STIMATA BY : SRI ESTI
2. MATRIKS
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan
huruf kecil. Misalkan A = [a
ij
], artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya a
ij
, dimana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen
tersebut. Pandang matriks A=[a
ij
], i = 1,2,3,... m dan j = 1,2,3,... n; yang berarti banyaknya baris m serta banyaknya kolom = n
A = [
] Boleh juga ditulis A
mxn
= [a
ij
], diman m x n adalah ukuran ordo dari matriks Matriks dengan dimensi baris m = 1 disebut dengan vektor baris atau matriks baris.
Sedang dengan dimensi kolom n = 1 disebut dengan vektor kolom atau matriks kolom.
B = [b
1
b
2
... b
n
] C =
[ ]
2. Operasi-operasi pada Matriks
a. Kesamaan Dua Buah Matriks
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama A = B, bila ukurannya sama dan berlaku [a
ij
] = [b
ij
] untuk setiap i dan j. Contoh :
A = [
] dan B =
[ ]
maka A = B
STIMATA BY : SRI ESTI
b. Penjumlahan Matriks
Jumlah dua matriks A + B bisa dilakukan asalkan kedua matriks tersebut berukuran sama, yaitu :
A + B = [a
ij
+ b
ij
] = [
]
Contoh : 1.
A =[ ]
dan B = [
] maka
A + B = [
] +
[ ]
= [
] =
[ ]
2. Dalam pengolahan citra digital, operasi kecerahan brightness merupakan operasi
penjumlahan dua buah matriks, yaitu matriks sembarang dijumlah dengan matriks konstan menggunakan persamaan berikut:
C = A + B A adalah matriks citra semula
B adalah matriks konstan C adalah matriks hasil operasi brightness
Misalkan sebuah matriks [
] mewakili citra ibu Kartini
Dilakukan operasi brightness menggunakan matriks konstan [
]
C = [
] + [ ] = [
]
STIMATA BY : SRI ESTI
C = + [
] =
Normal Terang
Bila dilakukan operasi brightness menggunakan matriks konstan [
], maka
C = [
] + [ ] = [
]
C = + [
] =
Normal Gelap
c. Perkalian Matriks dengan Skalar
Kalau k suatu skalar, maka matriks kA = [ka
ij
] diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
kA = [ka
ij
] = [
] Jika A, B, C adalah matriks berukuran sama, dan λ adalah skalar maka:
1. A + B = B + A
komutatif 2.
A + B + C = A + B + C asosiatif
3. λA + B = λA + λB
distributif Contoh :
1. A =[
] , maka 2A =
[ ]
= [
]
STIMATA BY : SRI ESTI
2. Selain dengan menggunakan operasi penjumlahan matriks, brightness juga bisa
menggunakan operasi perkalian matriks dengan skalar.
Misalkan sebuah matriks [
] mewakili citra ibu Kartini
C = 2. [
] = [ ]
C = 2. = Normal
terang
d. Pengurangan Matriks
Mengurangi matriks A dengan B, A – B adalah menjumlahkan matriks A dengan
matriks -B Contoh :
1. A =[
] dan B =
[ ]
maka
A – B = A + -B =[
] +
[ ]
= [
] 2.
Dalam pengolahan citra digital, operasi negasi merupakan operasi pengurangan matriks konstan dengan matriks sembarang menggunakan persamaan berikut:
C = 255 – A
Misalkan matriks A = [
] mewakili citra
Maka operasi negasi:
C= [
]-[ ]=[
]
C = - =
STIMATA BY : SRI ESTI
3. Detektor gerak adalah alat yang digunakan untuk mendeteksi obyek-obyek yang
bergerak. Bila diberikan citra yang didalamnya terdapat lebih dari satu obyek. Bagaimana komputer bisa mendeteksi obyak-obyek mana yang bergerak?
Jawab: Setiap selang waktu tertentu komputer menyimpan citra yang dideteksi. Misalnya
saat t
1
komputer menyimpan citra 1, dan saat t
2
komputer menyimpan citra 2. Untuk mendeteksi obyek yang bergerak, komputer menggunakan pengurangan
matriks citra. Setelah citra 1 dikurangi dengan citra 2, hasilnya adalah smua obyek dalam citra yang tidak bergerak menjadi nol gambar obyeknya tidak ada,
sedangkan obyek yang bergerak tidak nol tetap tampak gambar obyeknya. Misalkan matriks A =
[ ] mewakili citra
Misalkan matriks B = [
] mewakili citra
Proses deteksi gerak: C = A
– B
C = [
] - [ ] = [
]
C = - =
Tampak bahwa obyek yang bergerak adalah segitiga dan oval.
e. Perkalian Matriks
Pada perkalian matrik AB, matriks A kita sebut matriks pertama dan B matriks kedua. Syarat perkalian matriks : banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris
matriks kedua. Hasil perkalian antara matriks A = [a
ij
] berordo m x p, dengan matriks B = [b
ij
] berordo p x n, adalah matriks C = [c
ij
] berordo m x n, dengan nilai :
STIMATA BY : SRI ESTI
C
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ ... + a
ip
b
pj
= ∑
Dimana untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n
A = [
] dan B =
[ ]
Maka :
C = AB = [
] [
]
= [
] =
[ ]
Bagaiman bil a C =BA ? Pada umumnya perkalian matriks AB ≠ BA
Beberapa hukum pada perkalian matriks
Jika A, B, C matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka :
1. AB + C = AB + AC; B + CA = BA +CA, memenuhi hukum distributif
2. ABC = ABC, memenuhi hukum asosiatif
3. Perkalian tidak komutatif, AB ≠ BA
4. Jika AB = 0 yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkinannya :
a. A = 0 dan B = 0
b. A = 0 atau B = 0
c. A ≠ 0 dan B ≠ 0
5. Bila AB = AC belum tentu B = C
STIMATA BY : SRI ESTI
Latihan soal: 1.
Jika A = [ ]
dan B = [
] , hitunglah A + B dan A + A + A
2. Jika A = [
] dan k = 5, hitunglah B = kA
3. Jika P = [
] , Q =
[ ] dan Z = [
], hitunglah PQ, QP dan PZ
4.
Jika A= [ ] dan B = [
]
Pandang suatu matriks A = [a
ij
] berukuran m x n, maka tranpose dari A adalah matriks A
T
berukuran n x m yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A, i = 1, 2, ..., m sebagai kolom ke-i dari A
T
. Dengan kata lain:
A
T
= A
T nxm
= [a
ji
] = [
] Contoh :
1. A = [
] maka A
T
= [
] 2.
Sebuah citra Lena mengalami transpose menjadi citra Lena
T
Citra asli Citra hasil transpose
Beberapa sifat matriks transpose : 1.
A + B
T
= A
T
+ B
T
2. A
T T
= A 3.
KA
T
= kA
T
STIMATA BY : SRI ESTI
4. AB
T
= B
T
A
T
3. Beberapa JenisMatriks
1. Matriks Bujur Sangkar
Adalah suatu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya, berukuran n. Barisan elemen a
11
, a
22
, ..., a
nn
disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut
.
Contoh :
A = [
] adalah matriks bujur sangkar 3
2. Matriks Nol
Adalah matriks yang semua elemennya nol Contoh :
A = [
] adalah matriks nol berukuran 3x3
3. Matriks Diagonal
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol. Dengan kata lain, A = [a
ij
] = 0 untuk i ≠ j. Contoh:
A = [
] adalah matriks diagonal
4. Matriks Satuan atau Matriks Identitas
STIMATA BY : SRI ESTI
Adalah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonal utamanya semua 1, sedangkan elemen yang lainnya adalah 0. Dengan kata lain, A = [a
ij
] adalah matriks satuan jika [a
ij
] = 1, 1 = j, dan [a
ij
] = 0 untuk i ≠ j. Matriks identitas biasanya ditulis I
n
dimana n menunjukkan ukuran matriks tersebut.
Contoh :
A = [
] adalah matriks identitas
5. Matriks Skalar
Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utamanya sama, yaitu k Contoh :
A = [
] adalah matriks skalar dengan elemen diagonalnya 37.
Matriks tersebut dapat ditulis dengan 37.I = 37 [
]
6. Matriks Segitiga Bawah lower triangular
