MATERI MATEMATIKA EKONOMI 1st

PENDAHULUAN
MATEMATIKA EKONOMI
Dr. Luluk Kholisoh

Ruang Lingkup :

Konsep-konsep Dasar, Hubungan
Fungsional, Hubungan Nonlinear,
Diferensial fungsi, Integral dan Matriks

Sasaran:
Mahasiswa yang menempuh matakuliah
Matematika Ekonomi

Tujuan:
Mahasiswa diharapkan mampu memahami
Konsep-konsep Matematika dalam
penerapannya pada masalah ekonomi.

Kompetensi Lulusan:
Mampu menyelesaikan persoalan Matematika

permasalahan Ekonomi dan Bisnis.

LITERATUR


Chiang A.C. 1984. Fundamental Methods Of Mathematical
Economics. Third Edition.
Mc. Graw-Hill Book Inc. New York



Dumairy. 2004. Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan
Ekonomi. Edisi Ke dua belas. BPFE. Yogyakarta
Legowo. 1984. Dasar-dasar Kalkulus Penerapannya dalam
Ekonomi, Ed. 2. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi
Universitas Indonesia
Suryawati dkk. 2001. Matematika Ekonomi. Sekolah Tinggi
Ilmu Ekonomi YKPN
Weber, Jean E. 1982. Mathematical Analysis: Business and
Economics, Aplication, 4th ed. New York: Harper & Row 1982







RENCANA PENILAIAN


Ujian Tengah Semester (UTS)

35 %



Ujian Akhir Semester (UAS)

40 %



Tugas Terstruktur

10 %



Kuis

10 %



Kehadiran

5%

MATERI
Himpunan

 Sistem Bilangan, Akar dan Logaritma
 Deret dan Fungsi
 Fungsi Linier
 Fungsi Multivariat
 Fungsi Non Linier
 Derivatif
 Integral
 Matriks


SILABUS MATERI HIMPUNAN
Pengertian Himpunan
 Penyajian Himpunan
 Himpunan Universal dan Himpunan Kosong
 Operasi Himpunan
 Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan


SILABUS MATERI SISTEM
BILANGAN







Hubungan Perbandingan antar Bilangan
Operasi Bilangan
Operasi Tanda
- Operasi Penjumlahan
- Operasi Pengurangan
- Operasi Perkalian
- Operasi Pembagian
Operasi Bilangan Pecahan
- Operasi Pemadanan
- Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
- Operasi Perkalian
- Operasi Pembagian

SILABUS MATERI PANGKAT, AKAR DAN

LOGARITMA






Pangkat


Kaidah pemangkatan bilangan



Kaidah perkalian bilangan berpangkat



Kaidah pembagian bilangan berpangkat

Akar


Kaidah pengakaran bilangan



Kaidah penjumlahan bilangan terakar



Kaidah perkalian bilangan terakar



Kaidah pembagian bilangan terakar

Logaritma
- Basis Logaritma
- Kaidah-kaidah Logaritma

- Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

SILABUS MATERI DERET
 Deret

Hitung
- Suku ke-n dari DH
- Jumlah n suku
 Deret Ukur
- Suku ke-n dari DU
- Jumlah n suku

SILABUS MATERI FUNGSI





Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi
Jenis- jenis fungsi

Penggambaran fungsi Linear
Penggambaran fungsi non linear
- Penggal
- Simetri
- Perpanjangan
- Asimtot
- Faktorisasi

SILABUS MATERI
HUBUNGAN LINEAR

Penggal dan lereng garis lurus
 Pembentukan Persamaan Linear
- Cara dwi- kordinat
- Cara koordinat- lereng
- Cara Penggal lereng
- Cara dwi- penggal
 Hubungan dua garis lurus
 Pencarian Akar- akar persamaan linear
 Cara substitusi

 Cara eliminasi
 Cara determinan


SILABUS MATERI HUBUGAN NON
LINEAR
Fungsi kuadrat
- Identifikasi persamaan kuadrat
- Menentukan titik maksimum atau minimum
permintaan, fungsi penawaran dan
keseimbangan pasar
- Fungsi penerimaan, fungsi ongkos produksi dan
analisis BEP
 Fungsi Eksponensial dan aplikasinya
- Fungsi ongkos produksi
- Perhitungan bunga majemuk


SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI
SEDERHANA



Kuosien Diferensi dan Derivatif



Kaidah- Kaidah Diferensiasi



Hakikat Derivatif dan Diferensial



Derivatif dari Derivatif



Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya
- Fungsi menaik dan fungsi menurun
- Titik ekstrim fungsi parabolik
- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik

SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI
MAJEMUK
Diferensial Parsial
 Derivatif dari Derivatif Parsial
 Nilai ekstrim : Maksimum dan Minimum
 Optimisasi Bersyarat
- Pengganda Lagrange
- Kondisi Kuhn-Tucker
 Homogenitas Fungsi


SILABUS MATERI INTEGRAL
Integral tak tentu
 Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu
 Integral tertentu
 Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu


SILABUS MATERI MATRIKS
 Pengertian

Matriks dan Vektor
 Kesamaan Matriks dan Kesamaan Vektor
 Pengoperasian Matriks dan Vektor
 Bentuk- bentuk khas matriks
 Pengubahan Matriks

Himpunan
 Merupakan

suatu kumpulan atau
gugusan dari sejumlah obyek.
 Obyek yang membentuk himpunan
disebut anggota/elemen/unsur
 Himpunan dilambangkan dengan huruf
besar, sedangkan unsur dilambangkan
dengan huruf kecil

Penulisan Matematis
p

єA
A C B
A = B
p є A
A C B
A = B

Penyajian Himpunan
A

= { 1, 2, 3, 4, 5} ; B = {kucing, anjing}
 A = { x; 0 < x < 6} ; B = {x; 1 ≤ x ≤ 5}
 { } atau 0 . Merupakan himpunan kosong.
Secara teori, himpunan kosong adalah
merupakan himpunan bagian dari setiap
himpunan apapun.
 Notasi U digunakan untuk himpunan
universal (yang bersifat besar).

Operasi Himpunan
 Gabungan

(Union):
A U B = {x; x є A atau x є B}
 Irisan (Intersection):
A ∩ B = {x; x є A dan x є B}
 Selisih:
A – B ≡ A B = { x; x є A tetapi x є B}
 Pelengkap (Complement):
A = { x; x є U tetapi x є A} = U - A

2. Tanda pertidaksamaan
 Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”
 Tanda > melambangkan “lebih besar dari”
 Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan”
 Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”
3. Sifat
 Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b
 Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b
 Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b
 Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d

Matematika Ekonomi

22

Kaidah-kaidah Matematika
Kaidah Indempoten:
a) A U A = A
b) A ∩ A = A
 Kadiah Asosiatif:
a) (A U B) U C = A U (B U C)
b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
 Kaidah Komutatif:
a) A U B = B U A
b) A ∩ B = B ∩ A
 Kaidah Distributif:
a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ ( A U C)
b) A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C)


Kaidah – kaidah Matematika
(lanjut)
 Kaidah

Identitas:
a) A U 0 = A
b) A ∩ 0 = 0
c) A U U = U
d) A ∩ U = A
 Kaidah Kelengkapan:
a) A U A = U
b) A ∩ A = 0
c) (A) = A
d) U = 0, 0 = U
 Kaidah De Morgan:
(AUB)=A∩B
b) ( A ∩ B) =A U B

Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir
S
A

B

Sifat-sifat gabungan
a. A U B = B U A  Hukum komutasi
b. A

(A U B) dan B

(A U B)

Matematika Ekonomi

25

Operasi potongan (irisan) = ∩
A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B }
A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B
Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 }
A ∩ B = { 5, 15 }
Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:

s
A

B

Matematika Ekonomi

26

Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A
b. (A ∩ B)

(hukum komutasi)

A dan (A ∩ B)

B

Operasi selisih
Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B
A – B = { x / x € A, tetapi x € B }
Diagram Venn A – B sebagai berikut:
S
A

B
Matematika Ekonomi

27

Misal: A = { a, b, c, d };

B = { f, b d, g }

A – B = { a, c } serta B – A = { f, g }
A – B sering dibaca “A bukan B”.
Sifat: a (A – B)

A; (B – A)

B

b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing
atau terputus

Matematika Ekonomi

28

Komplemen
A’ = { x / x € S, tetapi x € A }
A’ baca “komplemen A” atau “bukan A”
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat
positip
A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil
A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap
Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)
S
A

A

A’

Matematika Ekonomi

29

Sifat: a. A U A’ = S
b. A ∩ A’ = ø
c. (A’)’ = A
Latihan 1
Gambarkan sebuah diagram venn untuk
menunjukkan himpunan universal S dan himpunanhimpunan bagian A serta B jika:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = {2, 3, 5, 7 }
B = {1, 3, 4, 7, 8 }
Kemudian selesaikan :
a). A – B
b). B – A
c) A ∩ B
Matematika
d). A U B
e) A ∩
B’ Ekonomi
f) B ∩ A’

30

Latihan 2
Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: €
atau €

A

B

A∩ B

AUB

(A∩B)’

(AUB)’

€

€

2; 5

U

2,5

{0}

€

€

€

€

€

€

3;7

1 ; 2;
3; 4; 7;
8

Matematika Ekonomi

31

Hubungan
Himpunan Hasil kali Cartesius
Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X
dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat
disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut
atau pasangan tersusun (x, y).
Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi
dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi
angka 1 hingga 3.
Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan
Y = {1, 2, 3}
Himpunan hasil kali Cartesius adalah:
X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}
Matematika Ekonomi

32

Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:
X
1
2
3
4

1

Y
2

3

(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)

(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)

(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)

X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Matematika Ekonomi

33

Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan
dalam sistem koordinat cartesius berikut:

Y

PR = {1, 2} malas
PR = {3, 4} rajin
H1

3

•

•

2

• H2 •

•

H4

•

• H3 •

U = {1, 2} kurang mengerti
U = {3} pintar
Terdapat 4 himp bag

H1 = {malas ttp pintar}
1
• • • •
H2 = {malas dan krg
0
1 2 3 4 X
mengerti}
H3 =
{rajin ttp krg ngerti}
Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai
pekerjaan rumah
H4 = {rajin dan
Matematika Ekonomi
34
pintar}

Daerah dan Wilayah (Range) hubungan
 Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius:
H = {(1,1), (1,2), (1,3),
(2,1), (2,2), (2,3),
(3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut,
disebut dengan Daerah hubungan
 Dh = {1, 2, 3, 4}
Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut
dengan Wilayah hubungan:
 Wh = {1, 2, 3}

Matematika Ekonomi

35

Kesimpulan:
 Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan
pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap
unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y.
 X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y }
 Daerah hubungan
Dh = { x / x € X}


Wilayah hubungan:
Wh = { y / y € Y}

Matematika Ekonomi

36

SISTEM BILANGAN

SISTEM BILANGAN
1. Pembagian bilangan
Bilangan
2; -2;
1,1; -1,1

Nyata
+ dan -

Khayal
Akar negatip

Rasional

Irrasional

Hasil bagi dua bil
bulat, pecahan
desimal atau
desimal berulang
0,1492525

Bulat

√(-4) = ± 2

Hasil bagi dua bil bulat,
pecahan desimal tak
berulang
0,14925253993999… π, ℮
1; 4; 8;
termasuk
0

Pecahan

Matematika Ekonomi

½; 2/7 dsb
38

Penggolongan Bilangan (lanjut)
 Bilangan

nyata dapat positif maupun

negatif.
 Bilangan khayal adalah bilangan yang
berupa akar pangkat genap dari suatu
bilangan negatif.
 Bilangan rasional= bilangan bulat,
pecahan terbatas
 Bilangan irrasional adalah bilangan
pecahan yang tak terbatas.

Jenis-jenis Bilangan Lainnya
 Bilangan

asli: bilangan bulat positif tidak
termasuk nol
 Bilangan cacah: bilangan bulat positif
atau nol
 Bilangan prima: bilangan asli yang
besarnya tidak sama dengan satu dan
hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri.

2. Tanda pertidaksamaan
 Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”
 Tanda > melambangkan “lebih besar dari”
 Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan”
 Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”
3. Sifat
 Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b
 Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b
 Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b
 Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d

Matematika Ekonomi

41

Operasi Bilangan
Kaidah Komutatif:
a+b=b+a
axb=bxa
 Kaidah Asosiatif:
(a+b)+c=a+(b+c)
(axb)xc=ax(bxc)
 Kaidah Pembatalan:
Jika a + c = b + c
jika ac = bc (c = 0)
maka
a=b
maka a = b
 Kaidah Distributif:
a ( b + c ) = ab + ac


Operasi Bilangan (lanjut)
 Unsur

Penyama:
a±0=a
ax1=a
a:1=a
 Kebalikan:
a + (-a) = 0
a x 1/a = 1

Berbagai Operasi Tanda
 Operasi

Penjumlahan
 Operasi Pengurangan
 Operasi Perkalian
 Operasi Pembagian

Operasi Bilangan Pecahan
Operasi Pemadanan
a/b = (axc)/(bxc)
a/b = (a:c)/(b:c)
 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
 Operasi Perkalian
(a/x) x (b/y) = (ab)/(xy)
 Operasi Pembagian:
a/b : c/d = a/b x d/c
a/b : c/d = x/z : y/z = x/y z = habis dibagi b dan d
a/b : c/d = (a/b x z) : (c/d x z)


PANGKAT, AKAR
DAN LOGARITMA

PANGKAT
Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks
yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan
yang sama secara berurutan.
 Notasi xn berarti bahwa x harus dikalikan dengan x
itu sendiri secara berturut-turut sbanyak n kali
 Contoh:
* 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 cukup ditulis 46
* 100.000 dapat diringkas menjadi 105
* 1/100.000 dapat diringkas menjadi 10-5
* 35.000.000.000 dapat diringkas menjadi 35 x 109
* 4.500.000.000 dapat diringkas menjadi 4,5 x 109
* 0,000.000.34 dapat diringkas menjadi 3,4 x 10-8


Kaidah-Kaidah Pemangkatan
Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu
x0 = 1
( x ≠ 0) Contoh: 50 = 1
 Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri
x1 = x
Contoh: 51 = 5
 Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol
0x = 0
Contoh: 05 = 0
 Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali
(multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri
x-5 = 1/x5 Contoh: 2-5 = 1/25 = 1/32 = 32-1


Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)


Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari
bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi
dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya,
sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari
bilangan yang bersangkutan

x

a
b

b

a

2
5

x
3  5 3 2  5 9  1,55
Contoh:
 Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbagi
suku-suku berpangkatnya
Contoh:
3
a
3
a
4
4
64


x 
x

  3
y 
  ya
5  5 125
 


Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)
Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah
bilangan berpangkat hasilkali pangkat-pangkatnya
(xa)b = xab
Contoh: (22)3 = 22x3 = 26 =64
 Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah
bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya


x

ab

c

dalam
 x hal ini c = ab

Contoh:

3

24

 316  43 . 046 . 721

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)
Hasilkali bilangan-bilangan berpagnkat yang basisnya
sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkatpangkatnya
xa….xb …..xz = xa+b+..+z Contoh: 23 x 23 = 23+3 = 26 = 64
 Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang
pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah
perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang
bersangkutan
xa . ya = (xy)a Contoh: 32 x 52 = (3x5)2 = 225


Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)
Hasilbagi bilangan-bilanganerpangkat yang basisnya
sama adalah bilangan basis berpangkat selisih
pangkat-pangkatnya
xa : xb = xa-b
Contoh: 55 : 53 = 55-3 = 52= 25
 Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang
pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah
pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang
bersangkutan
xa : ya = (x/y)a Contoh: 32 : 52 = (3/5)2 = 9/25


AKAR
Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan
bilangan berpangkat
 Akar dari suatu bilangan ialah basis yang memenuhi
bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat
akarnya.
 Jika xa, maka x sebagai basis dan a sebagai pangkat
 Jika xa = m, maka x dapat disebut sebagai akar
pangkat a dari m dan dapat ditulis sebagai:


a

m jika
x xa = m

Kaidah-kaidah Pengakaran
Bilangan


Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi
bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya
a



1
a

mdalam
 m hal ini

1
a
basis

adalahm

Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri
berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan
bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari
akar menjadi suku pembagi
b

ma  m

a
b

Kaidah-kaidah Pengakaran
Bilangan (lanjut)


Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akarakarnya
b

xy 

b



Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar
suku-sukunya
b
x
x
b





y

y

b

Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah
(selisih) koefisien-koefisien terakar
m



xb y

b

x

a

 n

b

x

a

 (m  n )b x

a

Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari
bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasilkali
pangkat dari akar-akar sebelumnya
b

c

x

a



bc

x

a

LOGARITMA
Logaritma merupakan kebalikan dari proses
pemangkatan dan/ atau pengakaran.
 Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat
yang harus dikenakan pada (memenuhi)
bilangan pokok logaritma untuk memperoleh
bilangan tersebut.
 Jika xa = m (dalam hal ini x adalah basis dan a
adalah pangkat), maka pangkat a disebut juga
logaritma dari m terhadap basis x yang ditulis
dalam bentuk:
a = x log m
 Biasanya logaritma berbasis 10 sehingga cukup
ditulis log m


Kaidah-kaidah Logaritma
x=1
sebab x1 = x
xlog1 = 0
sebab x0 = 1
x
log xa = a
sebab xa = xa
xlog ma = a xlog m

 xlog




x

x




m

m n = xlog m + xlog n
xlog m/n = xlog m – xlog n
xlog m mlog x = 1
sehingga xlog m = 1/mlog x
xlog m mlog n nlog x = 1

 xlog


log m

Kasus





Sederhanakan dan selesaikan:
a)
10 5  2 5 b)
7 5

(5 16) : (2 4)

Carilah x jika log x = 1,2304!
Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3!