Departemen Fisika-FMIPA Univeristas Indonesia 2007

  Perambatan Gelombang Elektromagnetik Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Edisi I

  Kata Pengantar

  Ada satu fakta yang seringkali ditemui di kalangan mahasiswa geofisika yaitu kelemahan mereka dalam memahami sifat dan karakteristik penjalaran gelombang elektromagnetik. Ak- ibatnya, interpretasi dari suatu fenomena gelombang elektromagnetik tidak dapat diuraikan secara mendalam. Untuk mengatasi masalah tersebut, buku yang anda sedang anda baca ini disusun.

  Buku ini sebenarnya merupakan bagian dari Tesis S2 penulis ketika kuliah di Departemen Fisika, FMIPA-UI. Isi buku ini mencoba meletakkan pondasi dasar dari bangunan pemahaman akan penjalaran gelombang elektromagnetik baik di medium non-konduktor maupun di medi- um konduktor. Penyusunan buku ini masih akan terus berlanjut ke edisi-2, dimana isinya akan terus dipertajam secara lebih mendetil sampai pada penurunan rumus-rumus gelombang yang diturunkan dari persamaan Maxwell.

  Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede

  A

  Djuhana yang telah berkenan membagi format L TEXkepada saya sehingga tampilan tulisan pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Rasa terima kasih juga ingin saya teruskan kepada Sarah Wardhani yang telah memicu langkah awal penulisan buku ini hingga Edisi-1 terselesaikan. Tak lupa, saya pun sepatutnya berterima kasih kepada seluruh rekan diskusi yaitu para mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Pengantar Geofisika

  

Daftar Isi

Lembar Persembahan i Kata Pengantar v Daftar Isi vii Daftar Gambar ix Daftar Tabel xi

  1 Gelombang EM pada Medium Udara 1 1.1 Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.2 Energi Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3

  2 Gelombang Pada Medium Nonkonduktor 5 2.1 Gelombang datang dengan sudut normal terhadap bidang batas . . . . . . . . . .

  7 2.2 Gelombang datang dengan sudut sembarang terhadap bidang batas . . . . . . .

  9

  3 Gelombang pada Medium Konduktor

  13

  Daftar Gambar 1.1 Gelombang Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 2.1 Gelombang elektromagnetik pada batas antar medium non-konduktor . . . . . . . . .

  7

  2.2 Gelombang datang dengan sudut θ ^I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  2.3 Kurva rasio amplitudo gelombang refleksi,E

^o

_R dan gelombang transmisi, E ^o _T terhadap gelombang datang,E ^{o I dengan ǫ}

  1 = 5 dan ǫ

  

2

= 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  11

  2.4 Kurva koefisien refleksi dan transmisi dengan ǫ

  1 = 5 dan ǫ

  2 = 25 . . . . . . . . . . . . .

  12 3.1 Gelombang medan magnet dan medan listrik tidak sefasa . . . . . . . . . . . . . . . .

  16

  Daftar Tabel

  2.1 Daftar nilai konstanta permeabilitas relatif dari berbagai mineral (Telford et al, 1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6

  2.2 Daftar nilai permitivtas relativ atau konstanta dielektrik, ǫ , dan kecepatan gelom-

  r

  bang elektromagnetik dalam berbagai mineral geologi (Annan dan Cosway, 1992)

  6

Bab 1 Gelombang EM pada Medium Udara

1.1 Persamaan Gelombang

  Sejarah telah mencatat bahwa hukum-hukum tentang elektrostatik, magnetostatik dan elektro- dinamik ditemukan pada awal abad ke-19. Beberapa dari hukum-hukum itu, seperti hukum Faraday, hukum Ampere dan konsep mengenai displacement current, secara sistematik telah disusun oleh Maxwell menjadi apa yang dikenal sekarang ini sebagai persamaan Maxwell. Khusus pada ruang vakum dan berlaku juga pada medium udara, persamaan Maxwell diny- atakan sebagai

  (1.1) ∇ · E = 0

  2 BAB 1. GELOMBANG EM PADA MEDIUM UDARA Gambar 1.1: Gelombang Elektromagnetik dengan E adalah amplitudo medan listrik pada sumbu y, sementara B adalah amplitudo

  o o

  medan magnet pada sumbu z. Sedangkan κ = konstanta propagasi, x = arah rambat gelom- bang, δ = beda fase gelombang medan listrik terhadap titik acuan yaitu pada x=0, y=0, z=0 ,

  E dan δ = beda fase gelombang medan magnet terhadap titik acuan. B

  Pada ruang vakum dan medium non-konduktor, tidak terjadi beda fase antara medan

  1.2. ENERGI GELOMBANG

  3 dan khusus untuk bagian riil adalah

  1 E

  E(x, t) = E o B(x, t) = o (1.13)

  cos(κx − ωt + δ)ˆj cos(κx − ωt + δ)ˆk c

  1.2 Energi Gelombang

  Energi gelombang elektromagnetik yang tersimpan per satuan volume dinyatakan sebagai

  1

  1

  

2

  2

• U = (ǫ E B ) (1.14)

  o

  2 µ

  o

  2

  2

  2 U = ǫ E = ǫ E cos (1.15) o o oy (κx − ωt + δ)

  Selama gelombang merambat, ia membawa energi sepanjang lintasan yang dilaluinya. Kerap- atan fluks energi yang dibawa oleh medan ditentukan oleh vektor poynting

  1 (1.16)

  S =

  (E × B) µ

  

o

  2

2 E cos

  (1.17)

  S = cǫ o oy (κx − ωt + δ)ˆi = cUˆi

  Vektor poynting juga menunjukkan arah rambat gelombang. Persamaan di atas menunjukkan bahwa arah rambat gelombang searah dengan sumbu x. Intensitas gelombang dinyatakan sebagai harga rata-rata dari S, hSi

  1

  2

  ǫ cE (1.18)

  o

  I = hSi = oy

  4 BAB 1. GELOMBANG EM PADA MEDIUM UDARA

Bab 2 Gelombang Pada Medium Nonkonduktor Gelombang elektromagnetik dapat juga merambat pada medium nonkonduktor. Pada kasus

  ini, bentuk persamaan Maxwell dimodifikasi menjadi ∇ · D = 0

  (2.1) ∇ · B = 0

  (2.2) ∇ × E = −

  ∂B ∂t

  (2.3) ∂D

  6 BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR Sebagian besar mineral geologi yang ada di alam ini memiliki nilai µ yang mendekati µ o , kecuali jika material tersebut memiliki sejumlah besar molekul F e O yang terkandung di-

  2

  3

  dalamnya (Telford et al, 1990)?. Lihat Tabel 2.1. Di lain pihak,lihat Tabel 2.2, ǫ selalu lebih besar dari ǫ . Hal ini membawa konsekuensi bahwa kecepatan gelombang elektromagnetik pada su-

  o

  atu medium, selalu lebih rendah dibandingkan dengan kecepatan gelombang elektromagnetik di udara. Tabel 2.1: Daftar nilai konstanta permeabilitas relatif dari berbagai mineral (Telford et al, 1990)

  Mineral Permeabilitas relatif, µ/µ

  o

  Magnetite

  5 Pyrhotite 2,55 Hematite 1,05 Rutile 1,0000035 Calsite 0,999987 Quartz 0,999985

  Tabel 2.2: Daftar nilai permitivtas relativ atau konstanta dielektrik, ǫ , dan kecepatan gelom-

  r

  bang elektromagnetik dalam berbagai mineral geologi (Annan dan Cosway, 1992) Mineral ǫ Kecepatan (m/ns)

  r

  Udara 1 0,30 Air laut 80 0,01 Pasir kering 3-6 0,15

2.1. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT NORMAL TERHADAP BIDANG BATAS

  7 Gambar 2.1: Gelombang elektromagnetik pada batas antar medium non-konduktor dengan

  8 BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR yang merambat berlawanan arah dengan gelombang datang namun tetap merambat pada medium 1. Hal ini mengakibatkan vektor Poynting berbalik arah, sehingga B bertanda negatif.

  R

  κ

  

1 juga bertanda negatif karena arah rambat gelombang refleksi berlawanan dengan arah ram-

  bat gelombang datang . Selain itu akan terbentuk juga gelombang transmisi yang terus mer- ambat pada medium 2.

  i(κ ² x−ωt+δ) E (x, t) = E e ˆj (2.20)

  T oy T

  1

  i(κ ² x−ωt+δ)

  ˆ (x, t) = E e k (2.21)

  B T oy T

  v

  2 Pada x = 0, kombinasi gelombang pada medium 1, E + E dan B + B harus kontinyu

  I R

  I R

  dengan gelombang yang berada pada medium 2, E dan B memenuhi syarat-syarat batas

  T T

  sebagai berikut E = E

  medium1 medium2 (2.22)

  1

  1 B = B (2.23)

  medium1 medium2

  µ µ

  1

  2 Berdasarkan kedua syarat batas tersebut maka

  E + E = E

  oy ^{I oy R oy T (2.24)}

  1

  1

  1

  1

  1 E E = E (2.25)

  oy ^{I oy R oy T}

  − µ v v µ v

  1

  1

  1

  2

  2

  atau disederhanakan menjadi

  

2.2. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT SEMBARANG TERHADAP BIDANG BATAS

  9 I Gambar 2.2: Gelombang datang dengan sudut θ

  2.2 Gelombang datang dengan sudut sembarang terhadap bidang batas

  Jika gelombang EM jatuh pada bidang batas dengan sudut datang tertentu, maka persamaan syarat batasnya menjadi

  10 BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR Persamaan (2.34) dan (2.36) dapat disederhanakan menjadi

  √ µ v ǫ

  1

  1

  2 E o ^{I o R = βE o T β = = (2.37)}

  − E √ µ v ǫ

  2

  2

  1

  dan persamaan (2.35) disederhanakan menjadi cos θ

  T

  E ^{I + E R = αE T α = (2.38)}

  o o o

  cos θ

  I Berdasarkan Hukum Snellius, faktor α dapat dinyatakan dalam sudut datang dan permitivitas

  medium, yaitu _s

  2

  ǫ

_{p sin θ}

  1 I

  1 −

  2

  ǫ

  2

  θ

  T

  1 − sin α = =

  (2.39) cos θ cos θ

  I I

  Rasio amplitudo gelombang refleksi dan transmisi terhadap gelombang datang dapat diny- atakan sebagai berikut _s ǫ ǫ

  2

  2

  2

  cos θ θ

  I I

  − − sin ǫ

  1 ǫ

  1 E R o

  α − β = = _s (2.40)

  E ^{I α + β}

  o

  ǫ ǫ

  2

  2

  2

  θ + cos θ

  I I

  − sin ǫ ǫ

  1 _r

  1

  ǫ

  2

  2 cos θ

  I

2.2. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT SEMBARANG TERHADAP BIDANG BATAS

  _{1 Rasio Eot/Eoi}

  11 _0.6

  0.8 _{Rasio Eor/Eoi Magnitude 0.2}

  0.4 _−0.2 ( θ ) _B −0.4 _{10 20 30}

_{sudut datang( )}

_{40 50 60 70 80 90} θ _{o o}

  Kurva rasio amplitudo gelombang refleksi,E dan gelombang transmisi, E terhadap

  Gambar 2.3: _o ^{R T}

  gelombang datang,E ^{I dengan ǫ = 5 dan ǫ = 25}

  1

2 Intesitas gelombang datang, refleksi dan transmisi masing-masing adalah

  1

  1

  1

  2

  

2

  2 I = ǫ v E cos θ

  I = ǫ v E cos θ I = ǫ v E cos θ (2.44)

  I

  1

1 I

  I R

  1

  1 R R T

  2

  2 T T

o o o

  2

  2

  2

  12 BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR _{0.8 0.9}

  1 _{0.5 Koef. Refleksi 0.6}

  0.7 _{Koef. Transmisi} Magnitude _{0.3 0.4}

Bab 3 Gelombang pada Medium Konduktor Bentuk persamaan Maxwell dalam medium konduktor adalah

  (3.1) ∇ · E = 0

  (3.2) ∇ · B = 0

  ∂B (3.3)

  ∇ × E = − ∂t

  ∂E (3.4)

  ∇ × B = µσE + µǫ ∂t dimana σ adalah konstanta konduktivitas.

  14 BAB 3. GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTOR Faktor κ , bagian imajiner dari κ, menjelaskan terjadinya atenuasi gelombang, yaitu gejala ₋ melemahnya amplitudo seiring dengan bertambahnya jarak tempuh gelombang. Disamping itu, κ juga menentukan kedalaman skin depth, yaitu suatu jarak tertentu dimana amplitudo ₋ gelombang melemah dengan faktor 1/e, dan dihitung dengan cara

  1 d = (3.10)

  κ ₋ Bagian riil dari κ, yaitu faktor κ berhubungan dengan panjang gelombang, λ, kecepatan ram-

• bat gelombang, v, dan indeks bias, n, yang masing-masing dinyatakan dengan

  2π 2π λ = = _{# 1/2} (3.11)

  "r κ +

  2

  r ǫµ σ ω 1 + + 1 2 ǫω

  ω

  1 v = = _{# 1/2} (3.12) "r

  κ +

  2

  r ǫµ σ 1 + + 1 2 ǫω _{"r # 1/2}

  2

  cκ r ǫµ σ

• n = = c 1 + + 1 (3.13)

  ω 2 ǫω Bila gelombang elektromagetik berfrekuensi tinggi merambat pada medium berkonduktiv- itas rendah (non konduktor), atau dengan kata lain memenuhi syarat

  3.1. GELOMBANG MONOKROMATIK PADA MEDIUM KONDUKTOR

  15 maka faktor κ dan κ mempunyai harga yang hampir sama + ₋ r ωσµ κ (ω) ∼ = κ (ω) ∼ = (3.18)

• −

  2 tetapi pada kasus ini, skin depth dipengaruhi oleh frekuensi. Skin depth semakin dangkal bila frekuensi semakin tinggi demikian pula sebaliknya.

  3.1 Gelombang Monokromatik pada Medium Konduktor

  Solusi persamaan gelombang untuk medium konduktor, sebagaimana yang telah dibahas pada bagian yang terdahulu adalah sebagai berikut _{−κ x i(κ ) − x−ωt+δ E} ˆj

• ⁺ E(x, t) = E e e (3.19)

  oy

  κ _{−κ x−ωt+δ −} x i(κ + B ) ˆ

  B(x, t) = E e e k (3.20) oz

  ω yang menunjukkan bahwa gelombang medan listrik dan medan magnet saling tegak lurus. Seperti bilangan kompleks lainnya, κ juga dapat diekspresikan dalam modulus dan fase:

  iφ

  κ = κ + iκ (3.21)

• _{− = |κ|e}

  dengan _{q s r}

  2

  σ

  2

  2

  κ + κ = ω ǫµ 1 + (3.22) |κ| = + −

  ǫω

• x − ωt + δ
• φ)ˆ k
• x − ωt + δ

  |κ| ω

  E

  cos(κ

  

x

  e ^{−κ −}

  oy

  E

  B(x, t) =

  16 BAB 3. GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTOR Gambar 3.1: Gelombang medan magnet dan medan listrik tidak sefasa

  )ˆj (3.27)

  E

  cos(κ

  x

  e ^{−κ −}

  E(x, t) = E oy

  Akhirnya, gelombang medan listrik dan medan magnet pada medium konduktor harus diny- atakan sebagai

  (3.28)

  3.2. REFLEKSI DAN TRANSMISI PADA PERMUKAAN KONDUKTOR

  17

  3.2 Refleksi dan Transmisi pada Permukaan Konduktor

  Anggaplah terdapat bidang yz sebagai batas antara medium 1 yang non-konduktor dan medi- um 2 yang konduktor. Suatu gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1, melintasi bidang batas, menuju medium 2 seperti gambar 2.1 Persamaan gelombang untuk gelombang datang, refleksi dan transmisi adalah sebagai berikut

  1

  i(κ ^{1 i(κ 1} x−ωt+δ) x−ωt+δ)

  ˆ (x, t) = E e ˆj (x, t) = E e k

  E I oy ^{I B} I oy ^{I (3.34)}

  v

  1 ₁

  1 ₁

  i(−κ x−ωt+δ) i(−κ x−ωt+δ)

  ˆ (x, t) = E e ˆj E e k (3.35)

  E R oy R B R oy R

  (x, t) = − v

  1

  κ

  2 i(κ ^{2 i(κ 2} x−ωt+δ) x−ωt+δ)

  ˆ (x, t) = E e ˆj (x, t) = E e k (3.36)

  E T oy T B T oy T

  ω Gelombang transmisi mengalami atenuasi ketika memasuki konduktor, karena κ

  2 merupakan bilangan kompleks.

  Syarat batas harus memenuhi dua syarat batas, yaitu E + E = E (3.37)

  oy

^{I oy R oy T}

  dan

  1 1 κ

  2

  (E ) = E )

  oy ^{I oy R oy T (3.38)}

  − E µ v µ ω

  1

  1

  2

  atau µ

  1 v 1 κ

  2 E = βE β = (3.39) oy ^{I oy R oy T}

  − E µ ω

  2

  Daftar Pustaka