Terampil Berhitung dengan Teka-teki Matematika
JURNAL PENDIDIKAN & PEMBELAJARAN, VOL. 9, NO. 2, OKTOBER 2002: 99-114
Terampil Berhitung dengan Teka-teki Matematika
Zainuddin
Abstract: This article discusses mathematic puzzles as an effort to help: (a) motivate
mathematic learning,, (b) enhance common sentences to mathematic sentences, (c)
increase students ability in speed counting, and (d) gain arithmatic skill. In
mathematics there are a lot of uniqueness which may be thought of as a mystery for
those who are not familier with it. Using tricks in mathematic puzzles the mystery can
be solved instantly. To be discussed in this article are mystery in mathematics,
determining the answer before the problem, puzzles in number system, mystery in
dates, and puzzles on time Kata kunci: pembelajaran berhitung, teka-teki matematikaMatematika merupakan disiplin ilmu yang mempunyai sifat khas kalau dibandingkan dengan disiplin ilmu yang lain. Karena itu kegiatan brlajar dan mengajar matematika seyogyanya juga tidak disamakan begitu saja dengan ilmu lain. Karena peserta didik yang belajar matematika itupun berbeda-beda pula kemampuannya, maka kegiatan bela- jar dan mengajar haruslah diatur sekaligus mem-perhatikan kemampuan yang belajar dan hakekat matematika (Hudojo, 1988: 1). Lebih lanjut Hudojo (1988: 3) mengatakan bahwa matematika berkenaan dengan ide-ide/konsep-konsep abstrak yang tersusun secara hirarkis dan penalarannya deduktif. Hal tersebut membawa akibat kepada bagai- mana terjadinya proses belajar matematika.
Belajar matematika dapat sangat menarik seperti halnya belajar membaca buku cerita misterius. Dalam belajar matematika terdapat banyak teka-teki, trik-trik, ide-ide yang sangat menarik, dan bisa menjadi tantangan yang mengasyikkan untuk dikerjakan. Bila Anda dalam belajar matematika dengan cara membaca sendiri, Anda akan mene- mui banyak ide-ide baru yang sangat menarik. Perhitungan adalah bagian penting dari hampir semua cabang matematika. Tulisan ini akan menyajikan beberapa rahasia dan manfaat perhitungan yang menakjubkan serta dapat memicu kreativitas dan kecerdasan. Karena banyaknya masalah-masalah yang aneh dan menakjubkan dalam teka-teki mate- matika sehingga para pembaca senantiasa tertarik untuk mengetahui apa sebenarnya yang membuat aneh atau menakjubkan dalam perhitungan melalui teka-teki matematika tersebut. Dengan ketertarikan untuk mengetahui sesuatu yang aneh atau yang dianggap misterius dalam hal perhitungan melalui teka-teki matematika, para pembaca akan sela- lu merasa senang dan ceria melakukan perhitungan yang pada akhirnya dapat mening-
Zainuddin adalah dosen Pendidikan Matematika, Pendidikan MIPA FKIP Universitas Tadulako, Palu.
100 JURNAL PENDIDIKAN & PEMBELAJARAN, VOL. 9, NO. 2, OKTOBER 2002: 99-114
katkan keterampilan berhitung bagi para pembaca, serta memungkinkan menemukan teka-teki yang bermanfaat. baik pada diri pembaca maupun bagi orang lain.
Untuk lebih memahami tulisan ini, tentu saja Anda harus membedakan bila mem- baca tulisan ini dengan membaca suatu cerita. Untuk memulainya hendaklah membaca tuisan ini dengan perlahan-lahan. Anda jangan heran jika tidak terlalu memahami setiap kalimat atau setiap paragraf pada saat pertama kali membacanya. Bersabarlah, dan biasakanlah membaca matematika dengan memegang pensil dan sediakan kertas. Jika Anda berlatih sesuai dengan petunjuk yang diberikan, akan memudahkan Anda memba- ca tulisan ini. Tulisan ini akan membuat Anda senang melakukan perhitungan kalkulasi tertulis atau dengan mencongak tanpa paksaan tapi dilakukan dengan ceria.
TEKA-TEKI DALAM SISTEM BILANGAN Ganjil atau Genap?
Suruhlah teman Anda menggenggam biji kacang ditangan kiri dan kanan dengan syarat salah satu menggenggam jumlah biji genap dan yang lain ganjil. Mintalah teman Anda untuk mengalikan dengan 2 pada tangan kiri dan mengalikan dengan 3 pada ta- ngan kanan. Kemudian tanyakan jumlah akhir pada kedua hasil perhitungan, dengan demikian maka Anda dapat menerka dengan tepat yang mana menggenggam ganjil dan mana menggenggam genap. Aturan menerka adalah sebagai berikut.
- Jika jumlah totalnya ganjil, maka genggaman di tangan kanan ganjil
- Jika jumlah totalnya genap, maka genggaman di tangan kiri ganjil Umpamanya tangan kiri menggenggam 7 biji kacang dan tangan kanan menggenggam 10 biji kacang. Kalikan dengan 2 jumlah di tangan kiri, 2(7) = 14 Kalikan dengan 3 jumlah di tangan kanan, 3(10) = 30 Total, 14 + 30 = 44. Karena jumlah totalnya 44 adalah genap, maka menurut aturan tersebut di atas yang ganjil berada di tangan kiri. Selanjutnya kita ikuti penjelasan secara aljabar teka-teki ini.
Bilangan genap adalah bilangan yang dapat dibagi 2, yang berarti bahwa bilangan genap dapat disimbolkan dengan 2G dan G bilangan bulat. Bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi dengan 2 bersisa satu. Dengan demikian, bilangan ganjil dapat disimbolkan dengan 2G + 1. Penjelasan tersebut adalah sebagai berikut (Tabel 1).
Tabel 1. Langkah-Langkah Pengerjaan
Kasus Langkah-Langkah Pengerjaan
Ganjil ada di tangan kiri
2G + 1 1 Genap ada di tangan kanan
2G 2 Biji di tangan kiri kalikan dengan 2 2(2G +1) = 4G +2, (genap) 1 1
1 Biji di tangan kanan kalikan dgn. 3 3(2G ) = 6G (genap) 2 2 Jumlahkan di sebelah kiri dan kanan 2(2G + 1) + 3(2G ) = 2(2G + 1 + 3G ), 1 2 1 2 (genap, maka bisa dibagi 2) Genap ada di tangan kiri
2G 1 Ganjil ada di tangan kakan
2G 2 + 1
2 Biji di tangan kiri kalikan dengan 2 2(2G ) = 4G , (genap) 1 1 Biji di tangan kanan kalikan dgn. 3 3(2G + 1) = 6G + 3, (ganjil) 2 2
Zainuddin, Terampil Berhitung dengan Teka-Teki Matematika 101
Nilai Tempat
Teka-teki berikut ini memerlukan pengetahuan tentang nilai tempat suatu bilang- an. Misalnya bilangan 497 dalam sistem bilangan kita berarti 4(100) + 9(10) + 7.
Tabel 2. Langkah-Langkah Pengerjaan Langkah Perintah Pengerjaan
1 Pilih sebarang bilangan 4 angka 7356, (misalnya)
2 Tulis angka ribuan
7
3 Tulis angka ribuan dan ratusan
73
4 Tulis angka ribuan, ratusan dan puluhan 735
5 Jumlahkan bilangan-bilangan tersebut 7 + 73 + 735 = 815
6 Kalikan dengan 9 9(815) = 7335 7 jumlahkan angka-angka pada langkah 1). 7 + 3 + 5 + 6 = 21
8 Tambahkan hasil 7) dengan hasil 6). 21 + 7335 = 7356 Jawabannya akan selalu sama dengan bilangan yang dipilih pada awal teka-teki tadi.
Penjelasan teka-teki ini sangat berhubungan dengan prinsip nilai tempat dalam sistem bilangan. Pilih sebarang bilangan 4 angka dapat ditulis sebagai abcd yang berarti bahwa: a(1000) + b(100) + c(10) + d, (a ≠ 0) Jumlahkan tiga bilangan seperti berikut: a + ab + abc = a + (10a + b) + ( 100a + 10b + c) = a(111) + b(11) + c(1) Kalikan dengan 9 = a(999) +b(99) + c(9) Tambahkan dengan jumlah angka-angka bilangan semula: a(999) + b(99) + c(9) + a + b + c + d = a(1000)+b(100)+c(10)+d Bilangan ini adalah bilangan yang dipilih pada awal teka-teki.
Teka-Teki dengan Kuadrat
Teka-teki matematika berikut ini adalah cara pengkuadratan suatu bilangan yang tidak diketahui. Pilih sebarang bilangan, misalnya 5.
2 Kuadratkan
5 = 25
2
2 Kuadratkan bilangan berikutnya 5+1) = 6 = 36
Carilah selisihnya 36 – 25 = 11 Kurangi dengan 1 kemudian bagi dengan 2 11 -1 = 10 : 2 = 5 Bukti secara aljabar adalah sebagai berikut: Ambillah sebarang bilangan K
2 Kuadratkanlah bilangan itu K
2
2 Kuadratkan pula bilangan berikutnya (K + 1) = K + 2K + 1
2
2 Carilah selisih kedua hasil pengkuadratannya K + 2K + 1 - K = 2K+1
Kurangi 1 kemudian bagilah dengan 2
2K+1 – 1 = 2K : 2 = K Pada teka-teki ini Anda menanyakan hasilnya pada langkah ke-4, kemudian Anda menerka menurut langkah ke-5.
Menjadi Tukang Sihir dalam Perhitungan
Mungkin suatu saat Anda melakukan perhitungan yang sangat cepat, sehingga teman Anda merasa heran, bagaimana Anda mampu melakukan perhitungan tersebut.
102 JURNAL PENDIDIKAN & PEMBELAJARAN, VOL. 9, NO. 2, OKTOBER 2002: 99-114
Mintalah dua teman Anda menuliskan masing-masing sebuah bilangan dengan 4 angka.Misalnya 1962 dan 1971. Mintalah salah seorang mengalikan kedua bilangan itu: 1 9 6 2
1 9 7 1 x 1 9 6 2 1 3 7 3 4 1 7 6 5 8 1 9 6 2 + 3 8 6 7 1 0 2
Dengan mencongak Anda menghitung (10000 – 1962) dan (1971 – 1). Yakni, 8038 dan 1970. Mintalah teman Anda yang satu lagi mengalikan 8038 dan 1970 8 0 3 8
1 9 7 0 x 0 0 0 0 5 6 2 6 6 7 2 3 4 2 8 0 3 8 + 1 5 8 3 4 8 6 0
Sebaiknya kedua teman diminta memeriksa perhitungannya. Mintalah mereka menjumlahkan hasilnya. Pada saat mereka sedang melakukan tugas ini, Anda menulis jawabannya: 19.701.962. Tentunya mereka terheran-heran.
Kedua teman menjumlahkan : 3 8 6 7 1 0 2 1 5 8 3 4 8 6 0 + 1 9 7 0 1 9 6 2 Ternyata jawaban Anda cocok dengan hasil perhitungan teman Anda.
Bukti secara aljabar adalah sebagai berikut: Dua orang teman menulis bilangan 4 angka H dan Z Orang pertama mengerjakan perkalian HZ Anda mencongak (10000 - H) dan (Z – 1).
Teman yang satu lagi mengalikan bilangan-bilangan ini, (10000 – H) (Z – 1) = 10000Z – 10000 – HZ + H = 10000(Z – 1) – HZ + H Mereka diminta mengerjakan hasil perkaliannya; HZ + (10000Z – 1) – HZ + H = 10000(Z – 1) + H Hasil ini menunjukkan bahwa Anda dapat segera menulis jawabannya. Empat tempat pertama dari jawaban adalah angka-angka Z – 1 dan empat angka berikutnya adalah H.
Pada contoh di atas H adalah 1962 dan Z adalah 1971. Dengan demikian Anda segera dapat menulis jawabannya yaitu; 19.701.962. Empat angka pertama adalah Z – 1, yakni 1970, dan empat angka terakhir adalah H, yakni 1962.
Usia Guru Matematika Di suatu sekolah, seorang guru matematika ditanya berapa usianya oleh muridnya.
Namun guru tersebut tidak secara langsung menjawabnya, akan tetapi memberikan teka-teki matematika seperti berikut.
Zainuddin, Terampil Berhitung dengan Teka-Teki Matematika 103
Anak saya 26 tahun lebih muda dari saya. Anak saya 27 tahun lebih tua dari
cucu saya. Usia cucu saya ditambah dengan usia saya adalah 77 tahun.
Berapakah usia guru matematika tersebut?.Prosedur menjawabnya adalah sebagai berikut. Usia guru matematika ditambah dengan usia cucunya adalah 77 tahun, dan perbedaan antara usia mereka adalah 26 + 27 = 53 tahun, jumlah dari usia ini harus sama dengan dua kali usia guru matematika tersebut. Karena usianya secara aritmetika adalah 77 dan 53, maka: Usia guru matematika tersebut adalah (77 + 53) : 2 = 65 tahun Usia anaknya adalah 65 – 26 = 39 tahun Usia cucunya adalah 39 – 27 = 12 tahun Prosedur secara matematika seperti berikut.
G = usia guru matematika C = Usia cucu guru matematika G + C = 77 G – C = 53 +
2G = 130 Jadi G = 65, dan C = 12
TEKA-TEKI DALAM MATEMATIKA Keajaiban Matematika
Dalam belajar matematika banyak keajaiban-keajaiban yang dapat ditemukan, apalagi bila keajaiban dianggap sangat menantang, sehingga teman-teman Anda me- nyangka bahwa Anda mempunyai kelebihan yang ajaib. Dalam tulisan ini banyak masalah yang dapat memberikan Anda kemampuan khusus. Misalnya Anda dapat menebak berapa banyak uang dalam saku milik teman Anda, alamatnya, banyaknya anggota dalam keluarganya, berapa nomor teleponnya, dan bahkan umur mereka dapat Anda ketahui, tentunya sedapat mungkin Anda dapat membuat orang lain berpikir bahwa Anda mempunyai kelebihan yang spesifik.
Kelebihan-kelebihan tersebut sebenarnya tidak terletak pada kelebihan spesifik, namun karena terletak pada kehebatan dan keindahan dunia matematika. Setiap masalah atau trik atau teka-teki dalam tulisan ini mempunyai landasan matematis. Akibatnya, Anda bukan saja melihat bagaimana masalah itu bertingkah laku dan cara bertindaknya, akan tetapi Anda juga dapat mengembangkan masalah tersebut lebih jauh lagi dengan tipe yang serupa. Memang, tidak terbatas banyaknya trik matematis yang dapat Anda kembangkan sendiri, juga terdapat banyak cara yang menarik yang dapat Anda gunakan dari materi ini.
Angka Akhir Selalu 1 (Satu)
Mungkin Anda punya pengalaman dengan teman Anda untuk menerka angka dari angka yang Anda pikirkan? Ataukah mungkin saja Anda diminta oleh teman Anda untuk mengambil salah satu angka sekehendak hati dan mengerjakan sesuatu terhadap- nya, seperti menambah, mengurang, mengalikan, dan membagi oleh suatu angka lain. Sekarang jelas bahwa cara ini akan selalu memberikan angka akhir 1. Cara ini menggunakan prinsip matematis. Dalam menjelaskan cara ini digunakan huruf K, yang berfungsi memegang tempat yang dapat digantikan oleh sebarang angka. Dengan demi-
2 bentuk ini di dalam aljabar disebut identitas, yakni persamaan yang selalu berlaku benar untuk setiap nilai K yang diberikan.
4 Kurangi dengan 4 44 – 4 = 40
Jika pengerjaan langkah 1 sampai 6 dituliskan akan menjadi bentuk sebagai berikut: 2(K + 3)- 4
6 Kurangi dengan angka semula (K + 1) – K = 1
5 Bagi dengan dengan 2 (2K + 2) : 2 = K + 1
4 Kurangi dengan 4 (2K + 6) – 4 = 2K + 2
3 Kalikan dengan 2 (K + 2)2 = 2K + 6
2 Tambahkan dengan 3 K + 3
1 Ambil sembarang angka K
Tabel 5. Prosedur Menerka Angka yang Dipikirkan Secara Aljabar Langkah Perintah Pengerjaan
Jika pengerjaan Anda benar, maka hasil dari langkah 5 di kurangi dengan angka awal selalu 1. Jadi pada langkah 5 teman Anda akan bertanya hasilnya. Jika Anda men- jawab 20, maka teman anda akan segera tahu bahwa angka yang anda pikirkan sejak awal adalah 19. Prosedur secara aljabar adalah sebagai berikut.
6 Kurangi dengan bilangan semula 20 – 19 = 1 Angka yang Anda pilih tadi adalah 20 ─ 1 = 19
5 Bagi dengan 2 40 : 2 = 20
3 Kalikan dengan 2 22 x 2 = 44
104 JURNAL PENDIDIKAN & PEMBELAJARAN, VOL. 9, NO. 2, OKTOBER 2002: 99-114
2 Tambahkan dengan 3 19 + 3 = 22
19
1 Pilih sembarang bilangan
Tabel 4. Menerka Angka yang Dipikirkan Langkah Perintah Pengerjaan
Jika pengerjaan Anda benar, maka teman Anda akan dapat menerka angka yang Anda pikirkan tadi dengan tepat. Umpamanya anda memilih angka 19 untuk disem- bunyikan. Kemudian teman Anda menyuruh melakukan keenam langkah seperti di atas.
5 Bagilah dengan 2 6 Kurangkan dengan angka awal tadi.
4 Kurangi dengan 4
3 Kalikan dengan 2
2 Tambahkan dengan 3
1 Ambilah salah satu angka
Tabel 3. Langkah-Langkah Menerka Angka yang Dipikirkan Langkah Perintah
Kemudian, bila hal ini dianggap ajaib, maka teman Anda mengatakan angka yang Anda pikirkan tadi, meskipun ia tidak tahu angka berapa yang Anda ambil pada awal tadi. Marilah kita mencoba trik seperti ini. Ikutilah langkah-langkah berikut.
- K = 1
Zainuddin, Terampil Berhitung dengan Teka-Teki Matematika 105
kian K disebut variabel, dan himpunan bilangan yang dapat menggantikan K disebut
himpunan pengganti. Kemudian kita menggunakan operasi-operasi hitung untuk me-
nyatakan ungkapan yang memuat variabel. Cabang matematika yang mengungkapkan operasi aritmetik dan variabel disebut aljabar.
Angka Akhir Selalu 5 (lima)
Suruhlah teman Anda memilih angka dan melakukan perintah operasi hitung da- lam posisi Anda membelakanginya. Ternyata hasil perintah terkhir, Anda akan dapat menerka angka yang dipilih teman itu dengan tepat.
Tabel 6. Menerka Angka yang Dipikirkan Langkah Perintah Pengerjaan
1 Pilih sembarang angka
18
2 Tambahkan angka berikutnya 18 + 19 = 37
3 Tambahkan dengan 9 37 + 9 = 46
4 Bagilah dengan 2 46 : 2 = 23
5 Kurangi dengan angka semula 23 – 18 = 5 Pada langkah 4, Anda tanyakan berapa hasilnya?. Teman Anda menjawab 23.
Anda segera dapat menerka angka yang dipilih pada langkah 1, yakni; 23 – 5 = 18. Prosedur secara aljabar adalah sebagai berikut.
Tabel 7. Prosedur Menerka Angka yang Dipikirkan Secara Aljabar Langkah Perintah Pengerjaan
1 Pilihlah sembarang angka K
2 Tambahkan angka berikutnya K + (K + 1) = 2K + 1
3 Tambahkan dengan 9 (2K + 1) + 9 = 2K + 10
4 Bagiah dengan 2 (2K + 10) : 2 = K + 5
5 Kurangi dengan 5 (K + 5) – 5 = K
Dengan demikian cara atau teka-teki disini adalah prinsip aljabar. Identitas aljabar yang digunakan disini adalah: ( K ( K 1 ) + + + 9 )
∑
5 K = +
2 TETAPKAN JAWABAN LEBIH DAHULU KEMUDIAN MENCARI SOAL
Menerka Jumlah Uang dalam Saku Teman
Mintalah kesediaan teman Anda untuk menukarkan uang sakunya dalam pecahan ratusan (dalam angan-angan saja), misalnya jumlah uang saku teman Anda adalah Rp. 8.500,- berarti ada 85 pecahan uang seratusan (tidak perlu mengatakannya kepada Anda). Selanjutnya lakukan perintah-perintah berikut (Tabel 8). Tanyakan hasil akhir, dan teman Anda menjawabnya dengan 859, kemudian dengan segera Anda menerka bahwa uang saku teman Anda itu adalah Rp. 8.500,- yaitu dengan hilangkan angka 9 dari angka 859, sehingga angka yang tertinggal adalah angka 85 dalam pecahan ratusan.
106 JURNAL PENDIDIKAN & PEMBELAJARAN, VOL. 9, NO. 2, OKTOBER 2002: 99-114 Tabel 8. Menerka Jumlah Uang Saku Teman Langkah Perintah Pengerjaan
1 Kalikan dengan 2 85 x 2 = 170
2 Tambahkan dengan 3 170 + 3 = 173
3 Kalikan dengan 5 173 x 5 = 865
4 Kurangi dengan 6 865 – 6 = 859 Prosedur pengerjaan secara aljabar masalah di atas adalah sebagai berikut.
Misalnya, uang saku teman Anda (dalam ratusan) R.
Tabel 9. Prosedur Pengerjaan Secara Aljabar Langkah Perintah Pengerjaan
1 Kalikan dengan 2
2R
2 Tambahkan dengan 3
2R + 3
3 Kalikan dengan 5
10R + 15
4 Kurangi dengan 6
10R + 9 T eka-teki seperti di atas dapat pula diterapkan untuk menerka angka-angka seperti
umur, nomor rumah, nomor telepon dan sebagainya.
Menerka Umur Sekalian dengan Jumlah Uang Saku Teman
Suruhlah teman Anda menuliskan umurnya (dalam tahun) dan jumlah uang saku- nya (dalam ratusan rupiah) pada secarik kertas dan sembunyikan. Misalkan teman Anda berumur 32 Tahun dan uang sakunya Rp. 4500.- Mintalah teman Anda melakukan operasi-operasi sebagai berikut.
Tabel 10. Menerka Umur dan Uang Saku Teman
Langkah Perintah Pengerjaan
1 Umur teman Anda
32
2 Kalikan dengan 4 32 x 4 = 128
3 Tambahkan dengan 10 128 + 10 = 138
4 Kalikan dengan 25 138 x 25 = 3450
5 Kurangi dengan 365 (jumlah hari dalam setahun bukan kabisat) 3450 – 365 = 3085
6 Tambahkan dengan 85 (uang saku Anda dalam ratusan) 3085 + 85 = 3170
7 Tambahkan dengan 115 3170 + 115 = 3285
Setelah teman Anda menyelesaikan operasi seperti di atas, segera Anda dapat menerka dengan tepat umur dan uang saku teman Anda, yakni angka 32 dari 3285 menandakan bahwa umur teman Anda 32 tahun dan angka 85 dari 3285 merupakan jumlah uang sakunya hari ini Rp. 8500,- (85 dikalikan dengan 100 dalam benak). Prosedur pengerjaan secara aljabar adalah sebagai berikut.
Tabel 11. Prosedur Pengerjaan Secara Aljabar Langkah Perintah Pengerjaan
1 Umur teman Anda (disembunyikan) U
2 Kalikan dengan 4
4U
3 Tambahkan dengan 10
4U + 10
4 Kalikan dengan 25 (4U+10) 25 =100U +250
5 Kurangi dengan 365 (jumlah hari dalam setahun bukan 100U + 250 – 365 = 100U – kabisat) 115
6 Tambahkan dengan 85 (uang saku Anda dalam ratusan) 100U – 115 + S
Zainuddin, Terampil Berhitung dengan Teka-Teki Matematika 107
Menerka Tanggal dan Bulan Kelahiran
Teka-teki dalam matematika ini dapat memberikan kemampuan kepada Anda untuk menerka bulan dan tanggal lahir teman Anda. Berikan dulu bilangan-bilangan kepada bulan berturut-turut: Januari = 1, Pebruari = 2, Maret = 3, April = 4, dan seterusnya.
Setelah itu mintalah agar teman Anda mengerjakan perhitungan berikut ini. Dan setelah teman Anda memberitahukan jawaban pada akhir perhitungan, Anda akan segera dapat mengatakan bulan dan tanggal lahirnya.
Misalkan temanmu lahir pada tanggal 10 Desember.
Tabel 12. Menerka Tanggal Lahir Langkah Perintah Pengerjaan
1 Kalikan bilangan bulan dengan 5 12 x 5 = 60
2 Tambahkan dengan 7 60 + 7 = 67
3 Kalikan dengan 4 67 x 4 = 268
4 Tambahkan dengan 13 268 + 13 = 281
5 Kalikan dengan 5 281 x 5 = 1405
6 Tambahkan dengan tanggal lahir 1405 + 10 = 1415
Mintalah jawaban terakhirnya. Dan dengan mencongak kurangi jawaban itu yaitu 1415 dengan 205 diperoleh 1210. Bilangan 12, dalam jawaban 1210, berarti bulan Desember, dan bilangan 10 berarti tanggal 10. Hal ini menunjukkan bahwa teman Anda lahir pada tanggal 10 Desember. Prosedur secara aljabar adalah sebagai berikut. Misalkan B = bulan kelahiran, dan H = hari kelahiran.
Tabel 13. Prosedur Pengerjaan Secara Aljabar Langkah Perintah Pengerjaan
1 Kalikan bilangan bulan dengan 5
5B
2 Tambahkan dengan 7
5B + 7
3 Kalikan dengan 4 (5B + 7) 4 = 20B + 28
4 Tambahkan dengan 13
20B + 28 + 13 = 20B + 41
5 Kalikan dengan 5 (20B + 41) 5 = 100B + 205
6 Tambahkan dengan tanggal lahir 100B + 205 + H = (100B + H) + 205
Jika Anda mengurangi dengan angka 205, diperoleh 100B + H, yang menunjukkan bilangan bulan B, dan bilangan tanggal H.
MISTERI PENANGGALAN (KALENDER) Menentukan Hari Paskah
Sebagaimana kita ketahui bahwa penanggalan memainkan peranan yang sangat penting dalam pelajaran sejarah, namun kita sering melihat aspek matematis dalam penanggalan ini. Sejak penanggalan menandakan hari-hari dengan bilangan-bilangan, maka penanggalan bergantung pada matematika untuk membangun dasar-dasarnya. De- ngan alasan inilah, maka penanggalan dapat menjadi sumber banyak misteri matematis.
Mungkin anda tahu Minggu Paskah (Orang Kristiani menyebutnya Paskah Perta-
108 JURNAL PENDIDIKAN & PEMBELAJARAN, VOL. 9, NO. 2, OKTOBER 2002: 99-114
Kadang-kadang jatuh pada bulan Maret, kadang-kadang jatuh pada bulan April. Tahun 325 Masehi, The Council of Nicaea menerbitkan rumusan bahwa “Minggu Paskah selalu jatuh pada Minggu Pertama setelah Purnama Penuh, yang akan jatuh pada atau sesudah tanggal 21 Maret; dan apabila purnama penuh jatuh pada hari Minggu, hari Minggu Paskah adalah hari Minggu beikutnya”.
Untuk menetapkan hari Minggu Paskah untuk sebarang tahun, haruslah memper- hatikan butir-butir berikut: Tanggal bulan purnama sesudah 21 Maret Hari pada bulan purnama penuh Tanggal Minggu berikutnya. Karl Friedrich Gauss (1777-1855), seorang matematikawan besar Jerman, mengung- kapkan secara matematis cara menetapkan sebagai berikut:
Tabel 13. Nilai Konstanta dari m dan n Menurut Interval Tahun T A H U N KONSTANTA 1582-1699 1700-1799 1800-1899 1900-2000 m
22
23
23
24 n
2
3
4
5
a). Tetapkan konstanta m dan n dari tabel 1 Jadi untuk tahun 1999, m = 24 dan = 5 b). Misalkan a adalah sisa bila bilangan tahun dibagi 4.
1999 = 499
4 sisanya = 3, jadi a = 3 c). Misalkan b adalah sisa bila bilangan tahun dibagi 7 1999 = 285
7 sisanya = 4, jadi b = 4 d). Misalkan c adalah sisa bila bilangan tahun dibagi 19 1999 = 105
19 sisanya = 4, jadi c = 4 e). Misalkan d adalah sisa bila 19c + m dibagi 30
4 ) 24 100
- 19 (
3 = =
30
30 sisanya = 10, jadi d = 10 f). Misalkan e adalah sisa bila 2a + 4b + 6d + n dibagi 7
- 2 (
3 ) 4 ( 4 ) 6 ( 10 )
5
6
16
60
5
87 = = =
12
7
7
7
sisanya = 3, jadi e = 3 Maka Hari Paskah setelah purnama penuh jatuh di hari setelah 21 Maret, dan Hari Paskah adalah tanggal (22 + d + e) Maret atau tanggal (d + e – 9) April. Jadi pada tahun 1999, Minggu Paskah jatuh pada (10 + 3 - 9) = 4 April. Menurut aturan itu, tidak mungkin Pascah jatuh pada bulan Maret sebab; 22 + d + e adalah bilangan yang tidak termasuk pada penanggalan yaitu; 22 + 10 + 3 = 35.
Zainuddin, Terampil Berhitung dengan Teka-Teki Matematika 109
Hari dan Tanggal Suatu Peristiwa
Mungkin Anda sudah mengetahui hari apa “Hari Kemerdekaan Republik Indonesia tanggal 17 Agustus 1945”. Jika Anda belum tahu, ikutilah langkah-langkah berikut ini. Gunakanlah kunci bilangan pada bulan dan hari seperti Tabel 2 berikut.
Tabel 15. Bilangan Kunci Menurut Bulan dan Hari Bilangan Kunci Bulan Hari
Januari
1 Juli Minggu
1 Pebruari
4 Agustus
3 Senin
2 Maret
4 September
6 Selasa
3 April Oktober
1 Rabu
4 Mei
2 Nopember
4 Kamis
5 Juni
5 Desember
6 Jum’at
6 Sabtu Untuk tahun kabisat kunci bilangan bulan Januari adalah 0 dan bulan Pebruari adalah 3.
Misalkan kita ingin mencari hari pada tanggal 17 Agustus 1945 1). Ambillah dua bilangan terakhir dari bilangan tahun 45
45
11 =
4
2). Bagi empatlah bilangan itu dan abaikan sisanya 3). Ambil kunci bilangan bulan Agustus
3 4). Ambil bilangan tanggalnya
17 5). Jumlahkan langkah 1, 2, 3, 4
45+11+3+17=76
76 =
10
7
6). Bagilah hasil penjumlahan pada langkah 5 dengan 7, , sisa = 6 7). Sisa pada langkah 6 menunjukkan kunci bilangan hari 6 = Jum’at Anda dapat mencari hari-hari penting lainnya, umpamanya hari kemerdekaan Amerika Serikat 4 Juli 1776 dan sebagainya.
Perlu diketahui bahwa, untuk tanggal-tanggal selain dari 1900-an, anda harus menambah lagi jumlah pada langkah 5 ; Untuk tahun 1700-an tambah dengan 4
1800-an tambah dengan 2 2000-an tambah dengan
6 2100-an tambah dengan
4 Perhatikan bahwa metode ini hanya berlaku bagi tanggal-tanggal setelah 15 Septembar 1752, yakni model kalender Gregorian.
Jumlah Tanggal dalam Seminggu
Tidak semua cabang matematika yang terkait dengan kalender memusingkan, seperti mencari tanggal Hari Paska di atas. Memang benar bahwa dengan sebuah kalender Anda dapat melakukan teka-teki yang sederhana. Misalnya sediakanlah sebuah kalender mintalah seorang teman memilih 7 hari dalam seminggu yang penuh bilangan tanggal. Pemilihan dapat sebarang bulan dan sebarang minggu asalkan penuh 7 hari dengan bilangan tanggal.
110 JURNAL PENDIDIKAN & PEMBELAJARAN, VOL. 9, NO. 2, OKTOBER 2002: 99-114
Misalnya bulan yang dipilih seperti pada Tabel 3 berikut:
Tabel 16. Hari dan Tanggal dalam Satu Bulan Januari Ahad Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at Sabtu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Anda memilih tanggal 12. Kemudian mintalah ia menjumlahkan bilangan-bilangan tanggal dalam kalender itu selama seminggu, yaitu; 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 Pada saat temanmu sedang menjumlahkan, Anda dapat mengatakannya bahwa jumlahnya adalah menambah 3 pada tanggal hari pertama minggu yang dipilih : 12 + 3 = 15, kemudian dikalikan dengan 7, yaitu; 15 x 7 = 105. Teman Anda harus menemukan jumlah 105 itu.
Dalam teka-teki ini kemampuan anda untuk menemukan jumlah bilangan jauh lebih lebih cepat dibanding dengan teman Anda. Penjelasan secara sederhana dalam matematika harus juga benar. Misalkan tanggal yang dipilih adalah T, kemudian jumlahkanlah bilangan-bilangan mulai dari T yaitu: T + (T+1) + (T + 2) + (T + 3) + (T + 4) + (T + 5) + (T + 6) Atau dapat dituliskan seperti:
7T + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7T + 21 = 7(T + 3) Dengan demikian kita telah membuktikan bahwa jumlah itu dapat dicari dengan menambahkan 3 pada bilangan tanggal hari pertama, kemudian hasilnya dikalikan dengan 7. Metode ini dapat juga digunakan untuk menjulahkan 7 bilangan sebarang yang berurutan.
Selain kalender sebagai alat manusia untuk mengukur waktu, juga jam atau arloji, bagaimana berteka-teki dengan arloji ?
Menetapkan Waktu
Mintalah kesediaan teman Anda menatap sebuah permukaan arloji, dan mintalah ia menunjukkan sebarang angka, misalnya 9 (tidak perlu mengatakannya), cukup dalam hati saja, kemudian mintalah ia membilang mulai dari angka yang dipilih ditambah 1, yakni 10, terus sampai 20 setelah itu ia harus mengatakan stop !. Bersamaan dengan itu anda juga harus membilang, yaitu; 1, 2, 3, . . . ,7. Anda dan teman Anda membilangnya harus bersamaan agar seragam dapat dipergunakan ketukan perlahan. Setelah Anda membilang 8 pada saat itu Anda membilang mundur dari 12 menjadi 11, 10, 9, dst. Jika
Zainuddin, Terampil Berhitung dengan Teka-Teki Matematika 111
teman Anda berkata “stop” Anda akan sampai pada angka 9. Jadi yang dipilih teman Anda adalah jam 09.00. Secara ringkas dapat dilihat seperti pada tabel 4 berikut.
Tabel 17. Jam Pilihan Teman Anda adalah jam 09.00 (dalam hati) Membilang 1
2
3
4
5
6
7
8 Anda Menulis 12 11 10 9 - Tmn. Membilang 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Stop
Bila teman Anda mengatakan stop! pada bilangan 20, Anda akan sampai pada hitungan 9, angka yang dipilih teman Anda adalah 9. Bila diteliti tabel 4, akan tampak bahwa teman Anda telah membilang (20 – 9) langkah. Karena itu bilangan terbesar yang dapat dipilih pada arloji adalah 12. Anda tahu bahwa bagaimana Anda harus membilang paling tidak 8 langkah sebelum teman Anda berhenti membilang pada bilangan 20.
Pada langkah 9 Anda telah melangkah (11 – 8) atau 3 langkah untuk menghitung. Kemudian Anda menghitung mundur 11, 10, dan pada bilangan 9 ketika teman Anda mengatakan stop.
Pilihlah secara umum, jika teman Anda memilih pukul S, kemudian membilang (20 – S) langkah. Setelah ia membilang pada delapan langkah yang pertama, bilangan pada langkah itu masih tersisa (20 – S) – 8. Bilangan inilah yang harus dikurangkan dari 12 untuk memperoleh S. Dengan kata lain, 12 – {(20 – S) – 8} harus menghasilkan S, dan memang demikian seperti terlihat sebagai berikut:
12 – {(20 – S) – 8} = 12 – (20 – S – 8) = 12 – (12 – S) = 12 – 12 + S = S.
Jam dan Dadu
Pada teka-teki ini mintalah teman Anda melambungkan sebuah dadu, dan sem- bunyikan mata dadu yang muncul. Minta pula ia memilih sebuah bilangan, upamanya
10. Teka-teki akan menjadi cepat asalkan bilangan yang dipilih tidak terlalu besar, misalnya di bawah 50. Ia tidak perlu mengatakan bilangan yang dipilihnya.
Selanjutnya mintalah teman Anda menunjuk, angka pada arloji sesuai dengan mata dadu (di dalam hati saja), dan melangkah 10 kali searah perputaran jarum jam. Bilangan pada jam yang diperoleh setelah langkah ke 10 supaya ditulis.
Sekarang mintalah teman Anda mengulangi proses itu, tetapi dengan cara berla- wanan arah jarum jam. Bilangan yang diperoleh pada arloji pada langkah ke 10 supaya ditulis.
Mintalah supaya bilangan-bilangan yang ditulis dijumlahkan, dengan demikian Anda segera mengetahui mata dadu yang diperoleh tadi. Bila jumlahnya 12 atau kurang, maka mata dadu itu adalah setengah jumlah ini.
Jika jumlahnya lebih dari 12, maka mula-mula kurangilah dengan 12 dan kemudian ambillah setengahnya, itulah mata dadu tadi. Periksalah teka-teki ini pada gambar 1 dibawah ini Misalkan mata dadu yang muncul (disembunyikan) adalah 4.
112 JURNAL PENDIDIKAN & PEMBELAJARAN, VOL. 9, NO. 2, OKTOBER 2002: 99-114
12
11
1
10
2
- 9
3
8
4
7
5
6 Gambar 1. Arloji pada Permainan Jam dan Dadu Tabel 18. Perhitungan Langkah Bilangan Jam
Hitunglah 10 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 langkah ke kanan Hitunglah 10 3 2 1 1 1 10 7 8 7 6 langkah ke kiri
2
Bagilah dengan 2; 8 : 2 = 4 4 adalah angka yang muncul pada pelambungan dadu.
Pada bagian pertama teka-teki ini, sebebarnya temanmu menjumlahkan 4 dan 10, yaitu 4 + 10 = 14, tetapi permukaan arloji hanya sampai 12. Perhitungan yang lebih dari 12 pada permukaan jam, anda harus melanjutkan dengan 1, 2, dan seterusnya. Jumlah 14 pada arloji adalah sama dengan hasil jika 14 dikurangi 12.
Pada bagian kedua dari teka-teki ini, sebenarnya teman Anda menggunakan “hitung-jam” untuk mengurangi 10 dari 4. Akan tetapi setelah mengurang 4 dari 4 pada arloji, hasilnya berada diangka 12. Ini sama saja dengan menambah 12 kepada 4 kemudian dikurangi 10.
Secara umum, umpamanya mata dadu yang diperoleh teman Anda adalah P dan bilangan pada arloji yang dipilih adalah q. Kemudian Anda harus menghitung q satuan ke kanan sampai pada angka P + q – 12r, dengan r menyatakan kelipatan 12 sebab angka pada arloji paling tinggi 12 saja.
Kemudian q langkah harus dihitung ke kiri, Anda akan sampai pada P – q + 12s dimana s adalah kelipatan dari 12 karena sifat angka pada arloji. Jumlah dari P + q – 12r dan P – q + 12s adalah 2P + 12 (r – s). Perlu Anda ketahui bahwa baik P + q – 12r maupun P – q + 12s keduanya sama atau kurang dari 12, sehingga jumlah totalnya sama atau kurang dari 24. Ini berarti bahwa r – s haruslah 0 atau 1. Jika r – s adalah 1, Anda harus mengurangi 12 dari jumlah total dan kemudian membagi 2 untuk memperoleh P. Jika r – s adalah 0, dengan membagi totalnya maka diperoleh P.
Jumlah Mata (Titik) Tiga Dadu
Persilakanlah teman Anda melambungkan tiga dadu dengan cara Anda membela- kanginya dan mintalah kepadanya untuk menjumlahkan titik-titik yang muncul. Selan-
Zainuddin, Terampil Berhitung dengan Teka-Teki Matematika 113
jutnya mintalah salah satu dari ketiga dadu dan tambahkan mata dadu pada dasar dadu (bagian yang tidak tampak) kepada jumlah tadi (dua dadu yang tidak dipilih dibiarkan saja tetap di meja). Dadu yang telah dipilih dilambungkan lagi. Biarkan teman Anda menjumlahkan lagi mata yang muncul dengan jumlah total tadi.
Selanjutnya menghadaplah ke teman Anda, dan yakinkan bahwa Anda tidak mungkin mengetahui mana yang dipilih dan dilemparkan lagi itu, akan tetapi bersamaan dengan ini Anda dapat menyebutkan jumlah totalnya.
Yang perlu Anda lakukan adalah menambah 7 kepada apa yang Anda lihat pada titik-titik dadu yang tidak dipilih. Teka-teki ini dengan mudah dijelaskan secara aljabar. Tiga dadu dilemparkan, misalkan titik-titik yang muncul adalah a, b, dan c. Jumlah titik-titik ketiga dadu adalah a + b + c. Salah satu dadu diambil dan dilambungkan titik pada dasar ditambahkan. Perlu diperhatikan bahwa jumlah titik-titik pada permukaan dadu yang berlawanan selalu berjumlah 7. Jadi titik yang berlawanan dengan a adalah 7 – a, yang berlawanan dengan b adalah 7 – b, dan yang berlawanan dengan c adalah 7-c.
Jika a adalah dadu yang dipilih dan titik pada dasar harus dijumlahkan, maka jumlah totalnya adalah: (a + b + c) + (7 – a) = b + c + 7. Lambungkan dadu yang telah dipilih untuk memunculkan titik d, dan jumlah total sekarang adalah: b + c + 7 + d. Yang anda lihat di meja adalah b + c + d. Dan yang teman Anda jumlahkan adalah b + c + d + 7. Jadi Anda hanya perlu menambah 7 dari yang tampak di meja.
Kartu Domino Pelambungan dadu bukanlah satu-satunya cara mengambil bilangan secara acak.
Kartu domino mempunyai beberapa kelebihan dari dadu, sebab domino mempunyai dua kelompok titik. Mintalah kesediaan teman Anda untuk memilih sebarang kartu domino, misalkan seperti pada Gambar 2.
● ● ●
● ● ● ● ● Gambar 2. Contoh Kartu Domino yang Dipilih Tabel 19. Langkah-Langkah Pengerjaan
Langkah Perintah Pengerjaan
1 Salah bilangan sisinya kalikan dengan 5 5 x 5 = 25
2 Tambahkan dengan 8 25 + 8 = 33
3 Kalikan dengan 2 33 x 2 = 66
4 Tambahkan dengan bilangan dari sisi lain domino 66 + 3 = 69
5 Kurangi hasil itu dengan 16 69 – 16 = 53
6 Kedua bilangan (mata) pada domino tadi adalah 5 dan 3
Berikut ini adalah penjelasan secara aljabar: Misalkan dadu yang dipilih bernomor h dan z (Tabel 20). Yang terakhir adalah dua angka sebab 10h adalah tempat pada puluhan, dan z adalah tempat satuan.
114 JURNAL PENDIDIKAN & PEMBELAJARAN, VOL. 9, NO. 2, OKTOBER 2002: 99-114 Tabel 20. Langkah-Langkah Pengerjaan Langkah Perintah Pengerjaan
1 Salah bilangan sisinya kalikan dengan 5 5h
2 Tambahkan dengan 8 5h + 8
3 Kalikan dengan 2 (5h + 8) 2 = 10h + 16
4 Tambahkan dengan bilangan dari sisi lain domino (10h + 16) + z = 10h + z + 16
5 Kurangi hasil itu dengan 16 (10h + z + 16) – 16 = 10h + z KESIMPULAN Berdasarkan uraian di atas, maka dapatlah diambil kesimpulan seperti berikut.
Teka-teki matematika dapat meningkatkan motivasi belajar matematika, mempercepat mengubah kalimat sehari-hari kedalam kalimat matematika, memperlancar masalah mencongak, meningkatkan keterampilan berhitung. Dengan teka-teki matematika kita dapat menebak bilangan yang dipikirkan oleh teman dengan hasil akhir selalu 1 atau hasil akhir selalu 5. Dengan teka-teki matematika, dapat menebak tanggal lahir, umur dan jumlah uang dalam saku teman. Dengan teka-teki matematika, dengan cepat dapat ditentukan Hari Paska, hari dan tanggal suatu peristiwa, jumlah tanggal dalam seminggu. Dengan teka-teki matematika, dengan cepat dapat menetapkan waktu, mene- tapkan jumlah mata (titik) tiga dadu yang dilambungkan, menentukan mata domino yang dipilih oleh teman.
DAFTAR RUJUKAN Alder, I. 1967. The Magic House of Numbers. London: Dobson.
Bakst, A. 1964. Mathematical Puzzlers and Pastimes. New York: Macmilan. Ball, W., Rouse, W. & Coxeter, H.S.M. 1959. Mathematical Recreation and Esseys.
New York: Macmilan. Gardner, M. 1961. Mathematical Puzzlers and Diversions. London: Bell. Hudojo, H. 1988. Mengajar Belajar Matematika. Jakarta: Ditjen Dikti Depdikbud. Ibrahim, R.I. 2000. Teka-Teki Matematika untuk Memicu Kreativitas & Memicu Kecerdasan. Jakarta: Studio Rito.
Niven, I., Zuckerman, H.S. & Montgomery, H.L. 1991. An Introduction to the Theory of Numbers. New York: John Wiley & Sons, Inc. Sukardjono. 1997. Ceria dalam Teka-Teki Matematika: Paket Pembinaan Penataran Depdikbud . Yogyakarta: PPPG Matematika.