Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMA 2013 Tingkat Kabupaten Kota
z
Pembahasan Soal
OSN Guru 2013
OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA
OSN Guru Matematika SMA
(Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 2 dari 12
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE GURU MATEMATIKA SMA
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
JUNI 2013
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1. Seorang guru Matematika kelas XII sedang merencanakan pembelajaran materi panjang
proyeksi vektor ortogonal. Agar siswa dapat memahami pentingnya materi tersebut, guru
itu memikirkan bagaimana lintasan belajarnya. Tuliskan lintasan belajar (urutan proses
pembelajaran) sebelum menurunkan panjang proyeksi vektor ortogonal.
Pembahasan:
Lintasan belajar menurunkan panjang proyeksi vektor ortogonal:
(1) Mengingatkan kembali panjang proyeksi vektor ortogonal adalah tentang perbandingan
trigonometri dan berkaitan dengan sudut antara dua vektor yang sudah terlebih dahulu
dibahas di bab sebelumnya.
(2) Menggambar dua vektor, misalnya, ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ dan
proyeksi vektor ortogonal dari ⃗ pada .
= ⃗⃗⃗⃗⃗ , untuk menentukan panjang
⃗
(3) Mendiskusikan bagaimana menentukan proyeksi vektor ortogonal adalah dengan
menentukan proyeksi sebuah titik pada vektor adalah menentukan proyeksi titik
pada vektor , yaitu titik , dengan menarik garis yang melalui dan tegak lurus
sehingga akan berpotongan di S.
⃗
�
⃗
(4) Menghubungkan konsep sudut antara dua vektor, cos � =
⃗ ∙⃗
,
| ⃗ || ⃗ |
dan mengingatkan
kembali bahwa cos � juga merupakan perbandingan sisi segitiga siku-siku
, yang
merupakan cikal bakal untuk menentukan panjang proyeksi vektor ortogonal, yaitu
panjang ruas garis ⃗⃗⃗⃗ .
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 3 dari 12
2. Untuk mencapai tujuan pembelajaran ”Siswa dapat menentukan suku ke-n suatu barisan
aritmetika”, pak Amin menyusun sebuah bahan ajar LKS den�an men��unakan
pembelajaran teori konstruktivime. Tuliskan langkah-langkah untuk menentukan suku ke-n
dengan bahan ajar tersebut.
Pembahasan:
LEMBAR KERJA SISWA
Tujuan : Siswa dapat menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika.
Prasyarat : Siswa mempunyai kompetensi barisan bilangan.
Siswa mempunyai kompetensi penyelesaian persamaan linear dua variabel.
Barisan Aritmetika
Perhatikan barisan bilangan di bawah ini, dan tentukan 3 suku berikutnya:
(a) 2, 4, 6, 8, ......, ......, ......
(b) 65, 60, 55, 50, ......, ....., ......
(c) √ , √ , √ , √ , ......, ......, ......
Untuk barisan bilangan (a) � − � = .......
� − � = .......
� − � = .......
Apabila selisih dari dua suku yang berdekatan ini selalu tetap atau bernilai sama, maka
selisih tetap ini disebut dengan beda barisan bilangan.
Pada barisan bilangan (a) beda = ......
Pada barisan bilangan (b) beda = ......
Pada barisan bilangan (c) beda = ......
Definisi Barisan Aritmetika
Barisan bilangan � , � , � , � , … , �� disebut barisan aritmetika jika
� − � = � − � = � − � = .............= �� − ��− = bilangan tetap .
Bilangan tetap disebut beda dari barisan aritmetika.
Berikut ini kalian akan menurunkan rumus suku ke-n, �� adalah barisan aritmetika.
Misalkan � , � , � , � , … , �� adalah barisan aritmetika dengan beda , maka:
� =
� −� = ⇒� =� + = +
� − � = ⇒ � = � + = ...... + ...... + ...... = ..........
� − � = ⇒ � = ...... + = ...... + ...... + ...... = ..........
Coba kalian amati � , � , � , dan � , bagaimana pola � , � , � jika dibandingkan dengan � .
Dengan demikian untuk suku ke-n, �� = ...... + ...... = ..........
Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah �� = .......... + ...............
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 4 dari 12
3. Pada suatu tes salah satu soalnya adalah sebagai berikut:
”Bentuk √ + √ + √ dapat disederhanakan menjadi + √ bentuk dimana dan
masing-masing merupakan bilangan bulat. Nilai + adalah ....”
Skor total untuk jawaban tersebut adalah 6. Berdasarkan soal di atas tuliskan pedoman
penskorannya!
Pembahasan:
√ +√
+ √ =√ +√
+ √
=√ +√
+
.……………………………….
+ √
×
= √ +√
+ √ . .…………………………………..
=√ + √
. .…………………………………………..
= √ +√
=√
+
. .…………………………………………..
+ √
×
= √ + √ .……………………………………………….
=√ +
.………………………………..……………….
Pedoman penskoran:
1. Mengubah bentuk akar √ menjadi √ . (1 poin)
2. Menyederhanakan bentuk √ + √ menjadi √ + √ . (1 poin)
3. Menjumlahkan + √ menjadi . (1 poin)
4. Mengubah bentuk akar √ menjadi √ (1 poin)
5. Menyederhanakan bentuk √ + √ menjadi √ + √ . (1 poin)
6. Mengubah bentuk √ + √ menjadi bentuk sederhana √ + . (1 poin)
Total skor maksimal: 6 poin.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 5 dari 12
4. Nilai dari
adalah ....
+
+
+
+
+ +
+ + +
+ …+
+ + + + …+
Pembahasan:
Bentuk tersebut bisa dituliskan menjadi:
∑
= ∑
+
�=
Perhatikan bentuk �
=
+
⇒
⇔
+
+
+
=
+
bisa dijabarkan menggunakan pecahan parsial menjadi:
�+
=
+
+
�=
+
+
+
+
+
Dengan kesamaan aljabar diperoleh:
= dan + = ⇒ = −
Sehingga,
=
+
Jadi,
∑
+
�=
−
= ∑
=
=
=
=
=
Jadi,
+
+
+
= ( −
+
�=
( −
∙∑( −
+
+
�=
+
)
)
)
∙ [( − ) + ( − ) + ( − ) + … + (
∙( −
∙(
+ +
+
)
)
+ + +
+ …+
−
)+(
+ + + + …+
−
=
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
)]
Halaman 6 dari 12
5. Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku adalah bilangan asli. Jika panjang salah satu sisi
dari dua sisi yang saling tegak lurus adalah 8, maka luas terbesar yang mungkin dari
segitiga tersebut adalah ....
Pembahasan:
B
A
C
Perhatikan sketsa segitiga siku-siku di samping!
Pada segitiga siku-siku berlaku:
+
=
+ >
> dan >
Panjang salah satu sisi tegak lurus ∆
+
=
Akibatnya
< −
⇒
<
⇒
⇔
⇔
⇔
Sehingga diperoleh +
−
<
<
<
<
>
=
adalah 8. Misal = , maka pada segitiga berlaku:
+ > ⇒ − <
dan
} < − <
>
⇒ − >
−
+
−
<
<
+
< +
<
+
+
Dari + > dan − < dan +
− = ,
Jadi, diperoleh kesimpulan bahwa + dan − faktor dari 64.
Sehingga kemungkinan nilai +
No
+
−
(1)
64
1
(2)
32
2
(3)
16
4
(4)
8
8
Dari (1) diperoleh:
+ =
− =
=
=
Karena bukan
bilangan asli, maka
kombinasi nilai +
dan − ini tidak
memenuhi.
dan
−
+
Dari (2) diperoleh:
+ =
− =
=
=
⇒
⇒
Jadi luas segitiga
∆
=
=
=
adalah sebagai berikut:
Keterangan
−
64
Memenuhi
64
Memenuhi
64
Memenuhi
64
Tidak memenuhi
+
=
=
adalah:
∙ ∙
Dari (3) diperoleh:
+ =
− =
=
=
⇒
⇒
Jadi luas segitiga
∆
=
=
=
+
=
=
adalah:
∙ ∙
Jadi jelas bahwa luas maksimum segitiga tersebut adalah 60.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 7 dari 12
=
+
6. Diberikan
memenuhi
+ . Misalkan
dan
adalah bilangan-bilangan real positif yang
− =
+ . Nilai minimum dari + adalah ....
Pembahasan:
=
+ , sehingga diperoleh
+
−
+ + −
+
+ +
−
+ +
+ −
−
+
−
+
−
−
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
,
Ingat untuk sebarang bilangan-bilangan real positif
≥
≥
dengan,
=
+
+ …+
�
= �√
∙ …∙
�;
Jadi, dengan mudah diperoleh nilai minimum dari
+
Dari teorema AM-GM dan
≥
+
⇒
≥√
⇔
⇔
+
+
;
=
∙
+
diperoleh:
,…,
=
�
berlaku:
+
+ …+
�
≥ √
≥ √
adalah √ .
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 8 dari 12
7. Diberikan lim ( + ) =
→∞
+
)
+
Nilai dari lim (
→
Pembahasan:
lim (
→
+
+
)
+
dan berlaku si�at lim(
+
adalah ….
+
= lim
→
+
+
= lim (
+
→
+
= lim ( +
= lim ( +
+
Sehin��a, misal
Sehingga,
lim (
→
untuk
=
+
)
+
+
+
, maka
= lim ( +
→
= lim
→
→
= lim
+
)
+
+
+
= lim
→
)
→
+
+
)
+
+
1
→
.
)
+
+
+
+
→
→
+
Jadi nilai dari lim (
)
→ , maka
= lim ( +
=
+
+
→
�
+
+
+
→
Tinjau nilai
→
�
) = lim
→ .
+
)
+
1
1
adalah
In�at lim ( + ) = lim
→∞
→
+
1
=
.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 9 dari 12
8. Untuk menghabiskan sebungkus kacang secara bersama-sama, Aang dan Katara
memerlukan waktu 15 menit. Sedangkan Katara dan Saka memerlukan waktu 12 menit.
Adapun Aang dan Saka memerlukan waktu 20 menit. Banyak kacang yang dihabiskan oleh
Saka dalam waktu jam adalah .... bungkus.
Pembahasan:
Misal adalah kecepatan makan kacang dengan satuan bungkus per menit.
adalah waktu yang dibutuhkan dan
menyatakan jumlah bungkus kacang yang
dihabiskan, maka hubungan antara , , dan bisa dinyatakan dalam persamaan:
=
⇒
=
Aang dan Katara memerlukan waktu 15 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa
ditulis dalam model matematika sebagai berikut:
′
=
�+ �
Katara dan Saka memerlukan waktu 12 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa
ditulis dalam model matematika sebagai berikut:
′
=
�+ �
Aang dan Saka memerlukan waktu 15 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa
ditulis dalam model matematika sebagai berikut:
′
=
�+ �
Ketiga persamaan membentuk sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yaitu:
′
′
′
′
′
=
⇒
�
�+ �
�+
� =
′
′
′
′
′) ( � ) = ( )
+
=
⇒
+
=
⇒
(
}
�
�
�
�
′
′
′
′
′
�
=
⇒
�+ �
�+
� =
Dengan menggunakan metode Crammer (determinan matriks) untuk menyelesaian SPLTV
tersebut sehingga dapat diperoleh kecepatan makan si Saka tiap menit sebagai berikut:
�
=
|
|
|
|
=
=
Sehingga jumlah kacang yang dihabiskan oleh Saka dalam waktu jam adalah:
=
�
∙ =
∙
′
=
=
bun�kus
Jadi, dalam waktu jam, Saka akan menghabiskan 5 bungkus kacang.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 10 dari 12
9. Jika
° = , maka nilai
Nyatakan dalam
sin
sin °
° tan ° + cos
−
°
cot
° + tan
+
dan tan � =
°
adalah ….
Pembahasan:
Ingat! Bentuk sin + cos = � cos
− � dengan, � = √
Perhatikan bentuk sin ° tan ° + cos ° bisa diubah menjadi � cos − � ,
= √tan
° + = √sec
° = sec °
dengan, � = √ +
tan °
⇒�= °
dan tan � =
Sehingga, sin ° tan ° + cos ° = sec ° cos
° − ° = sec ° cos °
sin
sin °
° tan ° + cos
°
−
cot
° + tan
°
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
sin °
sec ° cos
°
cos
°
cos
sin
sin
sin
sin
sin
cos
⇔ tan
⇔√
⇔√
⇔√
⇔√
⇔√
⇔
°
°
° cos
cos °
°
° cos
cos °
°
° cos
cos °
sin ° cos
⇔ tan
⇔
sin
°
−
−
−
−
cos
sin
cos
cos
cos
cos
°
°
° cos ° + sin ° sin
cos ° sin °
cos ° sin °
° cos ° + sin ° sin
° sin
°−
° sin
cos °
° − cos ° sin
cos °
−
cos
° sin
+
° cos
°− °
cos °
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°+
− cos
+ cos
+ sin
− sin
+ sin
− sin
+ sin
− sin
°
°+
°+
°
°
°
×
°
°
+ sin °
cos
°
°
°
+ sin
+ sin
°
°
°
+ sin °
cos °
+ sin
cos
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 11 dari 12
10. Jika | | + +
Pembahasan:
dan + | | −
=
=
, maka +
= ....
+ + = , untuk ≥
{
− + + = , untuk <
Sehingga dari persamaan | | + + =
akan diperoleh persamaan sebagai berikut:
(1)
+ = , untuk ≥
(2) = , untuk <
| |+
+
=
+ − = , untuk
− − = , untuk
Sehingga dari persamaan + | | − =
(3) = , untuk ≥
(4) −
= , untuk <
+| |−
=
{
≥
<
akan diperoleh persamaan sebagai berikut:
Dari persamaan (1) dan (3) akan diperoleh:
= , untuk ≥ ⇒
+ =
⇔
=−
Karena jika =
maka nilai = − dan ini bertentangan dengan syarat
sehingga pasangan dan ini tidak memenuhi.
Dari persamaan (2) dan (3) akan diperoleh:
= , untuk < ⇔ = , untuk ≥
Karena jika =
dan ini bertentangan dengan syarat
juga tidak memenuhi.
< , maka pasangan
dan
Dari persamaan (2) dan (4) akan diperoleh:
= , untuk < ⇒ −
=
⇔
=
Karena jika =
menghasilkan nilai = − dan ini bertentangan dengan syarat
maka pasangan dan ini juga tidak memenuhi.
Dari persamaan (1) dan (4) akan diperoleh:
+
= , untuk ≥
×
+
−
= , untuk <
×
−
⇒
=−
⇔
Karena untuk =
ini memenuhi.
Jadi nilai +
=
− (−
)=
dan
=−
+ −
=
=
memenuhi
≥ ,
ini
≥ ,
=
=
= −
=−
≥
dan
< , maka pasangan
8
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
dan
Halaman 12 dari 12
Pembahasan soal OSN Guru Matematika SMA 2013 ini sangat mungkin jauh dari sempurna
mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan
pembahasan soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SNMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran
serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Pembahasan Soal
OSN Guru 2013
OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA
OSN Guru Matematika SMA
(Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 2 dari 12
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE GURU MATEMATIKA SMA
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
JUNI 2013
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1. Seorang guru Matematika kelas XII sedang merencanakan pembelajaran materi panjang
proyeksi vektor ortogonal. Agar siswa dapat memahami pentingnya materi tersebut, guru
itu memikirkan bagaimana lintasan belajarnya. Tuliskan lintasan belajar (urutan proses
pembelajaran) sebelum menurunkan panjang proyeksi vektor ortogonal.
Pembahasan:
Lintasan belajar menurunkan panjang proyeksi vektor ortogonal:
(1) Mengingatkan kembali panjang proyeksi vektor ortogonal adalah tentang perbandingan
trigonometri dan berkaitan dengan sudut antara dua vektor yang sudah terlebih dahulu
dibahas di bab sebelumnya.
(2) Menggambar dua vektor, misalnya, ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ dan
proyeksi vektor ortogonal dari ⃗ pada .
= ⃗⃗⃗⃗⃗ , untuk menentukan panjang
⃗
(3) Mendiskusikan bagaimana menentukan proyeksi vektor ortogonal adalah dengan
menentukan proyeksi sebuah titik pada vektor adalah menentukan proyeksi titik
pada vektor , yaitu titik , dengan menarik garis yang melalui dan tegak lurus
sehingga akan berpotongan di S.
⃗
�
⃗
(4) Menghubungkan konsep sudut antara dua vektor, cos � =
⃗ ∙⃗
,
| ⃗ || ⃗ |
dan mengingatkan
kembali bahwa cos � juga merupakan perbandingan sisi segitiga siku-siku
, yang
merupakan cikal bakal untuk menentukan panjang proyeksi vektor ortogonal, yaitu
panjang ruas garis ⃗⃗⃗⃗ .
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 3 dari 12
2. Untuk mencapai tujuan pembelajaran ”Siswa dapat menentukan suku ke-n suatu barisan
aritmetika”, pak Amin menyusun sebuah bahan ajar LKS den�an men��unakan
pembelajaran teori konstruktivime. Tuliskan langkah-langkah untuk menentukan suku ke-n
dengan bahan ajar tersebut.
Pembahasan:
LEMBAR KERJA SISWA
Tujuan : Siswa dapat menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika.
Prasyarat : Siswa mempunyai kompetensi barisan bilangan.
Siswa mempunyai kompetensi penyelesaian persamaan linear dua variabel.
Barisan Aritmetika
Perhatikan barisan bilangan di bawah ini, dan tentukan 3 suku berikutnya:
(a) 2, 4, 6, 8, ......, ......, ......
(b) 65, 60, 55, 50, ......, ....., ......
(c) √ , √ , √ , √ , ......, ......, ......
Untuk barisan bilangan (a) � − � = .......
� − � = .......
� − � = .......
Apabila selisih dari dua suku yang berdekatan ini selalu tetap atau bernilai sama, maka
selisih tetap ini disebut dengan beda barisan bilangan.
Pada barisan bilangan (a) beda = ......
Pada barisan bilangan (b) beda = ......
Pada barisan bilangan (c) beda = ......
Definisi Barisan Aritmetika
Barisan bilangan � , � , � , � , … , �� disebut barisan aritmetika jika
� − � = � − � = � − � = .............= �� − ��− = bilangan tetap .
Bilangan tetap disebut beda dari barisan aritmetika.
Berikut ini kalian akan menurunkan rumus suku ke-n, �� adalah barisan aritmetika.
Misalkan � , � , � , � , … , �� adalah barisan aritmetika dengan beda , maka:
� =
� −� = ⇒� =� + = +
� − � = ⇒ � = � + = ...... + ...... + ...... = ..........
� − � = ⇒ � = ...... + = ...... + ...... + ...... = ..........
Coba kalian amati � , � , � , dan � , bagaimana pola � , � , � jika dibandingkan dengan � .
Dengan demikian untuk suku ke-n, �� = ...... + ...... = ..........
Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah �� = .......... + ...............
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 4 dari 12
3. Pada suatu tes salah satu soalnya adalah sebagai berikut:
”Bentuk √ + √ + √ dapat disederhanakan menjadi + √ bentuk dimana dan
masing-masing merupakan bilangan bulat. Nilai + adalah ....”
Skor total untuk jawaban tersebut adalah 6. Berdasarkan soal di atas tuliskan pedoman
penskorannya!
Pembahasan:
√ +√
+ √ =√ +√
+ √
=√ +√
+
.……………………………….
+ √
×
= √ +√
+ √ . .…………………………………..
=√ + √
. .…………………………………………..
= √ +√
=√
+
. .…………………………………………..
+ √
×
= √ + √ .……………………………………………….
=√ +
.………………………………..……………….
Pedoman penskoran:
1. Mengubah bentuk akar √ menjadi √ . (1 poin)
2. Menyederhanakan bentuk √ + √ menjadi √ + √ . (1 poin)
3. Menjumlahkan + √ menjadi . (1 poin)
4. Mengubah bentuk akar √ menjadi √ (1 poin)
5. Menyederhanakan bentuk √ + √ menjadi √ + √ . (1 poin)
6. Mengubah bentuk √ + √ menjadi bentuk sederhana √ + . (1 poin)
Total skor maksimal: 6 poin.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 5 dari 12
4. Nilai dari
adalah ....
+
+
+
+
+ +
+ + +
+ …+
+ + + + …+
Pembahasan:
Bentuk tersebut bisa dituliskan menjadi:
∑
= ∑
+
�=
Perhatikan bentuk �
=
+
⇒
⇔
+
+
+
=
+
bisa dijabarkan menggunakan pecahan parsial menjadi:
�+
=
+
+
�=
+
+
+
+
+
Dengan kesamaan aljabar diperoleh:
= dan + = ⇒ = −
Sehingga,
=
+
Jadi,
∑
+
�=
−
= ∑
=
=
=
=
=
Jadi,
+
+
+
= ( −
+
�=
( −
∙∑( −
+
+
�=
+
)
)
)
∙ [( − ) + ( − ) + ( − ) + … + (
∙( −
∙(
+ +
+
)
)
+ + +
+ …+
−
)+(
+ + + + …+
−
=
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
)]
Halaman 6 dari 12
5. Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku adalah bilangan asli. Jika panjang salah satu sisi
dari dua sisi yang saling tegak lurus adalah 8, maka luas terbesar yang mungkin dari
segitiga tersebut adalah ....
Pembahasan:
B
A
C
Perhatikan sketsa segitiga siku-siku di samping!
Pada segitiga siku-siku berlaku:
+
=
+ >
> dan >
Panjang salah satu sisi tegak lurus ∆
+
=
Akibatnya
< −
⇒
<
⇒
⇔
⇔
⇔
Sehingga diperoleh +
−
<
<
<
<
>
=
adalah 8. Misal = , maka pada segitiga berlaku:
+ > ⇒ − <
dan
} < − <
>
⇒ − >
−
+
−
<
<
+
< +
<
+
+
Dari + > dan − < dan +
− = ,
Jadi, diperoleh kesimpulan bahwa + dan − faktor dari 64.
Sehingga kemungkinan nilai +
No
+
−
(1)
64
1
(2)
32
2
(3)
16
4
(4)
8
8
Dari (1) diperoleh:
+ =
− =
=
=
Karena bukan
bilangan asli, maka
kombinasi nilai +
dan − ini tidak
memenuhi.
dan
−
+
Dari (2) diperoleh:
+ =
− =
=
=
⇒
⇒
Jadi luas segitiga
∆
=
=
=
adalah sebagai berikut:
Keterangan
−
64
Memenuhi
64
Memenuhi
64
Memenuhi
64
Tidak memenuhi
+
=
=
adalah:
∙ ∙
Dari (3) diperoleh:
+ =
− =
=
=
⇒
⇒
Jadi luas segitiga
∆
=
=
=
+
=
=
adalah:
∙ ∙
Jadi jelas bahwa luas maksimum segitiga tersebut adalah 60.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 7 dari 12
=
+
6. Diberikan
memenuhi
+ . Misalkan
dan
adalah bilangan-bilangan real positif yang
− =
+ . Nilai minimum dari + adalah ....
Pembahasan:
=
+ , sehingga diperoleh
+
−
+ + −
+
+ +
−
+ +
+ −
−
+
−
+
−
−
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
,
Ingat untuk sebarang bilangan-bilangan real positif
≥
≥
dengan,
=
+
+ …+
�
= �√
∙ …∙
�;
Jadi, dengan mudah diperoleh nilai minimum dari
+
Dari teorema AM-GM dan
≥
+
⇒
≥√
⇔
⇔
+
+
;
=
∙
+
diperoleh:
,…,
=
�
berlaku:
+
+ …+
�
≥ √
≥ √
adalah √ .
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 8 dari 12
7. Diberikan lim ( + ) =
→∞
+
)
+
Nilai dari lim (
→
Pembahasan:
lim (
→
+
+
)
+
dan berlaku si�at lim(
+
adalah ….
+
= lim
→
+
+
= lim (
+
→
+
= lim ( +
= lim ( +
+
Sehin��a, misal
Sehingga,
lim (
→
untuk
=
+
)
+
+
+
, maka
= lim ( +
→
= lim
→
→
= lim
+
)
+
+
+
= lim
→
)
→
+
+
)
+
+
1
→
.
)
+
+
+
+
→
→
+
Jadi nilai dari lim (
)
→ , maka
= lim ( +
=
+
+
→
�
+
+
+
→
Tinjau nilai
→
�
) = lim
→ .
+
)
+
1
1
adalah
In�at lim ( + ) = lim
→∞
→
+
1
=
.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 9 dari 12
8. Untuk menghabiskan sebungkus kacang secara bersama-sama, Aang dan Katara
memerlukan waktu 15 menit. Sedangkan Katara dan Saka memerlukan waktu 12 menit.
Adapun Aang dan Saka memerlukan waktu 20 menit. Banyak kacang yang dihabiskan oleh
Saka dalam waktu jam adalah .... bungkus.
Pembahasan:
Misal adalah kecepatan makan kacang dengan satuan bungkus per menit.
adalah waktu yang dibutuhkan dan
menyatakan jumlah bungkus kacang yang
dihabiskan, maka hubungan antara , , dan bisa dinyatakan dalam persamaan:
=
⇒
=
Aang dan Katara memerlukan waktu 15 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa
ditulis dalam model matematika sebagai berikut:
′
=
�+ �
Katara dan Saka memerlukan waktu 12 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa
ditulis dalam model matematika sebagai berikut:
′
=
�+ �
Aang dan Saka memerlukan waktu 15 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa
ditulis dalam model matematika sebagai berikut:
′
=
�+ �
Ketiga persamaan membentuk sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yaitu:
′
′
′
′
′
=
⇒
�
�+ �
�+
� =
′
′
′
′
′) ( � ) = ( )
+
=
⇒
+
=
⇒
(
}
�
�
�
�
′
′
′
′
′
�
=
⇒
�+ �
�+
� =
Dengan menggunakan metode Crammer (determinan matriks) untuk menyelesaian SPLTV
tersebut sehingga dapat diperoleh kecepatan makan si Saka tiap menit sebagai berikut:
�
=
|
|
|
|
=
=
Sehingga jumlah kacang yang dihabiskan oleh Saka dalam waktu jam adalah:
=
�
∙ =
∙
′
=
=
bun�kus
Jadi, dalam waktu jam, Saka akan menghabiskan 5 bungkus kacang.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 10 dari 12
9. Jika
° = , maka nilai
Nyatakan dalam
sin
sin °
° tan ° + cos
−
°
cot
° + tan
+
dan tan � =
°
adalah ….
Pembahasan:
Ingat! Bentuk sin + cos = � cos
− � dengan, � = √
Perhatikan bentuk sin ° tan ° + cos ° bisa diubah menjadi � cos − � ,
= √tan
° + = √sec
° = sec °
dengan, � = √ +
tan °
⇒�= °
dan tan � =
Sehingga, sin ° tan ° + cos ° = sec ° cos
° − ° = sec ° cos °
sin
sin °
° tan ° + cos
°
−
cot
° + tan
°
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
sin °
sec ° cos
°
cos
°
cos
sin
sin
sin
sin
sin
cos
⇔ tan
⇔√
⇔√
⇔√
⇔√
⇔√
⇔
°
°
° cos
cos °
°
° cos
cos °
°
° cos
cos °
sin ° cos
⇔ tan
⇔
sin
°
−
−
−
−
cos
sin
cos
cos
cos
cos
°
°
° cos ° + sin ° sin
cos ° sin °
cos ° sin °
° cos ° + sin ° sin
° sin
°−
° sin
cos °
° − cos ° sin
cos °
−
cos
° sin
+
° cos
°− °
cos °
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°+
− cos
+ cos
+ sin
− sin
+ sin
− sin
+ sin
− sin
°
°+
°+
°
°
°
×
°
°
+ sin °
cos
°
°
°
+ sin
+ sin
°
°
°
+ sin °
cos °
+ sin
cos
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 11 dari 12
10. Jika | | + +
Pembahasan:
dan + | | −
=
=
, maka +
= ....
+ + = , untuk ≥
{
− + + = , untuk <
Sehingga dari persamaan | | + + =
akan diperoleh persamaan sebagai berikut:
(1)
+ = , untuk ≥
(2) = , untuk <
| |+
+
=
+ − = , untuk
− − = , untuk
Sehingga dari persamaan + | | − =
(3) = , untuk ≥
(4) −
= , untuk <
+| |−
=
{
≥
<
akan diperoleh persamaan sebagai berikut:
Dari persamaan (1) dan (3) akan diperoleh:
= , untuk ≥ ⇒
+ =
⇔
=−
Karena jika =
maka nilai = − dan ini bertentangan dengan syarat
sehingga pasangan dan ini tidak memenuhi.
Dari persamaan (2) dan (3) akan diperoleh:
= , untuk < ⇔ = , untuk ≥
Karena jika =
dan ini bertentangan dengan syarat
juga tidak memenuhi.
< , maka pasangan
dan
Dari persamaan (2) dan (4) akan diperoleh:
= , untuk < ⇒ −
=
⇔
=
Karena jika =
menghasilkan nilai = − dan ini bertentangan dengan syarat
maka pasangan dan ini juga tidak memenuhi.
Dari persamaan (1) dan (4) akan diperoleh:
+
= , untuk ≥
×
+
−
= , untuk <
×
−
⇒
=−
⇔
Karena untuk =
ini memenuhi.
Jadi nilai +
=
− (−
)=
dan
=−
+ −
=
=
memenuhi
≥ ,
ini
≥ ,
=
=
= −
=−
≥
dan
< , maka pasangan
8
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com
dan
Halaman 12 dari 12
Pembahasan soal OSN Guru Matematika SMA 2013 ini sangat mungkin jauh dari sempurna
mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan
pembahasan soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SNMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran
serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com