BAB III EKSPEKTASI MATEMATIKA - BAB III
BAB III EKSPEKTASI MATEMATIKA
3.1 Rasional Dalam suatu percobaan tentu ada hasil yang diharapkan. Untuk mendapatkan hasil yang baik dan kesimpulan hasil yang akurat, maka percobaan statistika tersebut dilakukan berulang kali. Hal tersebut dimaksudkan untuk memperoleh suatu hasil yang benar-benar mendekati,sehingga kesimpulan yang dihasilkan valid. Ukuran yang menyatakan harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari suatu percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai ekspektasi matematika.
3.2 Ekapektasi Matematik Definisi 3.1 Ekspektasi Matematika Suatu Peubah Acak Jika X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka nilai harapan X atau harapan matematik X didefinisikan sebagai
xf ( x ) Jika X diskret
E ( X ) x . f ( x ) dx Jika X kontinu
Contoh 3.1 Tentukan nilai harapan banyaknya wanita dalam panitia yang terdiri dari 3 orang dipih secara acak 4 orang wanita dan 3 orang pria ! Solusi : Misalkan X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka rumus peluang X adalah : f ( x ) 3 4 7 3 x 3 3 , x = 0,1,2,3
1
12
18
4 ; f 1 ; f 2 ; f
3
Sehingga, f(0)= dan
35
35
35
35
1
12
18
4
12
5 1 .
2 3 .
1 Jadi, E(X) = 0.
35
35
35
35
7
7 Ini artinya, bahwa, jika pemilihan tersebut diulang bekali-kali, maka rata-rata wanita terpilih
5
1 adalah tiap pemilihan.
7 Contoh 3.2
Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi pada: 2 , untuk X , untuk X lainnya X 1 f(X) = Solusi:
1
1
1 2
2
3 E(X) =
xf x dx x , 2 xdx x
3
3
Definisi 3.2 Ekspektasi Matematik Suatu Fungsi Jika X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka nilai harapan matematik fungsi g(x) dinyatakan sebagaig x f x Jika x diskret
x
E g x ,
g x f x dx ,. Jika x kontinu
Contoh 3.3: Misalnya X suatu peubah acak dengan distribusi peluang sebagai berikut: x
1
2
3
1
2
3
1
f(x)
10
5
10
5 Hitunglah nilai harapan peubah acak Y = X + 1
Solusi: Karena X peubah acak diskret, maka
3 E g x g x f x x 1 f x
x x
1
2
3
1
1
1
1
2
1
3
1
=
10
5
10
5
4
8
9
8
29 2 ,
9
=10
10
10
10
10 Contoh 3.4:
Diketahui X suatu peubah acak dengan fungsi padat peluang 2 x
, untuk 1 x
2 3 f(X) =
, untuk x lainnya
Hitunglah nilai harapan g(X)=2X-1! Solusi:
2
1
2
1
3
2 E ( 2 x 1 ) 2 x 1 x dx 2 x x dx
3
3 2
1
1
1 4
1 3
1
1
1 x x 16 1 8
1
3
2
3
3
2
3 1
1
15
1
9
9
3
5
3 1 ,
3
2
3
2
6
2
Definisi 3.3 Ekspektasi Matematika dari Fungsi Peluang Gabungan Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x), maka nilai harapan matematika fungsi g(X,Y) ditentukan oleh: g x , y f x , y , Jika X dan Y diskret
x y
E g X , Y
g x , y f x , y dxdy , . Jika X dan Y kontinu
Contoh 3.5: Distribusi peluang gabungan peubah acak X dan Y sebagai berikut Hitungalah nilai harapan g(X, T) = XY .
4 )
X Y untuk fungsi padat :
lainnya y dan x x x y x x f
1 ;
2
4 ) 3 1 (
) (
8
5
2
3
3 1 ( 3 1 2 1 2 1
f f f f
f f f f y x xyf
dy y y dxdy y y
X Y E Sifat 3.1 Ekspektasi Matematika
a. Jika a dan b konstanta, maka E(aX+b)-aE(X)+b
b. Jika a = 0, maka E(b)=b
c. Jika b = 0, maka E (aX) = aE(X)
d. E[g(X)+ h(X)] = E[g(X)]+ E[h(X)]
e. Jika g(X,Y) = X dan h(X,Y)=Y maka E(X+ Y)= E(X)+E(Y) f. Jika X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka E(XY) = E(X)E(Y).
Bukti: X aE x f b x xf a x f b ax b aX E b x x x
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (sifat 3.1a terbukti) Bukti sifat berikutnya sebagailatihan mahasiswa.
XY E x y Contoh 3.6: Hitunglah
Solusi:
4
18
15
18
4
9
2
9
2
2
1
9
1
18
1 .
4
1 .
2
9
1 .
1 ) 2 ,
) 2 ( 2 )( ) 2 ( 1 ,
) 2 ( 2 )( ) 1 ( 1 ,
1 )( ) 1 (
) 1 ( 1 , ) 1 ( 1 )(
1 ( ) ,
) 1 ( )( ) 1 (
( 2 , ) ( 2 )( )
( 1 , ) ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) ( 2 2
2 Solusi:
3.3 Moment Definisi 3.4 Moment Disekitar Pusat
Jika X peubah acak, maka moment disekitar pusat X dibdefinisikan sebagai
) ( ' k k
E x .
Jika k=0 maka dieproleh
( 1 ) ) (
'
x x
x f x f x . Untuk X diskret, dan
( 1 ) ) ( ' dx x f dx x f x untuk X kontinu. Sekarang, jika k=1, maka
) ( ) ( '
dan
) ( ) ( ' 1 E x dx x xf yaitu nilai harapan pubah acak X itu sendiri. Dengan demikian momen pertama di sekitar titik asal suatu peubah acak X ini menyatakan rataan peubah acak tersebut. Maka dari itu rataan ini ditulis dengan x atau lebih sederhana
1 X E x xf
) (x E .
4 .
1
12 .
35
2
18 .
35
3
35
1 . ) ( ] [ 2 2
12
7
1 . ) ( ] [
35
1
12 .
35
35
18 .
x
2 ) (
2 1 ) 1 (
laiinya x untuk x x x f
Contoh 3.8 Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan sebagai :
24 2 2
x x x f x
7
12
7
24
49
X E Jadi
X E x xf
2
35
Definisi 3.4 Moment Disekitar Rataan Jika X peubah acak, maka moment disekitar rataan X dibdefinisikan sebagai 2
X E . Akar positif dari variansi ini akan memberikan suatu ukuran yang disebut dengan simpangan baku atau standar deviasi.
)] ( [ ) ( ) ( ( 2 ) ) ( ) (
Bukti: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ) ( ) ( x E x E
2
2
Teorema 3.1 Varians Jika peubah acak bebas, maka
] ) [( 2 2 2
E x x E x E E x E x E x E x x E x E
2 saja. Jadi
ini dinamakan variansi peubah acak X dan dinyatakan dengan 2 x atau lebih singkat
, akan memberikan gambaran pengukuran sekitar rataan. Oleh sebab itu untuk selanjutnya 2
Untuk k=2 atau momen kedua di sekitar rataan, yaitu 2
) ( x E k
( 2 ) ) ) 2 ( (
3
35
4 .
35
24
7
saja. Jadi,
35
18
12
35
1
35
3 f(x)
2
1
Contoh 3.7 Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah mangga yang harus diambil oleh
Dilla dari dalam tas yang berisi 4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus !
Solusi: Distribusi peluangnya adalah : x4 hitunglah Rataan dan Variansi Solusi 3 5 6 5 2 2 3 3 7 2 ) 1 4 ( 2 1 10 8 ( 3 1 2 2 1 3 [ 2 ] 1 ( 2 ) 2 ) 1 ( 2 1 2 3 2 2 1 2 1 x x dx x x dx X X X E
.
XY E (lihat nilai harapan peubah acak gabungan X dan Y)
4
15 )( ( ) ( ) , (
28
12
)( ) 1 (
28
1 )( ) 2 (
28
1 )
2
3 ) , ( x y y x xyf
2
14
2
2
28
2
6
28
6
28
3 )
3 )( ) 2 (
3
Jadi
XY E
3 ) ( y x xy
14
3 (
4
1 )(
2
9 )
56
X E
28
Y y yh y x yf E x xg y x xf
x x y y x x x x
2
2
2
2
2
2
10 )( ( ) ( ) , (
28
15
)( ) 1 (1
28
6
5
Teorema 3.2 Kovarians Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan x dan y
X E
Y
)] )( [( 2 y x XY
Definisi 3.4 Kovarians Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan x dan y , maka kovarians peubah acak X dan Y didefinisikan sebagai
17 2
2
6
3
) ( ) ( ) ( 2 Y E
1
18
dan varians
X E
5 ) (
3
X E Sehingga diperoleh rataan
2 2 2 dx x x
17 ) 1 (
, maka kovarians peubah acak X dan Y dapat ditentukan dengan
X E
9
X XY E Y
28
3
28
2
1
X Y
Contoh 3.9 Dimas mengambil 2 buah pensil secara acak dari sebuah kotak yang berisi tiga pensil warna biru, dua warna merah dan tiga warna kuning. Jika X menyatakan pensil warna biru dan Y warna yang diambil, hitunglah kovariansi dua peubah tersebut! Solusi: Distribusi pelang gabungannya sebagai berikut:
X E x y y x x y y x xy
XY E Y
XY E xy
X E
X E Y E
XY E Y E
X E Y E
X E
X E Y E
X XY E Y E
) ( )] )( [( 2 Y E
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
Bukti:
1 Sehingga
TEntukan kovariansi peubah acak X dan Y yang fungsi padat peluang gabungannya dinyatakan sebagai 4 x y ; y
1 f ( x , y )
x lainnya
1 y y 1
1
1 E ( X ) 4 ydxdy E (
XY ) 4 xydxdy
x dan sehingga
4
2
1
2
4
10 E ( Xy ) ( )( )
xy x y
2
3
3
9 Sifat 3.1 Varians
a. Jika X pebuah acak dengan distribusi leluang f(x), maka variansi g(X) adalah 2 2
( x ) E { g (
X ) ( x )} x g
2
2
2 x b
b. Jika X suatu peubah acak dan b suatu tetapan, maka x
2
2
2
2
2 x
c. Jika X suatu peubah acak dan a suatu konstanta, maka a a ax
d. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka
2
2
2 aX bY a
2 ab
Y xy
2
2
2
2
2
aX bY
a be. Jika X dan Y penuh acak yang bebas, makan x y
Teorema 3.2 Teori Chebyshev Peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpngan baku dari nilai
1
1 1 p ( k
X k 1 rataan adalah paling sedikit , yaitu
2
2 k k
Bukti : Menurut definisi variansi, 2 2 2 E ( X ) ( x ) f ( x ) dx
k k 2 2 2 k 2 2 2
( ) f ( x ) dx ( x ) f ( x ) dx ( x ) f ( x ) dx ( x ) f ( x ) dx ( x ) f ( x ) dx k k k k 2
2 ( x ) f ( x ) dx X K karena integral tak negatif. Kemudian dengan k 2 2 2 x k x k
(
X ) k 2 k 2 atau dengan dalam kedua integral lainnya, maka 2 2
2
2 k f ( x ) dx f ( x ) dx
. Jika ruas kanan dibagi dengan k , maka
k k
1 f ( x ) f ( x ) dx
diperoleh 2 sehingga
k k k
1 p ( k X k ) f ( x ) dx
1 2 k k dengan demikian terbuktilah teorema Chebyshev.
Contoh 3.11 :
2 8 ,
9 ,
Suatu peubah acak X mempunyai rataan variansi sedangkan distribusinya X 8
6 tidak diketahui. Hitunglah a. P(-4<X<20), dan b. P( .
Solusi : 2 8 , 9 .
9 , 9
a, Telah diketahui, bahwa variansi sehingga yang harus dicari adalah nilai k. Nilai k ini dicari dengan melihat salah satu ujung interval, yaitu -4 atau
20. Berdasarkan teorema Chebyshev diketahui, bahwa k
1 p ( k X k ) f ( x ) dx 1 , 8 k
3
4
k
2 sehingga k k Dengan menyelesaikan persamaan ini diperoleh nilai k=4. Jadi,
1
15 P ( 4
X
20 ) P 8 ( 4 )( 3 )
X
8 ( 4 )( 3 ) 1 P ( 4
X
20 )
1
1
Kerena diketahui , bahwa simpangan baku = 3, maka 3k = 6 k = 2, sehingga :
1 P (
X
8 6 )
1 P ( 8 ( 2 )( 3 )
X 8 ( 2 )( 3 )
4 P ( X 8 6 ) 1 P ( X 8 6 ) P ( 6 X 8 6 ) 1 P ( 8 6 X 8 6 ) b.
3.4 Fungsi Pembangkit Moment Definisi 3.5 Fungsi Pembangkit Moment
Fungsi pembangkit momen peubah acak X didefinisikan sebagai tX i e f ( x ), i jika x disket n e f ( x ) dx , jika x kontinu 1 tX tX e )
M x (t) = E( = Fungsi Pembangkit momen hanya ada, jika jumlah atau integral pada definisi di atas konvergen. Jika fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada, maka fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen peubah acak tersebut. Caranya dengan menggukana rumus : misal X suatu peubah acak dengan fungsi pembangkit r d M ( t ) x momen M (t), maka : x t 0 r r dt
Contoh 3.12:
Tentukan fungsi pembangkit momen peubah acak binomial X dan kemudian tunjukkan
2 np npq .
bahwa dan Solusi: Dari definisi diperoleh n n n n
t n t n t n
M ( t ) e p q ( pe ) q jumlah yang terakhir adalah penguraian binomial (pe +q) ,
x x x x
dMx ( t ) t n 1 t t n
n ( pe q ) . pe sehingga M x (t)=(pe +q) . Kemudian dibeproleh bahwa dt
2 d Mx ( t ) t t n 21 t t n 1 t sehingga, np [ e ( n 1 )( pe q ) . pe ( pe q ) . e ] . Untuk t=0, maka
2 dt 2 1 2
np np np ( n 1 dan np [( n
1 ) npq 1 ) p 1 ]. Jadi, 1 dan
2 2 Teorema 3.3 Ketunggalan
a. Jika X dan Y dua peubah acak, masing-masing dengan fungsi pembangkit moment M x (t)
b. M x+a (t) = e
(t),..., M xn
(t) (bukti sebagai tugas mahasiswa).
(t)+.....+M xn
(t) +M x2
(t) = M x1
3 maka M y
2
1
(t), dan Y=X
(t), M x2
dan M y
2 peubah acak bebas dengan fungsi penbangkit moment masing-masing M x1
2 ,..., x
1 , x
M ax (t) = M x (at). (bukti sebagai tugas mahasiswa) Jika x
) ( M t e e E e e E t M x at tx at a x t a x
Bukti : ) ( ) ( ] [ ) (
at M x (t)
(t), maka untuk semua harga t, peubah acak X dan Y mempunyai distribusi peluang yang sama M x (t) dan M y (t)
- X
- ....+X
3.4 RANGKUMAN
X Jika dx x f x diskret
12. Jika X suatu peubah acak dan b suatu tetapan, maka
)] )( [( y x xy
Y
X E
11. Misal X peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka variansi g(x) adalah ] ) ) ( [(
2 ) (
2 x g
E x g
2
X E
2
2
x b x a
13. Jika X suatu peubah acak dan a suatu konstanta, maka 2 2 2 2
a a x ax
1. Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan X atau harapan matematika X didefinisikan sebagai
10. Kovariansi dua peubah acak X dan Y dengan rataaan masing-masing x dan y diberikan oleh :
X Jika x xf
kontinu
X E ) ( .
) ( ) (
2. Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), nilai harapan matematik
fungsi g(x) dinyatakan sebagai , ,.
Jika kontinu x dx x f x g Jika diskret x x f x g
E x g x
3. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka nilai harapan matematik fungsi g(X,Y) ditentukan oleh
, ,.
Jika kontinu x dx x f x g Jika diskret x x f x g
2
E x g x
4. Jika a dan b konstanta, maka E(aX + b) = aE(X) + b. Jika a = 0, maka E(b) = b. Jika b = 0, maka E(aX) = aE(X).
5. E[g(X)±h(X),Y] = E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)].
6. E[g(X,Y)±h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)].
7. Jika g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, maka diperoleh E(X±Y) = E(X)E(Y)
8. Jika X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka E(XY) = E(X)E(Y)
9. Variansi peubah acak X adalah ] ) [(
2
14. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka
16. Jika X dan Y peubah acak dan bebas, maka 2 2 2 2 2 y y by ax b
1 1 ( k k
2
, yaitu
1 k
1
2
17. Peluang bahwa nilai setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari
nilai rataan adalah paling sedikit
2
15. Jika X dan Y pe ubah acak yang bebas, maka 2 2 2 2 2 y y by ax b a
X x g b a
2 y ab y
2
2 ) (
2
2
2
X k P
3.5 Soal-soal
2
]; dan E[{X-E(X)}2
3 P(X = x)
6
1
2
1
3
1 Hitunglah a) E(X); b. E(x
2 ); c. E[(2X+1)
2 ]
X
6. Olid dan Dilla bersama-sama mengambil empat buah-buahan secara acak dari dalam tas yang berisi 3 jeruk, 2 mangga, dan 3 pisang. Jika X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya mangga dalam sampel tersebut, hitunglah kovariansi peubah acak X dan Y.
7. hitunglah kovariansi acak X dan Y yang mempunyai fugsi padat peluang gabungan ;
f(x,y)= x+y, 0<X<y; 0<y<1 dan f(x,y) = 0 untuk nilai x dan y lainnya.8. Misalkan X menyatakan bilangan yang muncul jika sebuah dadu hiaju dilantunkan dan Y bilangan yang muncul jika sebuah dadu merah dilantukan hitunglah variansi peubah acak a, 2X-Y;
b. X+3Y-5!
9. Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan variansi
5 2 X dan
5 y 2
, hitunglah variansi peubah acak Z = 12X+4Y-3!
10. Diketahui soal no. 9, hitunglah variansinya jika peubah acak X dan Y tak bebas dan .
1 XY
1
5. Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang berikut :
lainnya x x x x f
3 3
4
1
4
1 ) ( untuk x = 0, 1, 2, 3, hitunglah E(X)!
2. Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang
1. Diketahui distribusi peluang peubah acak X adalah sebagai x x x x f
X
2 ) (
3. Jika X menyatakan hasil yang muncul jika suatu dadu yang sepasang dilantunkan, hitunglah nilai E(Y), jika Y=2X 2 -5.
4. Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi padat gabungan :
lainnya x y x xy y x f
;
1
2 ) , (
Hitunglah nilai harapan Z = ! 2 2 y
1 ) 1 (