Rangkaian Listrik II Deret Fourier Fun (1)

RESUME RANGKAIAN LISTRIK II

DERET FOURIER FUNGSI TRIGONOMETRI DAN
EKSPONENSIAL

Kelompok 6 :
Arief Rachman Rida A.
Cut Zarmayra Zahra
Fajar Muttaqin
Inggih Piany Syanita
Moh. Syamsul Nur
Reza Irhamsyah
Siti Mardiah
Yusup Fawzi Yahya

(5115122623)
(5115120353)
(5115122606)
(5115122568)
(5115122604)
(5115122572)

(5115122581)
(5115122591)

PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO REGULER 2012
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
JAKARTA
2013
Tujuan

Resume Rangkaian Listrik 2 2
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

1. Mahasiswa dapat memahami cara mencari koefisien deret fourier fungsi
trigonometri
2. Mahasiswa dapat memahami perhitungan deret fourier fungsi trigonometri
3. Mahasiswa dapat memahami perhitungan deret Fourier fungsi eksponensial
dengan deret Euler.

I.

PENDAHULUAN

Resume Rangkaian Listrik 2 3
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

Pada pembahasan sebelumnya telah kita pelajari mengenai uraian
pecahan

parsial untuk memudahkan kita mengubah persamaan menjadi anti

Laplace-nya. Pemecahannya adalah dengan memfaktorkan terlebih dahulu
penyebutnya atau dengan mendeferensialkan persamaan awalnya.
Pada resume kali ini akan dibahas mengenai pecahan parsial yang
persamaannya tidak dapat difaktorkan. serta perhitungan dengan deret Fourier.

II.

DERET FOURIER FUNGSI TRIGONOMETRI
Pada pembahasan resume sebelumnya telah disinggung mengenai Deret Fourier
fungsi trigonometri, yaitu jika suatu fungsi (F(t)) memenuhi syarat Dirichlet, maka

fungsi tersebut dapat ditulis dengan deret Fourier sebagai berikut :

Resume Rangkaian Listrik 2 4
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

1
f ( t )= a 0+ a1 cos ωt +a2 cos 2 ωt +a2 cos 3 ωt +…+b 1 sin ωt +b 2 sin 2 ωt +b3 sin 3 ωt
2

Bila diringkas, bentuk fungsi deret Fourier adalah:
∞

1
f ( t )= a 0+ ∑ ( a n cos ( nωt ) +b n sin ( nωt ))
2
n=1

Dimana syarat Dirichlet adalah :
 Priodik, dan mempunyai perioda 2 π atau T
 Bernilai tunggal

 Dalam periode mempunyai maksimal dan

minimal

tertentu
 Jika fungsi itu tidak continue, maka dalam 1 periode harus
mempunyai discontiunitas yang tertentu jumlahnya
 Dalam 1 periode mempunyai harga rata-rata

tak

terhingga

Perhatikan persamaan deret Fourier berikut:
∞

1
f ( t )= a 0+ ∑ ( a n cos ( nωt ) +b n sin ( nωt ))
2
n=1

Untuk mencari nilai fungsi pada persamaan tersebut, masih terdapat koefisien yang
belum kita ketahui nilainya yaitu : a0 , an, dan bn. Untuk menemukan nilai koefisien
tersebut dapat dilakukan dengan langkah-langkah seperti yang akan dijelaskan :

a.

Mencari a0.
Untuk mendapatkan rumus mencari besar a0, maka langkah-langkahnya adalah :
a. Kembalikan persamaan ke bentuk trigonometri awal

1
f ( t )= a 0+ a1 cos ωt +a2 cos 2 ωt +a2 cos 3 ωt +…+b 1 sin ωt +b 2 sin 2 ωt +b3 sin 3 ωt
2

Resume Rangkaian Listrik 2 5
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

b. Kemudian integralkan masing-masing ruas dengan batas 0 sampai T.
T
T

T
T
T
T
T
1
∫ f (t ) dt =∫ 2 a0 dt +∫ a1 cos ωt dt +∫ a2 cos 2ωt dt +∫ a3 cos 3 ωt dt+ …+∫ b1 sin ωt dt+∫ b 2 sin 2 ωt dt+∫
0
0
0
0
0
0
0
0
T

INGAT
Pada
resume

sebelumnya
telah
diuraikan
acuan
penyelesaian dari integral fungsi sinusoida. Sehingga
mempermudah kita dalam penyederhanaan persamaan.
Nilai dari fungsi sinusoida :
T

f ( t )=∫ sin ( nωt ) dt=0
0

T

f ( t )=∫ cos ( nωt ) dt =0

Sehingga,

0

T

∫ f (t ) dt = 12 a0 + a1 x 0 +a 2 x 0+ a3 x 0+ …+b1 x 0+ b2 x 0 +b 3 x 0 +…
0

T

∫ f (t ) dt= 12 a0 T
0

c. Maka dengan demikian, a0 dapat ditemukan :

T

a0 =
b.

2
∫ f (t ) dt .
T 0

Mencari an.
Untuk menemukan rumus mencari besar an, maka langkah-langkahnya adalah :
a. Kembalikan persamaan ke bentuk trigonometri awal

1
f ( t )= a 0+ a1 cos ωt +a2 cos 2 ωt +a2 cos 3 ωt +…+b 1 sin ωt +b 2 sin 2 ωt +b3 sin 3 ωt
2
INGAT
nωt kemudian
b. Kalikan
dengan
integralkan kedua ruas dengan batas 0
Nilai dari
fungsi cos
sinusoida
:

sampai T.
T

T
T
T
1
∫ f (t ) cos nωt dt =∫ 2 a0 cos nωt d t +∫ a 1 cos ωtT. cos nωt dt +∫ a2 cos 2 ωt . cos nωt dt+∫ a3 cos 3 ωt . cos nωt dt +…+
0
0
0
0
0
f ( t )=∫ cos ( nωt ) dt=0
T

0

T
2

f ( t )=∫ cos ( nωt ) dt=
0

π
ω

T

f ( t )=∫ sin ( mωt ) cos ( nωt ) dt =0
0

Resume Rangkaian Listrik 2 6
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

Sehingga,
T

T

∫ f (t ) cos nωt dt = 12 a0 + a1 x 0 +a2 x 0+ …+a n∫ cos 2 ( nωt ) dt+ b1 x0 +b 2 x 0 +…+ bn x 0
0
0
T

f ( t ) cos nωt dt=¿ an∫ cos2 ( nωt ) d t
0

T

∫¿
0

f ( t ) cos nωt dt=¿ an (

π
)
ω

T

∫¿
0

c. Dengan demikian, an dapat ditemukan dengan rumus :

T

2
an = ∫ f (t ) cos nωt dt
T 0
c.

Untuk mencari bn.
Untuk menemukan rumus mencari besar an, maka langkah-langkahnya adalah :
a. Kembalikan persamaan ke bentuk trigonometri awal
1
INGAT
f ( t )= a 0+ a1 cos ωt +a2 cos 2 ωt +a2 cos 3 ωt +…+b 1 sin ωt +b 2 sin 2 ωt +b3 sin 3 ωt
2
Nilai dari fungsi sinusoida :

sin nωt

b. Kalikan dengan

kemudian integralkan kedua ruas dengan batas 0

sampai T.
T
T
T
T
T
1
f
(
t
)
=
sin
(
nωt
)
dt=0
∫
∫ f (t ) sin nωt dt=∫ 2 a0 sin nωt d t+∫ a1 cos0ωt . sin nωt dt +∫ a2 cos 2ωt . sin nωt dt +∫ a 3 cos 3 ωt . sin nωt dt+…
0
0
0
0
0
T

T
2

f ( t )=∫ sin ( nωt ) dt=
0

π
ω

T

f ( t )=∫ sin ( mωt ) cos ( nωt ) dt=0
0

Resume Rangkaian Listrik 2 7
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

Sehingga ,
T

T

∫ f (t ) sin nωt dt= 12 a0 +a1 x 0+ a2 x 0 + …+ an x 0+ b1 x 0 +b 2 x 0 +…+b n∫ sin 2 ( nωt ) dt
0
0
T

f ( t ) sin nωt dt=¿ b n∫ sin 2 ( nωt ) dt
0

T

∫¿
0

π
f ( t ) sin nωt dt=¿ b n ( )
ω
T

∫¿
0

c. Dengan demikian, bn dapat ditemukan dengan rumus :

T

bn =


2
∫ f ( t ) sin nωt dt
T 0

Jadi, koefisien Fourier yang telah kita dapatkan memiliki persamaan :
T

2
a0 = ∫ f (t ) dt .
T 0
T

an =

2
∫ f (t ) cos nωt dt
T 0

Contoh soalT :
2
bn = ∫ f ( t ) sin nωt dt
T 0

Resume Rangkaian Listrik 2 8
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

Tulislah deret Fourier dari gelombang gigi gergaji seperti pada gambar di atas. Pola
gelombang , kontinyu untuk 0 < t < T dan tidak kontinyu (diskontinyu) pada t = 0, T,
2T, 3T, ...
Jawab :
Langkah-langkahnya :
1.
Tentukan terlebih dahulu fungsi f(t). Kita lihat satu gelombang, dimana y = 4 dan
T = 0,2. Maka fungsinya :
4
4
f ( t )= .t=
t
T
0,2
¿ 20 t
f ( t )=20 t
2.

Hitung besar a0, yaitu dengan menggunakan rumus :
T
2
a0 = ∫ f (t ) dt .
T 0
Sehingga ,
T

2
a0 = ∫ 20t dt .
0,2 0
¿

2
T
¿

3.

Hitung besar an, yaitu dengan menggunakan rumus :
T
2
an = ∫ f (t ) cos nωt dt
T 0
Sehingga ,

Resume Rangkaian Listrik 2 9
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

T

2
an = ∫ 20 t cos nωt dt .
T 0

Menggunakan metode integral
Parsial

T

¿

40
∫ t cos nωt dt .
T 0

¿
¿

{[

]

40
2π
1
0 . 2 sin n
T +
[ cosnwt −cos0 ]
0. 2 nw
T
nw

}

¿
4.

Hitung besar bn, yaitu dengan rumus :
T
2
bn = ∫ f ( t ) sin nωt dt
T 0
Sehingga,

2 T
2 T
f
(
t
)
sin
nω
tdt=
∫
∫ 20 t sin nω tdt
T 0
T 0
20
¿−
[ t cos nωt ] T0 −1 [ sin nωt ]T0
nω
nw
20
¿−
[ T −0 ] −1 [ 0−0 ]
nω
nω
20( 0 .2 )2
20
0,4
2
¿−
.T =−
=−
n2π
2 πn
πn
bn =

{
{

5.

}

}

Setelah mendapatkan ketiga koefisien, maka tentukan fungsi f(t):

a0

0,4
0,4
0,4
sin ωt−
sin 2 ωt−
sin 3 ωt −.. .
2
πn
2π
3π
0,4 ∞ sin nωt
=2−
∑n
π n=1

Y =f ( t )=

III.

+ 0−

DERET FOURIER FUNGSI EKSPONENSIAL
e jnωt =cos . nωt + jsin . nωt … …(1)
e

jnωt

=cos . nωt− j sin .nωt … …(2)

Resume Rangkaian Listrik 2 10
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

-

Jika persamaan 1 dan 2 dijumlahkan
cos . nωt=

-

e jnωt + e− jnωt
2

Jika persamaan 1 dan dikurangkan
sin . nωt=

e

jnωt

− jnωt

−e
2

∈. nωt

Perubahan deret Fourier
1
e jnωt +e− jnωt
e j 2 nωt +e− j 2 nωt
f ( t )= a 0+ a1
+ a2
+…
2
2
2
b

e jnωt + e− jnωt
e j2 nωt +e− j 2 nωt
+ b2
+…
2
2

e
1
a1 (¿ ¿ jωt +e− jωt )+ a2 ( e j 2 ωt +e− j 2 ωt ) +…
2
1
1
f ( t ) = a 0+ ¿
2
2
e
1
(¿ ¿ jnωt −e− jωt )+ bj 2 ( e j 2 ωt −e− j 2 ωt ) +…
2
−1
jb1 ¿
2
a
a
(¿ ¿ 1− jb 1)e− jωt + …
1
(¿ ¿ 1− jb 1 )e jωt + ¿
2
1
1
f ( t ) = a0 + ¿
2
2
a
a
(¿ ¿ 2− jb 2)e− j 2 ωt +…
1
(¿ ¿ 2− jb2 ) e j2 ωt + ¿
2
1
¿
2

Resume Rangkaian Listrik 2 11
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

Misal
1
( a − jbn )= A n
2 n
1
( a + jbn )= A(−n)
2 n
1
a =A 0
2 0

f ( t )= A 0+ A 1 e

jω t

− jωt

A−1 e

+ A2e

j 2 ωt

+ A3 e

− j 2 ωt

+ A−2 e

− j 2 ωt

f ( t )=…+ A−2 e

f ( t )=∑ A n e

+…+ ¿

− j 3 ωt

+ A−3 e

− jωt

+ A−1 e
jωt

j 3 ωt

+…

0

jωt

+ A0 e + A 1 e + A 2 e

j2 ωt

+…

..(n=… ,−2,−1,0,1,2)

Untuk menentukan koefisien fourier, diperlukan integral fungsi eksponensial dan
perkalian fungsi eksponensial sebagai berikut:
T

1¿ . ∫ e jnωt dt=
0

1
T

jnω [ e jnωt ] 0

2π

(

jn
T
1
0
¿
e T −e
jnω

¿

1
( e jn 2 π −1 )
jnω

e jn 2 π =cos n 2 π + j sin n2 π
¿ 1+0=1
T

1
(1−1 )=0
∫ e jnωt = jnω
0

T

2 ¿ .∫ e
0

T
jnωt

e

jmωt

=∫ e j n +m ωt dt
(

0

)

)

Resume Rangkaian Listrik 2 12
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

¿

1
T

j ( n+ m ) ω [ e j(n+m )ωt ] 0
2π

(

¿

j (n+m )
T
1
T
e
−e 0
j ( n+ m ) ω

¿

1
(1−1 )=0
j ( n=m ) ω

)

f ( t )=…+ A 2 e− j 2 ωt + A−1 e− jωt + A 0 e0 + A 1 e jωt + A 2e j 2 ωt + …
Jika deret fourier diintegralkan


T

T

T

∫ f (t ) dt=…+ A−2∫ e

− j 2 ωt

0

0

T

dt+ A−1∫ e

− jωt

0

T

dt + A 0∫ dt+ A 1∫ e
0

0

T
jωt

dt+2 ∫ e j 2 ωt dt+ …
0

T

∫ f (t ) dt =…+0+ 0+ A 0 T + 0+0+…
0

T

1
A 0= ∫ f ( t ) dt
T 0


Jika deret fourier dikalikan dengan e jnωt dan kemudian di integralkan
T

T

T

T

∫ f (t ) e jnωt dt=…+ A−2∫ e− j 2 ωt e− jnωt dt + A−1∫ e− jωt e− jnωt dt+ A 0 ∫ e− jnωt dt+¿
0

0

0

T

A 1∫ e

T
jωt

− jnωt

e

0



dt + A 2∫ e

0

T
j 2 ωt − jnωt

e

0

dt+ …+ An∫ e

jnωt

− jnωt

e

dt

0

Hasil integral ruas kanan semua nol kecuali An
T

T
− jnωt

∫ f (t ) e
0

dt = An∫ dt =AnT
0

T

1
∫ f (t ) e− jnωt dt
T 0
Jika koefisien deret bentuk eksponential dapat di hitung dari persamaan
An=



T

1
A 0= ∫ f ( t ) dt n=bilanganbulat negtif dan positif
T 0
T

An=


1
∫ f (t ) e− jnωt dt
T 0

Hubungan antara koefisien fourier bentuk sinosoida dengan bentuk eksponential
1
A 0= a 0
2
a 0=2 A 0

Resume Rangkaian Listrik 2 13
Deret Fourier Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

1
1
An+ A−n= ( an− jbn )− ( an+ jbn )
2
2
an=An+ A−n
1
1
An−A−n= ( an− j bn )− ( an+ jbn )=− jbn
2
2
bn= j( An− A−n)

IV.

SOAL DAN JAWABAN
DAFTAR PUSTAKA

Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik. Jakarta: Erlangga.
Guntoro, Nanang Arif. 2013. Fisika Terapan. Jakarta: Rosda