MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

LEMBAR PENGESAHAN MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA I SEMESTER GENAP 2013 FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS PADJADJARAN

Disusun Oleh:

Tim Asisten Dosen Statistika FE UNPAD

Mengetahui dan Menyetujui, Ketua Program Studi ESP UNPAD

Dr. Mohammad Fahmi, S.E., M.T.

NIP. 197312302000121001

KATA PENGANTAR

Bismillahirahmaanirrahiim Assalamu’alaikum Wr. Wb,

Alhamdulillahirabbil’alamin. Puji Syukur penyusun ucapkan atas segala Rahmat dan Karunia-Nya yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga akhirnya kami dapat menyelesaikan Modul Praktikum Statistika I 2013 ini dengan sebaik- baiknya.

Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Penyusun berharap semoga modul ini dapat bermanfaat dan memberikan kontribusi aktif terhadap dunia akademis.

Akhir kata, tidak ada gading yang tak retak, kesempurnaan hanya milik Allah SWT, penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penyusun nantikan demi perbaikan modul ini ke arah sempurna. Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

YESSICA

HAMDI

DITHA

MEISA

IRSYAD

ARDINA

DEASY

TAUFIK

KARINA

DAFTAR ISI

DISTRIBUSI FREKUENSI 5 UKURAN GEJALA PUSAT

28 UKURAN DISPERSI

56 ANGKA INDEKS

83 ANALISIS DERET BERKALA

99 PELUANG

127 DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS

144 DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

161 APPENDIX

176

DISTRIBUSI FREKUENSI

Ringkasan Teori

Seringkali data yang telah tertumpuk tersedia dalam jumlah yang sangat besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri – cirinya. Oleh karena itu, data yang jumlahnya besar perlu ditata atau diorganisir dengan cara meringkas data tersebut kedalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam tiap kelas yang disebut frekuensi kelas. Bentuk tabel yang mengklasifikasikan setiap individu atau item dari data yang diobservasi ke dalam kelas-kelas tertentu, sehingga setiap individu atau item hanya termasuk ke dalam kelas tertentu saja disebut dengan distribusi frekuensi. Tujuan pengelompokan data ke dalam distribusi frekuensi ialah untuk memperoleh gambaran yang sederhana, jelas dan sistematis mengenai peristiwa yang dinyatakan dalam angka-angka.

Bagian Distribusi Frekuensi

1. Kelas ( Class ) Pengelompokan individu atau item dari data ( Class ) yang diobservasi kedalam batas – batas nilai tertentu

2. Batas kelas ( Class limit ) Bilangan – bilangan yang membatasi kelas – kelas ( class limit ) tertentu, yang memiliki 2 macam pengertian:

a. Batas Kelas / ujung kelas ( State Class Limit ) yaitu bilangan - bilangan yang tertera didalam suatu distribusi frekeuensi yang membatasi kelas – kelas tertentu yang terdiri dari

 Batas bawah kelas / Ujung bawah kelas (Lower State Class limit/ LCL)

Adalah bilangan yang paling kecil yang membatasi kelas tertentu  Batas atas kelas/Ujung atas kelas (Upper State Class limit/ UCL)

Bilangan yang paling besar yang membatasi kelas tertentu

b. Batas kelas sebenarnya / Tepi kelas ( Class Boundaries ) yaitu bilangan – bilangan yang membatasi antara tiap dua kelas yang berurutan, yang terdiri dari :  Batas bawah kelas sebenarnya/tepi bawah kelas ( Lower Class

Boundaries / LCB ) Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas sebelumnya

dengan ujung bawah kelas yang bersangkutan.  Batas atas kelas sebenarnya/tepi atas kelas ( Upper Class Boundaries /

UCB ) Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas yang

bersangkutan dengan ujung bawah kelas yang berikutnya. Rumusnya adalah sebagai berikut :

UCB i = LCB (i+1)

UCB = (UCL i + LCL (i+1) )/2

3. Panjang kelas /Lebar kelas / Ukuran Kelas ( Class interval / Class Size )  Ci Bilangan – bilangan yang menunjukkan panjang / lebar / ukuran dari tiap – tiap kelas yang diperoleh dengan cara mengurangkan batas bawah kelas berikutnya dengan batas kelas yang bersangkutan

4. Frekuensi ( Frequency ) f Angka yang menunjukkan banyaknya data individual yang terdapat dalam satu kelas

5. Nilai tengah/ titik tengah/tanda kelas ( Midpoint / Class Mark )  X Bilangan – bilangan yang dapat mewakili kelas – kelas tertentu yang diperoleh

dengan jalan atau cara merata – ratakan batas kelas yang bersangkutan.

Nilai tengah =

Contoh soal : Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata kuliah Statistika I

Batas kelas

Tepi Kelas

Nilai Tengah

Nilai tengah

Σf

Tahapan untuk menyusun suatu distribusi frekuensi

Secara umum langkah – langkah yang diperlukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :

1. Menyusun urutan (array) dari data yang di observasi Array : data yang disusun berdasarkan urut - urutan

2. Tentukan nilai maksimum ( terbesar ) dan nilai minimum ( terkecil ) dari data mentah, kemudian hitunglah sebaran / rentang/jangkauan/ Range dengan menggunakan :

Rumus :

R=X maksimum -X minimum

3. Menentukan banyaknya kelas ( k ) dengan rumus Sturges

k= 1 + 3,322 Log N

atau

k = 1 + 3,322 log n

N = banyaknya anggota populasi; n = banyaknya anggota sampel

4. Menentukan panjang/lebar/ukuran dari tiap – tiap kelas dengan rumus

5. Menentukan batas – batas kelas serta memasukkan setiap individu/item dari data yang diobservasi kedalam kelas yang bersangkutan

6. Menyusun suatu distribusi frekuensi secara jelas dan lengkap berdasarkan tabel pada tahap 5

Macam – macam Grafik Distribusi Frekuensi • Histogram ( Hystogram )

Suatu bentuk grafik distribusi frekuensi yang merupakan batang – batang yang disusun secara berderet tanpa jarak yang menggambarkan tinggi frekuensi tiap kelas

• Poligon ( Polygon )

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah yang menghubungkan titik tengah histogram tiap kelasnya

• Ozaiv ( Ogive )

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah yang menghubungkan

tinggi

frekuensi

kumulatif dari tiap – tiap kelasnya.

• Kurva Frekuensi ( Frequency Curve / Smoothing Curve)

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis lengkung yang juga merupakan penghalusan dari bentuk poligon sedemikian rupa sehingga luas daerah dibawahnya sama dengan luas daerah dibawah poligon.

Macam – macam Distribusi Frekuensi

a) Distribusi Frekuensi Distrik yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap dua kelas yang berurutan terdapat celah 1 unit / satuan

b) Distribusi Frekuensi Kontinu yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap kelas yang berurutannya terdapat celah sebesar 0 atau bilangan yang mendekati 0

c) Distribusi Frekuensi tertutup yaitu distribusi frekuensi yang seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu

d) Distribusi Frekuensi terbuka yaitu distribusi frekuensi yang tidak seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu, terdiri atas • DF terbuka atas

Adalah DF yang batas bawah kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “

• DF terbuka bawah Adalah DF yang batas atas kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ lebih dari “

• DF terbuka atas bawah Adalah DF yang batas bawah kelas pertama dan batas atas kelas terakhirnya masing – masing tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “ dan “ atau lebih “

e) Distribusi Frekuensi Relatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya dinyatakan dengan bilangan – bilangan tertentu yang berbentuk ratio atau persentase yang jumlah seluruh frekuensinya selalu sama dengan 1 atau 100 %.

f i relatif = ∑

 dalam bentuk ratio

f i relatif = x 100 ∑  dalam bentuk persentase f i relatif = x 100 ∑  dalam bentuk persentase

DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan 0 kemudian ditambahkan secara bertahap dengan frekuensi tiap – tiap kelas dari DF asalnya.

 DF Kumulatif negatif / DF kumulatif atau lebih /DF kumulatif more than DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan jumlah seluruh frekuensi dari DF asalnya kemudian dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap-tiap kelas dari DF asalnya.

Rumus - Rumus Yang Biasa Dipakai Dalam Distribusi Frekuensi

UCB i = LCB (i+1)

Ci i = UCB (i+1) – LCB i

UCB = (UCL i + LCL (i+1) )/2 Ci i =X (i+1) –X i Untuk DF Yang memiliki Ci sama

X i = (LCB+UCB)/2 UCL i = LCL i –( Ci-1 ) Untuk DF Diskrit Ci i = LCL (i+1) – LCL

UCL i = LCL i –( Ci-∆ ) Untuk DF Kontinu

f i kepadatan = (Ci Pokok / Ci i )F i

Contoh Soal : Berikut ini adalah data tinggi badan dari Mahasiswa Fakultas Ekonomi dan Bisnis

Universitas Padjadjaran 125

a) Susunlah data tinggi badan mahasiswa tersebut ( Array ) ?

b) Buatlah ditribusi frekuensinya ?

c) Berapa jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan kurang dari 151 cm dan yang lebih dari 160 cm ?

d) Berapa batas atas kelas ke-3, batas bawah kelas ke-2, tepi bawah kelas ke-4, tepi atas kelas ke-2, dan titik tengah kelas ke-2 ?

Jawab :

a) Array a) Array

Tinggi Badan

Jumlah Mahasiswa

c) Jadi, Jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan kurang dari 151 cm dan yang lebih dari 160 cm = 16 orang + 14 orang = 30 orang

d) Batas atas kelas ke-3 = 150 Batas bawah kelas ke-2 = 131 Tepi bawah kelas ke-4 = 151-0,5= 150,5 Tepi atas kelas ke-2 = 140 + 0,5 =140,5 Titik tengah kelas ke-2 = (130,5+140,5)/2=135,5

SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Berikut adalah data nilai hasil tes tulis Microeconomics Competition dari 50 orang peserta

a. Buatlah array atau susunan data dari nilai hasil tes tulis Microeconomics Competition tersebut !

b. Buatlah distribusi frekuensinya !

c. Berapa jumlah peserta yang memiliki nilai kurang dari 30 dan yang lebih dari 50 ?

d. Berapa batas atas kelas ke-1, batas bawah kelas ke-3, tepi bawah kelas ke-2, tepi atas kelas ke-4, dan titik tengah kelas ke-1 ? Jawaban :

a.

C i == = 6.714 = 7

Tabel Distribusi Frekuensi Kelas

Jumlah peserta yang nilainya kurang dari 30 dan lebih dari 50 adalah 21 + 5 = 26 pegawai

c. Batas atas kelas ke-1 = 22 Batas bawah kelas ke-3 = 30 Tepi bawah kelas ke-2 = 23-0,5 = 22,5 Tepi atas kelas ke-4 = 43 + 0,5 = 43,5 Titik tengah kelas ke-1 = 15,5 + 22,5/2 = 19

2. Berikut ini adalah tinggi badan dari 35 mahasiswa di FEB Unpad 180

a. Susunlah DF asalnya !

b. Berapa banyak mahasiswa yang tinggi badannya minimal 173 ? Jawaban :

a. Array 150

185 Range data tersebut 185 – 150 = 35

k = 1 + 3.322 log 35= 1 + 3.322 (1.6989..) = 6.129394043 = 6

C i == = 5.833 = 6

Distribusi Frekuensi Tinggi Badan

Frekuensi

150-155

156-161

162-167 162-167

3. Distribusi frekuensi kumulatif usia dari 60 orang penduduk Perumahan Permata Hijau di Bandung adalah sebagai berikut :

Usia

Banyaknya Penduduk

Kurang dari 10 Kurang dari 20

Kurang dari 30

Kurang dari 40

Kurang dari 50

Kurang dari 60

Kurang dari 70

Kurang dari 80

a. Susunlah distribusi asalnya

b. Buatlah distribusi frekuensi relatifnya Jawaban : b. Buatlah distribusi frekuensi relatifnya Jawaban :

Distribusi Frekuensi

Usia Penduduk Perumahan Permata Hijau

Usia

Banyaknya Penduduk

b. f 1 = 100% = 6,67%

Distribusi Frekuensi Usia Penduduk Perumahan Permata Hijau

Usia

Frekuensi (%)

10-19

20-29

30-39

40-49

4. The following table shows the monthly-amount of time spent playing football by 400 high school students :

Playing Time

Number

(minutes)

of Students

With this reference of table, determine :

a. The upper limit of the third class, fourth class and sixth class!

b. The class boundaries of the second class and seventh class! b. The class boundaries of the second class and seventh class!

d. The percentage of students whose monthly playing time does not exceed 800 minutes!

e. The percentage of students whose monthly playing time are at least 600 minutes but less than 900 minutes! Jawaban :

a. The upper limit of the third class = 599 The upper limit of the fourth class = 699 The upper limit of the sixth class = 899

b. The lower class boundaries of the second class = 400 – 0,5 = 399,5 The upper class boundaries of the second class = 499 + 0,5 = 499,5 The lower class boundaries of the seventh class = 900 – 0,5 = 899,5 The upper class boundaries of the seventh class = 999 + 0,5 = 999,5

c. DF Relative Playing Time

Number (minutes)

Number

of Students (%) 300-399

of Students

d. The percentage of students whose monthly playing time does not exceed 800 minutes

5. Berikut ini disediakan distribusi relatif nilai ujian statistika dari 70 orang mahasiswa di U niversitas “STA“

Nilai Ujian

Frekuensi relatif

a) Susunlah ke dalam distribusi frekuensi biasa ( distribusi frekuensi asalnya )?

b) Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan atau lebih?

c) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus

Jawab :

a) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus a) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus

jadi : f ,

Tabel 1. Umur mahasiswa universitas “X”

Umur

X Banyaknya Mahasiswa

b) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut :

Umur

Banyaknya Frekuensi Kumulatif Mahasiswa Nilai

Nilai

6. Here is the data of 40 students who take statistics courses based on the their age :

a) Arrange the origin`s frequency distribution?

b) What percentage of the minimum 31-year old college student who majors statistical And how many students over the age of 34 years? Jawab : a.

Mid point = Xn Ci

=X n+1 -X n

X 1 = 23 Tepi Atas

= 2X n – Tb Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci 2(23) – Tb

= Tb + 3

Untuk Tepi bawah kelas 1

46 – Tb = Tb + 3 2Tb

= 46 –3 Tb

= 21,5 -> 22 Ta

X 2 = 26 Tepi Atas

= 2X n – Tb Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci 2(26) – Tb

= Tb + 3

Untuk Tepi bawah kelas 2

52 – Tb = Tb + 3 2Tb

= 52 –3 Tb

= 24,5 -> 25 Ta

X 3 = 29 Tepi Atas

= 2X n – Tb Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci 2(29) – Tb

= Tb + 3

Untuk Tepi bawah kelas 3

58 – Tb = Tb + 3 2Tb

Tb = 27,5 -> 28 Ta

X 4 = 32 Tepi Atas

= 2X n – Tb Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci 2(32) – Tb

= Tb + 3

Untuk Tepi bawah kelas 4

62 – Tb = Tb + 3 2Tb

= 64 –3 Tb

= 30,5 -> 31 Ta

X 5 = 35 Tepi Atas

= 2X n – Tb Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci 2(35) – Tb

= Tb + 3

Untuk Tepi bawah kelas 5

70 – Tb = Tb + 3 2Tb

= 70 –3 Tb

= 33,5 -> 34 Ta

X 6 = 38 Tepi Atas

= 2X n – Tb Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci 2(38) – Tb

= Tb + 3

Untuk Tepi bawah kelas6

76 – Tb = Tb + 3

2Tb = 76 –3 Tb

= 36,5 -> 37 Ta

X 7 = 41 Tepi Atas

= 2X n – Tb Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci 2(41) – Tb

= Tb + 3

Untuk Tepi bawah kelas6

82 – Tb = Tb + 3 2Tb

= 82 –3 Tb

= 39,5 -> 40 Ta

Distribusi Frekuensi Usia Mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistik Usia

b.Jadi. % jumlah frekuensi mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistic minimal berusia 31 tahun adalah b.Jadi. % jumlah frekuensi mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistic minimal berusia 31 tahun adalah

6+2=17 orang

7. Data di bawah ini menunjukan hasil rata-rata gula tebu dalam kuintal per hektar selama periode 1977/1978 di 69 negara.

1054 (Anto Dajan. Pengantar Metode Statistik jilid I Halaman 108)

a) Berdasarkan data di atas buatlah distribusi frekuensinya!

b) Buat Distribusi frekuensi relative “kurang dari” dan “atau lebih” dari data di atas!

Jawab :

a) Carilah banyaknya kelasnya terlebih dahulu k = 1 + 3,322 log 69 = 1 + 3,322 (1,8388) = 6,1084 ambil k = 6

Rentang kelas = R maks –R min = 1054 – 143 = 911 Panjang / lebar kelas =

= 151,83333 ambil 152

Distribusi frekuensi Hasil rata-rata gula tebu dalam kuintal per hektar selama periode 1977/1978di

69 negara. Rata-rata Gula tebu

b) Distribusi frekuensi kurang dari dan atau lebih Hasil rata-rata gula tebu dalam kuintal per hektar selama periode 1977/1978di 69 negara.

Frekuensi kumulatif

Rata-rata gula tebu

f k Kurang dari

Rata-rata gula tebu f k Lebih dari

Kurang dari 143

69 Kurang dari 295

0 143 Atau Lebih

63 Kurang dari 447

6 295 Atau Lebih

48 Kurang dari 599

21 447 Atau Lebih

30 Kurang dari 751

39 599 Atau Lebih

12 Kurang dari 903

57 751 Atau Lebih

4 Kurang dari 1055

65 903 Atau Lebih

69 1055 Atau Lebih

UKURAN GEJALA PUSAT

Ukuran Gejala Pusat (UGP) adalah nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data atau menunjukkan pusat dari nilai data (Suharyadi, Purwanto S.K). Dengan kata lain, ukuran gejala pusat adalah ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan. Maksudnya jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya dan selanjutnya dimasukkan nilai rata-rata ke dalamnya, nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan (tendensi) terletak diurutan paling tengah atau pusat.

Ukuran gejala pusat digunakan sebagai alat untuk membandingkan dua atau lebih kelompok data atau bilangan. Jenis-jenis ukuran gejala pusat adalah :

1. Mayor Mean, terdiri dari :

a. Rata-rata Hitung (arithmetic mean)

b. Median

c. Modus

2. Minor mean, terdiri dari :

a. Rata-rata Ukur (geometric mean)

b. Rata-rata Harmonis (harmonic mean)

1. Mayor Mean

a. Rata-rata Hitung (Arithmatic Mean)

Rata-rata hitung merupakan nilai yang diperoleh dengan cara menjumlahkan semua nilai data dan membaginya dengan banyaknya data tersebut. Rata-rata hitung memiliki sifat :

1) Mudah dihitung

2) Sangat baik aik digunakan untuk menghitung rata-rata da dari data yang mempunyai ai sebaran nilai relative kecil (tidak mempunyai ai nilai ekstrim) atau dari data data yang berbentuk deret hitung

3) Tidak dapat pat digunakan untuk menghitung rata-rata dari da i data kualitatif

ataupun dari da upun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka buka

Dalam perhitungannya di a digunakan rumus-rumus sebagai berikut :

- Untuk data tidak dak berkelompok

Populasi Populasi Populasi

Sampel Sampel Sampel

Rata-rata Hitung (μ atau Rata-rata Hitung (μ atau Rata-rata Hitung (μ atau x ) ) )

Rata-Rata Tertimbang ( w) Rata-Rata Tertimbang ( Rata-Rata Tertimbang ( w) x w)

Rata-Rata Gabungan ( Rata-Rata Gabungan ( Rata-Rata Gabungan ( x ) ) )

- Untuk data berk erkelompok

Sampel Sampel Sampel Rata-rata Hitung Rata-rata Hitung Rata-rata Hitung Cara pendek Cara pendek Cara pendek

Populasi Populasi Populasi

Cara pendek Cara pendek Cara pendek

(μ atau (μ atau (μ atau x ) ) )

atau atau atau

atau atau atau

Cara panjang Cara panjang Cara panjang

Cara panjang Cara panjang Cara panjang

Keterangan : : X= nilai data yang di g diobservasi

X i = nilai tengah (mid point int ) N = banyaknya data data pada populasi

Ci = interval kelas

n = banyaknya data p ta pada sampel

X 0 = = = nilai tengah pada kela kelas u = 0 w i = timbangan (wei eighted )

U i = skala arbiter pada kela = = kelas ke-i

b. Median

Median merupa upakan bilangan atau keterangan yang membagi gi suatu deretan bilangan atau de u deretan keterangan menjadi dua bagian yang sa sama sehingga letaknya berada da di tengah data ketika data tersebut sudah diurut urutkan dari yang terkecil sampai ai terbesar atau sebaliknya. Atau juga merupak upakan nilai yang berada di tenga gah-tengah data/titik tengah, setelah data tersebut sebut diurutkan. Median memiliki liki sifat :

1) Sangat baik digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mengandung nilai/pengertian ekstrim

2) Dapat pula digunakan untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi tertutup maupun terbuka.

Untuk data tidak berkelompok

Median untuk data tidak berkelompok adalah nilai yang letaknya di tengah data yang telah diurutkan, namun datanya belum dikelompokkan ke dalam kelas/kategori tertentu atau belum dalam bentuk distribusi frekuensi.

Populasi

Sampel

Letak Median

Me = ( + )

Me = ( + )

Nilai Median Data ke ( + ) Data ke- ( + )

- Jika jumlah datanya ganjil, maka nilai median merupakan nilai yang letaknya di tengah data - Jika jumlah datanya genap, maka nilai median merupakan nilai rata-rata dari dua data yang letaknya berada di tengah.

Untuk data berkelompok

Populasi

Sampel

Letak Median

Me =

Me =

Nilai Median Me =

Me =

Keterangan : L Me = batas (tepi) bawah sebenarnya kelas median

C i = panjang/interval kelas

F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f Me = frekuensi kelas median Dari definisi median diatas dapat dikembangkan menjadi : • Kuartil

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 4 bagian sama besar, atau setiap bagian dari kuartil sebesar 1 satuan.

• Desil Desil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data berkelompok menjadi 10 bagian sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 10%.

• Persentil

Persentil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 100 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 1%.

Rumus Kuartil :

Data Tidak Berkelompok Data Berkelompok

(i = 1,2,3) Populasi

(i = 1,2,3)

Letak Qi = ( + )

Letak Qi =

Nilai Qi = data ke- ( + ) −

Sampel Letak Qi = ( + )

Letak Qi =

Qi = data ke- ( + ) −

Rumus Desil :

Data Tidak Berkelompok Data Berkelompok

(i = 1,2,3,….,9) Populasi

(i = 1,2,3,….,9)

Letak Di =

Letak Di = (+) −

Di = data ke- (+)

Sampel

Letak Di = (+)

Letak Di =

Di = data ke- (+)

Rumus Persentil : Data Tidak Berkelompok

Data Berkelompok

(i = 1,2,3,….,99) Populasi

(i = 1,2,3,….,99)

Letak Pi = Letak Pi =

− Pi = data ke-

Sampel

Letak Pi =

Letak Pi =

Pi = data ke-

c. Modus

Modus adalah suatu nilai pengamatan yang paling sering muncul. Kelebihan modus adalah mudah ditemukan, dapat digunakan untuk semua skala pengukuran, serta tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Kelemahan modus adalah kadang kala sekumpulan data tidak mempunyai modus, sehingga semua data dianggap modus dan kadang kala sekumpulan data memiliki modus lebih dari satu. Modus memiliki sifat :

1) Sangat baik digunakan untuk untuk menghitung rata-rata dari data yang menunjukkan keadaan yang sering terjadi atau sedang trendi

2) Digunakan untukmenghitung nilai rata-rata data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi tertutup maupun terbuka -

Untuk data tidak berkelompok, maka modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi paling banyak -

Untuk data berkelompok, maka modus diperoleh dari rumus :

Dimana : L Mo

= batas/tepi bawah kelas modus = batas/tepi bawah kelas modus

d 2 =f 0 –f 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus

= panjang/interval kelas

Hubungan Mean, Median, Modus

- jika nilai mean, median, modus mempunyai nilai yang sama maka kurva poligon akan simetris - jika nilai mean lebih besar dari median dan modus maka kurva polygon akan miring ke kanan (arah positif) - jika nilai mean lebih kecil dari median dan modus maka kurvanya akan miring ke kiri (arah negatif) - jika distribusinya tidak terlalu menceng, hubungan rata-rata hitung, median, dan modus secara matematis dituliskan sebagai berikut : Rata –rata hitung – Modus = 3 (Rata-rata hitung – Median)

x - Mo = 3 ( x - Me)

2. Minor Mean

a. Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

Rata-rata geometris adalah suatu bilangan yang diperoleh dari akar pangkat banyaknya bilangan itu dari hasil kali bilangan-bilangan tersebut. Rata-rata ukur memiliki sifat :

1) Berguna untuk menemukan rata-rata perubahan persentase, rasio, indeks, atau tingkat pertumbuhan dari waktu ke waktu.

2) Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari dua kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka

Data tidak berkelompok Data berkelompok

(groupped data) Populasi

(ungrouped data)

Dari pengertian rata-rata ukur dapat dikembangkan menjadi : • Rata-rata Tingkat Bunga (Mt)

Populasi dan sampel :

• Rata-rata Tingkat Pertambahan Penduduk (Pt)

Populasi dan Sampel : =

b. Rata-rata Harmonis (Harmonic Mean)

Rata-rata harmonis adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil bagi antara banyaknya bilangan-bilangan itu terhadap jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut. Rata-rata harmonis memiliki sifat :

1) Baik untuk menghitung rata-rata data per satuan unit tertentu dengan syarat hasil kali antara banyaknya unit dengan nilai data tersebut konstan

2) Lebih sesuai bila digunakan pada data atau observasi yang unit

pembilangnya tetap, sedangkan unit penyebutnya berubah-ubah.

Data tidak berkelompok

Data berkelompok

(groupped data) Populasi

(ungrouped data)

Sampel

Contoh Soal

1. Puskesmas sedang melakukan penimbangan berat badan bayi. Bayi yang datang untuk melakukan penimbangan adalah 10 bayi dengan berat badan secara berturut- 1. Puskesmas sedang melakukan penimbangan berat badan bayi. Bayi yang datang untuk melakukan penimbangan adalah 10 bayi dengan berat badan secara berturut-

: n=10 ; 10 ; X1=5,1 ;X2=5,7 ;X3=5,7 ;X4=5,9 ;X5=6,2 ;X6= X6=6,4 ;X7=6,7 ;X8=6,9 ; 6,9 ;X9=7 ;X10=7,1

Dit. : x , Me, M e, Mo ? Jawab

: a.

, , = , = = = = = = 6,27 = 6,27 = 6,27 Jadi, rat rata-rata dari kesepuluh berat badan bayi tersebut but adalah 6,27

kg. b.urutka kan data dari terkecil sampai terbesar 5,1kg 5,7k 5,7kg 5,7kg 5,9kg 6,2kg 6,4kg 6,7kg 6,9kg 7kg 7,1k 7,1kg

Me = ( + 1) ( + 1)= (10 + 1) = 5,5  data ke 5,5 ( + 1) (10 + 1) = 5,5  (10 + 1) = 5,5 

, , = , = = = 6,3 = 6,3 = 6,3 Jadi, me median dari berat badan kesepuluh bayi tersebut ada adalah 6,3kg.

c.Mo=da data yang sering muncul = 5,7kg jadi, modus odus dari berat badan kesepuluh bayi tersebut ada adalah 5,7kg

SOAL UKURAN GEJALA PUSAT

1. Citizen banking company sedang mempelajari jumlah penggunaan ATM yang berlokasi di Bara Supermarket per hari nya. Berikut adalah jumlah penggunaan mesin ATM tersebut per hari selama 25 hari terakhir.

a. Buatlah distribusi frekuensinya dan tentukan median serta modus dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya?

b. Tentukan persentil 40 dan desil 6! Jawab

: Dik : n = 20 R maks – R min = 95 – 36 = 59 k = 1 + 3,322 log 25 = 5,643 ≈6

Ci = R/k = 59/6 = 9,8 ≈ 10 interval

Jumlah pengguna

Xi

Xifi

F Kumulatif

a. Median letak Median data keMe =

= (25) =data ke-13.

Me = + .

Me =65,5 + . 10 = 74,25 Jadi, rata-rata jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 74,25

atau 74 kali.

Modus modus terletak di kelas ke 5  tepi bawah kelasnya adalah 75,5 d1 = 8 –4=4 d2 = 8 –4=4 Ci = 10

Jadi, modus dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 80,5 kali atau 81 kali.

b. P40 dan D6 Letak Pi =

Jadi, P40 dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 68 kali.

Desil ke-6

Letak Di = Letak D6 = (25) = 15

Jadi, D6 dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 78 kali.

2. Seorang nasabah Bank Hayam Wuruk mendepositokan uangnya pada tahun 1997 sebanyak Rp 58 juta. karena terjadi krisis finansial global yang diawali pada tahun 2007, maka nasabah tersebut menarik seluruh uangnya sebesar Rp 78 jt. tentukanlah rata-rata tingkat bunga yang diperoleh nasabah tersebut setiap tahunnya! Dik

: Mt = Rp 78 jtMo= Rp 58 jt t = 10 Dit

: Rata-rata tingkat bunga yang diperoleh nasabah tersebut setiap tahunnya

Log 78 = log 58 + 10 log 1 + Log 78 - log 58 = 10 log 1 + 0,128 = 10 log 1 + 0,0128 = log 1 +

X=3 Jadi, rata ata-rata tingkat bunga yang diperoleh nasabah te h tersebut setiap

tahunnya a ya adalah 3 %.

3. Pak Taro adalah seor seorang pengusaha di bidang meubel yang berpus pusat di Jepara. Untuk mendapatkan kan bahan baku usahanya dia harus melakuka kukan perjalanan Semarang – Ambara barawa – Solo - Pekalongan dan Bandung dengan m n menggunakan kereta. Berikut adalah k dalah kecepatan dan waktu tempuh perjalanannya: :

Perjalanan

Waktu Tempuh puh Jepara – Semara arang

Kecepatan

60 km/jam

3 jam

Semarang – Amba Ambarawa

50 km/jam

2 jam

Ambarawa – Sol Solo

80 km/jam

4 jam

2,5 jam Pekalongan - Ba Bandung

Solo – Pekalong ongan

65 km/jam

85 km/jam

6 jam

Dari data diatas tas, tentukan rata-rata kecepatan kereta yang di digunakan oleh Pak taro dalam m melakukan perjalanan tersebut? Jawab :

= = (60 x 3) + (50 x 2) + (80 x 4) + (65 x 2,5) 2,5) + (85 x 6) = 1272,5

Jadi, rata-rata ke kecepatan kereta yang digunakan oleh Pak ak taro dalam melakukan perjal jalanan tersebut adalah 1272,5 km/jam.

4. The following table sho e shows list of wage of pulp and paper company in S in Sumatera:

Wage

Number of

(in hundr in hundred thousand

employee

rupiah) rupiah)

how much the salary received by most of employees? b. how muc ?

c. the lowe owest salary of 30% highest paid employees!

d. the highe highest salary of 20% lowest paid employees! Jawab :

Xifi (ratusan ribu rupiah upiah)

Gaji

Jumlah Karyawan

a. rata- rata gaj gaji yang didapatkan oleh karyawan

= 6565 / 70 = 93,7857 Jadi, rata-rata rata gaji karyawan perusahaan tersebut adalah sebe ebesar Rp

b. berapa besar gaji yang diterima oleh sebagian besar karyawan modus terletak di kelas ke 3  tepi bawah kelasnya adalah 79,5 d1 = 20 – 5 = 15 d2 = 20 – 18 = 2 Ci = 10

+ Mo = 979,5 + ((15 /(15+2)) x10) = 88,3235 Jadi, besar gaji yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut adalah Rp 883.235.

c. gaji terendah dari 30% karyawan bergaji paling tinggi P70 atau D70

Letak Pi = i/100 n Letak P70 = 70/100 (70) = 49

14 Jadi, gaji terendah dari 30% karyawan bergaji paling tinggi adalah Rp

d. gaji tertinggi dari 20% karyawan bergaji paling rendah P20 atau D2

Letak Di = Letak Pi = Letak D2 = (70) = 14

Letak P20 = (70) =

= 82,5 = 82,5 Jadi, gaji tertinggi dari 20% karyawan bergaji paling rendah adalah Rp

5. Ibu Tina bermaksud untuk melakukan perjalanan Bandung – Jakarta – Yogyakarta – Malang yang berjarak 650 KM demi mengunjungi anak-anaknya yang saat ini berdomisili di daerah - daerah tersebut. Ketika berangkat dari Bandung menuju Jakarta dengan menggunakan mobil, mobil melaju dengan kecepatan 60 km/jam. Ketika dari Jakarta menuju Yogyakarta kecepatannya adalah 80 km/jam. Kemudian dari Yogyakarta menuju Malang, mobilnya melaju dengan kecepatan 70 km/jam. Dan ketika kembali ke Bandung kecepatannya hanya 65 km/jam. Hitunglah berapa kecepatan rata-rata Ibu Tina pulang pergi dalam melakukan perjalanan tersebut? Dik

: n = 4 ;x1 = 60 ; x2 = 80 ; x3 = 70 ; x4 = 65 Dit

:Hm? jawab

Jadi, kecepatan rata-rata Ibu Tina pulang pergi dalam melakukan perjalanan tersebut adalah 67,9925 km/jam.

6. Berikut ini adalah data nilai statistika I dari 20 mahasiswa yang di survey.

Tentukan : a.mean. median, dan modus dengan data berkelompok! Tentukan : a.mean. median, dan modus dengan data berkelompok!

: a. R = R ma maks – R min = 95 – 55 = 45 K = 1 + 3,22 l 3,22 log n = 1 + 3,22 log 20 = 5,322 ≈ 5 ≈ ≈ Ci = R/k = /k = 40/5 = 8

Nilai (interval

Xi Xifi kelas)

Jumlah

Xi

mahasiswa (f)

Median Letak Me = ½ n = n = ½ (20) = 10 Me = Lme + ((n/2 n/2 – F)/fme) x Ci = 70,5 + ((10 – 6)/5) x 8 = 78,5 78,5

Modus Modus terletak di k di kelas ke 5  tepi bawah kelasnya adalah 86,5   86,5 d1 = 20 – 15 = 13 13 d2 = 32 – 27 = 5 5 Ci = 5

Mo = 29,5 + (13/ 13/(13+5)) x 5 = 30,222 Jadi, besarnya m mean, median, modus secara berturut-turut a ut adalah 37,939 37,277 dan 30,222. n 30,222.

7. Heavy equipment fir firm, PT.Hokage, consists of two main units, pr production and sales unit, which is t is the average employee income are different from rom each other. Production unit have ve an average income Rp 2.750.000/monthly and nd sales unit Rp 3.150.000/monthly. y. if the average monthly income of all empl ployees is Rp 2.900.000, determine ine the ratio of the number of employees in the pr production and sales unit!

Dik : x 1= Rp 2.750.000 1 1 Rp 2.750.000 x 2 2= Rp 3.150.000 2 Rp 3.150.000

x = Rp 2.900.000 p 2.900.000 Dit

: perbandi ndingan n1 dan n2? Jawab

2.900.000 = 2.900.000 = (2.750.000n1 + 3.150.000n2) / (n1+n2) 2.900.000n1 + 2.900.000n1 + 2.900.000n2 = 2.750.000n1 + 3.150.000n2 0.000n2 2.900.000n1 2.900.000n1 - 2.750.000n1 = 3.150.000n2 - 2.900.000n2 .000n2 150.000n1 150.000n1

jadi, perb perbandingan banyaknya jumlah karyawan di unit unit produksi dan penjualan a an adalah 1 : 1,67.

8. Berikut ini adalah h data investasi dari sejumlah investor yang g menanamkan investasinya di perus rusahaan sekuritas yang berlokasi di Bandung.

Jumlah Investor (da (dalam jutaan Rupiah)

Besar Investasi

13

15 – 19

Tentukan : a. Mean, median, modus besarnya investasi?

b. Kuartil 1, 2, dan 3!

c. Desil ke 6 dan persentil ke 40! Dik : n = 165

Ci = 5 Besar Investasi

F Kumulatif (dalam jutaan

Jumlah Investor

Xi

Xifi

(fi)

Rupiah)

Dit : a. Mean, media dian, modus?

b. Q1, Q2, Q3 b. Q1, Q2, Q3

c. D8 dan P40! 40! Jawab

a. Mean = = 6260/165 = 37,939

Median

Letak Me = ½ n = n = ½ (165) = 82,5 Me =

. . . = 34,5 + ((82,5 - 75)/27) x 10 = 37,277

Modus

Modus terletak di k di kelas ke 4  tepi bawah kelasnya adalah 29,5   h 29,5 d1 = 32 – 19 = 13 13 d2 = 32 – 27 = 5 5 Ci = 5

+ + + Mo = 29,5 + (13/ 13/(13+5) x 5) = 30,222

Jadi, besarnya m mean, median, modus secara berturut-turut a ut adalah 37,939 37,277 dan 30,222. n 30,222.

b. Kuartil 2, 3 dan 4 n4

Kuartil 2

Letak Qi = Letak Q1 = (165) = 41,25 (165) = 41,25 (165) = 41,25

Letak Qi = Letak Q2 = (165) = 82,5

Letak Qi = Letak Q3 = (165) = 123,75

Jadi kuartil 1, 2, dan 3 secara berturut-turut adalah 27,69 dan 35,888 49,416.

c. Desil 8 dan Persentil 40 Letak Di =

Letak Pi =

Letak D6 = (165) = 132

Letak P40 =

= 33,093 Jadi, Desil ke 8 dan Persentil ke 40 secara berturut-turut adalah 51,239 dan

9. Berikut ini adalah data nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran.

Nilai

Jumlah mahasiswa

(kelas interval)

Buatlah distribusi frekuensi dan hitunglah :

a. Tetukan rata-rata hitungnya dan berapa modusnya!

b. Dengan menggunakan hubungan rata-rata hitung, median, dan modus tentukanlah berapa mediannya?

Jawab : Nilai

f.Xi f (kelas

Jumlah mahasiswa

Titik tengah

a. Mean

= 8566/100 = 8566/100 = 85,66 Jadi, rata-rata ni nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakul kultas Ekonomi

Universitas Padja djadjaran adalah 85,66. Modus Modus terletak di k di kelas ke 4  tepi bawah kelasnya adalah 84,5   84,5 d1 = 25 – 8 = 15 15 d2 = 25 – 21 = 4 4 Ci = 4

15 + 4 15 + 4 15 + 4 Jadi, besarnya m modus nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakul kultas Ekonomi

Universitas Padja djadjaran adalah 87,6578.

b. Hubungan rata-ra -rata hitung, median, dan modus

Rata-rata hitung – modus = 3 (rata-rata hitung – median) 85,66 – 87,6578

Jadi, besarnya median nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran adalah 86,3259.

UKURAN DISPERSI

Ukuran Dispersi atau ukuran penyimpangan adalah ukuranyang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya (pokok-pokok materi statistika 1 Ir. M Iqbal Hasan MM).Sebuah ukuran lokasi (seperti rata-rata atau median) haya menjelaskan pengukuran pusat data sehingga ukuran lokasi tersebut hanya bernilai perspektif tetapi tidak mengukur sebaran datanya. Ukuran dispersi dapat digunakan untuk :

• Memberikan informasi tambahan dalam pengambilan keputusan

Contoh : jika kita ingin menyeberangi Danau Toba di Sumatera Utara, maka kita tidak dapat hanya mengandalkan informasi awam lewat buku panduan, dan sebagainya. Kita juga memerlukan informasi tambahan seperti batas-batas kedalamannya secara umum maupun dispersi kedalaman Danau tersebut.

• Mengevaluasi realibitas dua ukuran lokasi atau lebih

Contoh : TV merk Polytron dirakit di Kudus dan Semarang. Rata-rata hitung produksi kedua pabrik adalah 50.Berdasarkan data rata-rata, kita dapat menyimpulkan bahwa kedua pabrik memiliki distribusi hasil yang identik. Namun, kita memiliki informasi lain bahwa ada penyimpangan ketidakteraturan produksi di Kudus antara 40-60 jam, sehingga dapat dikatakan bahwa pabrik Polytron di Semarang lebih mendekati rata-ratanya yaitu 50 sementara produksi di Kudus lebih tersebar (terdispersi).

Macam-macam ukuran dispersi :

1. Ukuran Dispersi Absolut

Adalah ukuran dispersi yang digunakan untuk menggambarkan dispersi nilai- nilai observasi sebuah distribusi secara definitif atau yang dapat digunakan untuk melihat penyimpangan nilai pada suatu kumpulan data (bukan beberapa Adalah ukuran dispersi yang digunakan untuk menggambarkan dispersi nilai- nilai observasi sebuah distribusi secara definitif atau yang dapat digunakan untuk melihat penyimpangan nilai pada suatu kumpulan data (bukan beberapa

a. Jangkauan/Jarak/Rentang (Range)

Ukuran Dispersi yang paling sederhana adalah jangkauan (range) yang merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan nilai terkecil pada sekelompok data.

Rumus :

• Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

R=X max -X min

• Data Tidak Berkelompok (Grouped Data)

R=X max -X min

Dimana: X max = tengah kelas tertinggi, dan

X min = nilai tengah kelas terendah

b. Deviasi Rata-Rata (Mean Deviation)

Kelemahan dari jangkauan adalah jangkauan hanya didasarkan pada dua nilai yaitu nilai terbesar dan nilai terendah (tidak memerhatikan seluruh nilai).Deviasi rata-rata (mean deviation) mengukur sebaliknya yaitu jumlah rata-rata berdasarkan bagaimana nilai pada populasi/sampel bervariasi dari nilai rata-ratanya. Rumus :

• Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

Untuk Populasi, MD =

Untuk Sampel, MD =

• Data Berkelompok (Grouped Data)

Untuk Populasi, MD =

Untuk Sampel, MD =

c. Rentang antar Kuartil (Inter Quartile Range)

Sebaran bilangan yang berada antara kuartil 3 dan kuartil 1.

IQR = Q 3 -Q 1

Rumus:

d. Simpangan Kuartil/ Deviasi Kuartil (Quartile Deviation)

Pada dasarnya, pengukuran deviasi kuartil sama dengan pengukuran jarak. Pengukurannya berdasarkan pada jarak antara Q 1 dan Q 3 .Pengukuran tidak dipengaruhi oleh dispersi seluruh nilai observasi namun hanya mengukur dispersi nilai-nilai observasi Xi yng didistribusikan di tengah-tengah distribusi. Rumus :

QD =

atau QD = atau QD =

Simpangan baku merupakan suatu ukuran yang menyatakan rata-rata penyimpangan suatu variabel terhadap rata-rata hitungnya. Rumus :

• Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

• Untuk Populasi

• Data Berkelompok (Grouped Data)

• Untuk Populasi

f. Varians (Variance)

Varians dan Standar Deviasi sebenarnya didasarkan oleh Deviasi Rata- Rata.Bentuknya merupakan kuadrat dari Standar Deviasi. Rumus : (untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok)

2. Ukuran Dispersi Relatif

Berbeda dengan dispersi absolut, ukuran dispersi relative merupakan metode yang dikembangkan untuk membandingkan dispersi dari beberapa kumpulan data. Rumus Umum :

Dispersi Relatif =

Ukuran dispersi relatif terdiri dari :

a. Koefisien Variasi (Coefficient of Variation)

Ketika 2 distribusi dinyatakan dalam unit yang sama dan memiliki rata-rata hitung yang sama, perbandingan variasi kedua distribusi diatas secara singkat dapat ditentukan dari hasil perbandingan standar deviasi masing-masing distribusi. Koefisien Variasi sendiri biasanya dinyatakan dalam persen dan semakin kecil nilai Koefisien Variasinya melambangkan bentuk data yang semakin merata (lebih baik). Rumus : (untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok)

b. Koefisien Variasi Kuartil (Coefficient of Quartile Variation)

Dalam suatu observasi, bila rata-rata hitung dan standar deviasi tidak diketahui, maka perbandingan antara 2 variasi harus dihitung dengan koefisien variasi yang dirumuskan secara bebas dari rata-rata hitung maupun standar deviasi.

Koefisien Variasi Kuartil merupakan pengukuran yang biasa dinyatakan dalam persen yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan kuartil terhadap mediannya atau antara selisih kuartil 3 dan kuartil

1 terhadap jumlah kuartil 3 dan kuartil 1.

Rumus : (populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama ; untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok) Rumus : (populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama ; untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok)

Angka Baku menunjukkan jarak atau selisih antara sebuha nilai X tertentu dari rata-rata hitungnya dalam unit standar deviasi. (Teknik-teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Edisi 13, Lind, Marchal, Wathen) Rumus : (untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok)

 Ukuran Kemencengan (Skewness) (S k = )

Ukuran Kemencengan adalah suatu ukuran yang menunjukkan menceng atau tidaknya bentuk kurva suatu distribusi frekuensi. Sebuah distribusi yang tidak simestris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya, sehingga suatu distribusi akan terkonsentrasi pada suatu sisi dan bentuk kurvanya akan menceng. Batas- Batas Ukuran Kemencengan :

a. Kurva Distribusi Normal/ Kurva Simetris

Berarti, bentuk kurva distibusi frekuensinya normal atau 0,1 <| Sk | ≤ 0,0.

b. Kurva Distribusi menceng Kanan

Berarti, kurva distribusi frekuensi yang memiliki ekor lebih panjang ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Batasnya yaitu 0,3 <| Sk | ≤ 0,1 Berarti, kurva distribusi frekuensi yang memiliki ekor lebih panjang ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Batasnya yaitu 0,3 <| Sk | ≤ 0,1

Berarti, kurva distribusi frekuensi yang memiliki ekor lebih panjang ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Batasnya yaitu | Sk | ≥ 3

Ada beberapa metode untuk mengukur Kemencengan (Skewness) yaitu :

1. Rumus Pearson

2. Rumus Bowley

3. Rumus Moment/ Matematis • Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

• Data Berkelompok (Grouped Data)

 Ukuran Keruncingan (Kurtosis) (Kt =

Pengukuran Kurtosis sebuah distribusi teoritis dapat juga dinamakan pengukuran ekses (excess) dari sebuah distribusi. Sebetulnya, kurtosis dianggap sebagai distorsi dari kurva normal dan umumnya diukur dengan membandingkan bentuk keruncingan kurvanya dengan kurva normal. (Pengantar Metode Statistik Jilid 1, Anto Dajan) Bentuk kurva berdasarkan keruncingannya dibagi menjadi 3, yaitu :

1. Leptokurtic, yaitu bagian tengah memiliki puncak lebih runcing dari kurva normal

2. Platikurtic, yaitu bagian tengah memiliki kurva yang lebih datar dari kurva normal

3. Mesokurtic, yaitu bagian tengah lebih datar atau tumpul dari kurva normal

Batas-batas ukuran Keruncingan : 

4>3 → Leptokurtic (diagram distribusi berbentuk runcing) 

4 = 3→ Platikurtic (diagram distribusi berbentuk landai) 

4<3 → Mesokurtic (diagram distribusi berbentuk simetris)

Rumus :

• Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

• Data Berkelompok (Grouped Data)

Contoh Soal :

Data dibawah merupakan sampel dari nilai UTS Statistik 1 mahasiswa/i semester 2 Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran :

Hitunglah : a. Seluruh pengukuran Dispersi Absolut

b. Aldila merupakan salah satu mahasiswi Statistik. Berapa nilai UTS nya bila ia b. Aldila merupakan salah satu mahasiswi Statistik. Berapa nilai UTS nya bila ia

c. Ukuran Kemencengan dan Keruncingannya, dan jelaskan artinya Jawaban :

a. Pengukuran Dispersi • R = Rmax – Rmin = 92 – 45 = 47

• IQR = Q3 – Q1 = 84.5 – 61.5 = 23

• QD = IQR/2 = 11.5

• 2 V=s = 230.2095238

b. Diketahui : Z = 0.72 Ditanyakan : X ?

c. Skewness :

= -0.144997675 Sk berada pada batas < 0 yang berarti kurva menceng kiri atau memiliki

kemencengan negative.

Kurtosis :

4 berada pada batas > 3 yag berarti kurva bernama Leptokurtic atau diagram distribusi berbentuk runcing

Penyelesaian dengan SPSS

Langkah :

1. Buka Software Minitab

2. Masuk data pada worksheet 1

3. Ketik nilai pada kolom C1 lalu masukkan data

4. Klik stat – basic statistic– display descriptive stat – lalu masukkan variabel “nilai” (c1) pada kolom variabel

5. Pilih Statistics, lalu akan muncul :

6. Pilih Desciptive Stat yang dibutuhkan lalu klik OK

7. Akan muncul output sebagai berikut :

SOAL UKURAN DISPERSI

1. McKinley, Corp reported their profit (in percent) for the past 6 years : 2,3 ; 4 ; 7,2 ; 7 ; 7,5 ; 7,8

a. Compute the range, standard deviation, and the variance

b. Compute the coefficient of variation and coefficient of quartile variation

Answer :

X 2,3

a. = 5, 966667 • R = Xmax – Xmin

• Standard Deviation =

S= , = 2.066128962 2 • 2 Variance = s = (2.066128962) = 4.268888889

x 100% = 0,219713 x 100%

2. Pada UAS Semester lalu diketahui bahwa Andrea memiliki nilai 83 untuk mata kuliah Pengantar Akuntansi dan 85 untuk mata kuliah Statistika. Dikelas itu terdapat 40 mahasiswa/I dimana rata-rata dan simpangan baku untuk mata kuliah Pengantar Akuntansi adalah 82 dan 15, sedangkan untuk mata kuliah Statistik yaitu 80 dan 10. Pada mata kuliah yang mana Andrea memperoleh nilai yang lebih baik?

Penyelesaian :

• Mata Kuliah Pengantar Akuntansi

• Mata Kuliah S h Statistik

Jadi, karna nilai Z i Z untuk mata kuliah Statistik lebih besar dari nilai nilai Z untuk mata kuliah Pengantar A r Akuntansi maka nilai Andrea lebih baik pada mata kul kuliah Statistik.

3. Diketahui data nilai R ai Review Peaktikum Statistika kelas A adalah seba ebagai berikut :

Hitunglah simpanga gan baku dan varians data tersebut!

Penyelesaian :

2 V=s 2 = (13.04) = 170,0416 Jadi, nilai simpangan baku dan varians nilai Review Praktikum Statistika kelas A yaitu 13,04

dan 170,0416

4. Berikut adalah data pasien Puskesmas di musim hujan berdasarkan usia :

Hitunglah : a. Varians data

b. Tentukan ukuran kemencengan, gambarkan, dan jelaskan artinya

Penyelesaian : 2 3 2 Usia 3 Xi F u u u fu fu fu

20 -20 5_9

2 20 -1

1 -1

s 2 =5 −( )

V=s 2 = (6,436419812) 2

Jadi varians dari data pasien Puskesmas di musim hujan ialah 41, 4275

Karena ukuran kemencengannya Sk = < 0 maka bentuk kurva yaitu

menceng kiri atau bernilai negative

5. Income 7 orang Analis Ekonomi di Bank A yaitu 3500, 3700, 4500, 5000, 5200, 5800, 6500 sedangkan income 7 orang Analis Ekonomi di Bank B yaitu 3000, 4000, 3500, 4500, 5000, 6000, 6500. Manakah yang lebih homogen antara Income Analis Ekonomi Perusahaan A dan Perusahaan B?

Penyelesaian :

Perusahaan A : =

s= , = = 1002, 038738

CV = s/ = 1002, 038738 4885, 714286 = , Perusahaan B :

s= , = =1186, 660552

CV = s/ = 1186,660552 4642,857143 = , Jadi, karena semakin kecil CV sebuah kelompok data menunjukkan data yang semakin

homogen, dapat disimpulkan bahwa Income Analis Ekonomi di Perusahaan A lebih homogen dari Perusahaan B.

6. Berikut adalah sampel jumlah konsumsi pekerja pria dan wanita perusahaan swasta pada tahun 2011 :

Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt Nov Des Pria

8.00 6.50 5.00 6.00 5.50 6.50 6.50 8.50 6.00 5.25 4.50 7.00 Wanita 8.50 7.00 6.8 5.50 6.20 6.00 7.00 9.50 5.00 6.25 7.00 8.50

(dalam ratus ribuan) (dalam ratus ribuan)

b. Hitunglah ukuran keruncingan, gambarkan, dan jelaskan artinya!

Penyelesaian :

|X-x| (X-x)2 Jan

5 -1.270833333 1.270833333 1.615017361 6.8 -0.1375

1.4375 2.06640625 Mei

6 -0.270833333 0.270833333 0.073350694 5.5 -1.4375

0.7375 0.54390625 Juni

5.5 -0.770833333 0.770833333 0.594184028 6.2 -0.7375

6 -0.270833333 0.270833333 0.073350694 5 -1.9375

0.6875 0.47265625 Nov

5.25 -1.020833333 1.020833333 1.042100694 6.25 -0.6875

Jumlah 75.25 10.75 15.18229167 83.25 11.75 19.195625 Rata

a. Dispersi Absolut

• Range Pria = Rmax – Rmin

= 8,50 – 4,50 = 4 Range Wanita = Rmax – Rmin = 9,50 – 6,00 = 3,5

• Mean Deviation

Pria = = . =, Wanita = . =,

• Inter Quartile Range

Pria = Q 3 –Q 1 = 6,625 – 5,4375 = 1,1875

Wanita = 7,375 – 6,15 = 1,225 • Quartile Deviation Pria = , =

• Simpangan Baku Pria = s= .

= 1.124807082 Wanita = s = .

• Varians 2 Pria = s 2 = (1.124807082) = 1.265190972

Wanita = (1.264766942) 2 = 1.599635417

Dispersi Relatif

• Coefficient of Variance Pria = CV = s/ = 1.124807082 / 6.270833333 = 0,179371229 / 17,9371229%

Wanita = CV = 1.264766942 / 6.9375 = 0,182308748 / 18,2308748% • Coefficient of Quartile Variation

Jadi, dengan melihat Coefficient of Variation nya yang menandakan semakin besar data akan semakin heterogen, dapat disimpulkan bahwa kelompok Wanita memiliki persebaran data yang lebih heteregen.

b. Ukuran Keruncingan (Kurtosis)

4 Pria 4 X-x (X-x) Wanita X-x (X-x) Januari

7 0.0625 1.52588E-05 Maret

6.8 -0.1375 0.000357446 April

5 -1.270833333

5.5 -1.4375 4.27003479 Mei

6 -0.270833333

6.2 -0.7375 0.295834009 Juni

5.5 -0.770833333

6 -0.9375 0.772476196 Juli

7 0.0625 1.52588E-05 Agustus

5 -1.9375 14.09181213 Oktober

6 -0.270833333

6.25 -0.6875 0.223403931 November

5.25 -1.020833333

7 0.0625 1.52588E-05 Desember

Karna ukuran keruncingan yang 4< 3 aka bentuk kurva disebut Mesokurtic (diagram distribusi berbentuk simetris)

7. The table below show the price of food and their average customers each day in Faculty Economy and Busines Canteen :

Price (Rp)

Freq (Customers)

a. If Ditha shop Rp 4.000,00 each day, how much her Standard Score?

b. If Ditha has 0,54 as a Standard Score, how much she shop each day?

Answer :

Price 2 f x fx (X-x) (X-x) 500-1500

-1694.444444 2871141.975 1500-2500

-694.4444444 482253.0864 2500-3500