GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI Denik Agustito
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI
Denik Agustito1, Sriwahyuni2
Mahasiswa S2, Jurusan Matematika, Universitas Gajah Mada : Yogyakarta
e_mail: agusto_ugm@yahoo.co.id
Abstrak
Dalam tulisan ini hasil yang diperoleh adalah jika X adalah ruang terhubung lintasan maka
, jika X adalah ruang topologi dan
adalah komponen lintasannya maka
serta jika X adalah ruang topologi dan
subset kompaknya maka
adalah himpunan semua
.
Kata kunci: kompak, terhubung lintasan, topologi.
PENDAHULUAN
Dalam tulisan ini akan disurvei beberapa sifat dari grup homologi dari ruang topologi tertentu,
terutama ruang topologi terhubung lintasan dan sembarang ruang topologi bersama dengan subset
kompaknya. Sifat grup homologinya memiliki peranan penting dalam teori homologi singular
diantaranya adalah untuk menghitung grup homologi dari sphere, sell dan manifold. Batasan
masalah dalam tulisan ini terfokus pada tiga ruang yaitu ruang topologi terhubung lintasan,
komponen lintasan dari suatu ruang topologi dan himpunan semua subset kompak pada suatu ruang
topologi.
Teori kategori dalam tulisan ini akan memainkan peranan penting. Pertama dengan bahasa
kategori,kategori dari ruang topologi bersama dengan pemetaan kontinyunya akan dinotasikan
dengan TOP, kategori dari grup abelian bersama dengan homomorfismanya akan dinotasikan
dengan GRP, kategori dari kompleks rantai singular bersama dengan pemetaan rantai singularnya
akan dinotasikan dengan CC dan kategori dari grup graded bersama dengan homomorfismanya
akan dinotasikan dengan GG. Kedua akan diberikan salah satu dari struktur internal dalam suatu
kategori yaitu mengenai direc limit.
PEMBAHASAN
1. Fungtor Homologi Singular
Diberikan sebuah ruang topologi X maka sebuah p-simpleks singular pada ruang topologi X
dengan
.
adalah sebuah pemetaan kontinyu
dibentuk sebuah grup abelian bebas yang
Kemudian dengan fungtor grup bebas
dibangkitkan melalui himpunan semua p-simpleks singular pada ruang topologi X yang dinotasikan
dengan
. Karena p bergerak secara membesar maka didapat sebuah grup graded yang
dinotasikan dengan
.
Selanjutnya dengan grup graded
dapat dikonstruksi sebuah operator batas
yang memenuhi sifat
untuk
. Grup graded
yang dilengkapi dengan operator batas dinamakan kompleks rantai singular dan dinotasikan dengan
. Selanjutnya diberikan dua buah kompleks singular rantai
maka
(morfisma diantara kompleks rantai singular) jika
dengan
dan
dikatakan pemetaan rantai singular
adalah sebuah koleksi homomorfisma grup
dan diagram berikut adalah komutatif
M-253
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
[gambar 1]
Jadi diperoleh sebuah kategori yang objek-objeknya adalah kompleks rantai singular dan
morfismanya adalah pemetaan rantai singular yang dinotasikan dengan CC. Akibatnya terdapat
sebuah fungtor kovariant dari TOP ke CC yang membangkitkan sebuah ruang topologi X menjadi
sebuah kompleks rantai singular
dan membangkitkan sebuah pemetaan kontinyu
menjadi sebuah pemetaan rantai singular
Fungtor tersebut dinamakan fungtor rantai singular.
.
Sekarang diberikan sebuah kompleks rantai singular
. Kompleks rantai singular
tersebut dapat diilustrasikan dalam barisan grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya
(operator batas) yaitu sebagai berikut
[gambar 2]
Pada kompleks rantai singular dalam gambar 2 bahwa operator batas memenuhi sifat
untuk
dan sifat ini ekuivalen dengan
. Sekarang tulis
dan
. Jelas bahwa
dan
adalah subgroup dari
grup abelian bebas
. Subgrup
dinamakan boundaries berdimensi p-1 dan subgrup
dinamakan cycle berdimensi p-1. Karena p bergerak secara membesar maka boundaries
dan cycles berturut-turut dapat dipandang sebagai grup graded dan dinotasikan dengan
dan
.
Diperoleh fakta bahwa
adalah subgrup dari
maka dapat dikonstruksi sebuah grup
baru yaitu grup faktor
. Grup faktor
dinamakan grup homologi singular
bedimensi-p. Karena p bergerak secara membesar maka grup homologi singular dapat dinotasikan
dengan
pemetaan
terdiri dari koleksi
. Jika diberikan dua buah grup homologi
dan
maka
dikatakan pemetaan diantara grup homologi singular jika
dengan
adalah homomorfisma grup. Pemetaan
merupakan homomorfisma grup graded berderajat-0.
Jadi terdapat sebuah kategori yang objek-objeknya adalah grup homologi singular dan
morfismannya adalah homomorfisma grup berderajat-0 yang disebut dengan kategori grup
homologi singular. Karena grup homologi singular adalah grup graded maka kategori tersebut akan
dinotasikan dengan GG. Jadi terdapat sebuah fungtor dari CC ke GG yang membangkitkan sebuah
kompleks rantai singular menjadi grup homologi dan membangkitkan sebuah pemetaan rantai
singular menjadi homomorfisma grup berderajat-0. Fungtor tersebut dinamakan fungtor homologi
singular.
2.
Grup Homologi dari Ruang Topologi Terhubung Lintasan
Pada bagian ini akan diaplikasikan fungtor homologi singular dari ruang topologi tertentu.
Sekarang diberikan suatu ruang topologi yang hanya terdiri dari satu titik dan dinotasikan dengan
. Himpunan semua p-simpleks singular dari X hanya ada satu. Jadi untuk nilai p manapun
diperoleh sebuah grup abelian bebas
dan bila dinyatakan dalam barisan grup abelian
bebas bersama dengan homomorfismanya menjadi
[gambar 3]
M-254
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Barisan tersebut menghasilkan sebuah grup homologi sebagai berikut
Grup homologi dari ruang topologi yang hanya terdiri dari satu titik digunakan untuk
menghitung grup homologi dari ruang topologi yang bisa dikontraksi (contractible). Selanjutnya
akan diaplikasikan fungtor homologi singular untuk ruang topologi terhubung lintasan. Pengertian
ruang topologi terhubung lintasan akan diberikan dalam definisi berikut ini.
Definisi 1. Misalkan X adalah ruang topologi, titik x dan y berada pada X. Sebuah lintasan dalam
X dari titik x ke titik y adalah sebuah pemetaan kontinyu
sedemikian hingga
dan
. Ruang topologi X dikatakan terhubung lintasan jika setiap dua titiknya
dapat dihubungkan melalui sebuah lintasan dalam X.
Sebuah ruang topologi terhubung lintasan dapat dijumpai pada sebuah sel tertutup satuan dari
ruang
Euclidean
yang
dinotasikan
dengan
dengan
karena untuk setiap dua
dan y dalam
maka terdapat sebuah lintasan dari x ke y yaitu
yang
titik
untuk
. Begitu juga setiap himpunan bagian dari
didefinisikan dengan
yang konveks adalah sebuah ruang topologi
ruang Euclidean
terhubung lintasan dengan topologinya dibangkitkan melalui topologi pada .
Diberikan sebuah ruang topologi terhubung lintasan X. Maka 0-simpleks singular pada X dapat
diidentifikasi dengan sebuah tittik pada X, akibatnya
adalah grup abelian bebas yang
dibangun oleh semua titik-titik pada X. Kemudian untuk 1- simpleks singular pada X dapat
diidentifikasi sebagai sebuah lintasan dari suatu titik pada X ke titik yang lain, akibatnya
adalah grup abelian bebas yang dibangun oleh semua lintasan dalam X. Kemudian pandang barisan
grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya berikut ini.
[gambar 4]
Dari gambar 4 jelas bahwa
. Jadi untuk setiap
dapat dinyatakan secara
hampir
semua
.
Selanjutnya
grup
homologi
berdimensi-0 dari
tunggal sebagai
ruang topologi terhubung lintasan akan diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 1.1. Misalkan X adalah ruang topologi terhubung lintasan. Maka
.
Bukti.
Bukti dari Teorema ini adalah mundur dengan mengaplikasikan teorema fundamental
homomorfisma grup, untuk menghitung
cukup ditunjukkan terdapat
dengan
. Pilih pemetaan
yang
sebuah epimorfisma grup
. Ambil sembarang
dan
dalam
.
didefinisikan dengan
Maka
Jadi
sembarang
.
dengan
mendefinisikan sebuah homomorfisma grup. Ambil
. Maka untuk sembarang
berlaku
. Jadi
dengan
adalah
pemetaan
surjektif.
Akibatnya
dengan
adalah sebuah epimorfisma grup. Kemudian ditunjukkan bahwa
.
diidentifikasi sebagai sebuah
Ambil sembarang 1- simpleks singular pada X yaitu . Karena
lintasan dalam X katakan dari titik x ke titik y maka
akibatnya
. Karena
berakibat
dan
. Selanjutnya ambil sembarang
. Maka
Pilih
maka
terdapat 1- simpleks singular
dan karena X adalah terhubung lintasan, untuk setiap
dengan
dan
untuk a dan b anggota . Jadi
. Maka
M-255
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
dan
. Karena
Akibatnya
Contoh
1.
maka
Grup
homologi
dan
.
berdimensi-0
.
. Karena
maka
dari
sebuah
sel
tertututp
satuan
dengan
dan himpunan konveks
dalam ruang Euclidean
isomorfik ke grup siklik tak hingga.
4.
Grup Homologi dari Komponen Lintasan dalam suatu Ruang Topologi
Untuk mengetahui sifat homologi dari komponen lintaan dalam suatu ruang topologi
terlebih dahulu kembali mengkaji beberapa hal mengenai kompleks rantai singular yang
terkait dengan hasil tambah langsung.
Definisi 2. Misalkan X adalah ruang topologi dan
dengan
koleksi berideks dari kompleks rantai singular. Maka hasil tambah langsung dari
dinotasikan dengan
adalah
untuk
.
Hasil tambah langsung dari kompleks rantai singular yaitu
adalah sebuah kompleks
.
rantai singular dengan operator batasnya didefinisikan dengan
Teorema 2.1. Misalkan X adalah ruang topologi dan
dengan
adalah
.
koleksi berideks dari kompleks rantai singular. Maka
Bukti.
Diketahui
adalah koleksi berindeks dari kompleks rantai singular. Maka
dan
.
Jadi
.
Diberikan sebuah ruang topologi X dan didefinisikan suatu relasi ekuivalen diantara titik x dan
titik y dalam X yaitu sebagai berikut:
jika dan hanya jika terdapat sebuah lintasan dalam
ruang topologi X dari x ke y.
Teorema 2.2. Miaslkan X adalah ruang topologi. Maka relasi adalah relasi ekuivalen.
Bukti.
(i). Ambil sembarang titik x dalam X. Pilih pemetaan kontinyu
yang didefinisikan
dengan
untuk
. Jelas bahwa
. Jadi relasi
bersifat refleksif.
(ii). Ambil sembarang x dan y dalam X. Tulis
adalah suatu lintasan dalam X yang
menjadikan
. Kemudian pilih
yang didefinisikan dengan
untuk
. Jelas
dan
. Jelas
. Jadi relasi bersifat simetris.
(iii). Ambil sembarang titik x, y dan z dalam X. Misalkan
adalah suatu lintasan dalam
X yang menjadikan
dan
adalah suatu lintasan dalam X yang menjadikan
.
Pilih sebuah lintasan
yang didefinisikan dengan
. Jelas
dan
. Akibatnya
. Jadi relasi bersifat transitif.
Kelas ekuivalensi terhadap relasi yang memuat suatu titik x pada X dikatakan komponen
lintasan dari X.
Contoh 2. Misalkan
adalah himpunan bilangan real dengan topologi biasa dan
adalah
subruang dari yang terdiri dari semua bilangan rasional dengan topologinya diabngkitkan oleh
topologi pada . Maka komponen lintasan dari
adalah singelton dan merupakan himpunan
terbuka dalam .
M-256
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Teorema 2.3. Misalkan X adalah ruang topologi dan
adalah komponen lintasan dari X,
.
maka
Bukti.
dengan
Definisikan pemetaan
bahwa pemetaan tersebut adalah homomorfisma grup. Ambil sembarang
. Dibuktikan
dan
maka
anggota
.
adalah homomorfisma grup. Ambil sembarang
. Akibatnya
. Jadi haruslah
. Jadi
dalam suatu
adalah terhubung lintasan (karena konveks) maka
. Karena
dengan
. Jelas
dan
monomorfisma. Ambil sembarang p- simpleks singular pada
. Karena
X yaitu
anggota
. Jadi
Jadi
.
termuat dalam suatu
termuat
maka terdapat secara tunggal
Jadi
adalah
adalah isomorfisma dan tulis
epimorfisma.
Akibatnya
. Berdasarkan Teorema 2.1
.
dipeoleh
Contoh 3. Mengacu pada Contoh 2, dengan mengaplikasikan Teorema 2.3 dan homologi dari
ruang topologi yang terdiri dari satu titik maka
dengan
adalah banyaknya
komponen lintasan dari .
5. Grup Homologi dari Ruang Topologi bersama dengan Subset Kompaknya
Pada bagian ini akan digunakan suatu struktur internal dari suatu kategori yang
dinamakan sebagai direct limit. Sebelum mendefinisikan direct limit terlebih dahulu
didefinisikan sebuah directed set pada suatu himpunan yaitu sebagi berikut.
Definisi 3. Himpunan I dikatakan directed set dengan relasi terurut sebagian sedemikian hingga
untuk setiap a dan b dalam I terdapat c di I dengan
dan
.
Kemudian setelah mendefinisikan directed set maka didefinisikan direct system dari suatu
himpunan yaitu sebagai berikut.
Definisi 4. Sebuah direct system dari suatu himpunan adalah keluarga dari himpunan
dimana I adalah directed set, dan sebuah fungsi
pernyataan berikut:
(i). adalah pemetaan identitas pada untuk setiap
apabila
yang mengikuti
;
(ii). Jika
maka
.
Dari Definisi 4, sebuah direct system akan diaplikasikan pada keluarga subgrup dari grup
abelian. Diberikan
adalah keluarga subgrup dari grup abelian A ,
adalah
adalah direct system dari subgrup dari grup abelian A bersama
homomorfisma grup dan
dengan
dengan homomorfismanya. Kemudian definisikan sebuah subgrup R dari
.
Definisi 5. Misalkan A adalah grup abelian dan
adalah direct system dari subgrup dari
grup abelian A bersama dengan homomorfismanya. Maka direct limit dari sistem
adalah
dan
maka mereka akan sama dalam direct limit jika untuk suatu k dalam
Catat: Jika
dan
dan
.
I,
Sifat selanjutnya adalah hubungan diantara grup homologi dari suatu ruang topologi bersama
M-257
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
dengan grup homologi dari semua subset kompaknya.
Teorema 5.1. Misalkan X adalah ruang topologi dan
adalah keluarga dari semua subset
kompaknya dengan relasi terurut sebagian. Maka keluarga grup homologi
membentuk
sebuah direct system dimana homomorfismanya dibangkitkan melalui pemetaan inklusi.
Bukti.
(i). Untuk sembarang
maka
mendefiniskan pemetaan identitas. Dengan fungtor
homologi singular diperoleh
adalah homomorfisma identitas diantara grup
homologi. Untuk setiap
.
(ii). Untuk sembarang i,j dan k dalam I yang memenuhi sifat
. Maka terdapat sebuah
komposisi dari pemetaan
. Dengan fungtor homologi singular diperoleh sebuah
.
komposisi dari homomorfisma diantara grup homologi yaitu
membentuk sebuah direct system bersama dengan homomorfismanya.
Jadi
Setelah menunjukkan bahwa
membentuk sebuah direct system bersama dengan
homomorfismanya, akan ditunjukkan bahwa grup homologi dari ruang topologi X isomorfik ke
direct limit dari grup homologi dari semua subset kompaknya.
Teorema 5.2. Misalkan X adalah ruang topologi dan
adalah keluarga dari semua subset
kompaknya dengan relasi terurut sebagian. .Maka
.
Bukti.
Untuk setiap subset kompak dari X yaitu
maka dengan fungtor homologi singular pemetaan
inklusi
membangkitkan homomorfisma inklusi diantara grup homologi
.
. Sekarang andaikan bahwa
dalam R. Maka
Selanjutnya pandang
dari X yang memenuhi sifat
untuk setiap k dan
terdapat subset kompak
dalam
. Pandang diagram komutatif berikut ini.
g
[gambar 5]
dan R termuat dalam
Jelas bahwa
homomorfisma
. Jadi g membangkitkan sebuah
.
adalah
isomorfisma.
Dibuktikan
dibuktikan
bahwa
adalah surjektif. Ambil sembarang kelas homologi
dalam
. Maka x bisa dinyatakan melalui sebuah cycle
Pertama
bahwa
. Karena
adalah kompak maka
adalah “supported” pada himpunan
, yang
kompak dalam X untuk setiap j. Maka
mana adalah kompak karena jumlahnya adalah berhingga. Jadi
untuk suatu I dan
menjadi suatu kelas homologi dalam
. Akibatnya
dan x adalah peta dari
. Jadi
adalah surjektif. Kedua dibuktikan bahwa
injektif. Misalkan
dalam cycle
dengan
Jelas
M-258
adalah
adalah
dalam
dengan
. Setiap
dapat dinyatakan
. Karena cycle ini terbatas maka terdapat sejumlah n + 1 dari
dalam X
kompak.
Definisikan sebuah subset X dengan
Karena
sejumlah n + 1
di
dalam
.
dengan
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
maka
dalam
adalah
. Jadi
Jadi
boundary
dalam R dan R adalah
dalam
maka
dan
adalah injektif.
adalah isomorfisma grup.
KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari tulisan ini adalah jika X adalah ruang topologi yang hanya
. Jika X adalah
terdiri dari satu titik maka struktur grup homologinya adalah
ruang topologi terhubung lintasan maka
adalah komponen lintasan dari X, maka
dan
. Jika X adalah ruang topologi dan
.Terakhir jika X adalah ruang topologi
adalah koleksi semua subset kompaknya maka
.
DAFTAR PUSTAKA
Agustito., D, Fungtor Homologi Singular, Prosiding Seminar Nasional Aljabar, Universitas Negeri
Yogyakarta, 2009.
Schubert., H, Categories, Springer-Verlag, Berlin Heiderberg, 1972.
Spanier., E. H, Algebraic Topology, Tata McGraw-Hill, New-York, 1966.
Vick, James. W, Homology Singular, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, NewYork, 1973.
M-259
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
M-260
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI
Denik Agustito1, Sriwahyuni2
Mahasiswa S2, Jurusan Matematika, Universitas Gajah Mada : Yogyakarta
e_mail: agusto_ugm@yahoo.co.id
Abstrak
Dalam tulisan ini hasil yang diperoleh adalah jika X adalah ruang terhubung lintasan maka
, jika X adalah ruang topologi dan
adalah komponen lintasannya maka
serta jika X adalah ruang topologi dan
subset kompaknya maka
adalah himpunan semua
.
Kata kunci: kompak, terhubung lintasan, topologi.
PENDAHULUAN
Dalam tulisan ini akan disurvei beberapa sifat dari grup homologi dari ruang topologi tertentu,
terutama ruang topologi terhubung lintasan dan sembarang ruang topologi bersama dengan subset
kompaknya. Sifat grup homologinya memiliki peranan penting dalam teori homologi singular
diantaranya adalah untuk menghitung grup homologi dari sphere, sell dan manifold. Batasan
masalah dalam tulisan ini terfokus pada tiga ruang yaitu ruang topologi terhubung lintasan,
komponen lintasan dari suatu ruang topologi dan himpunan semua subset kompak pada suatu ruang
topologi.
Teori kategori dalam tulisan ini akan memainkan peranan penting. Pertama dengan bahasa
kategori,kategori dari ruang topologi bersama dengan pemetaan kontinyunya akan dinotasikan
dengan TOP, kategori dari grup abelian bersama dengan homomorfismanya akan dinotasikan
dengan GRP, kategori dari kompleks rantai singular bersama dengan pemetaan rantai singularnya
akan dinotasikan dengan CC dan kategori dari grup graded bersama dengan homomorfismanya
akan dinotasikan dengan GG. Kedua akan diberikan salah satu dari struktur internal dalam suatu
kategori yaitu mengenai direc limit.
PEMBAHASAN
1. Fungtor Homologi Singular
Diberikan sebuah ruang topologi X maka sebuah p-simpleks singular pada ruang topologi X
dengan
.
adalah sebuah pemetaan kontinyu
dibentuk sebuah grup abelian bebas yang
Kemudian dengan fungtor grup bebas
dibangkitkan melalui himpunan semua p-simpleks singular pada ruang topologi X yang dinotasikan
dengan
. Karena p bergerak secara membesar maka didapat sebuah grup graded yang
dinotasikan dengan
.
Selanjutnya dengan grup graded
dapat dikonstruksi sebuah operator batas
yang memenuhi sifat
untuk
. Grup graded
yang dilengkapi dengan operator batas dinamakan kompleks rantai singular dan dinotasikan dengan
. Selanjutnya diberikan dua buah kompleks singular rantai
maka
(morfisma diantara kompleks rantai singular) jika
dengan
dan
dikatakan pemetaan rantai singular
adalah sebuah koleksi homomorfisma grup
dan diagram berikut adalah komutatif
M-253
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
[gambar 1]
Jadi diperoleh sebuah kategori yang objek-objeknya adalah kompleks rantai singular dan
morfismanya adalah pemetaan rantai singular yang dinotasikan dengan CC. Akibatnya terdapat
sebuah fungtor kovariant dari TOP ke CC yang membangkitkan sebuah ruang topologi X menjadi
sebuah kompleks rantai singular
dan membangkitkan sebuah pemetaan kontinyu
menjadi sebuah pemetaan rantai singular
Fungtor tersebut dinamakan fungtor rantai singular.
.
Sekarang diberikan sebuah kompleks rantai singular
. Kompleks rantai singular
tersebut dapat diilustrasikan dalam barisan grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya
(operator batas) yaitu sebagai berikut
[gambar 2]
Pada kompleks rantai singular dalam gambar 2 bahwa operator batas memenuhi sifat
untuk
dan sifat ini ekuivalen dengan
. Sekarang tulis
dan
. Jelas bahwa
dan
adalah subgroup dari
grup abelian bebas
. Subgrup
dinamakan boundaries berdimensi p-1 dan subgrup
dinamakan cycle berdimensi p-1. Karena p bergerak secara membesar maka boundaries
dan cycles berturut-turut dapat dipandang sebagai grup graded dan dinotasikan dengan
dan
.
Diperoleh fakta bahwa
adalah subgrup dari
maka dapat dikonstruksi sebuah grup
baru yaitu grup faktor
. Grup faktor
dinamakan grup homologi singular
bedimensi-p. Karena p bergerak secara membesar maka grup homologi singular dapat dinotasikan
dengan
pemetaan
terdiri dari koleksi
. Jika diberikan dua buah grup homologi
dan
maka
dikatakan pemetaan diantara grup homologi singular jika
dengan
adalah homomorfisma grup. Pemetaan
merupakan homomorfisma grup graded berderajat-0.
Jadi terdapat sebuah kategori yang objek-objeknya adalah grup homologi singular dan
morfismannya adalah homomorfisma grup berderajat-0 yang disebut dengan kategori grup
homologi singular. Karena grup homologi singular adalah grup graded maka kategori tersebut akan
dinotasikan dengan GG. Jadi terdapat sebuah fungtor dari CC ke GG yang membangkitkan sebuah
kompleks rantai singular menjadi grup homologi dan membangkitkan sebuah pemetaan rantai
singular menjadi homomorfisma grup berderajat-0. Fungtor tersebut dinamakan fungtor homologi
singular.
2.
Grup Homologi dari Ruang Topologi Terhubung Lintasan
Pada bagian ini akan diaplikasikan fungtor homologi singular dari ruang topologi tertentu.
Sekarang diberikan suatu ruang topologi yang hanya terdiri dari satu titik dan dinotasikan dengan
. Himpunan semua p-simpleks singular dari X hanya ada satu. Jadi untuk nilai p manapun
diperoleh sebuah grup abelian bebas
dan bila dinyatakan dalam barisan grup abelian
bebas bersama dengan homomorfismanya menjadi
[gambar 3]
M-254
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Barisan tersebut menghasilkan sebuah grup homologi sebagai berikut
Grup homologi dari ruang topologi yang hanya terdiri dari satu titik digunakan untuk
menghitung grup homologi dari ruang topologi yang bisa dikontraksi (contractible). Selanjutnya
akan diaplikasikan fungtor homologi singular untuk ruang topologi terhubung lintasan. Pengertian
ruang topologi terhubung lintasan akan diberikan dalam definisi berikut ini.
Definisi 1. Misalkan X adalah ruang topologi, titik x dan y berada pada X. Sebuah lintasan dalam
X dari titik x ke titik y adalah sebuah pemetaan kontinyu
sedemikian hingga
dan
. Ruang topologi X dikatakan terhubung lintasan jika setiap dua titiknya
dapat dihubungkan melalui sebuah lintasan dalam X.
Sebuah ruang topologi terhubung lintasan dapat dijumpai pada sebuah sel tertutup satuan dari
ruang
Euclidean
yang
dinotasikan
dengan
dengan
karena untuk setiap dua
dan y dalam
maka terdapat sebuah lintasan dari x ke y yaitu
yang
titik
untuk
. Begitu juga setiap himpunan bagian dari
didefinisikan dengan
yang konveks adalah sebuah ruang topologi
ruang Euclidean
terhubung lintasan dengan topologinya dibangkitkan melalui topologi pada .
Diberikan sebuah ruang topologi terhubung lintasan X. Maka 0-simpleks singular pada X dapat
diidentifikasi dengan sebuah tittik pada X, akibatnya
adalah grup abelian bebas yang
dibangun oleh semua titik-titik pada X. Kemudian untuk 1- simpleks singular pada X dapat
diidentifikasi sebagai sebuah lintasan dari suatu titik pada X ke titik yang lain, akibatnya
adalah grup abelian bebas yang dibangun oleh semua lintasan dalam X. Kemudian pandang barisan
grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya berikut ini.
[gambar 4]
Dari gambar 4 jelas bahwa
. Jadi untuk setiap
dapat dinyatakan secara
hampir
semua
.
Selanjutnya
grup
homologi
berdimensi-0 dari
tunggal sebagai
ruang topologi terhubung lintasan akan diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 1.1. Misalkan X adalah ruang topologi terhubung lintasan. Maka
.
Bukti.
Bukti dari Teorema ini adalah mundur dengan mengaplikasikan teorema fundamental
homomorfisma grup, untuk menghitung
cukup ditunjukkan terdapat
dengan
. Pilih pemetaan
yang
sebuah epimorfisma grup
. Ambil sembarang
dan
dalam
.
didefinisikan dengan
Maka
Jadi
sembarang
.
dengan
mendefinisikan sebuah homomorfisma grup. Ambil
. Maka untuk sembarang
berlaku
. Jadi
dengan
adalah
pemetaan
surjektif.
Akibatnya
dengan
adalah sebuah epimorfisma grup. Kemudian ditunjukkan bahwa
.
diidentifikasi sebagai sebuah
Ambil sembarang 1- simpleks singular pada X yaitu . Karena
lintasan dalam X katakan dari titik x ke titik y maka
akibatnya
. Karena
berakibat
dan
. Selanjutnya ambil sembarang
. Maka
Pilih
maka
terdapat 1- simpleks singular
dan karena X adalah terhubung lintasan, untuk setiap
dengan
dan
untuk a dan b anggota . Jadi
. Maka
M-255
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
dan
. Karena
Akibatnya
Contoh
1.
maka
Grup
homologi
dan
.
berdimensi-0
.
. Karena
maka
dari
sebuah
sel
tertututp
satuan
dengan
dan himpunan konveks
dalam ruang Euclidean
isomorfik ke grup siklik tak hingga.
4.
Grup Homologi dari Komponen Lintasan dalam suatu Ruang Topologi
Untuk mengetahui sifat homologi dari komponen lintaan dalam suatu ruang topologi
terlebih dahulu kembali mengkaji beberapa hal mengenai kompleks rantai singular yang
terkait dengan hasil tambah langsung.
Definisi 2. Misalkan X adalah ruang topologi dan
dengan
koleksi berideks dari kompleks rantai singular. Maka hasil tambah langsung dari
dinotasikan dengan
adalah
untuk
.
Hasil tambah langsung dari kompleks rantai singular yaitu
adalah sebuah kompleks
.
rantai singular dengan operator batasnya didefinisikan dengan
Teorema 2.1. Misalkan X adalah ruang topologi dan
dengan
adalah
.
koleksi berideks dari kompleks rantai singular. Maka
Bukti.
Diketahui
adalah koleksi berindeks dari kompleks rantai singular. Maka
dan
.
Jadi
.
Diberikan sebuah ruang topologi X dan didefinisikan suatu relasi ekuivalen diantara titik x dan
titik y dalam X yaitu sebagai berikut:
jika dan hanya jika terdapat sebuah lintasan dalam
ruang topologi X dari x ke y.
Teorema 2.2. Miaslkan X adalah ruang topologi. Maka relasi adalah relasi ekuivalen.
Bukti.
(i). Ambil sembarang titik x dalam X. Pilih pemetaan kontinyu
yang didefinisikan
dengan
untuk
. Jelas bahwa
. Jadi relasi
bersifat refleksif.
(ii). Ambil sembarang x dan y dalam X. Tulis
adalah suatu lintasan dalam X yang
menjadikan
. Kemudian pilih
yang didefinisikan dengan
untuk
. Jelas
dan
. Jelas
. Jadi relasi bersifat simetris.
(iii). Ambil sembarang titik x, y dan z dalam X. Misalkan
adalah suatu lintasan dalam
X yang menjadikan
dan
adalah suatu lintasan dalam X yang menjadikan
.
Pilih sebuah lintasan
yang didefinisikan dengan
. Jelas
dan
. Akibatnya
. Jadi relasi bersifat transitif.
Kelas ekuivalensi terhadap relasi yang memuat suatu titik x pada X dikatakan komponen
lintasan dari X.
Contoh 2. Misalkan
adalah himpunan bilangan real dengan topologi biasa dan
adalah
subruang dari yang terdiri dari semua bilangan rasional dengan topologinya diabngkitkan oleh
topologi pada . Maka komponen lintasan dari
adalah singelton dan merupakan himpunan
terbuka dalam .
M-256
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Teorema 2.3. Misalkan X adalah ruang topologi dan
adalah komponen lintasan dari X,
.
maka
Bukti.
dengan
Definisikan pemetaan
bahwa pemetaan tersebut adalah homomorfisma grup. Ambil sembarang
. Dibuktikan
dan
maka
anggota
.
adalah homomorfisma grup. Ambil sembarang
. Akibatnya
. Jadi haruslah
. Jadi
dalam suatu
adalah terhubung lintasan (karena konveks) maka
. Karena
dengan
. Jelas
dan
monomorfisma. Ambil sembarang p- simpleks singular pada
. Karena
X yaitu
anggota
. Jadi
Jadi
.
termuat dalam suatu
termuat
maka terdapat secara tunggal
Jadi
adalah
adalah isomorfisma dan tulis
epimorfisma.
Akibatnya
. Berdasarkan Teorema 2.1
.
dipeoleh
Contoh 3. Mengacu pada Contoh 2, dengan mengaplikasikan Teorema 2.3 dan homologi dari
ruang topologi yang terdiri dari satu titik maka
dengan
adalah banyaknya
komponen lintasan dari .
5. Grup Homologi dari Ruang Topologi bersama dengan Subset Kompaknya
Pada bagian ini akan digunakan suatu struktur internal dari suatu kategori yang
dinamakan sebagai direct limit. Sebelum mendefinisikan direct limit terlebih dahulu
didefinisikan sebuah directed set pada suatu himpunan yaitu sebagi berikut.
Definisi 3. Himpunan I dikatakan directed set dengan relasi terurut sebagian sedemikian hingga
untuk setiap a dan b dalam I terdapat c di I dengan
dan
.
Kemudian setelah mendefinisikan directed set maka didefinisikan direct system dari suatu
himpunan yaitu sebagai berikut.
Definisi 4. Sebuah direct system dari suatu himpunan adalah keluarga dari himpunan
dimana I adalah directed set, dan sebuah fungsi
pernyataan berikut:
(i). adalah pemetaan identitas pada untuk setiap
apabila
yang mengikuti
;
(ii). Jika
maka
.
Dari Definisi 4, sebuah direct system akan diaplikasikan pada keluarga subgrup dari grup
abelian. Diberikan
adalah keluarga subgrup dari grup abelian A ,
adalah
adalah direct system dari subgrup dari grup abelian A bersama
homomorfisma grup dan
dengan
dengan homomorfismanya. Kemudian definisikan sebuah subgrup R dari
.
Definisi 5. Misalkan A adalah grup abelian dan
adalah direct system dari subgrup dari
grup abelian A bersama dengan homomorfismanya. Maka direct limit dari sistem
adalah
dan
maka mereka akan sama dalam direct limit jika untuk suatu k dalam
Catat: Jika
dan
dan
.
I,
Sifat selanjutnya adalah hubungan diantara grup homologi dari suatu ruang topologi bersama
M-257
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
dengan grup homologi dari semua subset kompaknya.
Teorema 5.1. Misalkan X adalah ruang topologi dan
adalah keluarga dari semua subset
kompaknya dengan relasi terurut sebagian. Maka keluarga grup homologi
membentuk
sebuah direct system dimana homomorfismanya dibangkitkan melalui pemetaan inklusi.
Bukti.
(i). Untuk sembarang
maka
mendefiniskan pemetaan identitas. Dengan fungtor
homologi singular diperoleh
adalah homomorfisma identitas diantara grup
homologi. Untuk setiap
.
(ii). Untuk sembarang i,j dan k dalam I yang memenuhi sifat
. Maka terdapat sebuah
komposisi dari pemetaan
. Dengan fungtor homologi singular diperoleh sebuah
.
komposisi dari homomorfisma diantara grup homologi yaitu
membentuk sebuah direct system bersama dengan homomorfismanya.
Jadi
Setelah menunjukkan bahwa
membentuk sebuah direct system bersama dengan
homomorfismanya, akan ditunjukkan bahwa grup homologi dari ruang topologi X isomorfik ke
direct limit dari grup homologi dari semua subset kompaknya.
Teorema 5.2. Misalkan X adalah ruang topologi dan
adalah keluarga dari semua subset
kompaknya dengan relasi terurut sebagian. .Maka
.
Bukti.
Untuk setiap subset kompak dari X yaitu
maka dengan fungtor homologi singular pemetaan
inklusi
membangkitkan homomorfisma inklusi diantara grup homologi
.
. Sekarang andaikan bahwa
dalam R. Maka
Selanjutnya pandang
dari X yang memenuhi sifat
untuk setiap k dan
terdapat subset kompak
dalam
. Pandang diagram komutatif berikut ini.
g
[gambar 5]
dan R termuat dalam
Jelas bahwa
homomorfisma
. Jadi g membangkitkan sebuah
.
adalah
isomorfisma.
Dibuktikan
dibuktikan
bahwa
adalah surjektif. Ambil sembarang kelas homologi
dalam
. Maka x bisa dinyatakan melalui sebuah cycle
Pertama
bahwa
. Karena
adalah kompak maka
adalah “supported” pada himpunan
, yang
kompak dalam X untuk setiap j. Maka
mana adalah kompak karena jumlahnya adalah berhingga. Jadi
untuk suatu I dan
menjadi suatu kelas homologi dalam
. Akibatnya
dan x adalah peta dari
. Jadi
adalah surjektif. Kedua dibuktikan bahwa
injektif. Misalkan
dalam cycle
dengan
Jelas
M-258
adalah
adalah
dalam
dengan
. Setiap
dapat dinyatakan
. Karena cycle ini terbatas maka terdapat sejumlah n + 1 dari
dalam X
kompak.
Definisikan sebuah subset X dengan
Karena
sejumlah n + 1
di
dalam
.
dengan
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
maka
dalam
adalah
. Jadi
Jadi
boundary
dalam R dan R adalah
dalam
maka
dan
adalah injektif.
adalah isomorfisma grup.
KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari tulisan ini adalah jika X adalah ruang topologi yang hanya
. Jika X adalah
terdiri dari satu titik maka struktur grup homologinya adalah
ruang topologi terhubung lintasan maka
adalah komponen lintasan dari X, maka
dan
. Jika X adalah ruang topologi dan
.Terakhir jika X adalah ruang topologi
adalah koleksi semua subset kompaknya maka
.
DAFTAR PUSTAKA
Agustito., D, Fungtor Homologi Singular, Prosiding Seminar Nasional Aljabar, Universitas Negeri
Yogyakarta, 2009.
Schubert., H, Categories, Springer-Verlag, Berlin Heiderberg, 1972.
Spanier., E. H, Algebraic Topology, Tata McGraw-Hill, New-York, 1966.
Vick, James. W, Homology Singular, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, NewYork, 1973.
M-259
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
M-260