Aljabar Linear Persamaan Diferensial Dan Sistem Dinamik Dalam Model Matematika Epidemiologi.
ALJABAR LINEAR
PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN
SISTEM DINAMIK DALAM
MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI
ii
NURSANTI ANGGRIANI
ALJABAR LINEAR
PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN
SISTEM DINAMIK DALAM
MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI
~
~-!:}
Unpad Press
iii
~·
TIM PENGARAH
Ganjar Kumia,
Mahfud Arifin, Engkus Kuswamo,
Sulaiman Rahman Nidar
Penulis
Nursanti Anggriani
Judul zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT
Aljabar Linear Persamaan Diferensial Dan
Sistem Dinamik Dalam
Model Matematika Epidemiologi
Editor
Wilson Nadeak
Tata Letak
Trisatya
~
UNP AD PRESS zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY
Copyright© 2012
ISBN 9786-602-9238-01-3
iv
PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha
Esa yang telah memberikan hidayah-Nya sehingga penulisan dan
penyusunan buku Aljabar Linear, Persamaan Diferensial dan
Sistem Dinamik dalam Model Matematika Epidemiologi ini
dapat diselesaikan tepat pada waktunya.
Epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari penyebaran
suatu penyakit dalam ruang dan waktu dengan tujuan untuk
menentukan dan mengendalikan faktor - faktor yang berperan
dalam terjadinya penyebaran tersebut. Matematika Epidemiologi
merupakan bagian dari matematika terapan yang mempelajari
epidemiologi dengan menggunakan matematika sebagai alat
bantu. Masalah - masalah biologi atau penyakit diterjemahkan
dalam bentuk asumsi ke dalam model matematika. Model yang
telah diperoleh kemudian dianalisis dan hasilnya diinterpretasikan
batik ke aspek biologinya.
Buku ini menyajikan teori tentang Aljabar Linear,
Persamaan Diferensial serta Sistem Dinamik dan aplikasinya
pada model - model Matematika Epidemiologi. Diuraikan pula
suatu nilai parameter ambang yang disebut zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU
Basic Reproduction
Ratio yang berperan dalam penentuan kriteria endemik dalam
suatu populasi. Buku ini diharapkan.. dapat bennanfaat bagi para
matematikawan, mahasiswa, atau siapa saja yang berminat pada
bidang Matematika Epidemiologi. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ
v
bagian dari program
Penul isan buku ini merupakan
penelitian Hibah Doktor 2011. Oleh karena itu, dalam buku ini
penulis menyajikan sebagian dari topik yang berkaitan dengan
penelitian dalam disertasi penulis. Terlaksananya penulisan buku
ini tak lepas dari jasa para promotor di Program Pascasarjana
Universitas Padjadjaran yaitu yang terhonnat Prof. Dr. Asep K
Supriatna, Prof. Dr. Edy Soewono dan Prof. Dr. Rustam E
Siregar, atas semua bimbingan yang telah beliau berikan, penulis
mengucapkan terima kasih. Disamping itu, penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada Direktorat Jendral Pendidikan
Tinggi Depdiknas sebagai penyelenggara program Hibah
penelitian untuk mahasiswa program Doktor tahun 2011, serta
kepada pimpinan Program Pascasarjana Universitas Padjadjaran
yang telah memberi kesernpatan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa buku ini masih jauh dari
sempuma. Oleh karena itu, bila ada kritik, saran dan masukan
yang ingin pembaca sampaikan, penulis akan menerimanya
dengan tangan terbuka dan rasa terima kasih.
Bandung, 2012
Penulis
vi zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS
DAFTAR ISi
PEN GANT AR - v
DAFTAR ISi - vii
BABI
APAKAH EPIDEMIOLOGI ITU? -1
Epidemiologi - 1
Model·- 6
Model Matematika - 8
Matematika Epidemiologi - 12
BAB II
ALJABAR LINIER - 17
Matriks - 17
Persamaan Karakteristik, Vektor Eigen dan Nilai Eigen - 29
Matriks Jacobian - 33
BAB III
PERSAMAAN DIFERENSIAL - 35 -;
Persamaan Diferensial - 35
Sistem Persamaan Diferensial - 43
Metode Numerik - 44
vii zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP
BAB IV
SISTEM DINAMIK - 55
Sistem Dinamik - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON
55
Si stem Autonomous dan Kestabi Ian - 60
Jenis-jenis Kestabilan Berdasarkan Nilai Eigen - 65
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz - 68
BABV zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
BASIC REPRODUCTION RATIO - 73
Definisi - 73
Metoda Pencarian BRR - 7 4 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ
BAB VI
MODEL MATEMATII(A EPIDEMIOLOGI -83
Model SI - 84
Model SIR - 88
Model SEIR - 97
Model Transmisi Dengue satu jenis virus dengan imunitas
permanen - I 04
Model transmisi Dengue satu jenis virus Tanpa imunitas
pennanen - 124
DAFTARPUSTAKA - 145
GLOSARI - I 49
INDEKS - 151
TENTANG PENULIS - 154
viii zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV
I
APAKAH
EPIDEMIOLOGI ITU?
Epidemiologi
EPIDEMIOLOGI
merupakan
salah satu bagian dari
Pengetahuan Ilmu Kesehatan Masyarakat zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT
(Public Health) yang
menekankan perhatiannya terhadap keberadaan penyakit dan
masalah kesehatan
penyakit masyarakat
lainnya dalam masyarakat.
Keberadaan
itu didekati oleh epidemiologi
secara
kuantitatif. Apakah epidemiologi itu? Apa arti epidemiologi dan
bagaimana cara mendefinisikannya? Arti epidemiologi secara
bahasa adalah epi yaitu pada atau menimpa, kemudian demo
PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN
SISTEM DINAMIK DALAM
MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI
ii
NURSANTI ANGGRIANI
ALJABAR LINEAR
PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN
SISTEM DINAMIK DALAM
MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI
~
~-!:}
Unpad Press
iii
~·
TIM PENGARAH
Ganjar Kumia,
Mahfud Arifin, Engkus Kuswamo,
Sulaiman Rahman Nidar
Penulis
Nursanti Anggriani
Judul zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT
Aljabar Linear Persamaan Diferensial Dan
Sistem Dinamik Dalam
Model Matematika Epidemiologi
Editor
Wilson Nadeak
Tata Letak
Trisatya
~
UNP AD PRESS zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY
Copyright© 2012
ISBN 9786-602-9238-01-3
iv
PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha
Esa yang telah memberikan hidayah-Nya sehingga penulisan dan
penyusunan buku Aljabar Linear, Persamaan Diferensial dan
Sistem Dinamik dalam Model Matematika Epidemiologi ini
dapat diselesaikan tepat pada waktunya.
Epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari penyebaran
suatu penyakit dalam ruang dan waktu dengan tujuan untuk
menentukan dan mengendalikan faktor - faktor yang berperan
dalam terjadinya penyebaran tersebut. Matematika Epidemiologi
merupakan bagian dari matematika terapan yang mempelajari
epidemiologi dengan menggunakan matematika sebagai alat
bantu. Masalah - masalah biologi atau penyakit diterjemahkan
dalam bentuk asumsi ke dalam model matematika. Model yang
telah diperoleh kemudian dianalisis dan hasilnya diinterpretasikan
batik ke aspek biologinya.
Buku ini menyajikan teori tentang Aljabar Linear,
Persamaan Diferensial serta Sistem Dinamik dan aplikasinya
pada model - model Matematika Epidemiologi. Diuraikan pula
suatu nilai parameter ambang yang disebut zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU
Basic Reproduction
Ratio yang berperan dalam penentuan kriteria endemik dalam
suatu populasi. Buku ini diharapkan.. dapat bennanfaat bagi para
matematikawan, mahasiswa, atau siapa saja yang berminat pada
bidang Matematika Epidemiologi. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ
v
bagian dari program
Penul isan buku ini merupakan
penelitian Hibah Doktor 2011. Oleh karena itu, dalam buku ini
penulis menyajikan sebagian dari topik yang berkaitan dengan
penelitian dalam disertasi penulis. Terlaksananya penulisan buku
ini tak lepas dari jasa para promotor di Program Pascasarjana
Universitas Padjadjaran yaitu yang terhonnat Prof. Dr. Asep K
Supriatna, Prof. Dr. Edy Soewono dan Prof. Dr. Rustam E
Siregar, atas semua bimbingan yang telah beliau berikan, penulis
mengucapkan terima kasih. Disamping itu, penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada Direktorat Jendral Pendidikan
Tinggi Depdiknas sebagai penyelenggara program Hibah
penelitian untuk mahasiswa program Doktor tahun 2011, serta
kepada pimpinan Program Pascasarjana Universitas Padjadjaran
yang telah memberi kesernpatan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa buku ini masih jauh dari
sempuma. Oleh karena itu, bila ada kritik, saran dan masukan
yang ingin pembaca sampaikan, penulis akan menerimanya
dengan tangan terbuka dan rasa terima kasih.
Bandung, 2012
Penulis
vi zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS
DAFTAR ISi
PEN GANT AR - v
DAFTAR ISi - vii
BABI
APAKAH EPIDEMIOLOGI ITU? -1
Epidemiologi - 1
Model·- 6
Model Matematika - 8
Matematika Epidemiologi - 12
BAB II
ALJABAR LINIER - 17
Matriks - 17
Persamaan Karakteristik, Vektor Eigen dan Nilai Eigen - 29
Matriks Jacobian - 33
BAB III
PERSAMAAN DIFERENSIAL - 35 -;
Persamaan Diferensial - 35
Sistem Persamaan Diferensial - 43
Metode Numerik - 44
vii zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP
BAB IV
SISTEM DINAMIK - 55
Sistem Dinamik - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON
55
Si stem Autonomous dan Kestabi Ian - 60
Jenis-jenis Kestabilan Berdasarkan Nilai Eigen - 65
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz - 68
BABV zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
BASIC REPRODUCTION RATIO - 73
Definisi - 73
Metoda Pencarian BRR - 7 4 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ
BAB VI
MODEL MATEMATII(A EPIDEMIOLOGI -83
Model SI - 84
Model SIR - 88
Model SEIR - 97
Model Transmisi Dengue satu jenis virus dengan imunitas
permanen - I 04
Model transmisi Dengue satu jenis virus Tanpa imunitas
pennanen - 124
DAFTARPUSTAKA - 145
GLOSARI - I 49
INDEKS - 151
TENTANG PENULIS - 154
viii zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV
I
APAKAH
EPIDEMIOLOGI ITU?
Epidemiologi
EPIDEMIOLOGI
merupakan
salah satu bagian dari
Pengetahuan Ilmu Kesehatan Masyarakat zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT
(Public Health) yang
menekankan perhatiannya terhadap keberadaan penyakit dan
masalah kesehatan
penyakit masyarakat
lainnya dalam masyarakat.
Keberadaan
itu didekati oleh epidemiologi
secara
kuantitatif. Apakah epidemiologi itu? Apa arti epidemiologi dan
bagaimana cara mendefinisikannya? Arti epidemiologi secara
bahasa adalah epi yaitu pada atau menimpa, kemudian demo