Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMA 2012 Tingkat Provinsi
ocsz
Pembahasan Soal
OSN Guru 2012
OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA
OSN Guru Matematika SMA
(Olimpiade Sains Nasional)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 2 dari 26
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE GURU MATEMATIKA SMA
TINGKAT PROPINSI
TANGGAL 7 JUNI 2012
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1. Pak Tamrin sedang membuat rencana pembelajaran Matematika kelas X materi aturan
sinus. Agar siswa lebih memahami untuk apa belajar aturan sinus, Pak Tamrin akan
memanfaatkan materi sebelumnya yang dapat mengantarkan ke pembelajaran aturan sinus.
Permasalahan apa dalam materi prasyarat yang dapat mengantarkan pemahaman pada
materi aturan sinus tersebut?
Pembahasan:
Materi prasyarat:
(1) Siswa mampu menghitung operasi bilangan real.
(2) Siswa mampu menunjukkan garis tinggi segitiga.
(3) Siswa mampu memahami definisi perbandingan trigonometri sinus
Pada aturan sinus, siswa harus bisa mendefinisikan garis tinggi segitiga dari salah satu sisi
segitiga dengan melihat pengertian sinus pada materi pembelajaran sebelumnya.
Sebagai contoh perhatikan segitiga ABC di bawah:
C
b
a
A
B
D
Dengan melihat garis tinggi AD, dimana AD bisa didefinisikan menggunakan sinus sudut A
maupun sinus sudut B, siswa akan dapat menemukan pemahaman rumus aturan sinus.
Garis tinggi CD bisa dinyatakan sebagai perbandingan sinus dari sudut A dan B:
sin
sin
=
=
⇒
⇒
=
=
sin
sin
Jadi, dari persamaan sin
=
sin
akan diperoleh persamaan aturan sinus
=
sin
sin
Dari dua nilai
tersebut, siswa diberi pemahaman bahwa nilai CD dapat dihubungkan
menjadi aturan sinus apabila ada salah satu dari variabel yang mempengaruhi nilai CD
tersebut tidak diketahui.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 3 dari 26
2. Untuk mencapai tujuan pembelajaran “Siswa dapat menentukan sisa pembagian suku
banyak f(x) dengan suku banyak berbentuk (x – a), Pak Soleh memilih lintasan belajar
sebagai berikut:
(1) Mengingatkan kembali pembagian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) yang
dapat ditulis dalam bentuk f(x) = g(x).H(x) + S(x) dengan H(x) hasil bagi dan S(x) sisa
pembagian.
(2) Memandang g(x) = x – a sehingga f(x) = (x – a)H(x) + S(x)
(3) Menentukan S(x) dengan memandang f(x) berlaku untuk semua x, termasuk x = a.
Pendekatan yang dipilih oleh Pak Soleh untuk mencapai tujuan pembelajaran dengan
lintasan belajar seperti itu disebut pendekatan …
Pembahasan:
Pendekatan deduktif adalah cara yang dilakukan oleh guru di dalam mencapai tujuan
pembelajaran dengan menggunakan aturan yang sudah dijamin kebenarannya.
Proses pendekatan deduktif secara matematika dapat dirumuskan sebagai berikut:
Aturan :
⇒
Fakta yang dimiliki :
Kesimpulan
Dari lintasan belajar yang dilakukan, fakta yang dihadapi yang sudah diketahui siswa adalah
= − ∙�
+
Dengan mengunakan aturan bahwa:
= − ∙�
+
⇒
=
Sehingga akan diperoleh kesimpulan bahwa:
=
Dengan demikian lintasan belajar seperti itu menggunakan pendekatan deduktif.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 4 dari 26
3. Seorang guru matematika kelas X sedang merencanakan pembelajaran materi aturan
cosinus. Agar siswa memahami pentingnya materi aturan cosinus ini, guru itu memikirkan
bagaimana lintasan belajarnya. Tuliskan lintasan belajar (urutan proses pembelajaran)
sebelum menurunkan aturan cosines tersebut!
Pembahasan:
Lintasan belajar menurunkan rumus aturan kosinus:
(1) Mengingatkan kembali bahwa pada segitiga sembarang juga berlaku perbandingan
trigonometri serta aturan Pythagoras dengan cara menarik garis tinggi segitiga. Dan
mengingatkan juga bahwa garis tinggi segitiga tersebut membagi segitiga menjadi dua
segitiga siku-siku.
C
C
A
D
B
A
B
D
(2) Memandang salah satu segitiga siku-siku dan menyatakan aturan Pythagoras yang
berlaku.
=
+
(3) Menyatakan perbandingan sinus dan kosinus pada segitiga siku-siku yang lain.
sin
cos
=
=
⇒
⇒
= sin
= cos
(4) Menghubungkan aturan Pythagoras dan perbandingan trigonometri yang telah
didapatkan, sehingga didapatkan persamaan untuk menurunkan rumus aturan
kosinus.
=
+ −
(5) Menurunkan rumus yang telah didapatkan, dengan mengingatkan kembali tentang
perkalian faktor −
dan identitas trigonometri sin + cos = .
(6) Menemukan aturan cosinus:
=
+ −
cos
(7) Melakukan analisis yang sama untuk menemukan aturan cosinus yang lain:
=
+ −
cos
=
+ −
cos
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 5 dari 26
4. Pak Hidayat akan mengukur kemampuan dalam mengukur jarak dari titik C ke bidang BPD
dalam ruang dimensi tiga seperti di bawah ini
P
G
H
E
F
D
C
A
B
Oleh karena penilaian dilakukan sambil Pak Hidayat membimbing siswa dalam
menyelesaikan masalah yang terkait dengan konsep itu ia perlu mengetahui standar
penilaian yang praktis dan sederhana. Standar penilaian tersebut berupa kemampuankemampuan dalam menerapkan prosedur penentuan jarak titik ke bidang. Apa yang
menjadi kemampuan kunci (penentu kebenaran secara keseluruhan) dalam menentukan
jarak tersebut?
Pembahasan:
Konsep mencari jarak titik C ke bidang BPD:
Buat garis ℊ pada bidang yang melalui C dan tegak lurus bidang BPD.
Jika titik tembus garis ℊ pada bidang BPD adalah Q, maka jarak C ke bidang BPD adalah CQ.
Langkah-langkahnya:
Memperluas bidang BPD dengan melukis perpanjangan garis DP dan perpanjangan garis CH
hingga berpotongan di titik R. Serta menarik garis dari titik B ke R. Didapatkan bidang DBR.
Melukis garis pada bidang ABCD yang melewati C dan memotong tegak lurus BD di titik S.
Menghitung panjang CS, CR dan SR.
Melukis segitiga CSR dengan titik Q berada di SR sedemikian sehingga CQ tegak lurus
dengan SR.
R
Menghitung CQ menggunakan perbandingan atau aturan cosinus.
Jadi, dengan melihat uraian
di atas maka yang menjadi
kemampuan kunci dalam
menentukan jarak dari titik
C ke bidang BDP adalah
kemampuan menentukan
titik S sebagai proyeksi dari
E
titik C ke garis BD.
Jika penentukan titik S ini
salah, maka proses selanjutnya
dipastikan akan salah.
A
P
G
H
F
Q
D
C
S
B
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 6 dari 26
5. Tranformasi mempunyai banyak jenis sehingga guru perlu menyederhakan proses
pembelajaran. Tuliskan dengan singkat dan jelas proses pembelajaran tersebut!
Pembahasan:
1. Mengingatkan tentang persamaan garis.
2. Memberi stimulus tentang empat jenis transformasi, translasi (pergeseran), refleksi
(pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).
3. Menegaskan bahwa translasi adalah pergeseran yang berkaitan dengan vektor, jadi
matriks translasinya hanya matriks baris dan arah pergeseran mengikuti aturan sumbu
kartesius.
4. Menegaskan bahwa refleksi adalah pencerminan terhadap sebuah garis tertentu yang
bertindak sebagai sumbu simetri, sambil menanamkan kembali sifat bayangan
pencerminan dan aturan sumbu kartesius.
5. Menegaskan bahwa rotasi adalah perputaran terhadap sebuah titik pusat sebesar sudut
putar dan dipengaruhi oleh arah putar, sambil menanamkan kembali sifat-sifat
penjumlahan sudut trigonometri.
6. Menegaskan bahwa rotasi adalah perbesaran/pengecilan (perkalian) suatu bangun
tanpa mengubah bentuk bangun geometri tersebut yang ditentukan oleh pusat dilatasi
dan faktor skala dilatasi.
7. Mengingatkan bahwa transformasi juga bisa dinyatakan ke dalam sebuah matriks
transformasi, sambil menanamkan kembali sifat fungsi invers matriks.
8. Menegaskan bahwa untuk menemukan persamaan bayangan hasil transformasi harus
melalui proses invers terlebih dahulu.
9. Mengingatkan kembali bahwa transformasi berurutan bisa dinyatakan ke dalam
komposisi transformasi, sambil menanamkan kembali sifat komposisi fungsi.
10. Menyimpulkan bentuk-bentuk matriks transformasi terhadap jenis transformasi,
sehingga peserta didik bisa menentukan strategi belajar sendiri untuk memperkuat
konsep transformasi bidang dan transformasi terhadap kurva.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 7 dari 26
6. Pada suatu tes salah satu soalnya adalah sebagai berikut:
C
20 cm
β
B
A
30 cm
Skor total untuk jawaban tersebut adalah 3. Berdasarkan soal di atas tuliskan pedoman
penskorannya!
Pembahasan:
Pedoman penskoran:
1. Menentukan sudut A (1 poin)
2. Menuliskan rumus aturan sinus (1 poin)
3. Menyelesaikan perhitungan aturan sinus (1 poin)
Total skor maksimal: 3 poin.
Pedoman penskoran:
�� � =
�
�
ℎ
×
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 8 dari 26
7. Seorang siswa SMA kebingungan ketika menentukan nilai komposisi fungsi (g o f)(0). f dan
g adalah fungsi bernilai real dengan f(x) = √ − dan g(x) = x2. Ketika dikerjakan melalui
(g o f)(x) = x – 1 diperoleh nilai (g o f)(0) = -1. Apabila dikerjakan melalui proses g(f(0))
diperoleh nilai f(0) = √− yang tidak mungkin ada. Konsep apa yang belum dipahami oleh
siswa tersebut?
Pembahasan:
Konsep pengertian fungsi, domain (daerah asal fungsi) dan range (daerah hasil) pada fungsi
dan komposisi fungsi.
Nilai = mengakibatkan
terdefinisi untuk nilai = .
tidak terdefinisi yang akan menyebabkan komposisi tidak
Jika
menyatakan daerah hasil fungsi , dan
menyatakan daerah asal fungsi , maka
fungsi dan fungsi dapat dikomposisikan menjadi komposisi fungsi
∘
, jika
∩
≠ ∅.
Misalnya, daerah asal yang diperbolehkan untuk fungsi pecahan, maka nilai penyebut tidak
boleh nol. Sementara untuk fungsi akar, nilai di dalam akar harus lebih besar dari nol.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 9 dari 26
8. Seorang guru SMA sedang melakukan proses pembelajaran materi persamaan matriks AX =
B. Tujuan pembelajaran yang diharapkan adalah mampu menentukan matriks X. Apa cara
yang paling tepat yang ia lakukan untuk gagasan memperoleh matriks itu telah dikuasai
siswa apa belum?
Pembahasan:
Memberikan pertanyaan diskusi tentang menyajikan sistem persamaan linear dalam bentuk
matriks dan menyelesaikannya nilai variabel pada sistem persamaan linear menggunakan
persamaan matriks AX = B atau XA = B.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 10 dari 26
8
9. Jumlah akar-akar persamaan
+
Pembahasan:
Dengan menggunakan teorema Vieta:
+
−
−
+
−
−
6
−
+ …+
Maka jumlah akar-akarnya adalah:
+
+
+ …+
=−
−
+
+
+
=
adalah ....
=
=− =
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 11 dari 26
10. Fungsi
maka
memenuhi
= ....
Pembahasan:
∙
∙
∙
∙
=
untuk semua bilangan real
dan . Bila
=
=
=
=
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
=
Halaman 12 dari 26
11. Nilai dari
+
adalah ....
+
+
+ +
+
+ + +
+ …+
+ +⋯+
Pembahasan:
+
⇔ ∑
=
⇔ ∑
=
+
+ +
+
+ + +
+ …+
+ + ⋯+
� �+
⇔ ∑
=
+
+
+
+
=
+ +
Untuk = , didapatkan =
.
Untuk = − didapatkan = −
−
⇔ ∑
=
+
Dengan memasukkan nilai indeks
satu sama lain, yaitu:
⇔(
⇔
⇔
−
−
)+(
−
didapatkan sebuah persamaan yang saling mencoret
)+(
−
) + ……… + (
−
)
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 13 dari 26
−
12. Kedua akar persamaan
mungkin adalah ....
Pembahasan:
−
+ =
+
=
adalah bilangan prima. Banyaknya nilai
Misalkan kedua akar persamaan tersebut adalah
Akan diperoleh:
+ =
dan
dan dan
=
Karena + adalah bilangan ganjil maka salah satu dari
yang lain adalah bilangan genap.
< .
atau
adalah bilangan ganjil dan
Tidak mungkin keduanya ganjil atau keduanya genap.
Satu-satunya bilangan prima genap adalah 2. Jadi salah satu dari
Misalkan
=
=
= , maka
=
=
yang
atau adalah 2.
.
.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 14 dari 26
13. Keliling suatu segitiga adalah 10 cm. Jika panjang sisi adalah bilangan bulat maka luas
paling besar yang mungkin adalah .... cm2.
Pembahasan:
Keliling suatu segitiga maksimum jika segitiga tersebut berbentuk segitiga sama sisi.
Karena panjang sisi harus bilangan bulat, maka jika keliling segitiga 10 cm. maka
kemungkinan sisi-sisi segitiga yang mengakibatkan luasnya paling besar adalah: 3, 3, dan 4.
Dengan menggunakan teorema Heron untuk menghitung luas segitiga:
�=√
−
=
��
−
Dimana =
�=√
−
��
=
−
×
−
=
=
−
+
+
=√ ∙
∙ ∙
= √ cm
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 15 dari 26
14. tan + tan
Pembahasan:
tan + tan
⇔
tan
sin
⇔
cos
sin
⇔
sin
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
sin
°−
= 6. Nilai cos
°−
+ cot
cos
+
sin
+ cos
cos
=
=
sin
=
+ cos
cos
cos
cos
cos
sin
yang mungkin adalah ....
=
=
=
=
= √ − sin
=√ −
=√
=± √
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 16 dari 26
15. Garis
+
=
memotong ellips
+
=
di titik A dan B. Terdapat titik P
pada ellips sehingga luas segitiga PAB adalah 3 satuan luas. Titik P semacam itu sebanyak ....
Pembahasan:
+
=
⇒
=
Substitusi
elips:
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Untuk
Untuk
||
+
=
−
=
=
|+|
⇒
⇒
elips:
|
=
( −
−
=
=
=− ⇒
Substitusi
+
( −
+
ke persamaan
+
+
Perpotongan garis
+
=−
dengan elips adalah letak titik P.
−
+
=
+
−
−
�
��
+
+
|+|
+
) =
+
+
)=
=
=
=
=
=
|| =
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
+
=
−
=− −
ke persamaan
+
+
(− −
+
+
+
+
( +
+
+
−
−
=
) =
)=
=
=
=
Cek diskriminan persamaan kuadrat
tersebut:
=
−
−
=
Jadi persamaan kuadrat tersebut
memiliki dua akar berbeda.
Sehingga titik P pada elips ada 2.
|=
=−
=−
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 17 dari 26
16. Misalkan a > , A = { x, y l y x3, y
,
x a}, dan B = { x, y l y x3, y
Nilai a yang mungkin agar luas daerah B empat kali luas daerah A adalah ....
,
Pembahasan:
�
=∫
�
�
=∫
Nilai a yang mungkin agar luas daerah B empat kali luas daerah A:
�
∫
[
⇔
=
�
�
= ∫
] = [
=
]
�
4
= √ =√ = √
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
x
},
Halaman 18 dari 26
17. Himpunan solusi dari | | −
+ | |+
Pembahasan:
| | −
⇔
⇔
−
=−
+ | |+
−
+
+
−
�� = { | < −
< {
+
−
−
+
−
=
3
−
<
<
<
−
−
<
+
−
adalah ....
+
+
−
⇔
=
5
< , untuk
< , untuk
⇔
+
=
−
< }
−5
<
−
+
�� = { | −
−
+
−
+
+
=−
−
<
+
−
+
−
>
=−
1
+
> }
Jadi daerah penyelesaiannya adalah irisan dua HP tersebut:
−
−
−5
+
−5
−
−
�� = { |− <
+
−
−
−
3
1
+
1
3
C, D > E > F, G > H > I > J. Selanjutnya D, E, dan F adalah angka-angka genap
berurutan. G, H, I, dan J adalah angka-angka ganjil berurutan. A + B + C = 9. Angka A adalah
....
Pembahasan:
Karena D, E, F adalah angka genap berurutan, maka kemungkinannya adalah 864 dan 642.
G, H, I, J adalah angka ganjil berurutan, maka kemungkinannya adalah 9753 dan 7531.
Jadi angka 3, 4, 5, 6, dan 7 mustahil digunakan pada A, B, C.
Angka yang mungkin digunakan pada ABC hanya 9, 8, 2, 1, 0.
Karena, A + B + C = 9, maka kemungkinan nilai dari ABC adalah hanya 8 + 1 + 0.
810-642-9753
Jadi nilai angka A adalah 8.
Pembahasan soal OSN Guru Matematika SMA 2012 ini sangat mungkin jauh dari sempurna
mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan
pembahasan soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SNMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran
serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Pembahasan Soal
OSN Guru 2012
OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA
OSN Guru Matematika SMA
(Olimpiade Sains Nasional)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 2 dari 26
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE GURU MATEMATIKA SMA
TINGKAT PROPINSI
TANGGAL 7 JUNI 2012
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1. Pak Tamrin sedang membuat rencana pembelajaran Matematika kelas X materi aturan
sinus. Agar siswa lebih memahami untuk apa belajar aturan sinus, Pak Tamrin akan
memanfaatkan materi sebelumnya yang dapat mengantarkan ke pembelajaran aturan sinus.
Permasalahan apa dalam materi prasyarat yang dapat mengantarkan pemahaman pada
materi aturan sinus tersebut?
Pembahasan:
Materi prasyarat:
(1) Siswa mampu menghitung operasi bilangan real.
(2) Siswa mampu menunjukkan garis tinggi segitiga.
(3) Siswa mampu memahami definisi perbandingan trigonometri sinus
Pada aturan sinus, siswa harus bisa mendefinisikan garis tinggi segitiga dari salah satu sisi
segitiga dengan melihat pengertian sinus pada materi pembelajaran sebelumnya.
Sebagai contoh perhatikan segitiga ABC di bawah:
C
b
a
A
B
D
Dengan melihat garis tinggi AD, dimana AD bisa didefinisikan menggunakan sinus sudut A
maupun sinus sudut B, siswa akan dapat menemukan pemahaman rumus aturan sinus.
Garis tinggi CD bisa dinyatakan sebagai perbandingan sinus dari sudut A dan B:
sin
sin
=
=
⇒
⇒
=
=
sin
sin
Jadi, dari persamaan sin
=
sin
akan diperoleh persamaan aturan sinus
=
sin
sin
Dari dua nilai
tersebut, siswa diberi pemahaman bahwa nilai CD dapat dihubungkan
menjadi aturan sinus apabila ada salah satu dari variabel yang mempengaruhi nilai CD
tersebut tidak diketahui.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 3 dari 26
2. Untuk mencapai tujuan pembelajaran “Siswa dapat menentukan sisa pembagian suku
banyak f(x) dengan suku banyak berbentuk (x – a), Pak Soleh memilih lintasan belajar
sebagai berikut:
(1) Mengingatkan kembali pembagian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) yang
dapat ditulis dalam bentuk f(x) = g(x).H(x) + S(x) dengan H(x) hasil bagi dan S(x) sisa
pembagian.
(2) Memandang g(x) = x – a sehingga f(x) = (x – a)H(x) + S(x)
(3) Menentukan S(x) dengan memandang f(x) berlaku untuk semua x, termasuk x = a.
Pendekatan yang dipilih oleh Pak Soleh untuk mencapai tujuan pembelajaran dengan
lintasan belajar seperti itu disebut pendekatan …
Pembahasan:
Pendekatan deduktif adalah cara yang dilakukan oleh guru di dalam mencapai tujuan
pembelajaran dengan menggunakan aturan yang sudah dijamin kebenarannya.
Proses pendekatan deduktif secara matematika dapat dirumuskan sebagai berikut:
Aturan :
⇒
Fakta yang dimiliki :
Kesimpulan
Dari lintasan belajar yang dilakukan, fakta yang dihadapi yang sudah diketahui siswa adalah
= − ∙�
+
Dengan mengunakan aturan bahwa:
= − ∙�
+
⇒
=
Sehingga akan diperoleh kesimpulan bahwa:
=
Dengan demikian lintasan belajar seperti itu menggunakan pendekatan deduktif.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 4 dari 26
3. Seorang guru matematika kelas X sedang merencanakan pembelajaran materi aturan
cosinus. Agar siswa memahami pentingnya materi aturan cosinus ini, guru itu memikirkan
bagaimana lintasan belajarnya. Tuliskan lintasan belajar (urutan proses pembelajaran)
sebelum menurunkan aturan cosines tersebut!
Pembahasan:
Lintasan belajar menurunkan rumus aturan kosinus:
(1) Mengingatkan kembali bahwa pada segitiga sembarang juga berlaku perbandingan
trigonometri serta aturan Pythagoras dengan cara menarik garis tinggi segitiga. Dan
mengingatkan juga bahwa garis tinggi segitiga tersebut membagi segitiga menjadi dua
segitiga siku-siku.
C
C
A
D
B
A
B
D
(2) Memandang salah satu segitiga siku-siku dan menyatakan aturan Pythagoras yang
berlaku.
=
+
(3) Menyatakan perbandingan sinus dan kosinus pada segitiga siku-siku yang lain.
sin
cos
=
=
⇒
⇒
= sin
= cos
(4) Menghubungkan aturan Pythagoras dan perbandingan trigonometri yang telah
didapatkan, sehingga didapatkan persamaan untuk menurunkan rumus aturan
kosinus.
=
+ −
(5) Menurunkan rumus yang telah didapatkan, dengan mengingatkan kembali tentang
perkalian faktor −
dan identitas trigonometri sin + cos = .
(6) Menemukan aturan cosinus:
=
+ −
cos
(7) Melakukan analisis yang sama untuk menemukan aturan cosinus yang lain:
=
+ −
cos
=
+ −
cos
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 5 dari 26
4. Pak Hidayat akan mengukur kemampuan dalam mengukur jarak dari titik C ke bidang BPD
dalam ruang dimensi tiga seperti di bawah ini
P
G
H
E
F
D
C
A
B
Oleh karena penilaian dilakukan sambil Pak Hidayat membimbing siswa dalam
menyelesaikan masalah yang terkait dengan konsep itu ia perlu mengetahui standar
penilaian yang praktis dan sederhana. Standar penilaian tersebut berupa kemampuankemampuan dalam menerapkan prosedur penentuan jarak titik ke bidang. Apa yang
menjadi kemampuan kunci (penentu kebenaran secara keseluruhan) dalam menentukan
jarak tersebut?
Pembahasan:
Konsep mencari jarak titik C ke bidang BPD:
Buat garis ℊ pada bidang yang melalui C dan tegak lurus bidang BPD.
Jika titik tembus garis ℊ pada bidang BPD adalah Q, maka jarak C ke bidang BPD adalah CQ.
Langkah-langkahnya:
Memperluas bidang BPD dengan melukis perpanjangan garis DP dan perpanjangan garis CH
hingga berpotongan di titik R. Serta menarik garis dari titik B ke R. Didapatkan bidang DBR.
Melukis garis pada bidang ABCD yang melewati C dan memotong tegak lurus BD di titik S.
Menghitung panjang CS, CR dan SR.
Melukis segitiga CSR dengan titik Q berada di SR sedemikian sehingga CQ tegak lurus
dengan SR.
R
Menghitung CQ menggunakan perbandingan atau aturan cosinus.
Jadi, dengan melihat uraian
di atas maka yang menjadi
kemampuan kunci dalam
menentukan jarak dari titik
C ke bidang BDP adalah
kemampuan menentukan
titik S sebagai proyeksi dari
E
titik C ke garis BD.
Jika penentukan titik S ini
salah, maka proses selanjutnya
dipastikan akan salah.
A
P
G
H
F
Q
D
C
S
B
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 6 dari 26
5. Tranformasi mempunyai banyak jenis sehingga guru perlu menyederhakan proses
pembelajaran. Tuliskan dengan singkat dan jelas proses pembelajaran tersebut!
Pembahasan:
1. Mengingatkan tentang persamaan garis.
2. Memberi stimulus tentang empat jenis transformasi, translasi (pergeseran), refleksi
(pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).
3. Menegaskan bahwa translasi adalah pergeseran yang berkaitan dengan vektor, jadi
matriks translasinya hanya matriks baris dan arah pergeseran mengikuti aturan sumbu
kartesius.
4. Menegaskan bahwa refleksi adalah pencerminan terhadap sebuah garis tertentu yang
bertindak sebagai sumbu simetri, sambil menanamkan kembali sifat bayangan
pencerminan dan aturan sumbu kartesius.
5. Menegaskan bahwa rotasi adalah perputaran terhadap sebuah titik pusat sebesar sudut
putar dan dipengaruhi oleh arah putar, sambil menanamkan kembali sifat-sifat
penjumlahan sudut trigonometri.
6. Menegaskan bahwa rotasi adalah perbesaran/pengecilan (perkalian) suatu bangun
tanpa mengubah bentuk bangun geometri tersebut yang ditentukan oleh pusat dilatasi
dan faktor skala dilatasi.
7. Mengingatkan bahwa transformasi juga bisa dinyatakan ke dalam sebuah matriks
transformasi, sambil menanamkan kembali sifat fungsi invers matriks.
8. Menegaskan bahwa untuk menemukan persamaan bayangan hasil transformasi harus
melalui proses invers terlebih dahulu.
9. Mengingatkan kembali bahwa transformasi berurutan bisa dinyatakan ke dalam
komposisi transformasi, sambil menanamkan kembali sifat komposisi fungsi.
10. Menyimpulkan bentuk-bentuk matriks transformasi terhadap jenis transformasi,
sehingga peserta didik bisa menentukan strategi belajar sendiri untuk memperkuat
konsep transformasi bidang dan transformasi terhadap kurva.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 7 dari 26
6. Pada suatu tes salah satu soalnya adalah sebagai berikut:
C
20 cm
β
B
A
30 cm
Skor total untuk jawaban tersebut adalah 3. Berdasarkan soal di atas tuliskan pedoman
penskorannya!
Pembahasan:
Pedoman penskoran:
1. Menentukan sudut A (1 poin)
2. Menuliskan rumus aturan sinus (1 poin)
3. Menyelesaikan perhitungan aturan sinus (1 poin)
Total skor maksimal: 3 poin.
Pedoman penskoran:
�� � =
�
�
ℎ
×
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 8 dari 26
7. Seorang siswa SMA kebingungan ketika menentukan nilai komposisi fungsi (g o f)(0). f dan
g adalah fungsi bernilai real dengan f(x) = √ − dan g(x) = x2. Ketika dikerjakan melalui
(g o f)(x) = x – 1 diperoleh nilai (g o f)(0) = -1. Apabila dikerjakan melalui proses g(f(0))
diperoleh nilai f(0) = √− yang tidak mungkin ada. Konsep apa yang belum dipahami oleh
siswa tersebut?
Pembahasan:
Konsep pengertian fungsi, domain (daerah asal fungsi) dan range (daerah hasil) pada fungsi
dan komposisi fungsi.
Nilai = mengakibatkan
terdefinisi untuk nilai = .
tidak terdefinisi yang akan menyebabkan komposisi tidak
Jika
menyatakan daerah hasil fungsi , dan
menyatakan daerah asal fungsi , maka
fungsi dan fungsi dapat dikomposisikan menjadi komposisi fungsi
∘
, jika
∩
≠ ∅.
Misalnya, daerah asal yang diperbolehkan untuk fungsi pecahan, maka nilai penyebut tidak
boleh nol. Sementara untuk fungsi akar, nilai di dalam akar harus lebih besar dari nol.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 9 dari 26
8. Seorang guru SMA sedang melakukan proses pembelajaran materi persamaan matriks AX =
B. Tujuan pembelajaran yang diharapkan adalah mampu menentukan matriks X. Apa cara
yang paling tepat yang ia lakukan untuk gagasan memperoleh matriks itu telah dikuasai
siswa apa belum?
Pembahasan:
Memberikan pertanyaan diskusi tentang menyajikan sistem persamaan linear dalam bentuk
matriks dan menyelesaikannya nilai variabel pada sistem persamaan linear menggunakan
persamaan matriks AX = B atau XA = B.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 10 dari 26
8
9. Jumlah akar-akar persamaan
+
Pembahasan:
Dengan menggunakan teorema Vieta:
+
−
−
+
−
−
6
−
+ …+
Maka jumlah akar-akarnya adalah:
+
+
+ …+
=−
−
+
+
+
=
adalah ....
=
=− =
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 11 dari 26
10. Fungsi
maka
memenuhi
= ....
Pembahasan:
∙
∙
∙
∙
=
untuk semua bilangan real
dan . Bila
=
=
=
=
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
=
Halaman 12 dari 26
11. Nilai dari
+
adalah ....
+
+
+ +
+
+ + +
+ …+
+ +⋯+
Pembahasan:
+
⇔ ∑
=
⇔ ∑
=
+
+ +
+
+ + +
+ …+
+ + ⋯+
� �+
⇔ ∑
=
+
+
+
+
=
+ +
Untuk = , didapatkan =
.
Untuk = − didapatkan = −
−
⇔ ∑
=
+
Dengan memasukkan nilai indeks
satu sama lain, yaitu:
⇔(
⇔
⇔
−
−
)+(
−
didapatkan sebuah persamaan yang saling mencoret
)+(
−
) + ……… + (
−
)
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 13 dari 26
−
12. Kedua akar persamaan
mungkin adalah ....
Pembahasan:
−
+ =
+
=
adalah bilangan prima. Banyaknya nilai
Misalkan kedua akar persamaan tersebut adalah
Akan diperoleh:
+ =
dan
dan dan
=
Karena + adalah bilangan ganjil maka salah satu dari
yang lain adalah bilangan genap.
< .
atau
adalah bilangan ganjil dan
Tidak mungkin keduanya ganjil atau keduanya genap.
Satu-satunya bilangan prima genap adalah 2. Jadi salah satu dari
Misalkan
=
=
= , maka
=
=
yang
atau adalah 2.
.
.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 14 dari 26
13. Keliling suatu segitiga adalah 10 cm. Jika panjang sisi adalah bilangan bulat maka luas
paling besar yang mungkin adalah .... cm2.
Pembahasan:
Keliling suatu segitiga maksimum jika segitiga tersebut berbentuk segitiga sama sisi.
Karena panjang sisi harus bilangan bulat, maka jika keliling segitiga 10 cm. maka
kemungkinan sisi-sisi segitiga yang mengakibatkan luasnya paling besar adalah: 3, 3, dan 4.
Dengan menggunakan teorema Heron untuk menghitung luas segitiga:
�=√
−
=
��
−
Dimana =
�=√
−
��
=
−
×
−
=
=
−
+
+
=√ ∙
∙ ∙
= √ cm
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 15 dari 26
14. tan + tan
Pembahasan:
tan + tan
⇔
tan
sin
⇔
cos
sin
⇔
sin
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
sin
°−
= 6. Nilai cos
°−
+ cot
cos
+
sin
+ cos
cos
=
=
sin
=
+ cos
cos
cos
cos
cos
sin
yang mungkin adalah ....
=
=
=
=
= √ − sin
=√ −
=√
=± √
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 16 dari 26
15. Garis
+
=
memotong ellips
+
=
di titik A dan B. Terdapat titik P
pada ellips sehingga luas segitiga PAB adalah 3 satuan luas. Titik P semacam itu sebanyak ....
Pembahasan:
+
=
⇒
=
Substitusi
elips:
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Untuk
Untuk
||
+
=
−
=
=
|+|
⇒
⇒
elips:
|
=
( −
−
=
=
=− ⇒
Substitusi
+
( −
+
ke persamaan
+
+
Perpotongan garis
+
=−
dengan elips adalah letak titik P.
−
+
=
+
−
−
�
��
+
+
|+|
+
) =
+
+
)=
=
=
=
=
=
|| =
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
+
=
−
=− −
ke persamaan
+
+
(− −
+
+
+
+
( +
+
+
−
−
=
) =
)=
=
=
=
Cek diskriminan persamaan kuadrat
tersebut:
=
−
−
=
Jadi persamaan kuadrat tersebut
memiliki dua akar berbeda.
Sehingga titik P pada elips ada 2.
|=
=−
=−
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 17 dari 26
16. Misalkan a > , A = { x, y l y x3, y
,
x a}, dan B = { x, y l y x3, y
Nilai a yang mungkin agar luas daerah B empat kali luas daerah A adalah ....
,
Pembahasan:
�
=∫
�
�
=∫
Nilai a yang mungkin agar luas daerah B empat kali luas daerah A:
�
∫
[
⇔
=
�
�
= ∫
] = [
=
]
�
4
= √ =√ = √
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
x
},
Halaman 18 dari 26
17. Himpunan solusi dari | | −
+ | |+
Pembahasan:
| | −
⇔
⇔
−
=−
+ | |+
−
+
+
−
�� = { | < −
< {
+
−
−
+
−
=
3
−
<
<
<
−
−
<
+
−
adalah ....
+
+
−
⇔
=
5
< , untuk
< , untuk
⇔
+
=
−
< }
−5
<
−
+
�� = { | −
−
+
−
+
+
=−
−
<
+
−
+
−
>
=−
1
+
> }
Jadi daerah penyelesaiannya adalah irisan dua HP tersebut:
−
−
−5
+
−5
−
−
�� = { |− <
+
−
−
−
3
1
+
1
3
C, D > E > F, G > H > I > J. Selanjutnya D, E, dan F adalah angka-angka genap
berurutan. G, H, I, dan J adalah angka-angka ganjil berurutan. A + B + C = 9. Angka A adalah
....
Pembahasan:
Karena D, E, F adalah angka genap berurutan, maka kemungkinannya adalah 864 dan 642.
G, H, I, J adalah angka ganjil berurutan, maka kemungkinannya adalah 9753 dan 7531.
Jadi angka 3, 4, 5, 6, dan 7 mustahil digunakan pada A, B, C.
Angka yang mungkin digunakan pada ABC hanya 9, 8, 2, 1, 0.
Karena, A + B + C = 9, maka kemungkinan nilai dari ABC adalah hanya 8 + 1 + 0.
810-642-9753
Jadi nilai angka A adalah 8.
Pembahasan soal OSN Guru Matematika SMA 2012 ini sangat mungkin jauh dari sempurna
mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan
pembahasan soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SNMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran
serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com