Ayu Dwi Asnantia 09320042

(1)

TUGAS KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA

“ DIMENSI TIGA “

10 soal dengan pembahasannya

Oleh : Ayu DWi Asnantia

(2)

A B

C D

E _F

G H

O P

8√3

1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8

√

3 cm. Titik O merupakan titik potong diagonal bidang atas. Jarak titik O ke BCGF adalah …

Jawab:

Jarak titik O ke BCGF adalah

OP=1

2. AB

OP=1

2.8

√

3 cm

¿4

√

3 cm

(3)

A B O

C P

2. Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tengah 12

√

2 cm. Jarak A ke TC adalah …

Jawab :

Jarak A ke TC = AP

∆ APT adalah∆ siku−sikudi P

AT=12

√

2 cm ; TC=12

√

2 cm TP=1

2TC

¿1

2.12

√

¿6

√

2 cm AT¿2−(TP)2

AP=√¿

√

(12

√

2)2−(6

√

2)2

√

288−72

√

216

¿6

√

6 cm

(4)

A B

C D

E _F

G H

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. P adalah titik tengah rusuk EH. Tentukan jarak titik P ke diagonal ruang AG !

Jawab : AG=s

√

¿10

√

3 cm AQ=1

2. AG

¿1

2.10

√

¿5

√

3 cm

∆ AEPmerupakan segitiga siku−siku di E , sehingga AP=

√

(AE)2+(AP)2

√

102+52

√

100+25

√

125

AP2=125

Jarak titik P ke AG adalah PQ PQ=

√

(AP)2−(AQ)2

√

125−(5

√

3)2

√

125−75

√

50=5

√

2 cm

(5)

A B

C D

E _F

G H

4. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Besar sudut antara garis DE dan HF adalah …

JAwab :

Garis DE dan HF bersilangan∠(DE , HF)=∠(DE , BD)=∠BDE BD∥HF

karena BD=BE=DE=4

√

2, maka△BDE samasisi . jadi ,∠BDE=60°

(6)

A B O

C θ

5. Sebuah Limas T.ABCD dengan alas ABCD bentuk persegi panjang. AB = 8 cm, BC=6cm, dan TA=TB=TC=TD= 13 cm. Besar sudut antara TA dan bidang alas ABCD adalah θ . Berapakah nilai dari sinθ ?

JAwab :

AC¿2=(AB)2+(BC)2

¿82 +62

¿64+36

¿10

AC=10

AO=1

2. AC

¿1

2.10=5

¿=

√

(TA)2−(AO)2

(7)

√

169−25

√

144

¿12

Sudut antaraTA dan bidang alas ABCD adalah∠TAO=θ ,sinθ= ¿ TA=

12 13

(8)

A B C D E _F G H A B C D E _F G H C’ O 6. Dari kubus ABCD.EFGH diketahui:

i. CE tegak lurus AH

ii. Bidang AFH tegak lurus bidang CFH iii. FC dan BG bersilangan

iv. Bidang AFH dan EBG berpotongan

Dari pernyataan di atas, yang benar adalah … a. i , ii , dan iii

b. i , iii, dan iv c. ii dan iii d. ii dan iv e. i dan iv JAwab :

Perhatikan Kubus ABCD.EFGH berikut !

i. CE tegak lurus AH ( benar ).

ii. Bidang AFH ⊥ CFH ( salah). Seharusnya berpotongan dan titik potongnya garis HF.

iii. FC dan BG bersilangan (salah). Seharusnya FC berpotongan dengan BG karena dalam satu bidang.

iv. Bidang AFH dan EBG berpotongan ( BEnar).

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Panjang proyeksi BC pada bidang BDG adalah …

(9)

Perhatikan gambar di atas. Proyeksi BC pada bidang BDG = BC’ OB=OC=1

2.6

√

2=3

√

OG=

√

(OC)2+(CG)2

√

2)2+62 =3

√

6 cosα=OC

' OC =

OC OG

¿OC '

√

2= 3

√

2 3

√

6→ OC

' =

√

B C'=

√

(OB)2+(OC)2

(10)

A B

C D

E _F

G H

8. Diketahui ABCD.EFGH adalah sebuah kubus yang rusuk – rusuknya 5 cm. tentukan panjang titik B ke Bidang ACGE!

Jawab :

BM=1

2. BD

BD=

√

(AD)2+(AB)2

√

52 +52

√

25+25=

√

50=5

√

Jarak titik B ke bidang ACGE adalah sama dengan jarak BM, yaitu :

¿1

2.5

√

2= 5 2

√

(11)

A B

C D

G H

K P

12 cm

9. Pada kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk – rusuknya 12 cm, titik K, L, dan M berturut – turut merupakan titik tengah BC, CD dan CG. Hitunglah jarak antara bidang AFH dengan bidang KLM !

Jawab :

Jarak diagonal ruang CE= 12

√

3cm . EP=1

3.12

√

3cm=4

√

3cm

CQ=1

2EP=2

√

3cm

Maka jarak

PQ=12

√

3−4

√

3−2

√

3=6

√

3 cm

Jadi, jarak antara bidang AFH dengan bidang KLM adalah 6

√

3 cm. L

(12)

A B

C D

E _F

G H

10. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. sudut α adalah sudut antara bidang ACH dengan ACD. Tentukan tanα !

Jawab : HD=a c m DB=a

√

2cm DM=a

√

2cm tanα=HD

DM= a a

√

¿ 2a

√

2= 2

√

(1)

√

169−25 ¿

√144

¿12

Sudut antaraTA dan bidang alas ABCD adalah∠TAO=θ ,sinθ= ¿ TA=

12 13

(2)

A B C D E _F G H A B C D E _F G H C’ O

6. Dari kubus ABCD.EFGH diketahui:

i. CE tegak lurus AH

ii. Bidang AFH tegak lurus bidang CFH

iii. FC dan BG bersilangan

iv. Bidang AFH dan EBG berpotongan

Dari pernyataan di atas, yang benar adalah … a. i , ii , dan iii

b. i , iii, dan iv c. ii dan iii d. ii dan iv e. i dan iv JAwab :

Perhatikan Kubus ABCD.EFGH berikut !

i. CE tegak lurus AH ( benar ).

ii. Bidang AFH ⊥ CFH ( salah). Seharusnya berpotongan dan titik potongnya

garis HF.

iii. FC dan BG bersilangan (salah). Seharusnya FC berpotongan dengan BG karena

dalam satu bidang.

iv. Bidang AFH dan EBG berpotongan ( BEnar).

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Panjang proyeksi BC pada bidang BDG adalah …

(3)

Perhatikan gambar di atas. Proyeksi BC pada bidang BDG = BC’

OB=OC=1

2.6

√

2=3

√

2 OG=

√

(OC)2+(CG)2 ¿

√

2)2+62₌₃

√

6 cosα=OC

OC = OC OG ¿OC '

√2

= 3

√

2 3

√

6→ OC

√

B C'=

√

(OB)2+(OC)2 ¿

√

2)2+(

√6)

2=2

√

(4)

A B

C D

E _F

G H

8. Diketahui ABCD.EFGH adalah sebuah kubus yang rusuk – rusuknya 5 cm. tentukan panjang titik B ke Bidang ACGE!

Jawab :

BM=1 2. BD

BD=

√

(AD)2+(AB)2 ¿

√

52₊₅2

√

25+25=

√

50=5

√

Jarak titik B ke bidang ACGE adalah sama dengan jarak BM, yaitu :

¿1

2.5

√

2= 5 2

√

(5)

A B

C D

G H

K P

12 cm

Jawab :

Jarak diagonal ruang CE= 12

√

3cm .

EP=1

3.12

√3

cm=4

√3

cm CQ=1

2EP=2

√3

Maka jarak

PQ=12

√

3−4

√

3−2

√

3=6

√

3 cm

Jadi, jarak antara bidang AFH dengan bidang KLM adalah 6

√

3 cm.

(6)

A B

C D

E _F

G H

10. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. sudut α adalah sudut

antara bidang ACH dengan ACD. Tentukan tanα !

Jawab :

HD=a c m DB=a

√2

cm DM=a

√

2cm tanα=HD

DM= a a 2

√

2 ¿ 2a

√

2= 2

√

√2

√

√2

jadi ,tanα adalah