Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramita 22d9e bab 2 matriks
2.
MATRIKS
1.
Pengertian Matriks
Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf kecil. Misalkan A = [aij], artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij, dimana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut.
Pandang matriks A=[aij], i = 1,2,3,... m dan j = 1,2,3,... n; yang berarti banyaknya baris m serta banyaknya kolom = n
A =
[
]
Boleh juga ditulis A(mxn) = [aij], diman (m x n) adalah ukuran (ordo) dari matriks Matriks dengan dimensi baris m = 1 disebut dengan vektor baris atau matriks baris. Sedang dengan dimensi kolom n = 1 disebut dengan vektor kolom atau matriks kolom.
B = [b1 b2 ... bn] C = [
]
2.
Operasi-operasi pada Matriks
a. Kesamaan Dua Buah Matriks
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B), bila ukurannya sama dan berlaku [aij] = [bij] untuk setiap i dan j.
Contoh :
A =[
(2)
b. Penjumlahan Matriks
Jumlah dua matriks A + B bisa dilakukan asalkan kedua matriks tersebut berukuran sama, yaitu :
A + B = [aij + bij] = [
]
Contoh :
1. A =[
] dan B = [ ] maka
A + B = [
] + [ ] = [ ] = [ ]
2. Dalam pengolahan citra digital, operasi kecerahan (brightness) merupakan operasi penjumlahan dua buah matriks, yaitu matriks sembarang dijumlah dengan matriks konstan menggunakan persamaan berikut:
C = A + B
A adalah matriks citra semula B adalah matriks konstan
C adalah matriks hasil operasi brightness
Misalkan sebuah matriks [
] mewakili citra ibu Kartini
Dilakukan operasi brightness menggunakan matriks konstan [
]
C = [
] + [ ] = [
]
(3)
C = + [
] =
Normal Terang
Bila dilakukan operasi brightness menggunakan matriks konstan
[
], maka
C = [
] + [
] = [
]
C = + [
] =
Normal Gelap
c. Perkalian Matriks dengan Skalar
Kalau k suatu skalar, maka matriks kA = [kaij] diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
kA = [kaij] =
[
]
Jika A, B, C adalah matriks berukuran sama, dan λ adalah skalar maka:
1. A + B = B + A (komutatif)
2. (A + B) + C = A + (B + C) (asosiatif)
3. λ(A +B) = λA + λB (distributif) Contoh :
1. A =[
(4)
2. Selain dengan menggunakan operasi penjumlahan matriks, brightness juga bisa menggunakan operasi perkalian matriks dengan skalar.
Misalkan sebuah matriks [
] mewakili citra ibu Kartini
C = 2. [
] = [
]
C = 2. =
Normal terang
d. Pengurangan Matriks
Mengurangi matriks A dengan B, (A – B) adalah menjumlahkan matriks A dengan matriks (-B)
Contoh :
1. A =[
] dan B = [ ] maka
A – B = A + (-B) =[
] + [ ] = [ ]
2. Dalam pengolahan citra digital, operasi negasi merupakan operasi pengurangan matriks konstan dengan matriks sembarang menggunakan persamaan berikut: C = 255 – A
Misalkan matriks A = [
] mewakili citra Maka operasi negasi:
C=[
]-[
]=[
]
(5)
3. Detektor gerak adalah alat yang digunakan untuk mendeteksi obyek-obyek yang bergerak. Bila diberikan citra yang didalamnya terdapat lebih dari satu obyek. Bagaimana komputer bisa mendeteksi obyak-obyek mana yang bergerak?
Jawab:
Setiap selang waktu tertentu komputer menyimpan citra yang dideteksi. Misalnya saat t1 komputer menyimpan citra 1, dan saat t2 komputer menyimpan citra 2. Untuk mendeteksi obyek yang bergerak, komputer menggunakan pengurangan matriks (citra). Setelah citra 1 dikurangi dengan citra 2, hasilnya adalah smua obyek dalam citra yang tidak bergerak menjadi nol (gambar obyeknya tidak ada), sedangkan obyek yang bergerak tidak nol (tetap tampak gambar obyeknya).
Misalkan matriks A = [
] mewakili citra
Misalkan matriks B = [
] mewakili citra
Proses deteksi gerak: C = A – B
C = [
] - [ ] = [ ]
C = - =
Tampak bahwa obyek yang bergerak adalah segitiga dan oval.
e. Perkalian Matriks
Pada perkalian matrik AB, matriks A kita sebut matriks pertama dan B matriks kedua. Syarat perkalian matriks : banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks kedua.
Hasil perkalian antara matriks A = [aij] berordo m x p, dengan matriks B = [bij] berordo p x n, adalah matriks C = [cij] berordo m x n, dengan nilai :
(6)
Cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj = ∑ Dimana untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n
A = [
] dan B = [
]
Maka :
C = AB = [
][
]
= [
]
= [
]
Bagaiman bila C =BA ? Pada umumnya perkalian matriks AB ≠ BA
Beberapa hukum pada perkalian matriks
Jika A, B, C matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka :
1. A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA +CA, memenuhi hukum distributif
2. A(BC) = (AB)C, memenuhi hukum asosiatif
3. Perkalian tidak komutatif, AB ≠ BA
4. Jika AB = 0 yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkinannya :
a. A = 0 dan B = 0 b. A = 0 atau B = 0 c. A ≠ 0 dan B ≠ 0
(7)
Latihan soal:
1. Jika A = [
] dan B = [ ] , hitunglah A + B dan A + A + A
2. Jika A = [
] dan k = 5, hitunglah B = kA
3. Jika P = [
], Q = [ ] dan Z = [
], hitunglah PQ, QP dan PZ
4.
Jika A= [ ] dan B = []
Pandang suatu matriks A = [aij] berukuran (m x n), maka tranpose dari A adalah matriks AT berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A, i = 1, 2, ..., m sebagai kolom ke-i dari AT. Dengan kata lain:
AT = ATnxm = [aji] =
[
]
Contoh :
1. A = [
]
maka AT = [
]
2. Sebuah citra Lena mengalami transpose menjadi citra LenaT
Citra asli Citra hasil transpose Beberapa sifat matriks transpose :
1. (A + B)T = AT + BT 2. (AT)T = A
(8)
4. (AB)T = BT AT
3.
Beberapa JenisMatriks
1. Matriks Bujur Sangkar
Adalah suatu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya, berukuran n. Barisan elemen a11, a22, ..., ann disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut.
Contoh :
A = [
]
adalah matriks bujur sangkar 3
2. Matriks Nol
Adalah matriks yang semua elemennya nol Contoh :
A = [
]
adalah matriks nol berukuran 3x3
3. Matriks Diagonal
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol. Dengan kata lain, A = [aij] = 0 untuk i ≠ j.
Contoh:
A = [
]
adalah matriks diagonal
(9)
Adalah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonal utamanya semua 1, sedangkan elemen yang lainnya adalah 0. Dengan kata lain, A = [aij] adalah matriks satuan jika [aij] = 1, 1 = j, dan [aij] = 0 untuk i ≠ j. Matriks identitas biasanya ditulis In dimana n menunjukkan ukuran matriks tersebut.
Contoh :
A = [
]
adalah matriks identitas
5. Matriks Skalar
Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utamanya sama, yaitu k Contoh :
A = [
]
adalah matriks skalar dengan elemen diagonalnya 37.
Matriks tersebut dapat ditulis dengan 37.I = 37 [
]
6. Matriks Segitiga Bawah (lower triangular)
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utamanya adalah 0. Dengan kata lain, [aij] adalah matriks segitiga bawah bila aij = 0untuk i< j
Contoh :
[ ]
adalah matriks segitiga bawah
7. Matrik Segitiga Atas (upper triangular)
Adalah mattriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utamanya adalah 0. Dengan kata lain, [aij] adalah matriks segitiga atas bila aij = 0 untuk i > j
(10)
Contoh :
[ ]
adalah matriks segitiga atas
8. Matriks Simetris
Adalah matriks yang tranposenya sama dengan dirinya sendiri, dengan kata lain jika A = AT atau aij = aji untuk semua i dan j
Contoh :
A = [
]
dan AT = [
]
, karena A = AT maka A adalah simetris
9. Matriks Antisimetris
Adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya. Dengan kata lain, jika AT = -A atau aij = - aij untuk semua i dan j.
Contoh :
A = [
], transposenya adalah A
T =[
]
Karena AT = -A, maka A adalah matriks antisimetris
10.Matriks Invers
Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I, maka B invers dari A ditulis B = A-1 dan sebaliknya A adalah invers dari B, ditulis A = B-1.
Contoh :
Buktikan bahwa invers dari matriks A = [
], adalah A-1 =[
(11)
Bukti :
AA-1 = [
][
]
= [
]
= I (terbukti)
11.Matriks Komutatif
Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.
Contoh :
A = [
] dan B = [ ] , maka A dan B berkomutatif karena :
AB = [
][ ] = [ ]
BA = [
][ ] = [ ]
AB = BA
12.Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten
Bila berlaku AA = A2 = A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten. Bila p bilangan asli terkecil sehingga AA...A = A, maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p-1. Kalau AT = 0, dikatakan A nipolten dengan indeks r.
Contoh :
A = [
]
adalah nipolten dengan indeks = 3. Karena
A3 = [
][ ][ ]
= [
]
(12)
5.
Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom suatu Matriks
Ada 6 transformasi (operasi) elementer pada baris/kolom suatu matriks A, yaitu :
1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j, ditulis Hij(A)
A = [
]
maka H12(A) = [
]
2. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j, ditulis Kij(A)
A = [
]
maka K12(A) = [
]
3. Mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar λ, ditulis Hi(λ)(A) atau λbi(A)
Contoh :
A = [
]
maka H3(-2)(A) = [
]
4. Mengalikan elemen-elemen kolom ke-i dengan skalar λ, ditulis Ki(λ)(A) atau
λki(A)
A = [
]
maka K2(3)(A) = [
]
5. Menambahkan baris ke-i, dengan λ kali baris ke-j ditulis Hij(λ)(A)
A = [
]
maka H13(-2)(A) = [
]
(13)
6. Menambahkan kolom ke-i, dengan λ kali kolom ke-j ditulis Kij(λ)(A)
A = [
]
maka K21(3)(A) = [
]
6.
Matriks Ekuivalen
Dua matriks A dan B dikatakan ekuivalen (A ~ B) bila salah satu matriks tersebut dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi elementer terhadap baris atau kolom. Jika transformasi elementernya pada baris elementer saja, dikatakan ekuivalen baris, dan jika pada kolom saja, dikatakan ekuivalen kolom.
Contoh :
A = [
] dan B = [ ] adalah ekuivalen baris, karena B = H12(A)
7.
Matriks Elementer
Adalah suatu matriks yang dihasilkan dari satu kali transformasi elementer terhadap suatu matriks identitas I.
Contoh :
H13(I) = [
]
, H31(2)(I) = [
]
K13(I) = [
]
, H32(2)(I) = [
]
8.
Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu Matriks
Ruang baris dari matriks A (mxn) adalah suatu ruang vektor bagian dari Rn yang dibentuk dari vektor-vektor baris dari A.
(14)
Ruang kolom dari matriks A (mxn) adalah suatu ruang vektor bagian dari Rn yang dibentuk dari vektor-vektor kolom dari A.
Contoh :
A = [
]
Ruang baris dari matriks A adalah : [2 3 1], [2 1 2], [4 4 3]
Ruang kolom dari matriks A adalah : [ ] [ ] [ ]
Latihan soal :
1. Hitunglah 4A2– 8A + 4I2, bila A = [
]
2. Tunjukkan bahwa A adalah matriks idempoten, A = [
]
3. Diketahui A = [
]
, matriks B dihasilkan dari sederetan transformasi elementer H31(2), H12(2), H12, K41(1), K3(2) terhadap A. Carilah B tersebut.
4. Diketahui K = [
]
dan L = [
]
jika K = L maka c2 + 4b – a = ...
5. Diketahui [ ] = [ ] maka 4p + 3q = ...
6. Jika A = [
] B = [ ] C =[ ] maka bentuk yang paling sederhana dari
(2A+C) – (3AT+4B) adalah ....
7. Hasil kali [
][ ]
(15)
8. 2 [
] + 3 [ ] + k [ ] = [
]
maka : 2k + 5 = ...
9. Jika [
][ ] = [ ] maka nilai : 2a + 4b = ...
10.Jika diketahui matriks A = [
(1)
Contoh :
[ ]
adalah matriks segitiga atas
8. Matriks Simetris
Adalah matriks yang tranposenya sama dengan dirinya sendiri, dengan kata lain jika A = AT atau aij = aji untuk semua i dan j
Contoh :
A = [
]
dan AT = [
]
, karena A = AT maka A adalah simetris
9. Matriks Antisimetris
Adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya. Dengan kata lain, jika AT = -A atau aij = - aij untuk semuai dan j.
Contoh :
A = [
], transposenya adalah A
T
=[
]
Karena AT = -A, maka A adalah matriks antisimetris
10.Matriks Invers
Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I, maka B invers dari A ditulis B = A-1 dan sebaliknya A adalah invers dari B, ditulis A = B-1.
Contoh :
[ ] -1
(2)
Bukti :
AA-1 = [
][
]
= [
]
= I (terbukti)
11.Matriks Komutatif
Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.
Contoh :
A = [
] dan B = [ ] , maka A dan B berkomutatif karena : AB = [
][ ] = [ ] BA = [
][ ] = [ ] AB = BA
12.Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten
Bila berlaku AA = A2 = A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten. Bila p bilangan asli terkecil sehingga AA...A = A, maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p-1. Kalau AT = 0, dikatakan A nipolten dengan indeks r.
Contoh :
A = [
]
adalah nipolten dengan indeks = 3. Karena
A3 = [
][ ][ ] = [
]
(3)
5.
Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom suatu Matriks
Ada 6 transformasi (operasi) elementer pada baris/kolom suatu matriks A, yaitu :
1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j, ditulis Hij(A)
A = [
]
maka H12(A) = [
]
2. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j, ditulis Kij(A)
A = [
]
maka K12(A) = [
]
3. Mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar λ, ditulis Hi(λ)(A) atau λbi(A)
Contoh :
A = [
]
maka H3(-2)(A) = [
]
4. Mengalikan elemen-elemen kolom ke-i dengan skalar λ, ditulis Ki(λ)(A) atau λki(A)
A = [
]
maka K2(3)(A) = [
]
5. Menambahkan baris ke-i, dengan λ kali baris ke-j ditulis Hij(λ)(A)
A = [
]
maka H13(-2)(A) = [
]
(4)
6. Menambahkan kolom ke-i, dengan λ kali kolom ke-j ditulis Kij(λ)(A)
A = [
]
maka K21(3)(A) = [
]
6.
Matriks Ekuivalen
Dua matriks A dan B dikatakan ekuivalen (A ~ B) bila salah satu matriks tersebut dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi elementer terhadap baris atau kolom. Jika transformasi elementernya pada baris elementer saja, dikatakan ekuivalen baris, dan jika pada kolom saja, dikatakan ekuivalen kolom.
Contoh :
A = [
] dan B = [ ] adalah ekuivalen baris, karena B = H12(A)
7.
Matriks Elementer
Adalah suatu matriks yang dihasilkan dari satu kali transformasi elementer terhadap suatu matriks identitas I.
Contoh :
H13(I) = [
]
, H31(2)(I) = [
]
K13(I) = [
]
, H32(2)(I) = [
]
8.
Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu Matriks
(5)
Ruang kolom dari matriks A (mxn) adalah suatu ruang vektor bagian dari Rn yang dibentuk dari vektor-vektor kolom dari A.
Contoh :
A = [
]
Ruang baris dari matriks A adalah : [2 3 1], [2 1 2], [4 4 3]
Ruang kolom dari matriks A adalah : [ ] [ ] [ ]
Latihan soal :
1. Hitunglah 4A2– 8A + 4I2, bila A = [ ]
2. Tunjukkan bahwa A adalah matriks idempoten, A = [
]
3. Diketahui A = [ ]
, matriks B dihasilkan dari sederetan transformasi
elementer H31(2), H12(2), H12, K41(1), K3(2) terhadap A. Carilah B tersebut.
4. Diketahui K = [ ]
dan L = [ ]
jika K = L maka c2 + 4b – a = ...
5. Diketahui [ ] = [ ] maka 4p + 3q = ...
6. Jika A = [
] B = [ ] C =[ ] maka bentuk yang paling sederhana dari (2A+C) – (3AT+4B) adalah ....
7. Hasil kali [ ][
]
(6)
8. 2 [
] + 3 [ ] + k [ ] = [ ]
maka : 2k + 5 = ...
9. Jika [
][ ] = [ ] maka nilai : 2a + 4b = ... 10.Jika diketahui matriks A = [