Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN pdf

Kalkulus

Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN

Menggambar Grafik Fungsi
Contoh: Gambarlah grafik dari fungsi berikut!

x2  2x  4
x2
Beberapa informasi yang diperlukan untuk mengambar grafik dari fungsi tersebut adalah
sebagai berikut!
f ( x) 

Titik Potong dengan Sumbu-x dan Sumbu-y

x2  2x  4
a. Titik potong dengan sumbu-x diperoleh jika y=0, sehingga
 0 , akibatnya
x2
x 2  2 x  4  0  ( x  1) 2  3  0  ( x  1) 2  3

Tidak ada nilai x yang memenuhi sehingga f tidak punya titik potong dengan sumbu-x.

b. Titik potong dengan sumbu-y diperoleh jika x=0, sehingga y 

0 2  2(0)  4
 2
02

Jadi f berpotongan dengan sumbu-y di (0, -2)
Turunan Pertama

Perhatikan bahwa f ( x) 

f ' ( x) 
Jika f

=0,

x2  2x  4
maka

x2

2 x  2( x  2)  x 2  2 x  41  x 2  4 x  xx  4
x  22 x  22
x  22
xx  4

aka kita peroleh

x  22

0

Titik pemecahan x=0, x=4, dan x≠2
+++

--0

---

+++

2

4

Berdasarkan turunan pertama kita peroleh:
a. Interval Kemonotonan
Monoton naik, f
0, yaitu pada (
Monoton turun, f
0, yaitu pada

]

(

]
1

Aplikasi Turunan
b. Titik Kritis
Titik Stationer, f
Titik singular, f

= 0, aitu ketika =0 da =4
tidak ada, aitu ketika =2

c. Nilai Ekstrim (Nilai Maksimum dan Minimum Lokal)
Nilai f(c), di mana c adalah titik kritis dan terjadi perubahan kemonotonan
c = 0 maka f(0) = -2 (maksimum, perubahan tanda dari monoton naik ke monoton turun)
c = 4 maka f(4) = 6 (minimum, perubahan tanda dari monoton turun ke monoton naik)
c = 2 maka f(2) tidak ada, sehingga bukan nilai maksimum atau minimum lokal
Turunan Kedua

Perhatikan bahwa f ' ( x) 

x2  4x

x  22

maka

f ' ( x) 

x  23
8

- --

dengan x ≠ 2

+++
2

Berdasarkan turunan kedua kita peroleh
1. Interval Kecekungan
Cekung ke atas, f
0, yaitu pada (
Cekung ke bawah, f

0, yaitu pada (

2. Titik Belok
Titik dimana f
=0 atau f
tidak ada terjadi peru aha ke eku ga
Karena f 2 tidak ada, aka titik elok terjadi pada = 2.
Asimtot
Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi,
yakni
(i) Asimtot Tegak
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika lim f ( x)  
x c
(ii) Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika lim f ( x)  b
x  
(iii) Asimtot Miring
f ( x)
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika lim
 a dan lim f ( x)  ax  b

x  
x  
x
Untuk mencari asimtot dari fungsi f, maka kita harus mencari nilai limit ketika x
ketika x
, di mana f(c) tidak ada.

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------

dan

2

Aplikasi Turunan
1. Asimtot tegak

lim f ( x)  lim

x 2

x 2

x2  2x  4
 
x2

x2  2x  4
 
x 2
x 2
x2
Jadi fungsi f memiliki asimtot tegak yaitu garis x=2
2. Asimtot Datar

lim f ( x)  lim

x2  2x  4
 
lim f ( x)  lim
x

x
x2
Jadi fungsi f tidak memiliki asimtot data
3. Asimtot miring
4
x2
f ( x)
x 1
 lim
lim
x
x


x2
x

4
x2  2x  4 x2  2x
x2  2x  4

 lim
0

 x  lim
x
x
x
x x  2
x2
x2
x2
Jadi fungsi f memiliki asimtot miting yaitu garis y=x.
lim f ( x)  x  lim

Grafik

Berikutnya tinggal menggambar grafik dari fungsi f ( x) 

x2  2 x  4
x2

y

0
x

x=2

Latihan 6
Gambarlah grafik dari fungsi

a . f ( x) 

x2
x2  4

b. f ( x) 

x 4 x3

 x2  1
4
3

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------

3

Aplikasi Turunan

Aturan L’Hopital
Atura L Hopital digu aka u tuk

1. Bentuk

0
0

Aturan lim
x c

Contoh
x0

lim

x2




Aturan lim
x c

0 
, , 0. ,   
0 

f ' ( x)
f ( x)
 lim
x

c
g ( x)
g ' ( x)

1  cos 2 x

2. Bentuk

e ari ilai li it a g e tuk a

 lim

2 sin 2 x
4 cos 2 x
 lim
2
2
x0 2 x
x0

f ' ( x)
f ( x)
 lim
x

c
g ( x)
g ' ( x)

Contoh

x2  x  1
2
2x 1
 lim  1
 lim
x  x 2  3 x  5
x  2
x  2 x  3

lim

3. Bentuk 0  

Aturan: ubah menjadi bentuk
Contoh

0

atau
0


lim x2 csc x  lim
x 0

2x
x2
 lim
0
x0 sin x
x0 cos x

4. Bentuk   
Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan
menyederhanakan bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang
telah dikenal sebelumnya.

 1
1  cos x
cos x 
sin x
  lim
 lim
0
lim csc x  cot x  lim 

x0
x0  sin x sin x  x0 sin x
x0 cos x

Contoh

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------

4

Aplikasi Turunan

Mencari Nilai Maksimum-Minimum
Turunan dapat dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan
masalah memaksimumkan/meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan
adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah. Setelah itu gunakan aturanaturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum
Contoh
Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar
luasnya maksimum .
Jawab:
Misal y = panjang dan x = lebar

Contoh
Sehelai karton berbentuk persegi panjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat
kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan
melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum.
Jawab:
Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang x,
sehingga

Sehingga diperoleh titik stasioner x = 18 dan x = 5

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------

5

Aplikasi Turunan

Latihan 7
Selesaikan persoalan berikut dengan aplikasi turunan!
1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasil kalinya minimum
2

2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 cm dan kelilingnya minimum
3. Tentukan titik pada garis 6x + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,1)
4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar dengan alas pada sumbu x
serta dua titik sudutnya di atas sumbu x serta terletak pada parabola y  8  x 2

5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesar sehingga dapat
diletakkan dalam lingkaran berjari-jari r

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------

6