Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMA 2016 Tingkat Nasional

Pembahasan Soal

OGN 2016
OLIMPIADE GURU NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA

OGN Matematika SMA
(Olimpiade Guru Nasional Tingkat Nasional)

Disusun oleh:

Pak Anang

Halaman 2 dari 9

PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE GURU MATEMATIKA SMA
TINGKAT NASIONAL
18 Oktober 2016
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1.

Tentukan semua bilangan bulat sedemikian sehingga polinomial
dapat dituliskan sebagai perkalian dari dua polinomial dengan koefisien bilangan bulat !
Pembahasan:
Perhatikan,

Sehingga diperoleh:

Dan selanjutnya akan diperoleh:

Dari bentuk

diperoleh informasi bahwa

adalah faktor dari 5.

Dari
, maka misal
 Untuk
 Untuk
 Untuk

 Untuk

dan
, sehingga
, sehingga
, sehingga
, sehingga

, dan diperoleh
.
, dan diperoleh
, dan diperoleh
2, dan diperoleh

Dari
, maka misal
 Untuk
 Untuk
 Untuk
 Untuk

dan
, sehingga
, sehingga
, sehingga
, sehingga

, dan diperoleh
, dan diperoleh
, dan diperoleh
2, dan diperoleh

Dari
, maka misal
 Tidak menemenuhi.

dan

Dari
, maka misal

 Tidak menemenuhi.

Jadi, diperoleh nilai

.
.
.

.
.
.
.

dan

.

Pembahasan OGN Matematika SMA 2016 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 3 dari 9

Cara Alternatif:
Perhatikan,

Sehingga diperoleh:

Perhatikan, adalah bilangan bulat apabila
Sehingga, diperoleh:

adalah faktor dari 5.

Untuk

Untuk

Untuk

Untuk

Jadi, diperoleh nilai

.

Pembahasan OGN Matematika SMA 2016 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 4 dari 9

2.

Tentukan semua triple

berupa bilangan real yang memenuhi

Pembahasan:
Perhatikan bentuk
Misal,

dapat diperoleh dari

.

Maka, diperoleh:

Perhatikan, bentuk nilai mutlak

Sehingga untuk

:

, maka:

Sehingga, diperoleh:
dan
Maka tripel

yang memenuhi untuk

Sedangkan untuk

adalah

, maka:

Sehingga, diperoleh:
dan
Maka tripel

yang memenuhi untuk

adalah

Pembahasan OGN Matematika SMA 2016 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 5 dari 9

3.

Diberikan sebuah segitiga
. Lingkaran dalam segitiga
menyinggung sisi

berturut-turut di titik
dan . Jika garis
berpotongan dengan garis bagi sudut
, buktikan
Pembahasan:
Gambar saja dengan memilih bentuk segitiga
akan terbukti bahwa
Untuk bentuk segitiga

adalah segitiga sama sisi, maka dengan mudah

yaitu segitiga sembarang seperti berikut ini…. (Eddy Hermanto)

Misalkan
maka,

,

Perhatikan segiempat
, karena jumlah sudutnya 360 maka

Karena
dan adalah jari-jari lingkaran,
maka
Perhatikan
, dan pandang
sehingga karena
, maka
padahal
, maka

,
,

Karena
,
maka dapat dibuat sebuah lingkaran yang melalui
Karena
maka lingkaran luar

dan

di titik

dan titik dan
juga melalui .

Jadi, ada sebuah lingkaran yang melalui
Maka,
, sehingga

.

berada pada busur yang sama,

.
.

Sehingga terbukti bahwa

Pembahasan OGN Matematika SMA 2016 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 6 dari 9

4.

Diberikan himpunan
…
dibentuk bilangan sebagai berikut:

. Untuk setiap permutasi

…

dari himpunan ,

Tentukan nilai rata-rata dari semua nilai yang mungkin.
Pembahasan
Perhatikan, mari kita lihat bentuk soal ini dalam bentuk yang lebih sederhana. Misal himpunan A
kita potong sehingga hanya tersisa
, maka banyak permutasi
dari
himpunan
adalah
.
Sehingga, ada sebanyak 24 bilangan yang dapat dibentuk, antara lain:

Catatan:
Warna kuning, artinya bentuk
akan muncul sebanyak
, dan kemungkinan
munculnya adalah di tempat. Perhatikan memuat nilai mutlak, ya kan?
Warna biru, artinya bentuk
dan
menghasilkan nilai yang sama.
Warna hijau, adalah rumus umum untuk deret
Pembahasan OGN Matematika SMA 2016 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 7 dari 9

Sehingga, rumus umum untuk nilai rata-rata dari semua nilai yang mungkin adalah:

Jadi, untuk

, maka nilai rata-rata dari semua yang mungkin adalah:

Pembahasan OGN Matematika SMA 2016 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 8 dari 9

5.

Hitung integral berikut:

Pembahasan:
Perhatikan, kita gunakan substitusi:

Sehingga diperoleh:

Pembahasan OGN Matematika SMA 2016 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 9 dari 9

Pembahasan soal OGN Matematika SMA 2016 Tingkat Nasional ini mungkin sangat jauh dari
sempurna mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi
perbaikan pembahasan soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta
soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang

Pembahasan OGN Matematika SMA 2016 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)