MATEMATIKA III Faigiziduhu Bu'ulölö

  PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA MATEMATIKA III Faigiziduhu Bu'ul

  ölö

  PERSAMAAN

DIFFERENSIAL

BIASA MATEMATIKA III

  Faigiziduhu Bu'ulölö 2016

  USU Press Art Design, Publishing & Printing Gedung F, Pusat Sistem Informasi (PSI) Kampus USU Jl.

  Universitas No. 9 Medan 20155, Indonesia Telp. 061-8213737; Fax 061-8213737 usupress.usu.ac.id © USU Press 2016 Hak cipta dilindungi oleh undang-undang; dilarang memperbanyak menyalin, merekam sebagian atau seluruh bagian buku ini dalam bahasa atau bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penerbit.

  ISBN 979 458 899 7

  Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)

  Persamaan Differensial Biasa / Faigiziduhu Bu'ulölö--Medan: USU Press 2016. vi, 107 p. ; ilus.: 14 cm Bibliografi

  ISBN: 979-458-899-7

KATA PENGANTAR

  Persamaan Differensial menjadi salah satu ilmu dalam matematika yang memegang peranan penting dalam menyelesaiakan soal-soal sulit dalam bidang fisika, ekonomi, engineering, kimia bahkan bisnis. Berdasarkan pengamatan dan pengalaman penulis ketika memberikan kuliah Persamaan Differensial (Matematika III), ditambah dengan memperhatikan informasi, saran, dan keluhan-keluhan para mahasiswa selama kuliah, penulis berusaha untuk menguraikan materi buku ini sesederhana mungkin. Berbagai kesulitan mahasiswa tersebut, maka buku ini dibuat dengan tujuan untuk dapat membantu para mahasiswa yang sedang mengambil mata kuliah matematika khususnya matematika III atau lanjutan dari matematika dasar di universitas.

  Persamaan differensial yang dibahas dalam edisi pertama ini hanya sebatas persamaan differensial biasa dan dengan koefisian konstan untuk persamaan differensial derajat dua, sehingga materi yang disajikan hanya mencakup persamaan differensial dengan perubah terpisah, bentuk homogen, bentuk exaxt, faktor pengintegralan, persamaan differensial linier tingkat satu dan teknik penyelesaian persamaan differensial derajat dua.

  Penyusun menyadari bahwa buku ini masih banyak kekurangan-kekurangan yang pada dasarnya disebabkan oleh keterbatasan kemampuan penyusun dalam bidang matematika. Karena itu penulis sangat berterima kasih atas saran dan kritik para pembaca, agar dapat melengkapi dan memperbaiki isi buku ini pada edisi berikutnya. Bagi mahasiswa matematika yang memperdalam aplikasi penyelesaian persamaan differensial, saat ini telah muncul komputer-komputer kecepatan-tinggi yang murah telah menyajikan teknik-teknik baru untuk menyelesaikan persamaan differensial, sehingga dapat memodelkan dan menyelesaikan soal-soal rumit yang memperkenalkan sistem-sistem persamaan differensial.

  Penulis berterima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan kontribusi dalam pembuatan buku Persamaan Differensial ini dan juga kepada USU Press yang telah bersedia menerbitkan buku ini dengan segala kekurangannya, sehingga dapat digunakan oleh mahasiswa. Semoga buku ini dapat menambah khasanah literatur ilmu pengetahuan, khususnya dalam bidang Persamaan Differensial Biasa dan bermanfaat kepada para peminat matematika.

  Penulis

  

D A F T A R I S I

Halaman KATA PENGANTAR iii DAFTAR ISI v

BAB I PENDAHULUAN

  1

1.1 Pengertian

  2

  33

  25

  2.3 Perdamaan Differensial yang Dapat Dirubah ke Bentuk Homogen

  28 Soal-soal

  32 BAB III PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU

  33

  3.1 Persamaan Differensial Exact

  3.2 Faktor Pengintegralan

  24

  37

  3.2.1 Faktor Pengintegralan Fungsi di saja

  38

  3.2.2 Faktor Pengintegralan Fungsi di saja

  39 Soal-soal

  45

  1

  2.2 Persamaan Differensial Homogen

  17 Soal-soal

  1.1.2 Definisi

  7

  4

  1.1.3

  1.1.4 Notasi Penyelesaian Persamaan Differensial

  5

  6

  1.1.4 Tingkat dan Derajat dari Suatu

  Persamaan Diferensia

  1.2 Persamaan Differeensial dari Suatu Relasi

  

2.1.2 Persamaan Differensial dengan Perubah

Dapat Dipisahkan

  8 Soal-soal

  10 BAB II PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL

  11

  2.1 Persamaan Differensial Derajat Satu

  12

  

2.1.1 Persamaan Differensial dengan Perubah

Terpisah

  1.1.1 Model Persamaan Differensial

  12

  3.3 Persamaan Differensial Linier Tingkat Satu

  46

  3.4 Persamaan Differensial Bernoulli

  49 Soal-soal

  53 BAB IV PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU

  54 DERAJAT DUA

  

4.1 Persamaan Differensial Tingkat Satu Derajat Dua

  54

  4.1.1 Penyelesaian ke-

  54

  4.1.2 Penyelesaian ke-

  57

  4.1.3 Penyelesaian ke-

  61 Soal-soal

  63

4.2 Persamaan Differensial CLAIRAUT DAN PD

  64 d’ALEMBERT

4.2.1 Persamaan Differensial CLAIRAUT

  64

  4.2.2

  66 Persamaan Differensial d’ALEMBERT

  4.3 Penyelesaian Singular

  69 Soal-soal

  71 BAB V PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT DUA

  72

  5.1 Persamaan Differensial Linier Tingkat Dua

  72

  5.2 Persamaan Differensial Linier Tereduksi Tingkat

  74 Dua dengan Koefisien Konstan Soal-soal

  79

  5.3 Persamaan Differensial Linier Tingkat Dua

  79 Lengkap

  5.3.1 Cara Operator D

  80

  5.3.2 Cara Variasi Parameter

  83 Kumpulan Soal Penyelesaian

  89 Soal Tambahan 102 DAFTAR PUSTAKA 107

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Pengertian

  Persamaan differensial merupakan konsep matematika sangat penting dalam matematika terapan (aplikasi matematika) dalam berbagai disiplin ilmu yang lain. Berbagai hukum ataupun gejala fisika dapat diterangkan dengan persamaan differensial. Demikian juga dalam berbagai masalah teknik, misalnya masalah vibrasi, masalah rangkaian listrik, dalam masalah ekonomi, misalnya penentuan biaya total untuk produksi suatu barang serta juga dalam berbagai masalah geometri dapat dijelaskan dengan bentuk persamaan differensial. Model matematika yang bisa diselesaiakan dengan persamaan differensial erat hubungannya dengan rumus-rumus integral dan teknik integrasi yang telah dipelajari dalam matematika dasar atau kalkulus.

1.1.1 Model Persamaan Differensial 1.

  Bidang Fisika Persamaan differensial mampu menjelaskan suatu dalil atau hukum ke dalam model matematis.

  Misalnya: a.

  Masalah desintegrasi zat radio aktif Dalam suatu saat tertentu suatu zat radio aktif mulai meluruh kecepatan peluruhannya dinyatakan sebanding dengan zat yang ada pada saat itu.

  Misalnya: menyatakan jumlah zat pada saat t, di mana t menyatakan waktu menyatakan kecepatan perubahan kecepa- tan dari pada saat t Hukum desintegrasi dinyatakan oleh persamaan oleh persamaan differensial

  , di mana konstanta positip. Penyelesaian dari persamaan differensial ini adalah di mana menunjukan jumlah zat pada awal peluruhan. Masalah Gerak Misalkan suatu benda bergerak dengan kecepatan yang dinyatakan oleh persamaan: Persamaan lintasan dari benda tersebut dinyatakan oleh persamaan differensial yaitu:

2. Masalah Pertumbuhan

  Persamaan differensial bisa menjelaskan masalah pertumbuhan populasi manusia, hewan, ataupun bakteri serta makhluk yang lain. Misalkan akan menerangkan populasi bakteri di mana kecepatan pertumbuhan dinyatakan dengan jumlah bakteri yang ada. Hukum pertumbuhan populasi bakteri dapat dinyatakan oleh: di mana:

  = jumlah bakteri pada saat = konstanta pertumbuhan

  = menyatakan waktu Dari kedua contoh di atas, dapat memberikan gambaran tentang munculnya suatu persamaan differensial, serta peranannya dalam menyelesaikan persoalan. Suatu persamaan differensial biasa dinyatakan oleh

  , jadi fungsi terdiri dalam .

  1.1.2 Definisi Persamaan Differensial (PD) adalah sebuah persamaan yang mengandung paling sedikit satu turunan atau satu differensial dari suatu fungsi. Persamaan Differensial digolongkan menjadi dua bagian yaitu: a.

  Persamaan Differensial Biasa (PDB) yaitu PD yang mengandung hanya satu perubah bebas . Misalnya : di mana : adalah perubah bebas dan adalah perubah tidak bebas

  Artinya bahwa jika persamaan differensial hanya mengandung satu (1) perubah dan fungsi turunan biasa, maka persamaan disebut persamaan differensial biasa b.

  Persamaan Differensial Parsial (PDP) yaitu PD yang mengandung lebih dari satu perubah bebas . Misalnya: 1.

  2.

  3. di mana : adalah perubah bebas adalah perubah tidak bebas

  Artinya bahwa jika fungsi pada persamaan tersebut terdiri dari dua perubah atau lebih, maka dikatakan sebagai persamaan differensial parsial.

1.1.3 Notasi

  Ekspresi matematis sering kali digunakan untuk menuliskan, masing-masing, turunan pertama, kedua, ketiga, keempat, ... , ke-n dari terhadap perubah bebas yang dimaksudkan. Jadi, dilambangkan ,

  . Untuk perubah bebas yang lain, ... , misalnya perubah , perubah ditulis turunan pertama turunan kedua ditulis . Dalam materi mata kuliah III yang akan dipelajari hanya menyelesaikan persamaan-persamaan Differensial biasa yang elementer.

1.1.4 Penyelesaian Persamaan Differensial

  Penyelesaian dari persamaan differensial dalam fungsi yang tidak diketahui dan perubah bebas pada interval , adalah fungsi yang memenuhi persamaan differensial secara identik untuk semua dalam

  Contoh

  Apakah dan di mana adalah konstanta sembarang, merupakan penyelesaian dari Dengan mencari turunan

  , maka akan diperoleh: Sehingga: Jadi, memenuhi persamaan differensial yang dimaksud untuk semua nilai sehingga merupakan penyelesaian pada interval .

1.1.5 Tingkat dan Derajat dari Suatu Persamaan Differensial

  Seperti pada persamaan dalam aljabar, kita kenal persamaan linier dan persamaan kuadrat. Dalam persamaan differensial kita kenal ordo dari persamaan differensial yang didasarkan pada turunan tertinggi dari fungsi dalam persamaan tersebut. Jadi, jika turunan yang tertinggi yang terdapat dalam persamaan adalah tingkat n, maka PD itu disebut PD tingkat n

  

(ordo n). Jika persamaan itu seluruhnya terukur dan bulat dalam

  turunan-turunan itu, maka pangkat tertinggi dari turunan tertinggi dalam persamaan itu disebut derajat (tingkat atau

  

pangkat) PD itu. Jadi bila dua persamaan differensial dapat

  dianggap sebagai suatu polinom, maka tingkat dari persamaan differensial ditentukan oleh pangkat tertinggi dari turunan tertinggi.

  Contoh : 1.

  disebut PD tingkat 1 dan derajat 1.

  2. disebut PD tingkat 2 dan derajat 2.

  3. disebut PD tingkat 2 dan derajat 3. Jadi bila dua persamaan differensial dapat dianggap sebagai suatu polinom, maka tingkat dari persamaan differensial ditentukan oleh pangkat tertinggi dari turunan yang tertinggi.

1.2 Persamaan Differensial dari Suatu Relasi

  Persamaan umum dari garis-garis lengkung datar adalah parameter- , di mana parameter. PD dari relasi ini diperoleh dengan mengeliminasikan parameter-parameternya dari persamaan semula dengan persamaan turunan-turunannya. Jika relasinya mengandung satu parameter, maka dicari turunannya sampai turunan pertama. Jika mengandung dua parameter, maka diturunkan dua kali dan jika relasinya mengandung n parameter, maka diturunkan sampai turunan ke-n selanjutnya dieliminasi.

  Soal dan Penyelesaian

  1. Carilah PD dari himpunan parabola-parabola Penyelesaian:

  ,  PD-nya didapat dengan mengeliminasi k dari

   Jadi PD dari himpunan parabola-parabola tersebut adalah: _{1 2 dy 1}

  y  x  x ₂

₂

dx

  2 Carilah PD dari himpunan parabola-parabola Penyelesaian: diturunkan sampai turunan ke-2

  Karena turunan ke-2 tidak memuat parameter a dan b, maka penyelesaian PD-nya adalah: _{2 2}

  d y dy

   

  y   ₂   dx dx

   

  Soal-Soal:

  Carilah persamaan-persamaan Differensialnya yang penyelesaian umumnya adalah:

  1.

   4.

  2.

  5.

  3.

   6.

BAB II PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL Penyelesaian Persamaan Differensial adalah suatu hubungan

  antara perubah-perubah tanpa turunan-turunan dan yang memenuhi PD tersebut.

  Contoh : adalah penyelesaian dari

  karena dengan substitusi memenuhi PD.

  Penyelesaian Umum dari suatu PD adalah yang memuat

  konstanta-konstanta essensial sembarang yang banyaknya sama dengan tingkat dari PD itu. dari suatu PD adalah

  Penyelesaian Partikulir

  penyelesaian yang diperoleh dari penyelesaian umum dengan memberi harga tertentu pada konstanta-konstanta sembarang.

  Penyelesaian Singular adalah penyelesaian yang

  memenuhi PD tanpa konstanta- konstanta sembarang tetapi bukan penyelesaian khusus.

2.1 Persamaan Differensial Derajat Satu

  Bentuk Umum : dy 

  f ( x , y ) dx

  atau (2.1)

  Untuk mencari Penyelesaian Umum Persamaan Differensial (PUPD) dari (2.1) dibedakan beberapa menurut keadaan sebagai berikut :

2.1.1 Persamaan Differensial dengan Perubah Terpisah

  Bentuk umum: (2.2)

  Jika bentuk (2.2) diintegralkan diperoleh:

  1 =

  Penyelesaian: Dengan mengintegralkan masing-masing:

  2

  2

  x

    dx

    

    

  



  2 =

  2 2 ) 2 (

  dx x

x

dx x x

   

    

  dy y y y dx x x

  Dengan menyelesaikan bentuk integral pada kedua ruas di atas, maka diperoleh penyelesaian

   

    

  2 ² 

  1

  2

  1

  k ydy xdx 2.

    ₁

   

  Penyelesaian:

  Tentukan PUPD dari persamaan Differensial berikut: 1.

  Soal dan Penyelesaian

•  

  2 y  1 d ( y  ₁ 2 y  1 ) ₂ ** dy  _{2 2}

    y  2 y  1 y  2 y 

  1

  = Jadi Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:

  x

  2 y

  3   3.

  

dx  dy 

₂ x 

  1 y y

  6  

  Penyelesaian:

  x 

  2 y 

  3

  dx dy k

    _{2 1}

    x 

  1 y  y 

  6

  x

  2 

• x 

  dx 

1 Misalkan:

  x

  2 ( u 1 )

  2   

  Jadi: =

  dx du   x 

  1 u = =

  

=

y 

  3 y 

  3

• ₂

  dy  dy  

  ( y 2 )( y 3 )

  y  y 

  6  

  1    

    2 ) 1 (

  2 ^{2 2} 

    

    y y

  

dy

x x dx

  Penyelesaian:

    

  3

  2

  2 ^{2 2}

  x dx x x dx

  Misalkan :

  dt dx t x

  2

  2

  3

  2

  Dengan menggunakan teknik integral, maka

    

  ) ) 3 ( ) 2 ( 3 )(

  2 (

  3   

      y B y A y y y

  Selanjutnya kita cari nilai A dan B Untuk:

    

   

  Jadi PUPD: ; 4.

   

    

  2

  3

  6

  3 _{5 1 5 6 2}

  y dy y dy dy y y y

•  
•  

  didapat

   

   

   

   

  1

  3

  1 ) 1 (

  3

  3 3 ) 1 ( ^{2 2 2}

  t dt t dt y dy

    

    

     

    

   

  1



 y t

  

  3

  1

  3

  1 ln

  3

  2

  1

  1

  1 ln

  3

  2

  1

  y y t t

  

  

  

3

  2 1 



x t

    x arc t arc

    

   

   

    ^{2 2 2}

  1

  2

  1 ) 1 (

  2

  2 2 ) 1 ( t

  dt t dt x dx

  2

  1 tan

  2

  1

tan

2 1 

    

  1     didapat

    3 ) 1 (

  2

  2 ^{2 2}

  y dy y y dy

   

    

    3 ) 1 (

  2

  2 ^{2 2}

  y dy y y dy

  Misalkan :

  dt dy t y

  3

  3

  Jadi PUPD:

    1 x  1 1 y  1 

  3

  

arc tan  ln  k

   

  2

  2

  2 3 y  1 

  3  

2.1.2 Persamaan Differensial dengan Perubah dapat Dipisahkan

  Bentuknya umum: (2.3)

  Dengan membagi persamaan (2.3) oleh , maka diperoleh persamaan (2.4) berikut:

  f ( x ) g ( y ) _{1 1} dx  dy  (2.4) f ( x ) g ( y ) _{2 2} PD (2.4) disebut PD dengan perubah terpisah dan selanjutnya diselesaikan sesuai langkah pada (2.1.1).

  Soal dan Penyelesaian

  Tentukan PUPD dari persamaan Differensial berikut: 1. Penyelesaian: Persamaan PD dibagi oleh:

  , maka diproleh:

  x ( y  4 ) dx dy   ( x 

  3 ) ( y  2 )

1 Jadi PUPD: 2.

      _{1 2} ² _{2 1} )

  4

  3 ^{2 2} 

    

   

  dy y y y dx x x

      

  2 )(

4 (

  8

  4

  3 ) 3 (

  Ln k dy y y y x x d

  

 

  )

  3 (

  3 ) 3 ( _{2 2 1 2} ² _{2 1} Ln x x x d

  2

  , maka diperoleh:

    



  

 

  

  



 

  Ln k dy y y dx x x

  )

2 (

)

4 (

  ) 3 (  

     

  









     

  Penyelesaian: Persamaan PD dibagi oleh:

   k Ln dy y dx x

  2

  6

  

1

  3

  3

• 

  y 

4 A B

• ( y 

  

dy  ( 

) dy  

  4 )( y  2 ) y  4 y 

  2 Dengan menggunakan teknik integral fungsi rasional,

  maka didapat: Seterusnya kita cari nilai A dan B Untuk :

    

  y 

4 A B

  dy  (  ) dy  

  ( y  4 )( y  2 ) y  4 y 

  2 ₄ dy dy ₁

  =  _{3 3}

    y  4 y 

  2 Jadi PUPD: 3.

  Penyelesaian:

  x 

  3 2 y 

  3 ₂ dx  dy  k ₂

    x 

  2 x  4 y  4 y 

  6

• ..(a)
• Misalkan :    

  x

  1 3 t dx 3 dt

  

x 

  1 t 

  3 4 dx ₄

dt

_{4 2}   arc tan t ₃

₂

₃  

  ( x  1 )  3 t 

  1

  1 ₄   x   arc tan ... ( b ) ₃   3  

• #

  ... (c) ## Misalkan :    

  y

  2 5 t dy 5 dt

  y 

  2

  

  t 

  5

  ...(d) Dengan menggunakan rumus umum dari: maka hasil integral (d) dapat ditulis:

  ...(e) Jadi PUPD : (a) + (b) + (c) + (e) =k Aplikasi Persamaan Differensial 1.

  Bidang Fisika

  Contoh

  Suatu rangkaian listrik sederhana, yang terdiri dari suatu resistor, inductance dan sumber yang mempunyai

  electromotive force. Gambar 2.1 Gambar 2.1

  Menurut hukum Kirchoff berlaku: (i) Jika

  : Andaikan maka penyelesaian umum dari persamaan differensial ini adalah:

  (ii) Jika maka penyelesaian umum akan berbentuk: 2.

  Di Bidang Kimia Suatu zat kimia dapat dilarutkan dalam air, di mana banyaknya zat terlarut persatuan waktu (kecepatan reaksi) berbanding lurus dengan hasil kali banyak zat yang tidak larut dengan selisih antara konsentrasi larutan tersebut. Dalam suatu larutan jenuh setiap 100 gram larutan terlarut 50 gr zat tersebut, dan jika 30 gr zat dicampur dengan 100 gram air ternyata 10 gram zat terlarut dalam 2 jam. Berapa gramkah zat yang terlarut setelah 10 jam. Penyelesaian:

  = menyatakan waktu = jumlah jam terlarut pada saat

  = perubahan zat terlarut persatuan waktu Maka diperoleh , sedangkan konsentrasi larutan jenuh adalah . Persamaan ini dapat diubah menjadi:

  Soal-soal : Carilah PUPD dari persamaan berikut ini : 1.

  2.

  3.

  4.

  5.

  6.

  7.

  8. dy=0 9.

  10.

  11.

2.2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN

  Bentuk persamaan differensial: (2.5)

  Persamaan Differensial (PD) disebut PD Homogen, jika dan adalah fungsi-fungsi homogen dan berderajat sama.

  Dengan substitusi pada (2.5) maka persamaan differensial homogen itu diubah menjadi PD dengan perubah terpisah yaitu:

  (2.6) PD (2.6) disebut persamaan differensial dengan perubah terpisah

  Soal dan Penyelesaian

  Carilah PUPD dari persamaan berikut 1.

  Penyelesaian: Misalkan Dengan membagi oleh:

  , maka diperoleh:

   

    _{1 2 2}

  Penyelesaian: Misalkan

  Misalkan Jadi PUPD: 2.

  k dv v v v x dx

  1

  2

  1

   

  1

    

     

   

  v v x dx

   dv

   

  2 ₂ 

• ;
• – y) dy = 0

• – vx) (v dx + x dv) = 0 (x + 2vx + 2vx
• – v
² x) dx + (2 x 2<
• – v x
² ) dv = 0 x (1
• – v
² ) dx + x 2– v) dv = 0 _{1 2} ln

    

  

   

    

  1 ) 4 1 ( ln k v v x k v v v v d x

  4

  4 1 ln ln ln

  1 ² ₂ ^{1 1 2 2 2 1} ln

   

  

    

  Kemudian dibagi dengan didapat: Jadi PUPD:

     

  k dv v v v x dx

  2

  1

  4

  Misalkan : y = vx  dy = v dx + x dv (x + 2vx) dx + (2x

   Pernyelesaian:

  3. (x + 2y) dx + (2x

    Jadi PUPD:

  

2.3 Persamaan Differensial yang Dapat Dirubah ke Bentuk

Homogen

  Bentuk Umum: (2.7)

  1. Jika c = r = 0, maka PD (6) disebut PD Homogen

  2. Jika aq – bp = 0 , maka penyelesaiannya adalah : Misalkan u = ax + by  du = a dx + b dy

  Dengan substitusi ke PD (2.7), maka diperoleh PD dengan perubah terpisah.

  3. Jika aq

• – bp ≠ 0, maka penyelesaiannya adalah:

  Misalkan u = ax + by + c  du = a dx + b dy v = px + qy + r  dv = p dx + q dy

  Kemudian gunakan eliminasi untuk mendapatkan dx dan

  dy, selanjutnya substitusi pada PD (2.7), maka diperoleh

  PD homogen

  Soal dan Penyelesaian

  Carilah PUPD dari persamaan berikut

  1. (x + y – 2) dx + (3x + 3y – 1) dy = 0

  Penyelesaian: Karena aq – bp = 0, maka dimisalkan:

  u = x + y  du = dx + dy dy = du

• – dx (u

• – 2) dx + (3u – 1)(du – dx) = 0

  (u

• – 3u - 1) dx + (3u – 1) du = 0

  3 u 

  1

  dx  du  k ₁   ₃ 2 u 

  1 ₅

  ( 2 u 

1 ) 

  x

• – 2

  du k  ₁ ^{2 2} 

  

1

u  du

  x ³

• – ₂

  du   k ₂ ⁵ ₁   _{3 5} 2 u 

  1

  x u Ln ( 2 u 1 ) k     _{2 4 1} Jadi PUPD: _{3 5} x  ( x  y )  Ln { ₂

₄

2 ( x  y )  1 }  k ₁

  2x + 6y -5 Ln (2x + 2y + 1 ) = k ; k = 4k ¹ 2. (2x

• – y + 1) dx + (x + 2y – 2) dy = 0

  Penyelesaian : Misalkan u = 2x

• – y + 1  du = 2 dx – dy v = x + 2y
• – 2  dv = dx + 2 dy
₁ Dengan eliminasi didapat : dx = (2 du + dv) ₅

  1

  dy = (2 dv ₅ – du) Substitusi pada soal mula-mula: _{1 1} u. (2 du + dv) + v. (2 dv _{5 5} – du) = 0

  (2u

• – v) du + (u + 2v) dv = 0

  Misalkan v = zu  dv = z du + u dz (2u

• – zu)du + (u + 2zu)(z du + u dz) = 0
_{2 2 2}

  (2u + 2z .u) du + (u + 2z.u ) dz = 0 _{2 2}

  

u(2 + 2z ) du + u (1 + 2z) dz = 0

du

  2 z

  1 

   dz  Ln k _{2 1}

    u

  2 ( z 1 )  2 z dz

  Ln u + = Ln k dz ¹ ₂  ₂

 

  2 ( z  1 ) ₂ 2 ( z  1 )

  2 ( 1 ) z d z  _{1 1} ² ₂ dz   Ln ( z  _{2 2 2}

* 1 )

    2 ( z  1 ) z 

  1 ₁ dz ^{2 2}

  ; Misalkan z = tan = tan _{2 2}   z 

• z 1
₂

  

  dz = sec  d _{2 1} dz sec  _{1 1 2 2}  d   d  ₂

₂

₂

     z  1 tan 

  1



  2 Jadi PUPD: Ln u + ½ Ln (z + 1) + ½ arc tan z = Ln k ₁

  2 ^{2 arc tan z 2} Ln u + Ln (z +1) + Ln e = Ln k _{2 2 arc tan v/u 2 1} Ln (v + u ).e = Ln k _{2 2 arc tan} ¹ _{2 x  y  x  2 y  2 1 2} 

  2 x  y  1    x  2 y  2  e  k ; k  k ₁

    3. (2x – 5y + 3) dx - (2x + 4y – 6) dy = 0

  Penyelesaian:

   aq

• – bp ≠ 0, Jadi misalkan:

  u = 2x – 5y + 3  du = 2dx – 5dy

   v = 2x + 4y

• – 6  dv = 2dx + 4dy

  Dengan eliminasi diperoleh: _{1 1} dx = (4du + 5dv) dan dy = (dv – du) _{1 18 1 9} u. (4du + 5dv) (dv

• – du) = 0
₁₈ – v. ₉

  (4u + 2v) du + (5u – 2v) dv = 0 Misalkan v = zu  dv = z du + u dz (4u + 2zu) du + (5u - 2zu)(z du + u dz) = 0 _{2 2} u.(4 + 7z ) du + u .(5 - 2z) dz = 0

• – 2 z du

  2 z 

  5

  dz Ln k

    _{2 1}

    u

  2 z  7 z 

  4 ₁ 

  4 1 

Ln u   dz  Ln k

_{3 1}

  

 



  ( 2 z  1 ) ( z  4 )

 

  Jadi PUPD:

  Ln u + 2/3 Ln (2z + 1) + 1/3 Ln (z - 4) = Ln k _{3 2 3 1} Ln u .{(2z + 1) .(z - 4)} = ₂ Ln k _{1 3     } 2 v  u v 4 u ₃ . ;

  u  k k  k

      ¹

  u u

      _{2 3} {2(2x + 4y .{(2x + 4y

• – 6) + (2x – 5y + 3)} –63)- 4(2x – 5y + 3)} = k
_{2 3 1}

  (6x + 3y - 9} {-6x + 24y - 18} = ₂ k _{3 1} 9(2x + y – 3) .6(4y – x –3 ) = k _{2 1 1 3}

   (2x + y .(4y

• – 3) – x – 3) = k ; k = k
_{54 1} Soal-soal

  Carilah PUPD dari persamaan berikut ini: 1.

• – 2.

  3.

  4.

  5.

• – –
>– 6. 7. (
• – – – 8.
• – – 9.
• – – 10.

BAB III PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU

3.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL EXACT

  Persamaan Differensial (3.1)

  Persamaan differensial (3.1) disebut exact jika ada fungsi , sehingga Differensial total: Syrata perlu dan syarat cukup agar persamaan

  M N

  merupakan PD exact adalah:

   y x

  Penyelesaian Umum dari PD Ecaxt adalah

  M N

  di mana M ( x , y ) dan N ( x , y )

    y x

  Dari kedua hubungan ini dapat dicari sebagai berikut: Dari M  M ( x , y ) , maka

  y

  1  x N

   ) ( ) , ( x dy y x N 

  1  y M

  Penyelesaian:

  Carilah PUPD dari persamaan berikut 1.

  Soal dan Penyelesaian

  Perhatian : Dalam hal integrasi terhadap , maka variabel dianggap konstan dan berlaku sebaliknya.

  x F 

  (x) dapat dicari dengan mengingat bahwa ) , ( y x M

  

  F(x,y) =

  F(x,y) =

  x N  maka

  Demikian juga dapat dicari dengan memulai dari ) , ( y x N

  ) , ( y x N y F 

  (y) dapat dicari dengan mengingat bahwa

  



   ) ( ) , ( y dx y x M

  

• – 
• – 
• – 

  Diturunkan terhadap x, maka y dianggap konstan 

   – ’(y) = - 4y

  M y x x F 

  ) , (

  =

    ) ( ) 4 ( x dy y x 

  

   =

  Jadi PUPD: Atau : PUPD :

   

  Diturunkan terhadap , maka dianggap konstan

  Jadi :

  ) , ( y x N y F 

  =

  y dx x y 

    ) ( ) 3 ( ²

  

   F(x,y) =

  = 1  Exact PUPD :

  

  x N y M

• – 

    

  Jadi PUPD: Catatan: Hasil akhir selalu sama 2.

• – – – Penyelesaian:
• – M

   

10 x 

6 y y
• – –

  F  6 y 

10 x

y M N

  Jadi: = 6y – 10x  Ecact

   y x

  PUPD : F(x,y) = k  _{2 2} F(x,y) =

  ( 6 x  10 xy  3 y ) dx   ( y )

  

₃

_{2 2}

  = 2x y + 3xy (y)

• – 5x
• + F  N ( x , y ) y

  2 ^{2 2}

• + 6xy +

• – 5 x ’(y) = 6xy – 5x – 3y

₂

  ’(y) = - 3y 

   _{3 2 2 3} Jadi PUPD: 2x y + 3xy - y = k

• – 5x

3.2 FAKTOR-FAKTOR PENGINTEGRALAN

  Bentuk Persamaan Differensial (PD): ,

  M N pada umumnya tidak exact, berarti .

   y x

  Maka suatu fungsi (umumnya fungsi dari dan ) yang mempunyai sifat bahwa menjadi exact.

  Jadi dinamakan faktor pengintegralan dari PD, sehingga PD yang baru memenuhi syarat:

  (

  VM ) (

  VN )  y x

  (3.1) Dengan melakukan turunan parsial terhadap persamaan (3.1), maka diperoleh:

  V M

  

V N

  (3.2)

  M  V  N 

  

V y y x x Selanjutnya ditinjau dua macam fungsi secara khusus:

3.2.1 Faktor Pengintegral Fungsi dari

   saja

  V dV

  

V

Maka ,  dan  x dx y

  sehingga persamaan (3.2) berubah menjadi :

  M dV N V  N  V y dx x

  Jadi:

  M  N _{y x}

  Karena V = f(x), maka juga hanya merupakan fungsi

  N dari x saja yang dinamakan dengan h(x). dV

  Jadi  h ( x ) dx  Ln

  V  h ( x ) dx 

  V h ( x ) dx

  

  Sehingga faktor pengintegral adalah

  V  e

  Selanjutnya faktor pengintegral dikalikan ke persamaan (3.1) sehingga didapat:

  (3.2) Kemudian PD (3.2) diperiksa apakah memenuhi PD exact dengan:

3.2.2 Faktor Pengintegral Fungsi dari

   saja

  V dV

  V Maka ,  dan  y dy x

  sehingga persamaan (3.2) berubah menjadi:

  dV M N M  V 

  V dy y x N  M _{x y} dV

  Jadi  dy

  V M N  M _{x y}

  Karena V = f(y), maka juga hanya merupakan fungsi

  M dari y saja yang dinamakan dengan g(y). dV

  Jadi  g ( y ) dy  Ln

  V  g ( y ) dy 

  V g ( y ) dy

  

  Sehingga faktor pengintegral adalah

  V  e

  Selanjutnya faktor pengintegral dikalikan ke persamaan (3.1) sehingga didapat:

  (3.3) Kemudian PD (3.3) diperiksa apakah memenuhi PD exact dengan:

  Soal dan Penyelesaian

  Carilah PUPD dari persamaan berikut ini : 1.

  Penyelesaian: ₂ M(x,y) = x + x = - 1

• – y  M y