, -1}
Teorema
 Penyelesaan dari ax + b > c , dengan c , merupakan penyelesaian
dari - (ax + b) > c atau ax + b > c
 Contoh:
Penyelesaian dari x > 3 merupakan penyelesaian dari –x > 3 atau x >
3.
Penyelesaian dari 2x - 3 5, merupakan penyelesaian dari
– (2x –
3) 5, atau 2x – 3 5
Teorema
 Penyelesaian dari ax + b < c, dengan c > 0, merupakan penyelesaian
dari - c < ax + b < c

Jarak Dua Titik, dan Titik Pemisah di R2

LETAK TITIK PADA GARIS

 Fungsi kuadrat

-

Identifkasi persamaan kuadrat
Lingkaran
Elips
Hiperbola
Parabola

Persamaan Berderajat
Dua
 Polinom atau suku banyak pada variabel x

dilambangkan dengan P(x), mengandung sukusuku Kxn, dimana K = konstanta, dan n
merupakan bilangan bulat.
 Bentuk umum polinom berderajat n adalah :

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + .… + anxn
 Kedua suku pertama P(x) adalah juga berbentuk
Kxn, karena dapat ditulis a0x0 dan a1x1

Persamaan Berderajat
Dua ©
 Kalau polinom berderajat n disamakan nol

maka diperoleh persamaan berderajat n
dalam x.
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn = 0
 Buat n = 2, maka diperoleh persamaan
derajat dua dalam x :
a0 + a1x + a2x2 = 0
 Yang sering juga ditulis :
ax2 + bx + c = 0

Persamaan Berderajat
Dua ©
ax 2  bx  c  0 dengan a  0

pembagian dengan a memberikan :
b
c
2
x  x 0
a
a
Persamaan ini dapat dipecahkan dengan cara
yang dinamakan melengkapkan bujursangkar :
2
2
b
b
b
c
2
x  x 2  2 
a
4a
4a

a
2

b  b 2  4ac

x   
2
2
a
4
a



r

Persamaan Berderajat
Dua ©
Kalau y 2  r , maka y   r, sehingga :
b

b 2  4ac
x

2a
4a 2
 b  b 2  4ac
x
2a
Kedua jawaban ini yaitu :
 b  b 2  4ac
 b  b 2  4ac
x1 
x2 
2a
2a
dinamakan akar persamaan kuadrat.
Jumlah dan hasil kalinya adalah :
x1  x2  

b

a

x1 x2 

c
a

Persamaan Berderajat
Dua ©

 Polinom atau suku banyak pada variabel x dan

y yang dilambangkan P(x,y) ialah ungkapan
yang mengandung suku Kxrys, dimana
K=konstanta, r dan s = bilangan bulat.
 Harga tertinggi (r+s) suatu suku P(x,y)
dinamakan derajat polinom itu.
 Jika P(x,y) berderajat n=0  Ax + By + C = 0
(grafk berupa garis lurus)
 Bentuk umum persamaan derajat dua x dan y:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
(Grafk persamaan ini adalah sebuah
potongan kerucut yaitu : lingkaran, elips,
parabola dan hiperbola)

Gambar Potongan
Kerucut

Lingkaran
Parabola
Elips
Hiperbola

Identifkasi Persamaan
Kuadrat
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
 Jika B = 0 dan A = C ≠ 0  lingkaran
 Jika B2 – 4AC < 0  Elips
 Jika B2 – 4AC > 0  Hiperbola
 Jika B2 – 4AC = 0  Parabola
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
 Jika A = C ≠ 0  lingkaran
 Jika A ≠ C, tanda sama  elips
 Jika A dan C berlawanan tanda 
Hiperbola
 Jika A=0 atau C=0, tapi tidak keduanya
 parabola

Lingkaran
 Lingkaran didefnisikan sebagai tempat

kedudukan atau lokus titik-titik P(x,y) yang
jaraknya r sampai suatu titik M yang
dinamakan pusat lingkaran adalah sama.
 Persamaan lingkaran menjadi sederhana bila
pusat lingkaran berimpit dengan asal 0.
Berlaku hukum Pythagoras x2 + y2 = r2

Lingkaran
©
y

Bila pusat lingkaran
dipindahkan dari 0 ke
M(h,k) , maka juga
dengan hukum pythagoras
diperleh persamaan
lingkaran :

P(x,y)

y

r

k

M(h,k)

(x – h)2 + (y – k)2 = r2
x  (x – h), y  (y – k)

P(x,y)
r y
x

Dapat ditulis
h

x

x

x2 + y2 - 2hx - 2ky +
(h2+k2+r2)=0

h dan k bisa positif / negatif  persamaan lingkaran :
Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0  A = C dan B = 0

Elips
 Elips didefnisikan sebagai lokus titik-titik

yang jumlah jaraknya hingga dua titik
tertentu, yang dinamakan fokus F dan F’
adalah tetap.
 Persamaan elips menjadi sederhana bila
dipilih asal 0 di pertengahan FF’ dan sumbu
y tegak lurus FF’.
 Misal 0F = 0F’ = c, PF + PF’ = 2a dan
a2 – c 2 = b 2

Elips ©
Y

bB
A’ F’
-c

r’

dan a 2 – c 2  b 2
PF’  PF  2a
PF’  2a – PF

P (x,y)
y
x

0

0 F  0 F’  c, PF  PF’  2a

r F A
c a

X

B
c2 2
dikuadratkan : c  2cx  x  y  a  2cx  2 x
a
 c2  2
2
2
2


1

x

y

a

c
2
 a 


2

2

dibagi dengan a  c  b

dikuadratkan dan dikurangi c 2  x 2  y 2
dikiri dan dikanan
2cx  4a 2  4a (c  x) 2  y 2  2cx

2

2

( c  x ) 2  y 2  2 a  (c  x ) 2  y 2

2

2

2

x2 y2
- -  2  2 1
a
b

c
(c  x ) 2  y 2  a  x
a

Elips ©
 Adapun AA’ adalah sumbu mayor dan BB’

adalah sumbu minor elips. Bila elips
dipindahkan sejajar sehingga pusatnya
tidak lagi di 0.  titik M (h,k) maka :
2

2

( x  h) ( y  k )

1
2
2
a
b
 Bentuk umum persamaan elips :

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Parabola
 Parabola ialah tempat kedudukan titik-

titik yang berjarak sama terhadap sebuah
titik fokus dan sebuah garis lurus yang
disebut direkstris
 Persamaan parabola menjadi sederhana
bila dipilih asal 0 di M dan FT = sumbu y.
 Dengan hukum pythagoras :
x2 + (y – x)2 = (y + x)2
x2 – 2yp = 2yp
x2 = 4py
y = ¼ px2 = ax2

Parabola ©
Y

F

y+p

0

p
p

Bila parabola dipindahan
sejajar sehingga puncaknya
tidak lagi 0 tetapi di M(h,k)
maka:

M(h,k)
P(x,y)
y–p

T

Titik Ekstrim
 b b 2  4ac 

 2a ,  4a 




(x - h)2 = 4p(y - k)
X
d

x2 - 2hx - 4py + (h2 + 4pk) = 0
Ax2 + Dx + Ey + F = 0
Cx2 + Dx + Ey + F = 0

Hiperbola
 Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik

yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus
selalu konstan. Sebuah hiperbola mempunyai
dua sumbu simetri yang saling tegak lurus
dan sepasang asimtot.

Hiperbola ©
y

y
asimtot
(i,j)

(i,j)

asimtot

Sumbu
lintang
0

x

Rumus Umum :
Ax2 – Cy2 + Dx + Ey + F =0

0

Sumbu
lintang

x

GARIS LURUS

Transformasi geometri

Defnisi 
Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar)

pada bidang.
Perubahan yang (mungkin) terjadi:




Kedudukan / letak
Arah
Ukuran

Jenis-jenis Transformasi
 Proyeksi
Geometri






Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi)
Pencerminan (Refeksi)
Pemutaran (Rotasi)
Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi)
Pergeseran merubah bentuk(shear)

Proyeksi
• Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap

suatu garis acuan sehingga setiap titik atau
sistem tersebut sejajar dengan garis acuan.
• Proyeksi merupakan jarak terpendek.
Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x,
maka hasil tersebut adalah titik B dengan AB
merupakan jarak terpendek titik A terhadap
sumbu x.
Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka
hasilnya adalah titik
y C dengan AC merupakan
A
jarak terpendek titik
sumbu y
C A terhadap

O

B

x

Proyeksi titik terhadap garis x= y
Titik A(a,b) diproyeksikan
pada garis y = x
menghasilkan titik A’(a’,b’)
Cara mencari matrik
transformasi- nya adalah
sebagai berikut :
Perhatikan bahwa :
a= r cos θ dan b = r sin θ
a’=OA’ cos 45 dan b’ = OA’
sin 45
OA’=r cos (45 – θ)

Maka :
a’= r cos (45 – θ) cos 45
a b
= r cos 45 cos 45 cos θ + r cos 45 sin 45 sin θ = 
2 2
a b

Karena a’ = b’, maka b’ =
2 2

Sehingga diperoleh :
1

a  2
A    1
b 2

a b 

1
2 2 
2 a 






1
b
a b
2   

2 2 

Matrik transformasi untuk
titik
yang diproyeksikan pada
garis y = x

 Translasi
 Suatu titik atau sistem mengalami

pergeseran namun tidak merubah bentuk,
karena setiap titik penyusun sistem
mengalami pergeseran yang sama.
 Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan
sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan y
satuan sepanjang sumbu y, diperoleh peta
Y
P’(x’,y’)
=
titik P’(x’,y’).
y’
a
T= b

y

P(x,y)

b

P’(x+a,y+b)

a
X

O

x

x’

Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.
P’(x’,y’)

dy

P(x,y)

dx

x’ = x + dx
y’ = y + dy
Model Matrik:

x' x  dx 
y '  y  dy 
    

• Sebuah buku yang terletak di atas meja

digeser sejauh h, maka setiap titik yang
menyusun buku tersebut harus bergeser
sejauh h juga.

Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x

 Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y

sekaligus ?

• Penulisan proses translasi titik A menjadi
h 
T 
titik M, dan titik B menjadi titik
Nadala
dengan
s 

A(a, c)

B(b, c)

h 
T 
s 

h 
T 
s 

h:

M(a  h, c  s)

N(b  h, c  s)

Contoh soal :
Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 +
3
T  
(y – 1) = 9 jika ditranslasikan
oleh :
4
2

Jawab :

Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada
lingkaran, sehingga persamaan dapat
32 = 9.
ditulis : (a – 2)2 + (bT –1)
4 diperoleh titik T’
  sbb :
Titik P ditranslasi
3 dengan

P(a, b)

T 
4 

P'(a  3, b  4)

Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b
a+
=3
a’ – 3 dan b =
Substitusi ke persamaan : b’ – 3
(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9
(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2
=9
Cara lain :
Persamaan lingkaran mempunyai pusat
(2,1). Dengan 3dilakukan
translasi pusat

T 
lingkaran diperoleh
:
4

O(2,1)



O'(2  3,1  4)  O '(5,5)

Pencerminan
(refeksi)
 Transformasi pencerminan /refeksi

menghasilkan bayangan yang tergantung
pada acuannya.

 Refeksi terhadap sumbu x
Refeksi titik A (a, c) terhadap
sumbu x menghasilkan
bayangan yaitu A’(a’, c’),
demikian juga untuk titik B
Diperoleh
persamaan
dan titik
C.
bahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -c
dan seterusnya sehingga
persamaan
0
1 matrik
Tx   
transformasinya
adalah :
0 -1
Refeksi ditulis dengan
notasI :
sumbu x

Dengan notasi
matrik :

A(a,c)
x 
y   T x
 

A’(a, -c)
x  1 0 x 
y   0 -1 y 
  
 

• Refeksi terhadap sumbu y
Sama seperti refeksi
terhadap sumbu x
menghasilkan persamaan
a’= - a, b’ = - b dan c’ = c
dan seterusnya. sehingga
persamaan matrik
-1 0 
T

transformasinya
y
 0 1adalah :




Refeksi ditulis dengan
notasI :
sumbu y

A(a,c)
Dengan notasi
matrik :

x 
y   T y
 

A’(-a, c)
x 
y  
 

-1 0 x 
 0 1  y 

 

 Refeksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan
persamaan :
a’= - a, dan c’ = -c,
b’= - b, dan c’ = -c,
d’= - d, dan c’ = -c,
sehingga persamaan
matrik -1 0 
T(0,0)  
transformasinya

0
-1

adalah : 
Refeksi ditulis dengan
notasI :
titik(0,0)

A(a,c)
A’(-a,-c) x 
x  -1 0 x 
Dengan notasi
y   T(0,0) y    0 -1y 
 
  
 
matrik :

 Refeksi terhadap garis y = x
Menghasilkan persamaan
:
a’= c, dan c’ = a,
b’= c, dan c’’ = b,
d’= e, dan e’ = d dan
seterusnya
sehingga0persamaan
1
Ty x 
matrik
transformasinya
1 0 

adalah : 
Refeksi ditulis dengan
notasI :
y=x

A(a,c)
A’(c,a)
Dengan notasi
matrik :

x 
x  0 1x 
y   T y  x y   1 0 y 
 
  
 

 Refeksi terhadap garis y = - x
Menghasilkan persamaan :
a’= -c, dan c’ = -a,
b’= -c, dan c’’ = -b,
d’= -e, dan e’ = -d dan
seterusnya, sehingga
persamaan matrik
transformasinya
0 -1 adalah :
Ty  x  

-1
0


Refeksi ditulis dengan
notasI :
y =- x

A(a,c)
A’(-c,-a)x 
x  0 -1 x 
Dengan notasi
y   T y  x y   -1 0 y 
 
  
 
matrik :

 Refeksi terhadap garis y = h
Sumbu x digeser sejauh h,
menghasilkan persamaan :
a’= a, dan c’ = 2h-c,
b’= b, dan c’ = 2h-c,
d’= d, dan e’ = 2h-e,
sehingga notasi persamaan
matrik transformasinya
adalah :
x  1 0 x  0 
y   0 -1y  2 h 
  
   

Bukti :
Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x
yang baru adalah y = h. Maka koefsien setiap titik
berubahmenjadi
x x  
(x’,
0  y’)
:
 xdengan

y  y  h   y  h 
     


Kemudian titik tersebut direfeksikan pada sumbu-x
yang baru
menjadi
: x   x 
x 
 1 0 
y   0 -1y  h    y  h 
  

 

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke
sumbu-x semula dengan memakai translasi
diperoleh:
x   x
 0   x

y    y  h  h    y  2 h 
  
   

x  0  1 0 x  0 
          
- y  2 h  0 -1y  2 h 

 Refeksi terhadap garis x = k
Sekarang yang digeser
adalah sumbu y sejauh k,
menghasilkan persamaan :
a’= 2k-a, dan c’ = c,
b’= 2k-b, dan c’ = c,
d’= 2k-d, dan e’ = e,
sehingga notasinya
adalah : x=k
A(a,c)
A’(2k-a,c)

Dengan notasi
matrik :

x  -1 0 x  2 k 
y   0 1 y  0 
  
   

Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD
dengan titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan
D(1,11) jika direfeksikan terhadap sumbu-x,
kemudian dilanjutkan dengan refeksi terhadap
sumbu-y.
Jawab :
Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan
dua tahap yaitu mencari bayangan jajarangenjang ABCD dari refeksi terhadap sumbu-x,
kemudian bayangan yang terjadi direfeksikan

Refeksi terhadap sumbu-x adalah sebagai
berikut :

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’
direfeksikan pada sb-y

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang
A’’B’’C’’D’’ dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan
D’’(-1,-11).

Coba pikirkan :
Bagaimana cara mendapatkan matrik
transformasi pada suatu sistem yang
mengalami refeksi lebih dari satu kali tetapi

Perputaran (rotasi)
 Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke

titik P’, dengan cara diputar dengan sudut 

y
P’(x’,y’)



x’ = x cos() - y sin()
y’ = x sin() + y cos()
P(x,y)
x

• Untuk memudahkan perhitungan, maka

dibuat notasi dalam bentuk matrik :

x cos  -sin x 
y  sin cos y 
  
 
dengan :
- sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ
 x’ kombinasi linier dari x dan y
 y’ kombinasi linier dari x dan y

Bukti 

Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α.
Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r
cos θ, r sin θ).
Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r
sin (θ + α)).
Maka, diperoleh :

Matrik transformasi
untuk titik yang
dirotasi
terhadap titik pusat O

 Penskalaan
(dilatasi)
• Merupakan transformasi suatu titik atau

sistem terhadap suatu acuan yang
menyebabkan jarak titik atau sistem
berubah dengan perbandingan tertentu.
(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan
y jarak titik P’ sebesar m kali titik P)
P’(x’,y’)

my.y

P(x,y)

mx.x

x

x’ = mx x
y’ = my y

 Dalam bentuk matrik dituliskan :

x mx 0x 
y 0 m y
   y  

 Transformasi ini tidak mengalami

perubahan bentuk, hanya mengalami
perubahan ukuran karena jarak titik-titik
penyusun berubah dengan perbandingan
tertentu terhadap acuan.

• Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang

menyebab-kan perbesaran atau perkecilan
suatu sistem.
• Jika nilai k (bilangan nyata):
 k> 1
: hasil dilatasi diperbesar
 -1