PEMODELAN REGRESI POISSON, BINOMIAL NEGATIF DAN POISSON TERGENERALISASI PADA KASUS KECELAKAAN KENDARAAN BERMOTOR DI LALU LINTAS

LAPORAN TAHUNAN

PENELITIAN HIBAH BERSAING

PEMODELAN REGRESI POISSON, BINOMIAL NEGATIF DAN

POISSON TERGENERALISASI PADA KASUS KECELAKAAN

KENDARAAN BERMOTOR DI LALU LINTAS TAHUN KE I DARI RENCANA II TAHUN

TIM PENGUSUL

Dr. Irwan, M.Si 0005106509 KETUA Devni Prima Sari,S.Si,M.Sc. 0020128403 ANGGOTA

Dibiayai oleh DIPA Universitas Negeri Padang

Sesuai dengan Surat Penugasan Pelaksanaan Penelitian Desentralisasi Melalui DIPA UNP tahun anggaran 2013 No. 298.a.45/UN35.2/PG/2013

Tanggal 31 Mei 2013

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

DESEMBER 2013 Kode/Nama Rumpun Ilmu: 122/Statistik ii

RINGKASAN

Pemodelan Regresi Poisson, Binomial Negatif dan Poisson Tergeneralisasi

pada Kasus Kecelakaan Kendaraan Bermotor Di Lalu Lintas

Tingginya angka kecelakaan kendaraan bermotor di lalu lintas harusnya menjadi topik pembicaraan yang harus disingkapi segera mungkin oleh segala pihak. Hal ini juga didukung oleh fakta mencengangkan yang dikabarkan Dinas Perhubungan Indonesia, yaitu kecelakaan lalu lintas menjadi penyebab kematian nomor tiga di Indonesia setelah serangan jantung dan strok. Salah satu cara untuk menyingkapi kasus tingginya jumlah kecelakaan kendaraan bermotor ini dilakukan dengan mengetahui faktor-faktor yang paling dominan yang menyebabkan terjadinya kecelakaan bermotor. Analisis faktor penyebab dominan dan memperkirakan jumlah kecelakaan bisa dilakukan dengan menggunakan model regresi Poisson. Regresi Poisson mempunyai asumsi equi-dispersion, yaitu kondisi dimana nilai rataan dan variansi dari variabel respon bernilai sama. Pada kenyataannya, pada data sering dijumpai variansi dari variabel respon lebih besar nilai rataannya (overdispersi). Untuk mengatasi permasalahan pada data yang mengalami overdispersi tersebut digunakan model regresi Binomial Negatif dan Poisson Tergeneralisasi. iii iv

2.5 Estimasi Maksimum Likelihood (MLE) .................................................. 14

2.8.2 Deviance ..................................................................................... 25

2.8.1 Pearson Chi-square .................................................................... 25

2.8 Goodness Of Fit ..................................................................................... 24

2.7.5 Iteratively Weighted Least Square (IWLS) .................................. 23

2.7.4 Fisher Scoring ............................................................................. 23

2.7.3 Estimasi Maksimum Likelihood .................................................. 21

2.7.2 Metode Iterasi Newton-Raphson ................................................. 20

2.7.1 Fungsi Link ................................................................................. 20

2.7 Generalized linear model (GLM) ............................................................ 18

2.6 Statistic Score ......................................................................................... 15

2.4.2 Distribusi standar dalam format keluarga eksponensial ................ 11

DAFTAR ISI

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ ii

RINGKASAN .................................................................................................... iii

PRAKATA ........................................................................................................ iv

DAFTAR ISI ...................................................................................................... v

DAFTAR TABEL ............................................................................................ vii

BAB 1 PENDAHULUAN ............................................................................. 1

2.4.1 Distribusi keluarga eksponensial ................................................... 9

2.4 Keluarga Eksponensial ............................................................................. 9

2.3 Variabel Random dan Fungsi Distribusi.................................................... 6

2.2 Faktor-faktor Penyebab Kecelakaan Lalu Lintas ....................................... 6

2.1 Kendaraan Bermotor ................................................................................ 5

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA ................................................................... 5

1.4 Keutamaan dan Inovasi Penelitian ............................................................ 4

1.3 Tujuan Penelitian ...................................................................................... 3

1.2 Perumusan Masalah .................................................................................. 3

1.1 Latar Belakang ......................................................................................... 1

2.8.3 AIC dan BIC ............................................................................... 27

5.2.1 Overdispersi Metode Binomial Negatif ....................................... 38

7.2 Saran ...................................................................................................... 53

7.1 Kesimpulan ............................................................................................ 53

BAB 6 RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA ...................................... 52

BAB 7 KESIMPULAN DAN SARAN ....................................................... 53

5.3.2 Proses Analisis Data .................................................................... 47

5.3.1 Data Penelitian ............................................................................ 45

5.3 Aplikasi Numerik ................................................................................... 45

5.2.4 Uji ketepatan (goodness of fit) model regresi binomial negatif ..... 44

5.2.3 Estimasi parameter untuk model regresi binomial negatif ............ 41

5.2.2 Distribusi Binomial Negatif ......................................................... 40

5.2 Model Regresi Binomial Negatif ............................................................ 38

BAB 3 TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN .................................. 28

5.1.6 Uji Ketepatan (Goodness of Fit) Model Regresi Poisson ............. 35

5.1.5 Estimasi Parameter ...................................................................... 34

5.1.4 Model Regresi Poisson ................................................................ 33

5.1.3 Distribusi Poisson ....................................................................... 31

5.1.2 Percobaan Poisson ....................................................................... 30

5.1.1 Overdispersi ................................................................................ 30

5.1 Model Regresi Poisson ........................................................................... 30

BAB 4 METODE PENELITIAN ............................................................... 29

BAB 5 HASIL DAN PEMBAHASAN ....................................................... 30

3.2 Manfaat Penelitian .................................................................................. 28

3.1 Tujuan Penelitian .................................................................................... 28

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 55

LAMPIRAN ..................................................................................................... 57

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Faktor-faktor penyebab kecelakaan lalu-lintas jalan .............................. 6Tabel 5.1 Rating factors dan rating classes untuk data penelitian ....................... 46Tabel 5.2 Analisis deviance model regresi Poisson tiap rating classes ................ 47Tabel 5.3 Analisis deviance model regresi Poisson untuk tiap rating classes yang sudah signifikan. ........................................................................ 48Tabel 5.4 Estimasi parameter untuk model Poisson rating classes yang signifikan ........................................................................................... 49Tabel 5.5 Estimasi parameter untuk model Binomial Negatif (MLE) rating

classes ............................................................................................... 49

Tabel 5.6 Estimasi parameter untuk model Binomial Negatif (MLE) rating

classes ............................................................................................... 50

vii

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kecelakaan lalu lintas merupakan masalah yang umum terjadi dalam penyelenggaraan sistem transportasi di banyak negara. Pada negara-negara berkembang, termasuk di Indonesia, kecelakaan lalu lintas ini cenderung mengalami peningkatan. PT Jasa Raharja (persero) mencatat, setiap 15 menit terdapat satu orang yang meninggal dunia di Indonesia karena kecelakaan lalu lintas. Ini terlihat dari tingginya biaya santunan kecelakaan yang diklaim kepada asuransi Jasa Raharja mencapai 1 Triliun rupiah setiap tahunnya. PT Jamsostek (Persero) mencatat klaim kecelakaan lalu lintas mendominasi dibanding kecelakaan kerja lainnya. Kepala PT Jamsostek (Persero) Cabang Tanjung Priok Muhammad Akip mengungkapkan, kecelakaan lalu lintas masih mendominasi daftar panjang kecelakaan kerja yang diklaim ke Jamsostek setiap tahunnya.

Jumlah kecelakaan yang tinggi akan menjadi salah satu faktor yang tidak menguntungkan bagi perusahaan asuransi kendaraan bermotor. Disamping itu, seluruh pihak harus lebih mewaspadai faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya kecelakaan lalu lintas. Masih tingginya angka kecelakaan di jalan raya juga menjadi pekerjaan rumah besar bagi pemerintah.

Perang opini tentang faktor penyebab utama meningkatnya jumlah kecelakaan pun terjadi di kalangan masyarakat, sehingga perlu dilakukan perbaikan pada faktor-faktor yang berkontribusi dalam kecelakaan. Dalam hal ini

2 faktor manusia memiliki kontribusi terbesar pada kecelakaan kendaraan bermotor, sehingga faktor tersebut sangat penting untuk diamati dalam upaya mengurangi terjadinya kecelakaan lalu lintas yang melibatkan kendaraan bermotor. Perbedaan karakteristik sosio-ekonomi, karakteristik pergerakan dan perilaku pengemudi kendaraan bermotor menjadi dasar pertimbangan dalam identifikasi faktor-faktor penyebab terjadinya kecelakaan.

Model regresi Poisson dapat diterapkan untuk mengkaji sejauh mana faktor-faktor penyebab terjadinya kecelakaan berpengaruh terhadap jumlah terjadinya kecelakaan, serta sejauh mana dampak faktor tersebut terhadap jumlah kecelakaan bermotor di lalu lintas. Model regresi Poisson adalah suatu metode statistika yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel respon yang dapat dihitung (data cacah/count) dengan satu atau lebih variabel penjelas, dimana rataan dan variansinya sama. Pada prakteknya seringkali data cacah memperlihatkan variansi yang sangat besar, dimana variansi sampel lebih besar dari rataan sampel (overdispersion). Ketika model Poisson diaplikasikan untuk data overdispersi, menyebabkan standar error underestimate. Akhibatnya, beberapa variabel penjelas menjadi tidak signifikan. Oleh karena itu, sasaran dari penelitian ini untuk menggunakan model regresi Binomial Negatif dan Poisson Tergeneralisasi sebagai solusi alternatif jika terjadi kasus overdispersi. Selanjutnya, model-model regresi Poisson, Binomial Negatif dan Poisson Tergeneralisasi dicoba, diuji dan dibandingkan pada jenis data jumlah kecelakaan kendaraan bermotor. Diharapkan dengan adanya penelitian ini, seluruh pihak akan mengetahui faktor yang paling dominan yang mempengaruhi jumlah kecelakaan

3 kendaraan bermotor di lalu lintas, sehingga jumlah korban kecelakaan kendaraan bermotor akan semakin berkurang dari tahun ke tahun.

1.2 Perumusan Masalah

Dari latar belakang tersebut berikut ini dapat dirumuskan beberapa permasalahan yang menjadi kajian dalam penelitian ini, yaitu:

1. Mempelajari lebih jauh tentang estimasi parameter pada model regresi Poisson.

2. Mempelajari lebih jauh tentang masalah overdispersi yang sering terjadi pada model regresi Poisson.

3. Mempelajari model regresi Binomial Negatif dan Poisson Tergeneralisasi dalam mengatasi masalah overdispersi pada regresi Poisson.

4. Mengaplikasikan secara numerik model regresi Binomial Negatif dan Poisson Tergeneralisasi pada kasus kecelakaan kendaraan bermotor di lalu lintas di Kota Padang.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dalam penelitian ini adalah untuk mengatasi overdispersi yang terjadi pada model regresi Poisson dengan menggunakan model regresi model Binomial Negatif dan Poisson Tergeneralisasi, kemudian mengestimasi parameter kedua model regresi. Dari dua tipe model regresi yang diperoleh, akan diuji ketepatan model. Kemudian diimplementasikan pada kasus kecelakaan kendaraan bermotor di lalu lintas di Kota Padang.

4 Hasil penelitian ini dapat memberikan sumbangsih kepada pemerintah untuk mengurangi jumlah kecelakaan kendaraan bermotor di lalu lintas dengan mengetahui faktor penyebab kecelakan yang dominan dari estimasi parameter yang dilakukan dalam penelitian. Dengan mengetahui faktor yang dominan pembaca juga dapat meningkatkan kehati-hatian dalam mengemudi. Di samping itu hasil penelitian ini juga bermanfaat bagi perusahaan asuransi dalam memperkirakan jumlah klaim kecelakaan kendaraan bermotor.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk membahas materi pada bab-bab selanjutnya.

2.1 Kendaraan Bermotor

Kendaraan adalah suatu sarana angkut di jalan yang terdiri atas kendaraan bermotor dan kendaraan tidak bermotor. Kendaraan bermotor adalah setiap kendaraan yang digerakkan oleh peralatan mekanik berupa mesin selain kendaraan yang berjalan di atas rel, terdiri dari kendaraan bermotor perseorangan dan kendaraan bermotor umum. Kendaraan tidak bermotor adalah kendaraan yang digerakkan oleh tenaga orang atau hewan (UU RI No. 22 Tahun 2009).

Jenis kendaraan bermotor, yaitu (UU RI No. 22 Tahun 2009):

1. Sepeda motor adalah kendaraan bermotor beroda dua dengan atau tanpa rumah-rumah dan dengan atau tanpa kereta samping atau kendaraan bermotor beroda tiga tanpa rumah-rumah.

2. Mobil penumpang adalah setiap kendaraan bermotor yang dilengkapi sebanyak-banyaknya 8 (delapan) tempat duduk tidak termasuk tempat duduk pengemudi, baik dengan maupun tanpa perlengkapan pengangkutan bagasi.

3. Mobil bus adalah setiap kendaraan bermotor yang dilengkapi lebih dari 8 (delapan) tempat duduk tidak termasuk tempat duduk pengemudi, baik dengan maupun tanpa perlengkapan pengangkutan bagasi.

4. Mobil barang adalah setiap kendaraan bermotor selain dari yang termasuk dalam sepeda motor, mobil penumpang dan mobil bus.

5. Kendaraan khusus adalah kendaraan bermotor selain daripada kendaraan bermotor untuk penumpang dan kendaraan bermotor untuk barang, yang penggunaannya untuk keperluan khusus atau mengangkut barang-barang khusus.

6 Secara umum ada empat faktor utama penyebab kecelakaan; faktor pengemudi (road user), faktor kendaraan (vehicle), faktor lingkungan jalan (road

environment) dan faktor cuaca. Kecelakaan yang terjadi pada umumnya tidak

hanya disebabkan oleh satu faktor saja, melainkan hasil interaksi antar faktor lain.

Pada dasarnya faktor-faktor tersebut berkaitan atau saling menunjang bagi terjadinya kecelakaan. Namun, dengan diketahuinya faktor penyebab kecelakaan yang utama dapat ditentukan langkah-langkah penanggulangan untuk menurunkan jumlah kecelakaan. Berdasarkan penelitian yang pernah ada faktor penyebab kecelakaan dapat dikomposisikan dalam tabel 2.1 berikut :

Tabel 2.1 Faktor-faktor penyebab kecelakaan lalu-lintas jalan

FAKTOR PENYEBAB URAIAN

Pengemudi lengah, mengantuk, tidak terampil, lelah, mabuk, kecepatan

tinggi, tidak menjaga jarak, kesalahan pejalan, dan gangguan binatang.

Kendaraan ban pecah, kerusakan sistem rem, kerusakan sistem kemudi,

as/kopel lepas, dan sistem lampu tidak berfungsi.

Jalan persimpangan, jalan sempit, akses yang tidak dikontrol/

dikendalikan, marka jalan kurang/tidak jelas, tidak ada rambu batas kecepatan, dan permukaan jalan licin. Lingkungan lalu-lintas campuran antara kendaraan cepat dengan kendaraan lambat, interaksi/campur antara kendaraan dengan pejalan, pengawasan dan penegakan hukum belum efektif, dan pelayanan gawat darurat yang kurang cepat. Cuaca gelap, hujan, kabut, dan asap Sumber: Direktorat Jenderal Perhubungan Darat ± Dept.Perhubungan

2.3 Variabel Random dan Fungsi Distribusi

Pada beberapa percobaan, kita tertarik pada keterangan numerik hasil percobaan, sehingga kita membutuhkan variabel random. Distribusi probabilitas variabel random adalah nilai-nilai yang mungkin digunakan untuk variabel tersebut serta probabilitas munculnya angka-angka itu.

Definisi 2.1 Variabel random

daerah hasil bilangan real sedemikian sehingga ሺࢋሻ ൌ ࢞ , dengan ܍ א ܁ dan ܠ א ज.

Definisi 2.2 Fungsi

݂ሺݔሻ adalah fungsi padat peluang untuk variabel random kontinu ܺ jika dan hanya jika memenuhi sifat berikut,

݂ሺݔሻ ൒ Ͳǡ ݑ݊ݐݑ݇ ݏ݁݉ݑܽ ݔ ݎ݈݁ܽǡ ݀ܽ݊

׬ ݂ሺݔሻ݀ݔ ൌ ͳ

ି

Salah satu konsep penting dalam probabilitas adalah ekspektasi dan variansi dari variabel random. Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema mengenai ekspektasi dan variansi.

Teorema 2.1 Jika Y adalah suatu variabel random dengan fungsi densitas

݂ሺݕሻǡ ܽ dan ܾ adalah suatu konstanta, dan ݃ሺݕሻ dan ݄ሺݕሻ adalah fungsi real, maka ܧሾܽ݃ሺܻሻ ൅ ܾ݄ሺܻሻሿ ൌ ܽܧሾ݃ሺܻሻሿ ൅ ܾܧሾ݄ሺܻሻሿ .

Definisi 2.3 Variansi dari variabel random X diberikan oleh ଶ ሿ .

ܸܽݎሺܺሻ ൌ ܧሾሺܺ െ ߤሻ

Teorema 2.2 Jika Y adalah suatu variabel random dari a dan b adalah suatu

konstanta, maka

ଶ ܸܽݎሺܻܽ ൅ ܾሻ ൌ ܽ ܸܽݎሺܻሻ.

Distribusi kontinu yang sering terjadi dalam aplikasi adalah disribusi gamma. Distribusi ini berhubungan dengan suatu fungsi yang disebut fungsi gamma.

Definisi 2.4 Fungsi Gamma, dinotasikan dengan

߁ሺߢሻ untuk semua ߢ ൐ Ͳ , sebagai berikut

௡ ି௫

݁ ݀ݔ ൌ ݊Ǩ . ߁ሺ݊ሻ ൌ ׬ ݔ

଴ Teorema 2.3 Fungsi Gamma mendukung sifat-sifat berikut:

߁ሺߢሻ ൌ ሺߢ െ ͳሻ߁ሺߢ െ ͳሻ ߢ ൐ ͳ ߁ሺ݊ሻ ൌ ሺ݊ െ ͳሻǨ .

Banyak keadaan yang menghendakinya mencatat sekaligus nilai-nilai beberapa variabel random dan tidak hanya melibatkan satu variabel random saja.

Sehingga fungsi padat peluang gabungannya dapat kita lihat dari definisi-definisi berikut.

Definisi 2.5 Fungsi padat peluang (fpp) gabungan dari k-dimensi variabel random

diskret ܺ ൌ ሺܺ ǡ ܺ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܺ ሻ didefinisikan dengan

ଵ ଶ ୩

݂ሺݔ ǡ ݔ ǡ ǥ ǡ ݔ ሻ ൌ ܲሾܺ ൌ ݔ ǡ ܺ ൌ ݔ ǡ ǥ ǡ ܺ ൌ ݔ ሿ

ଵ ଶ ௞ ଵ ଵ ଶ ଶ ௞ ௞

Untuk semua nilai ݔ ൌ ሺݔ ǡ ݔ ǡ ǥ ǡ ݔ

ሻ ܺǤ

ଵ ଶ ௞ Definisi 2.6 Jika pasangan

ሺܺ ǡ ܺ ሻ dari variabel random kontinu dari fpp

ଵ ଶ

gabungan dan adalah ݂ሺݔ ǡ ݔ ሻ, maka fpp marginal dari ܺ ܺ

ଵ ଶ ଵ ଶ

ሻ ݂ ሺݔ ሻ ൌ න ݂ሺݔ ǡ ݔ ݀ݔ

ଵ ଵ ଵ ଶ ଶ ି .

ሻ ݂ ሺݔ ሻ ൌ ׬ ݂ሺݔ ǡ ݔ ݀ݔ

ଶ ଶ ଵ ଶ ଵ ି

Definisi dari peluang bersyarat suatu kejadian bisa dilanjutkan pada konsep varabel random bersyarat, didasarkan pada definisi berikut ini. dan adalah variabel random kontinu atau diskret dengan

Definisi 2.7 Jika

ܺ ܺ

ଵ ଶ

fpp gabungan ሻ , kemudian fungsi kepadatan peluang bersyarat (fpp

݂ሺݔ ǡ ݔ

ଵ ଶ

bersyarat) dari diberikan didefinisikan oleh ܺ ܺ ൌ ݔ

ଶ ଵ ଵ

݂ሺݔ ǡ ݔ ሻ

ଵ ଶ

݂ሺݔ ȁݔ ሻ ൌ

ଶ ଵ

݂ ሻ ሺݔ

ଵ ଵ

9 Untuk nilai ሺݔ ሻ ൐ Ͳ, dan nol lainnya.

ଵ ଵ ଵ Definisi 2.8 Jika

ܺ dan ܻ adalah variabel random distribusi gabungan, kemudian ekspektasi dari ܻ diberikan ܺ ൌ ݔ diberikan oleh

ܧሺܻȁݔሻ ൌ ෍ ݕ݂ሺݕȁݔሻ ܺ ܻ

௬

݀ݕ jika X dan Y kontinu. ܧሺܻȁݔሻ ൌ ׬ ݕ݂ሺݕȁݔሻ

ି

2.4 Keluarga Eksponensial

Distribusi keluarga eksponensial merupakan salah satu kunci pembangun generalized linear modeling (GLM).

2.4.1 Distribusi keluarga eksponensial

Menurut (Jong & Heller, 2008) distribusi dari keluarga eksponensial dapat berbentuk: ݕߠ െ ܽሺߠሻ

(2.1) ݂ሺݕሻ ൌ ܿሺݕǡ ߶ሻ݁ݔ݌ ቊ ቋ

߶ dimana ߠ dan ߶ adalah parameter. Parameter ߠ disebut parameter kanonik dan ߶ parameter dispersi. Probabilitas fungsi yang dapat ditulis sebagai (2.1) dikatakan anggota keluarga eksponensial. Pemilihan fungsi

ܽሺߠሻ dan ܿሺݕǡ ߶ሻ ditentukan oleh fungsi probabilitas aktual seperti binomial, normal atau Gamma ܧሺݕሻ ൌ ܽሶሺߠሻǡ ܸܽݎሺݕሻ ൌ ߶ܽሷሺߠሻ. (2.2) Dimana ܽሶሺߠሻ dan ܽሷሺߠሻ adalah turunan pertama dan kedua dari ܽሺߠሻ terhadap ߠ. Bukti: ߲݂ሺݕሻ ݕ െ ܽሶሺߠሻ

቉ ሺݕሻ ቈ

߲ߠ ൌ ݂ ߶

10 kemudian kedua ruas diintegralkan terhadap y,

߲݂ሺݕሻ ݕ െ ܽሶሺߠሻ න න ݂ሺݕሻ ቈ ቉ ݀ݕ

߲ߠ ݀ݕ ൌ ߶ ߲ ݕ െ ܽሶሺߠሻ

න ݂ሺݕሻ ݀ݕ ൌ ܧ ቈ ቉ ߲ߠ ߶ dengan menggunakan Definisi 2.2 dan Teorema 2.1, kita peroleh sebagai berikut,

߲ ܧሾݕሿ െ ܽሶሺߠሻ ߲ߠ ͳ ൌ ߶

ܧሾݕሿ െ ܽሶሺߠሻ Ͳ ൌ

߶ (2.3)

ܧሾݕሿ ൌ ܽሶሺߠሻ ൌ ߤ dan

ଶ ଶ

߲ ݂ሺݕሻ ݕ െ ܽሶሺߠሻ ܽሷሺߠሻ ൌ ݂ሺݕሻ ቈ ቉ െ ݂ሺݕሻ

ଶ

߲ߠ ߶ ߶ kemudian kedua ruas diintegralkan terhadap y,

ଶ ଶ

߲ ݂ሺݕሻ ݕ െ ܽሶሺߠሻ ܽሷሺߠሻ න ݀ݕ ൌ න ݂ሺݕሻ ቈ ቉ ݀ݕ െ න ݂ሺݕሻ

ଶ

߲ߠ ߶ ߶ ݀ݕ

ଶ ଶ

߲ ݕ െ ܽሶሺߠሻ ܽሷሺߠሻ න ݂ሺݕሻ ݀ݕ ൌ ܧ ൥ቊ ቋ ൩ െ ܧ ቈ ቉

ଶ

߲ߠ ߶ ߶ dengan mengunakan Definisi 2.2 dan Teorema 2.1, kita peroleh sebagai berikut,

ଶ ଶ

߲ ܧሾݕ െ ߤሿ ܽሷሺߠሻ ͳ ൌ െ

ଶ ଶ

߲ߠ ߶ ߶ ܸܽݎሺݕሻ ܽሷሺߠሻ

Ͳ ൌ െ

ଶ

߶ ߶ ܸܽݎሺݕሻ ൌ ߶ܽሷሺߠሻ. (2.4)

Untuk distribusi respon keluarga eksponensial

11 (2.5)

ܽሷሺߠሻ ൌ ሺߤሻ ߲ߠ ൌ ߲ߠ ؠ ܸ dan karenanya

ܸܽݎሺݕሻ ൌ ߶ܸሺߤሻ di mana ܸሺߤሻ disebut fungsi variansi, menunjukkan hubungan antara rataan dan varians.

2.4.2 Distribusi standar dalam format keluarga eksponensial

Beberapa anggota keluarga eksponensial, diantaranya adalah distribusi Poisson, distribusi normal, distribusi gamma dan distribusi binomial negatif.

1. Distribusi Poisson

Fungsi probabilitas Poisson adalah,

ିఓ ௬

݁ ߤ ݂ሺݕሻ ൌ

ݕǨ ǡ ݕ ൌ Ͳǡͳǡʹǡ ǥ Maka,

ିఓ ௬

݁ ߤ ͳ ݂ሺݕሻ ൌ

ݕǨ ൌ െߤ ൅ ݕ ߤ ൅ ݕǨ ͳ

ൌ ݕǨ ൅ ሺݕ ߤ െ ߤሻ

ݕߠ െ ܽሺߠሻ ൌ ܿሺݕǡ ߶ሻ ൅ ǡ

ଵ ఏ

dengan .

ܿሺݕǡ ߶ሻ ൌ ǡ ߶ ൌ ͳǡ ߠ ൌ ሺߤሻ ܽሺߠሻ ൌ ߤ ൌ ݁

௬Ǩ

Ini menunjukkan bahwa Poisson adalah termasuk keluarga eksponensial dan

ఏ

ܧሺݕሻ ൌ ܽሶሺߠሻ ൌ ݁ ൌ ߤ

ఏ ܸܽݎሺݕሻ ൌ ߶ܽሷሺߠሻ ൌ ͳ ൈ ݁ ൌ ߤ.

Distribusi Normal Fungsi probabilitas normal adalah,

ଶ

ͳ ͳ ݕ െ ߤ ൠǡ െ ൏ ݕ ൏ ǡ

݂ሺݕሻ ൌ ݁ݔ݌ ൜െ ʹ ቀ ߪ ቁ

ߪξʹߨ Maka,

ଶ

ͳ ͳ ݕ െ ߤ ݂ሺݕሻ ൌ ൜ ݁ݔ݌ ൤െ ൨ൠ

ʹ ቀ ߪ ቁ ߪξʹߨ

ଶ

ͳ ͳ ݕ െ ߤ ൌ െ

ʹ ቀ ߪ ቁ ߪξʹߨ

ଶ

Τ ͳ ሺݕ െ ߤሻ ʹ

ൌ െ

ଶ

ߪ ߪξʹߨ

ଶ ଶ

Τ Τ ͳ ݕ ʹ ݕߤ െ ߤ ʹ

ൌ ቆ െ ቇ ൅

ଶ ଶ

ߪ ߪ ߪξʹߨ

ଶ

ͳ ݕߤ െ ߤ Τ ʹ

ଶ ଶ

Τ ൌ ൬ ሺെ ݕ ʹߪ ሻ൰ ൅

ଶ

ߪ ߪξʹߨ

ݕߠ ൅ ܽሺߠሻ ൌ ܿሺݕǡ ߶ሻ ൅ ൜ ൠ

೤మ ୣ୶୮൬ି ൰

మഝ ଶ ଶ

dengan Τ

ܿሺݕǡ ߶ሻ ൌ ǡ ߶ ൌ ߪ ǡ ߠ ൌ ߤ ܽሺߠሻ ൌ ߠ ʹ

ඥଶగథ

Ini menunjukkan bahwa distribusi Normal adalah termasuk keluarga eksponensial dan

ଶ

ܽሶሺߠሻ ൌ ߠ ൌ ߤǡ ܸܽݎሺݕሻ ൌ ߶ܽሷሺߠሻ ൌ ߪ Ǥ

2. Distribusi Gamma

Fungsi probabilitas Gamma adalah,

ିଵ ௩

ݕ ݕݒ

ି௬௩ ఓ Τ

݂ሺݕሻ ൌ ݁ ǡ ݕ ൐ Ͳǡ ī

ሺݒሻ ൬ ߤ ൰ Maka,

ିଵ ௩

ݕ ݕݒ

ି௬௩ ఓ Τ

݂ሺݕሻ ൌ ቈ ݁ ቉ ī

ሺݒሻ ൬ ߤ ൰

13 ݕݒ

ൌ െ ݕ െ īሺݒሻ ൅ ݒ ݕ ൅ ݒ ݒ െ ݒ ߤ െ ߤ

ିଵ

ߤ ݕሺെߤ ሻ ൌ ሺݒ െ ͳሻ ݕ െ īሺݒሻ ൅ ݒ ݒ െ ൅

ିଵ ିଵ

ݒ ݒ

ሺ௩ିଵሻ ௩ ିଵ

ݕ Ǥ ݒ ݕሺെߤ ሻ െ ߤ ൌ ቇ

ିଵ

ī ሺݒሻ ൅ ቆ ݒ

ݕߠ ൅ ܽሺߠሻ ൌ ܿሺݕǡ ߶ሻ ൅ ൜ ൠ

ቀభషದ ದ ቁ ୷ ିଵ ିଵ ିଵ

dengan ܿሺݕǡ ߶ሻ ൌ భ ǡ ߶ ൌ ݒ ǡ ߠ ൌ െߤ ܽሺߠሻ ൌ ሺെߠ ሻ.

భ ದ ம īቀ ቁ

ದ

Ini menunjukkan bahwa Gamma adalah termasuk keluarga eksponensial dengan

ଶ

ͳ ߤ

ିଶ ିଵ

ܧሺݕሻ ൌ ܽሶሺߠሻ ൌ െߠሺߠ ሻ ൌ ߤǡ ܸܽݎሺݕሻ ൌ ߶ܽሷሺߠሻ ൌ ݒ ൌ

ଶ

ߠ ݒ Ǥ

௩ ଶ

Distribusi merupakan ߯ ܩሺݒǡ ሻ , sehingga Chi-square juga merupakan

௩ ଶ

keluarga eksponensial.

3. Binomial negatif

Fungsi probabilitas binomial negatif adalah,

௩ ௬

ī ሺݕ ൅ ݒሻ ݒ ߤ

݂ሺݕሻ ൌ ൬ ī

ሺݕ ൅ ͳሻīሺݒሻ ൬ ݒ ൅ ߤ൰ ݒ ൅ ߤ൰

ଶ ିଵ

di mana rataan .

ܧሺݕሻ ൌ ߤ, dan variansi adalah ܸܽݎሺݕሻ ൌ ߤ ൅ ߤ ݒ Maka,

௩ ௬

ī ݒ ߤ ሺݕ ൅ ݒሻ

݂ሺݕሻ ൌ ቈ ൬ ቉ ī ݒ ൅ ߤ൰ ݒ ൅ ߤ൰

ሺݕ ൅ ͳሻīሺݒሻ ൬ ī

ሺݕ ൅ ݒሻ ߤ ݒ ൌ

ī ሺݕ ൅ ͳሻīሺݒሻ ൅ ݕ ൬ ݒ ൅ ߤ൰ ൅ ݒ ൬ ݒ ൅ ߤ൰

14 ൌ ܿሺݕǡ ߶ሻ ൅ ൜

ൌ ߤǡ ܸܽݎሺݕሻ ൌ ߶ܽሷሺߠሻ ൌ ݒ݁

ିଵ

ଶ

ൌ ߤ ൅ ߤ

ଶ

ሻ

ఏ

ሺͳ െ ݁

ఏ

߶ ൠ dengan

ͳ െ ݁

ఏ

ݒ݁

Ini menunjukkan bahwa binomial negatif termasuk keluarga eksponensial dengan ܧሺݕሻ ൌ ܽሶሺߠሻ ൌ

ఏ ሻ.

ቁ ܽሺߠሻ ൌ െݒ ൫ͳ െ ݁

ఓ ௩ାఓ

ǡ ߶ ൌ ͳǡ ߠ ൌ ቀ

īሺ௬ା௩ሻ īሺ௬ାଵሻīሺ௩ሻ

ܿሺݕǡ ߶ሻ ൌ

2.5 Estimasi Maksimum Likelihood (MLE)

ଵ

௡ ௜ୀଵ

2. Nilai ߠ෠ dikatakan memaksimalkan ܮሺߠሻ jika,

ൌ Ͳ

ఏୀఏ෡

ሺߠǡ ߶ሻฬ

1. Nilai ߠ෠ diperoleh dari derivatif pertama ߲ ߲ߠ ܮ

ߠ෠ ߶෠ yang memaksimalkan ܮሺߠǡ ߶ሻ harus diderivatifkan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

(2.6) Maka untuk memperoleh nilai

௡ ௜ୀଵ

Ǣ ߠǡ ߶ሻǤ

௜

ܮሺߠǡ ߶ሻ ൌ ෑ ݂ሺݕ

Ǣ ߠǡ ߶ሻ

MLE didasarkan pada pemilihan estimasi parameter yang memaksimalkan likelihood sampel yang diamati ݕ

௜

independen maka fungsi probabilitas gabungan adalah ݂ሺݕǢ ߠǡ ߶ሻ ൌ ෑ ݂ሺݕ

௜

Ǣ ߠǡ ߶ሻ . Jika ݕ

௜

ሻ. Probabilitas tergantung ߠ dan, jika ߶ ada, fungsi probabilitas ditulis sebagai ݂ሺݕ

௜

݂ሺݕ

merupakan realisasi dari ݂ሺݕሻ, dan demikian juga fungsi probabilitas

௜

. Setiap ݕ

௡

ǡ ǥ ǡ ݕ

ଶ

߲ ܮሺߠǡ ߶ሻቤ ൏ Ͳ

ଶ

߲ߠ

ఏୀఏ෡

Log-likelihood ݈ሺߠǡ ߶ሻ adalah logaritma dari likelihood:

௡

(2.7) ݈ሺߠǡ ߶ሻ ൌ ෍ ݈݊ ݂ሺݕ Ǣ ߠǡ ߶ሻ Ǥ

௜ ௜ୀଵ

Metode maksimum likelihood memilih nilai-nilai ߠ dan ߶ yang memaksimalkan likelihood atau ekuivalen, log-likelihood. Maksimalisasi log- likelihood lebih disukai karena lebih mudah untuk bekerja dengan analitis.

Penduga maksimum likelihood (MLE) dari ߠ dan ߶ dilambangkan sebagai ߠ෠ ߶෠.

2.6 Statistic Score

Misalkan suatu variabel random kontinu Y memiliki fungsi kepadatan ݂ሺݕǢ ߠሻ yang tergantung kepada parameter tunggal ߠ (atau dalam kasus diskret, ݂ሺݕǢ ߠሻ adalah fungsi peluang). Fungsi log-likelihood adalah algoritma dari ݂ሺݕǢ ߠሻ sebagai fungsi dari ߠ, yaitu ݈ሺߠǢ ݕሻ ൌ ݂ሺݕǢ ߠሻǤ

Banyak hasil-hasil kunci pada GLM berhubungan dengan turunan pertama dari fungsi turunan pertama dari fungsi likelihood ini yaitu ݈݀

ܷ ൌ ݀ߠ yang disebut dengan score.

Untuk menentukan ekspektasi dari U, digunakan identitas

16 ൌ Ǥ (2.8)

݀ߠ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ߠ Bila diambil ekspektasi dari (2.8), maka diperoleh

݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݂݀ሺݕǢ ߠሻ ܧሺܷሻ ൌ න ݂ሺݕǢ ߠሻ݀ݕ ൌ න ݀ݕ

݀ߠ ݀ߠ dengan pengintegralan terhadap y.

Selanjutnya, pengintegralan pada sisi kanan adalah ݂݀ሺݕǢ ߠሻ ݀ ݀

න ݀ݕ ൌ න ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ݕ ൌ ݀ߠ ݀ߠ ݀ߠ ͳ ൌ Ͳ karena

׬ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ݕ ൌ ͳ. Dengan demikian, (2.9)

ܧሺܷሻ ൌ Ͳ Jika (2.8) diturunkan terhadap

ߠ dan kemudian diambil ekspektasinya, maka ݀ ݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ ݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ

ܧ ቆ ቇ ൌ ቇ ݀ߠ ݀ߠ ݀ߠ ܧ ቆ ݀ߠ

݀ ݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ൌ න ݂ሺݕǢ ߠሻ݀ݕ

݀ߠ ݀ߠ ݀ ͳ ݂݀ሺݕǢ ߠሻ

ൌ න ݂ሺݕǢ ߠሻ݀ݕ ݀ߠ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ߠ

ଶ

݀ ൌ න ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ݕ

ଶ

݀ߠ

ଶ

݀ (2.10)

ൌ ͳ݀ݕ ൌ ͲǤ

ଶ

݀ߠ

ௗ ௗ ୪୭୥ ௙ሺ௬Ǣఏሻ

Karena ݂ሺݕǢ ߠሻ݀ݕ dapat ditulis

׬ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ݕ ൌ ͳ. Bentuk ׬

ௗఏ ௗఏ

sebagai

17 න ݂ሺݕǢ ߠሻ݀ݕ ൌ න ቈ ݂ሺݕǢ ߠሻ቉ ݀ݕ

݀ߠ ݀ߠ ݀ߠ ݀ߠ

ଶ

݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ൌ න ݂ሺݕǢ ߠሻ݀ݕ ൅ න ݀ݕǤ

ଶ

݀ߠ ݀ߠ ݀ߠ Dengan mensubstitusi (2.8) pada bagian kedua dari persamaan di atas, diperoleh

ଶ ଶ

݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ൌ න ݂ሺݕǢ ߠሻ݀ݕ ൅ න ቈ ቉ ݂ሺݕǢ ߠሻ݀ݕ ൌ Ͳ

ଶ

݀ߠ ݀ߠ dengan demikian,

ଶ ଶ

݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ݀ ݂ሺݕǢ ߠሻ ܧ ቈ ቉ ൌ െܧ ൥ቈ ቉ ൩ (2.11)

ଶ

݀ߠ ݀ߠ dalam terminologi statistic score ditulis sebagai

ଶ

ሿ ܧሾܷƍሿ ൌ െܧሾܷ dengan

ܷƍ menotasikan turunan dari U terhadap ߠ . Karena E[U] = 0, maka variansi dari U yang disebut dengan informasi, adalah

ƍ ଶ

(2.12) ܸܽݎሺܷሻ ൌ ܧሾܷ ሿ ൌ െܧሾܷ ሿǤ

Secara umum, misalkan variabel random memiliki distribusi ܻ ǡ ܻ ǡ ǥ ǡ ܻ

ଵ ଶ ே

peluang yang bergantung kepada parameter-parameter . Dengan ߚ ǡ ߚ ǡ ǥ ǡ ߚ

ଵ ଶ ௣

fungsi log-likelihood dari adalah ܻ ǡ ܻ ǡ ǥ ǡ ܻ

ଵ ଶ ே ே

ሻ ݈ሺߚǢ ݕሻ ൌ ෍ ݈ ሺߚǢ ݕ

௜ ௜ ௜ୀଵ ்

dengan . Total score berhubungan dengan didefinisikan ݕ ൌ ሾܻ ǡ ܻ ǡ ǥ ǡ ܻ ሿ ߠ

ଵ ଶ ே ௝

sebagai

ே

߲݈ሺߚǢ ݕሻ ߲݈ሺߚǢ ݕ ሻ

௜

ܷ ൌ ൌ ෍

௝

߲ߚ ߲ߚ

௝ ௝ ௜ୀଵ

dengan argumen yang sama dengan (2.9), maka ߲݈ሺߚǢ ݕ ሻ

௜

(2.13) ܧ ቈ ቉ ൌ Ͳ

߲ߚ

௝

dan dengan demikian ܧ൫ߚ ൯ ൌ Ͳ untuk setiap j.

௝

Matrik informasi (information matrix) didefinisikan sebagai matriks

்

variansi ,

±kovariansi (variance-covariance matrix) dari ܷ ܫ ൌ ܧሺܷܷ ሻ dengan U

௝

adalah vektor dari , sehingga ܷ ǡ ܷ ǡ ǥ ǡ ܷ

ଵ ଶ ௣

߲݈ ߲݈ ܫ ൌ ܧൣܷ ܷ ൧ ൌ ܧ ቈ ቉Ǥ

௝௦ ௝ ௦

߲ߚ ߲ߚ

௝ ௦

Dengan argumen yang analog dengan kasus variabel random tunggal dengan parameter tunggal, maka

ଶ

߲ ݈ ߲݈ ߲݈ ܧ ቈ ቉ ൌ െܧ ቈ ቉ (2.14)

߲ߚ ߲ߚ ߲ߚ ߲ߚ

௝ ௦ ௝ ௦

sehingga dengan demikian, elemen dari matriks informasi adalah

ଶ

߲ ݈ ܫ ൌ െܧ ቈ ቉Ǥ (2.15)

௝௦

߲ߚ ߲ߚ

௝ ௦

2.7 Generalized linear model (GLM)

GLM digunakan untuk menaksirkan dan mengukur hubungan antara variabel respon dengan variabel penjelas. Model ini berbeda dengan model regresi biasa pada dua aspek penting,yaitu:

19 sehingga distribusi dari variabel respon tidak harus normal/mendekati normal.

3. Pemilihan ݃ሺߤሻ , disebut link, menentukan bagaimana rataan terkait ke variabel penjelas ݔ. Dalam model linier normal, hubungan antara rataan dari y dan variabel-variabel penjelas

Diberikan ߤ , ߠ ditentukan melalui ܽሶሺߠሻ ൌ ߤ . Akhirnya diberikan ߠ , y ditetapkan sebagai gambaran dari kepadatan eksponensial ditentukan dalam

4. Persamaan (2.16) menyatakan bahwa, diberikan ݔǡ ߤ ditentukan melalui ݃ሺߤሻ.

ߚ, di mana ݃ adalah monoton, fungsi terdiferensialkan (seperti log atau akar kuadrat).

்

ߚ. Dalam GLM, diperumum menjadi ݃ሺߤሻ ൌ ݔ

்

ߤ ൌ ݔ

2. Pemilihan ܽሺߠሻ menentukan distribusi respon.

2. Transformasi dari rataan variabel respon berhubungan linier dengan variabel penjelas.

ݔ.

1. Persamaan ݂ሺݕሻ menyatakan bahwa distribusi respons merupakan keluarga eksponensial. Persamaan kedua menetapkan transformasi rataan, ݃ሺߤሻ , adalah berhubungan linear dengan variabel penjelas

ߚǤ (2.16) dimana,

்

ൠ ǡ ݃ሺߤሻ ൌ ݔ

ݕߠ െ ܽሺߠሻ ߶

Diberi respon y, generalized linear model (GLM) adalah ݂ሺݕሻ ൌ ܿሺݕǡ ߶ሻ݁ݔ݌ ൜

GLM penting dalam analisis data asuransi. Dengan data asuransi, asumsi model normal sering kali tidak berlaku. Sebagai contoh, ukuran klaim, frekuensi klaim dan terjadinya klaim pada satu polis adalah semua hasil yang tidak normal.

ܽሺߠሻ.

2.7.1 Fungsi Link

Fungsi link adalah suatu fungsi yang menghubungkan ߤ ൌ ܧሺݕ ሻ dengan

௜ ௜ ࢀ

fungsi linear ࢞ ࢼ. Sebagian besar hasil regresi bergantung pada pemilihan fungsi

࢏

link-nya. Suatu fungsi link disebut fungsi link kanonik (canonical link function) apabila ݃ሺߤ ሻ ൌ ߟ ൌ ߠ, dimana ߠ adalah parameter kanonik. Berikut beberapa

௜ fungsi link kanonik untuk beberapa distribusi.

Distribusi Fungsi Link Kanonik

Normal ߟ ൌ ߤ

Poisson ߟ ൌ ݈݋݃ ߤ

Binomial ߟ ൌ ሾߨȀሺͳ െ ߨሻሿ

ିଵ

Gamma ߟ ൌ ߤ

ିଶ

Invers ߟ ൌ ߤ

2.7.2 Metode Iterasi Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear secara iteratif, misalnya mencari lokasi agar suatu fungsi maksimum pada persamaan likelihood. Dengan log-likelihood

݈ሺࢼሻ

డ௟ሺࢼሻ

kita mengharapkan nilai ൌ Ͳ dan maksimum.

డࢼ

Kita memperluas sehingga ߲݈ሺࢼሻȀ߲ࢼ mendekati ࢼ

଴ ଶ

߲݈ሺࢼሻ ߲ ݈ሺࢼሻ

ƍ ƍ

(2.17) ሻ ൅ ሻǤ

ሺࢼሻ ൌሶ ݈ ሺࢼ ሺࢼ െ ࢼ

଴ ଴ ࢚

߲ࢼ ൌ ݈ ߲ࢼ߲ࢼ Persamaan (2.17) disamakan dengan nol sehingga diperoleh,

ଶ

߲ ݈ሺࢼሻ

݈ ሺࢼ ሻ ൅ ሺࢼ െ ࢼ ሻ ൌ Ͳ

଴ ଴ ࢚

߲ࢼ߲ࢼ

ିଵ ଶ

߲ ݈ሺࢼሻ

ࢼ ൌ ࢼ െ ቈ ቉ ݈ ሺࢼ ሻ

଴ ଴ ࢚

߲ࢼ߲ࢼ

ሺ௠ሻ

dinotasikan sebagai nilai ࢼ ࢼ pada iterasi ke-m. Diperoleh iterasi sebagai berikut,

ିଵ ଶ

߲ ݈ሺࢼሻ

ƍ ሺ௠ାଵሻ ሺ௠ሻ ሺ௠ሻ

ࢼ ൌ ࢼ െ ቈ ቉ อ ݈ ൫ࢼ ൯

࢚

߲ࢼ߲ࢼ

ሺ೘ሻ ࢼୀࢼ ିଵ

ƍ ሺ௠ାଵሻ ሺ௠ሻ ሺ௠ሻ ሺ௠ሻ

(2.18) ࢼ ൌ ࢼ െ ൛݈ƍƍ൫ࢼ ൯ൟ ݈ ൫ࢼ ൯Ǥ

ሺ௠ሻ

Untuk memaksimum ݈ƍƍ൫ࢼ ൯ ൏ Ͳ . Iterasi persamaan ini, setiap kali merevisi

ࢼ, mengarah pada urutan seperti yang dinyatakan di atas akan cepat konvergen. Pendekatan ini dapat diadaptasi ketika ࢼ adalah vektor. Perbarui

persamaan (2.18) dengan matriks invers dimana ݈ ሺࢼሻ adalah vektor dari turunan

parsial . Vektor ߲݈ ߲ߚ Τ ݈ ሺࢼሻ disebut score vector, dan ݈ƍƍሺࢼሻ, matriks dari turunan

௝ ଶ

parsial perkalian ൯, disebut matriks Hessian. Tata cara mengevaluasi

߲ ݈Ȁ൫߲ߚ ߲ߚ

௝ ௦

perulangan pada vektor skor dan matrik Hessian untuk memperbarui perkiraan seperti pada (2.18) disebut iterasi Newton-Raphson.

2.7.3 Estimasi Maksimum Likelihood

MLE dari ߚ dan ߶ diturunkan dengan memaksimalkan log-likelihood, yang didefinisikan,

௡ ௡

ݕ ߠ െ ܽሺߠ ሻ

௜ ௜ ௜

(2.19) ݈ሺߚǡ ߶ሻ ൌ ෍ ݂ሺݕ Ǣ ߚǡ ߶ሻ ൌ ෍ ቊ ܿሺݕ ǡ ߶ሻ ൅ ቋ

௜ ௜

௜ୀଵ ௜ୀଵ dimana diasumsikan independen.

௜ Untuk mencari maksimal, .

݈ሺߚǡ ߶ሻ diturunkan terhadap ߚ

௝ ௡

߲݈ ߲݈ ߲ߠ ߲ߤ

௜ ௜

ൌ ෍ ൬ ൰ ൬ ൰ ቆ ቇ Ǥ ߲ߚ ߲ߠ ߲ߤ ߲ߚ

௝ ௜ ௜ ௝ ௜ୀଵ

Faktor pertama adalah ߲݈ ݕ െ ܽሶሺߠ ሻ ݕ െ ߤ

௜ ௜ ௜ ௜

൬ ൰ ൌ ൌ ߲ߠ ߶ ߶

௜

22 karena

௜ ௜

߲ߠ ͳ ͳ ߶

௜

൬ ൰ ൌ ߲ߤ ܽሷሺߠ ሻ ൌ ܸሺߤ ሻ ൌ ܸܽݎሺݕ ሻ

௜ ௜ ௜ ௜

sehingga diperoleh, ߲݈ ݕ െ ߤ ߲ߤ

௜ ௜ ௜

(2.20) ቆ ቇ ൌ ቇ

߲ߚ ܸܽݎሺݕ ሻ ቆ ߲ߚ

௝ ௜ ௝

dimana, ߲ߤ ߲ߤ ߲ߟ

௜ ௜ ௜ ࢀ

ൌ Ǥ ߟ ൌ ࢞ ࢼ

௜ ࢏

߲ߚ ߲ߟ ߲ߚ

௝ ௜ ௝

maka, ߲݈ ݕ െ ߤ ߲ߤ

௜ ௜ ௜

ቆ ቇ ൌ ൰ ݔ

௜௝

߲ߚ ܸܽݎሺݕ ሻ ൬ ߲ߟ

௝ ௜ ௜ ଶ

߲݈ ݕ െ ߤ ߲ߤ ߲ߟ

௜ ௜ ௜ ௜

ቆ ቇ ൌ ൰ ൬ ൰ ݔ Ǥ

௜௝

߲ߚ ܸܽݎሺݕ ሻ ൬ ߲ߟ ߲ߤ

௝ ௜ ௜ ௜

Vektor Score untuk keseluruhan data dapat ditulis sebagai

ݕ ǡ ǥ ǡ ݕ

ଵ ௡

߲݈

ࢀ

(2.21) ࢃ࢑

߲ࢼ ൌ ࢄ dengan,

்

dan ࢄ ൌ ሺݔ ǡ ǥ ǡ ݔ Ǥ ሻ

ଵ ே ଶ

߲ߤ

௜ ିଵ

ሻሿ ࢃ ൌ ݀݅ܽ݃ ቈሾܸܽݎሺݕ ൬ ൰ ቉

௜

߲ߟ

௜ ିଵ ଶ

߲ߟ

௜

PEMODELAN REGRESI POISSON, BINOMIAL NEGATIF DAN POISSON TERGENERALISASI PADA KASUS KECELAKAAN KENDARAAN BERMOTOR DI LALU LINTAS