RESUME PERKULIAHAN ALJABAR MATRIKS

1. Pengertian Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital ditebalkan (misal matriks A, dituliskan dengan A). Sebagai contoh matriks, perhatikan tabel yang memuat informasi biaya pengiriman barang dari 3 pabrik ke 4 kota berikut ini:

Kota Pabrik

Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 Pabrik 1

4 Pabrik 2

5 Pabrik 3

2 Tabel di atas jika disajikan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut:

Kolom Kolom Kolom Kolom

4 Baris1

A =

5 Baris2

2 Baris3 Matriks di atas, kita sebut saja matriks A, memiliki tiga baris yang mewakili informasi Pabrik (1, 2, dan 3) dan empat kolom yang mewakili informasi Kota (1, 2, 3, dan 4). Sedangkan informasi biaya pengiriman dari masing-masing pabrik ke tiap-tiap kota, diwakili oleh perpotongan baris dan kolom. Sebagai contoh, perpotongan baris 1 dan kolom 1 adalah 5, angka 5 ini menunjukkan informasi biaya pengiriman dari pabrik 1 ke kota 1, dst. Secara umum, bentuk matriks di atas dapat dituliskan seperti berikut: a a a a

14 A = a 21 a 22 a 23 a

31 a 32 a 33 a

dimana, pada notasi elemen matriks, angka sebelah kiri adalah informasi baris sedangkan angka di kanan adalah informasi kolom, contoh a23 berarti nilai yang diberikan oleh baris ke-2 dan kolom ke-3. Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Misalnya, pada matriks di atas unsur 32 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

Contoh : Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 x 3 ditulis A2x3 atau ( a23 ) .Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

2. Macam – macam/ Jenis matriks

Jenis-jenis matriks dapat dibagi berdasarkan ordo dan elemen / unsur dari matriks tersebut.

Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

 Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n. Contoh :  Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )  Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. Contoh :  Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom. Contah :  Matriks datar adalah Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom. Contoh :

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

 Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n, ditulis dengan huruf O. contoh :  Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol. Contah :  Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 . Contoh : Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

 Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama. Contoh :

 Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur- unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I. Contoh :  Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji . Contoh :

3. Operasi hitung matriks

a. Penjumlahan dan pengurangan Matriks Syarat : ukuran matrik harus sama.

Jika A = (aij) dan B = (bij), matrik berukuran sama, maka A + B/ A - B adalah suatu matrik C = (cij) dimana cij = aij + bij / aij - bij untuk setiap i dan j Contoh : Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks 1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif ) 2) (A + B) + C = A + ( B + C) ( Sifat Asosiatif ) 3) A + 0 = 0 + A = A ( Sifat Identitas tambah )

b. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Jika A suatu ordo m x n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA adalah metriks ordo m x n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan perkalian skalar. Jadi Contoh : Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.

Jika a dan b bilangan real, maka : 1) ( a + b )A = aA + bA 2) a ( A + B ) = aA + aB 3) a( bA ) = (ab)A

c. Perkalian Antar Matrik

Syarat Perkalian Dua Matriks Jika matriks A dan matriks B dikalikan, maka :

m x n p x q

 Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya kolom matriks

B, sehingga n = p  Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m x q  Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai

Contoh 1

Diketahui matriks-matriks : Manakah diantara operasi-operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan : a. A x B Dapat, karena ordo matriks A adalah 2x3 dan ordo matriks B adalah 3x2, kolom matriks A sama dengan baris matriks B

b. A x C Tidak, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah

c. B x C Dapat, ordo matriks B adalah 3x2 dan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks B sama dengan baris matriks C d. C x D Tidak, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah

3x2, kolom matriks C tidak sama dengan baris matriks D

4. Definisi determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar. _2x2 Sebagai contoh, kita ambil matriks A a b

A = tentukan determinan A c d untuk mencari determinan matrik A maka, detA = ad - bc Determinan dengan Minor dan kofaktor a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23

A = tentukan determinan A a 31 a 32 a 33

Pertama buat minor dari a ¹¹ ₁₁ a 22 a 23 ₂₂ ₃₃ ₂₃ ₃₂ M = = detM = a a - a a a 32 a 33 ₁₁ Kemudian kofaktor dari a adalah ₁₁ _{1+1 1+1} ₁₁ ₂₂ ₃₃

₂₃

₃₂ c = (-1) M = (-1) a a - a a kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C ij =±M ij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini Begitu juga dengan minor dari a

³²

M ^{32 = = detM = a} ₃₂ ^{11 a} ^{23 - a} ^{13 a} ²¹ Maka kofaktor dari a adalah ₃₂ _{3+2 3+2} ₃₂ ₁₁ ₂₃ ₁₃ ₂₁ c = (-1) M = (-1) x a a - a a

11 ¹¹ ¹² ¹² ¹³ ¹³ det(A) = a C +a C +a C Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama _3x3 Misalkan ada sebuah matriks A A = maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, ₁₁ ₁₂ ₁₃ det(A) = a - a + a ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₂₃ ₃₂ ₁₂ ₂₁ ₃₃ ₂₃ ₃₁ ₁₃ ₂₁ ₃₂ ₂₂ ₃₁ = a (a a - a a ) - a (a a - a a ) + a (a a - a a )

= a ^{11 a} ^{22 a} ^{33 + a} ^{12 a} ^{23 a} ^{31 + a} ^{13 a} ^{21 a} ^{32 - a} ^{13 a} ^{22 a} ^{31 - a} ^{12 a} ^{21 a} ^{33 - a} ^{11 a} ^{23 a} ³² Contoh Soal: A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama Jawab:

det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-

8) + 3(-7) = -8 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris

seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu

faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A 3x3 A = maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, ₁₁ ₂₁ ₃₁ det(A) = a - a + a ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₂₃ ₃₂ ₂₁ ₂₁ ₃₃ ₂₃ ₃₁ ₃₁ ₂₁ ₃₂ ₂₂ ₃₁ = a (a a - a a ) - a (a a - a a ) + a (a a - a a ) ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₂₁ ₂₃ ₃₁ ₃₁ ₂₁ ₃₂

₂₂

₃₁ ₂ ₂₁ ₂ ₃₃ ₁₁ ₂₃ ₃₂ = a a a + a a a + a a a - a (a ) - (a ) a - a a a

Contoh Soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi

kofaktor kolom pertama Jawab: det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(- 8) + 3(-7) = 8 Adjoin Matriks 3 x 3 Bila ada sebuah matriks A 3x3 A = Kofaktor dari matriks A adalah ₁₁ ₁₂ ₁₃ C = -12 C = 6 C = -16 C ^{21 = 4 C} ^{22 = 2 C} ^{23 = 16} C ^{31 = 12 C} ^{32 = -10 C} ^{33 = 16} maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom adj(A) = 5. Sifat – Sifat Det.

Diberikan beberapa sifat penting dalam determinan yaitu :

1. Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka harga determinan = 0.

2. Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom

T atau semua kolom diubah menjadi baris. Dengan kata lain |A|=|A| .

3. Pertukaran tempat antara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda determinan.

Jika baris 1 ditukar dengan baris 2 menjadi Jika kolom 1 ditukar dengan kolom 2 menjadi

4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maha harga determinan itu = 0

5. Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan 0), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut.

Misalkan baris 1 dikalikan dengan 2 maka, Terlihat bahwa | A 1 |=2|A|. Misalkan kolom 1 dikalikan dengan 3 maka,

6. Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang pada baris atau kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (bukan 0) dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang baris atau kolom yang lain.

Terlihat bahwa |A

1 |=|A|

7. Bila A dan B bujursangkar maka |A.B|=|A|.|B|. Buktikan!

8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka hasil determinanya merupakan hasil kali dari elemen- elemen yang terletak pada diagonal utamanya.

6. Invers Matriks

Misalkan: maka inversnya adalah:

Sifat-sifat invers matriks Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:  Jika diketahui matriks A.X=B

 Jika diketahui matriks X.A=B

7. Penerapan Matriks Pada Spl

SPL atau yang biasa disebut sistem persamaan linear mempunyai beberapa cara untuk menyelesaikannya, seperti substitusi, eliminasi, menggunakan grafik kartesius, maupun kombinasi dari cara substitusi-eliminasi. Tetapi pada postingan kali ini, karena masih berhubungan dengan materi sebelumnya tentang

maka akan sedikit membahas tentang pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL).

Jika terdapat persamaan Maka, langkah-langkah menyelesaikan SPL dengan menggunakan matriks sebagai berikut:

1. Susun persamaan tersebut menjadi bentuk matriks

a b x p = c d y q

2. Mencari Himpunan Penyelesaiannya, atau nilai x dan y

1 d − b p

= y ad−bc − c a q

Catatan, perlu diingat kembali: Dari persamaan dan , jika:

a). maka mempunyai banyak Himpunan Penyelesaian (HP)

b). maka tidak mempunyai Himpunan Penyelesaian (HP) Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut: Tentukan HP dari sistem persamaan di bawah ini dengan menggunakan matriks! Jawab:

Dari persamamaan dan diubah menjadi bentuk matriks 5 3 x

14 2 1 y =

1 1 −

y = 5−6 −

x −

y = -1 −

3 Jadi,

RESUME PERKULIAHAN ALJABAR MATRIKS