SIMULASI KOMPUTASI PADA TRANSPORT POLUTAN 2 DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN SKEMA BEDA HINGGA LEAPFROG

  

SIMULASI KOMPUTASI PADA TRANSPORT POLUTAN 2

DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN SKEMA BEDA

HINGGA LEAPFROG

Alman

  STMIK Handayani Makassar

  

Abstrak

  Persoalan transportasi di perairan dangkal merupakan fenomena yang menarik untuk dikaji dengan menggunakan metode beda hingga. Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh gambaran transport polutan yang terbawa oleh aliran air yang sekaligus berdifusi dalam bidang 2 Dimensi. Metode beda hingga merupakan suatu metode numerik yang sering digunakan dalam penyelesaian masalah Persamaan Differensial Parsial karena metode ini dapat memberikan solusi yang cukup akurat. Kemampuan metode beda hingga dalam memberikan hasil pendekatan yang cukup akurat tersebut karena didukung oleh kemajuan yang pesat dalam bidang computer. Untuk mempermudah perhitungan numerik, maka dalam penelitian ini digunakan software Matlab 2013..

  Hasil penelitian ini menunjukan bahwa penggunaan metode beda hingga Leapfrog yang dipakai diperoleh gambaran pergerakan polutan setiap waktu menggambarkan adanya perpindahan polutan yang disertai penurunan nilai konsentrasi yang dinamakan proses Adveksi Difusi. Kata Kunci : Transport Polutan, Metode Beda Hingga Leapfrog, PDP.

  1. Pendahuluan

  Fenomena aliran dan transport polutan merupakan gejala alam yang penting untuk dipelajari karena mempunyai pengaruh terhadap beberapa studi rekayasa. Fenomena tersebut terjadi dalam berbagai macam situasi fisik, seperti perpindahan panas, proses pemisahan zat kimia, aliran fluida dalam media berpori, penyebaran kontaminan dalam cairan dan juga transport partikel-partikel kecil seperti penyebaran polutan, sedimen dan lain-lain di perairan dangkal (Luknanto, 1992). Transportasi aliran air tersebut merupakan bagian dari dinamika fluida yang mengkaji perilaku zat cair dan gas dalam keadaan diam ataupun bergerak dan interaksinya dengan benda padat. Dinamika fluida sering dikatakan sebagai persoalan fisika klasik terbesar yang belum terpecahkan.

  Metode beda hingga merupakan salah satu metode yang dapat diterapkan untuk kasus fenomena transport di perairan dangkal dan aliran air tanah yang biasanya dinyatakan dengan persamaan Adveksi Diffusi karena metode ini dapat memberikan hasil pendekatan yang cukup akurat (Ribal, 2008). Kemampuan metode beda hingga dalam memberikan hasil pendekatan tersebut, karena didukung oleh kemajuan yang sengat pesat dalam bidang computer, baik dalam piranti lunak maupun hardware sehingga menyebabkan metode beda hingga diterapkan secara massif pada level yang lebih tinggi. Dengan kecanggihan piranti lunak dan hardware pada computer sekarang, masalah rekayasa yan rumit dapat dimodelkan dengan relative mudah. Waktu yang diperlukan untuk memecahkan masalah pun semakin singkat. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui bagaimana pergerakan polutan dalam bidang 2 dimensi dengan nilai awal syarat batas tertentu. Di samping juga, dilakukan analisis kestabilan untuk metode yang digunakan.

  2. Metode Penelitian

  Secara umum penelitian ini dilakukan untuk mengetahui bagaimana pergerakan polutan yang bergerak dalam aliran air yang mengalir dalam satu arah pada daerah domain terbuka. Untuk memperoleh bagaimana pergerakan polutan tersebut, digunakan sebuah metode beda hingga Leapfrog yang merupakan pengembangan dari metode yang sudah ada sebelumnya. Selain itu juga penggunaan Software Matlab 2009 diperlukan untuk memudahkan penyelesaian masalah.

2.1. Pendefinisian Masalah

  Bentuk arah aliran dimisalkan dalam sebuah bidang datar dengan panjang x dan lebar y. Pada bidang datar tersebut terdapat air yang mengalir pada arah sumbu x dengan kecepatan v . Aliran tersebut masuk dan

  x

  kemudian keluar sedangkan domain dari permasalahan yang dibahas adalah ≤ ≤ 1 dan 0 ≤ ≤ 1.

  V x y

x

  Gambar (1)

  Dalam aliran air yang terkontaminasi polutan, diasumsikan bahwa pada awalnya polutan berada pada sumber dan batas/batas aliran kemudian polutan tersebut terangkut ke dalam bagian dalam aliran. Disamping terbawa aliran air, polutan juga mengalami peristiwa diffuse (penyebaran) dalam arah horizontal dengan koefisien diffuse D dan D .

  x y 2.2.

   Persamaan Pembangunan

  Konsentrasi polutan yang terangkut dalam arah x dengan kecepatan aliran konstan v yang sekaligus

  x

  berdiffusi dalam arah horizontal ( arah x dan arah y) dengan koefisien diffuse yang juga konstan ( D dan D

  x y ) digambarkan dalam persamaan berikut :

  2

  2

  (1) + = +

  2

2 Persamaan (1) di atas sering dikenal sebagai persamaan Adveksi-Diffusi 2 Dimensi dengan

  C = Konsentrasi Polutan

  v = Kecepatan aliran dalam arah x x

  D , D = Koefisien Diffusi dalam arah x dan y

  x y

2.3. Metode Beda Hingga

  Metode beda hingga adalah metode numerik yang sering digunakan dalam penyelesaian masalah matematika dari suat gejala fisis yang persamaannya digambarkan dalam sebuah persamaaan differensial parsial.

  Ide utama yang melatarbelakangi munculnya metode beda hingga dalam memperoleh solusi persamaan differensial parsial adalah sebuah solusi pendekatan yang sering dikenal dengan pendekatan Deret

  

Taylor (Zuhair, 2008). Dari ekspansi Deret Taylor, suatu turunan parsial variabel konsetrasi (C) terhadap

  ruang (x) dapat dituliskan sebagai berikut,

• 1 −

  = (2)

  ∆ − −1

  = (3)

  ∆

• 1

  = (4)

  1 − −

  2 ∆

  Persamaan (2), (3) dan (4) di atas berturut-turut merupakan persamaan beda maju, beda mundur dan beda pusat untuk turunan pertama. Dengan deret Taylor, Turunan kedua pada persamaan differensial parsial dapat pula dituliskan sebagai

• 2 −2
>2
• 1

  = (5)

  ( 2 ∆ )2 2 −2 −1

  2

• −

  = (6)

  ( 2 ∆ )2

  2

• 1

  = (7)

  1 −2 + −

  ( 2 ∆ )2 Perasamaan (5), (6) dan (7) berturut-turut merupakan persamaan beda maju, beda mundur dan beda tengah. Indeks i mewakili variabel ruang (x) sedangkan n mewakili variabel waktu (t).

  Hal yang sama juga dapat dilakukan pendekatan deret Taylor untuk turunan parsial dari variabel konsentrasi (C) terhadap waktu (t), sebagai berikut

• 1−

  = (8)

  ∆

  1 − −

  = (9)

  ∆

• 1− −1

  = (10)

  2 ∆

  2

• 2−2 +1+

  = (11)

  ( 2 ∆ )2 2 −2 − 1 + −2

  = (12)

  ( 2 ∆ )2

  2

• 1−2 + −1

  = (13)

  ( 2 ∆ )2

  Dalam penggunaan metode beda hingga, domain aliran terlebih dahulu dibagi dalam grid berikut (Chern dkk, 2009) :

  = ∆ , = 0, 1, 2, 3, …

  = ∆ , = 0, 1, 2, 3, …

  = ∆ , = 0, 1, 2, 3, …

  Pendekatan skema beda hingga yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan Adveksi Diffusi 2 Dimensi seperti yang digambarkan dalam persamaan (1) digunakan metode beda hingga Leapfrog. Metode beda hingga ini merupakan perluasan dari metode beda tengah ( Central Difference ). Dalam formulasinya, turunan pertama terhadap waktu dan terhadap ruang menggunakan metode beda tengah (persamaan 4 dan 10 ). Begitu pula dengan turunan kedua terhadap ruang juga menggunaka metode beda tengah (persamaan 7), hanya saja pada indeks n diganti dengan n-1. Hal ini untuk menghindari ketidakstabilan numerik.

  −1

  2

  1

• 1 −1−2 −1+ −

  = (14)

  ( 2 ∆ )2

  Persamaan beda hingga Leapfrog untuk persamaan transportasi polutan 2 Dimensi diperoleh dengan mengsubtitusikan persamaan (4), (7) dan (10) serta penambahan indeks j untuk mewakili turuanan kedua terhadap ruang y ke dalam persamaan (1), sebagai berikut :

  −1 −1 , +1 − , −1 +1, − −1, +1, , 1, , +1 , , −1 −1 −2 −1+ − −1 −2 −1+

• = +

  (15)

  2 2 ( ( ∆ ∆ ∆ )2 ∆ )2

  Jika diasumsikan = = dan ∆ = ∆ , maka melalui operasi aljabar, perasamaan (15) dapat dituliskan dalam persamaan

• 1 −1 −1 −1 −1 −1

  , , +1, −1, +1, −1, , +1 , −1

  = + + + ) (16) 1 + 4 − − + (

  2 ∆ ∆

  Dengan A = dan B =

  ( ∆ )2 ∆

  Persamaan (16) di atas merupakan persamaan beda hingga Leapfrog yang digunakan untuk menggambarkan transfer polutan dalam bidang 2 Dimensi dengan menggunakan program Matlab. Diskritisasi metode beda hingga Leapfrog untuk persamaan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut _A

  U _V

,

n _{R Q S}

_T

_P j i

  Gambar (2) Gambar (2) di atas menunjuka diskritisasi metode beda hingga LeapFrog untuk persamaan transport polutan

  n+1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n n dengan titik A = C , P = C , Q = C , R = C , S = C , T = C , U = C , V = C . i,j i, j-1 i,j i-1,j i+1,j i,j+1 i-1,j i+1,j

  Titik A merupakan titik yang akan dihitung nilainya dengan menggunakan titik-titik di bawahnya yang telah ditentukan sebelumnya.

3. Hasil dan Pembahasan

  Dalam penelitian numerik ini, akan ditampilkan dua contoh kasus. Kasus pertama , diasumsikan bahwa sebuah polutan pada awalnya berada pada sepanjang sumber aliran. Kasus kedua, diasumsikan bahwa aliran hanya berada pada sebuah titik pada bagian tengah aliran.

  Kasus I :

  Untuk kasus pertama, diketahui persamaan Adveksi Diffusi dua dimensi yang digambarkan dalam persamaan pembanguan ( persamaan 2 ) menggunakan Syarat Awal :

  , , 0 = 0, 0 ≤ , ≤ 1 Dan syarat Batas :

  0, , = 1, 0 ≤ ≤ 1, > 0 1, , = 0, 0 ≤ ≤ 1, > 0 , 0, = 0, 0 ≤ ≤ 1, > 0 , 1, = 0, 0 ≤ ≤ 1, > 0 Dengan simulasi program Matlab 2013, Hasil visualisasi pergerakan polutan dari waktu ke waktu diperoleh pada gambar (3) berikut :

  (ii) (i)

  (iv) (iii)

  Gambar (3) Pada gambar (3) di atas terlihat pergerakan polutan dari waktu ke waktu. Berawal dari bagian (i) dimana polutan masih berpusat pada sumber aliran. Di seperempat waktu aliran terlihat seperti bagian (ii) sudah menyebar ke dalam daerah aliran dengan nilai konsentrasi polutan yang berbeda-beda di setiap daerah aliran. Selanjutnya pada bagian (iii) dan (iv), Disamping posisi polutan bergerak makin ke tengah aliran, diikuti juga dengan adanya fenomena penurunan nilai konsentrasi dimana nilai konsentrasi awal adalah 1, mengalami penuruanan dengan nilai konsentrasi maksimum 0.9 satuan. Hal ini dalam kenyataannya bahwa polutan yang telah berdifusi dalam air yang mengalir dapat mengakibatkan penuruan nilai konsentrasi.

  Kasus II :

  Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, untuk kasus I dan Kasus II mempunyai nilai syarat awal dan syarat batas yang sama. Hanya saja untuk kasus II, nilai syarat awal yang bernilai 1 satuan konsentrasi tidak disepanjang awal aliran tetapi terletak pada titik tengah aliran. Dari simulasi computer terlihat hasil pergerakan polutan seperti yang digambarkan pada gambar berikut :

  (i) (ii) (iv)

  (iii)

  

Gambar (4)

  Gambar (4) di atas menggambarkan pola penyebaran polutan yang bersumber di titik tengah sumber aliran. Pada awal waktu konsetrasi maksimum polutan masih bernilai 1. Seiring berjalannya waktu mulai masuk dan menyebar ke daerah tengah aliran dengan disertai penurunan nilai konsentrasi dengan nilai maksimum 0.9. Penurunan ini diakibatkan polutan yang awalnya berkumpul pada satu titik mulai mengalami peristiwa difusi (penyebaran) bersama aliran air.

4. Kesimpulan dan Saran

  Dari hasil komputasi yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa metode beda hingga Leapfrog dapat digunakan untuk menyelesaikan/menggambarkan proses transportasi polutan atau yang sering disebut proses adveksi difusi dalam daerah aliran terbuka seperti yang ditampilkan pada gambar (3) dan (4). Pada penulisan selanjutnya disarankan perlu adanya analisis kestabilan mengenai pemilihan nilai Koefisien difusi, waktu aliran ataupun besar grid/lebar pembagian grid sebelum melakukan perhitungan komputasi. Hal ini dilakukan agar bisa menemukan tampilan gambar yang lebih baik.

  Referensi: [1]. Ribal, (2008). Metode Beda Hingga, Draft Lecture Note on Finite Difference Meethods.

  Jurusan Matematika FMIPA Unhas, Makassar. [2]. Alman, (2013). Penyelesaian Numerik Persamaan Adveksi Dufusi 2

• – D Untuk Model Transportasi Polutan Dengan Menggunakan Metode Beda Hingga Dufort Frankel, Tesis, Jurnal Pasca Sarjana, Universitas Hasanuddin, Makassar.

  [3]. Kusuma, Jeffry (2010), Persamaan Differensial Parsial, Diktat Kuliah, Jurusan Matematika FMIPA Unhas, Makassar. [4]. Dormand, J.R (2006), Numerical Methods For Differntial Equation, A Computation Approach, CRC Press, NY. [5]. Zuhair. (2008). Metode Numerik , Deret Taylor dan Deret McLaurin, Universitas Mercubuana, Jakarta. [6]. Luknanto, Djoko. (1992). Angkutan Limbah. Universitas Gadjah Mada, Pusat Antar Universitas, Ilmu Teknik, Yogyakarta. [7]. Hoffman and Chiang. (2000). Computational Fluid Dynamics For Engineers, Volume 1, Wichita Kansas, USA. [8]. Chern, I Ling. (2009). Finite Difference Method for Solving Differential Equation. Diakses 19 maret 2016, :http://scicomp.math.ntu.edu.tw/wiki/images/6/62/FD.pdf