METODE PERSAMAAN RICCATI PROYEKTIF DAN APLIKASINYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN LOTKA-VOLTERA DISKRIT

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 11 – 20

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

METODE PERSAMAAN RICCATI PROYEKTIF DAN

APLIKASINYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN

LOTKA-VOLTERA DISKRIT

  

Program Studi Magister Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstrak.

email : deasywahyuni1@gmail.com

  Dalam paper ini akan dijelaskan kembali penurunan metode Riccati Proyektif

dalam menyelesaikan persamaan diferensial-beda. Secara khusus metode ini diterapkan

pada penyelesaian persamaan Lotka-Voltera diskrit. Dengan bantuan Maple, diperoleh

sejumlah solusi eksak dari persamaan tersebut termasuk solusi soliton dalam bentuk

fungsi sinh dan cosh.

  Kata Kunci : Metode persamaan Riccati proyektif, persamaan Lotka-Voltera diskrit, per- samaan diferensial-beda

  1. Pendahuluan Gelombang nonlinier sering muncul pada fenomena alam, seperti dinamika flu- ida, kinematika reaksi kimia, matematika biologi dan fisika optik. Dalam banyak kasus, fenomena alam tersebut dimodelkan secara matematis dalam sebuah per- samaan diferensial. Meningkatnya kajian terhadap model-model persamaan difer- ensial dan persamaan diferensial-beda dalam menjelaskan fenomena gelombang non- linier (kontinu dan diskrit), membuat semakin berkembangnya metode-metode al- ternatif dalam menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut secara eksak. Beber- apa diantara metode yang sering digunakan adalah metode tanh, metode invers scattering, metode dekomposisi adomain dan metode persamaan Riccati proyektif [3,6,8].

  Pada paper ini akan dikaji kembali secara lebih detail penurunan dan penerapan metode persamaan Riccati proyektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial- beda nonlinier. Metode ini digagas pertama kali oleh Conte dan Musette pada tahun 1992 dalam menentukan solusi soliton pada persamaan diferensial parsial nonlinier yang dapat dinyatakan sebagai polinomial dari dua fungsi elementer yang memenuhi suatu sistem Riccati proyektif [1]. Solusi soliton sendiri adalah gelom- bang nonlinier terlokalisasi (gelombang soliter) yang memiliki sifat dapat mem- pertahankan bentuknya saat merambat pada kecepatan konstan, meskipun setelah berinteraksi dengan gelombang soliter lainnya [2].

  Pada tahun 2003, Yan mengembangkan lebih lanjut metode Contes dan Musette ini dengan memperkenalkan persamaan Riccati proyektif yang lebih umum [7]. Se- lanjutnya Zhen dan Hong-Qing pada tahun 2006 menerapkan metode persamaan

  Deasy Wahyuni, Mahdhivan Syafwan

  Riccati proyektif ini pada dua persamaan diferensial-beda nonlinier, yaitu per- samaan Lotka-Voltera dan Korteweg-de Vries (KdV) diskrit [8]. Pada artikel ini akan dieksplorasi kembali referensi [8] dengan melakukan beberapa perbaikan pada penulisan persamaan dan menampilkan visualisasi solusi yang diperoleh.

  2. Penurunan Metode Persamaan Riccati Proyektif

  2.1. Konstruksi Awal Pandang bentuk umum dari persamaan diferensial-beda berikut: _{′ ′}

  (r) (r)

  H (u n n k (t), u

  (t)) = 0,

• n (t), · · · , u +n n (t), · · · , u n k (t), · · · , u n (t), · · · , u n k _{1 +n}

  _{1 +n +n}

  _{1 +n}

  (2.1) dengan n, n j i menyatakan variabel tak-bebas ke-i, t menyatakan ∈ Z, dimana u

  (r) variabel bebas, dan u (t) menyatakan turunan ke-r dari u i terhadap t. _i

  Selanjutnya perkenalkan transformasi gelombang berjalan u _{n (t) = U (ξ n ), (2.2)} dengan ξ , _{n = dn + ct + ξ (2.3)} dimana d > 0 menyatakan bilangan gelombang, c 6= 0 menyatakan kecepatan gelom- bang, dan ξ

  ∈ R menyatakan beda fasa. Dengan demikian persamaan (2.1) menjadi _{′ ′}

  (r) (r)

  H (U (ξ n n ), U (ξ n (ξ n (ξ n (ξ n )) = 0.

• +n ), · · · , U(ξ +n k +n ), · · · , U +n k ), · · · , U +n ), · · · , U +n k

_{1 1 1}

  (2.4) Kita ingin menentukan solusi dari persamaan (2.4) yang berbentuk _{X N i−}

  1

• U (ξ n = A (A i f (ξ n ) + B i g (ξ n )) f (ξ n ), (2.5) _{i =1} dimana A , A i dan B i adalah konstanta-konstanta yang akan ditentukan nilainya.

  Dengan menggunakan prinsip dominant balance (dalam hal ini antara orde tert- inggi dari suku nonlinier dan orde tertinggi dari suku turunan), nilai N dapat ditentukan.

  Untuk sebarang bilangan bulat n, f (ξ ) dan g(ξ ) memenuhi persamaan Riccati _{n n} proyektif _′ f _′ (ξ n ) = pf (ξ n )g(ξ n ), (2.6)

  2

  g (ξ n ) = q + pg (ξ n n ). (2.7)

  ) − rf(ξ dengan p, q, r ∈ R dan p 6= 0. Selanjutnya f (ξ n +k ) dan g(ξ n +k ) dapat ditulis sebagai fungsi terhadap f (ξ n ) dan g(ξ ), yaitu _n f

  (ξ n ) = Ψ(f (ξ n ), g(ξ n )), (2.8)

• k

  g (ξ n ) = Φ(f (ξ n ), g(ξ n )). (2.9)

• k

  Dengan menggunakan persamaan (2.6), (2.7), (2.8) dan (2.9), substitusikan per- samaan (2.5) ke persamaan (2.4) dan tetapkan nol untuk semua koefisien dari

  _{i j} Metode Persamaan Riccati Proyektif

  f g (ξ n ) (ξ n ) dengan j = 0, 1 dan i = 0, 1, · · · , sehingga diperoleh sistem per-

  , A , B , c samaan aljabar nonlinier terhadap A i i dan d. Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, maka solusi dari persamaan diferensial-beda dapat ditentukan dalam bentuk (2.5).

  2.2. Analisis Metode Persamaan Riccati Proyektif Dari persamaan (2.6) diperoleh _′ f

  (ξ n ) g , (ξ n ) = (2.10) _′ pf (ξ ) _n

  (ξ n dengan p 6= 0 dan f ) 6= 0. Substitusi persamaan (2.10) ke persamaan (2.7) menghasilkan _{′′ ′}

  2

  2

  3

  f (ξ n )f (ξ n n )] n )] + pr[f (ξ n )] = 0. (2.11) ) − 2[f(ξ

  − pq[f(ξ Untuk mendapatkan solusi persamaan (2.11), diperkenalkan transformasi berikut:

  1 f , w (ξ n ) = (ξ n (2.12) ) 6= 0. w

  (ξ n ) Dengan menggunakan aturan rantai, turunan pertama dari f (ξ n ) diberikan oleh _{′ ′} f (ξ n ) w

  .

  (2.13) = − f w

  (ξ n ) Substitusi persamaan (2.13) ke persamaan (2.10) menghasilkan _′ w g . (2.14)

  = − pw Lebih lanjut, turunan kedua dari f (ξ n ) diberikan oleh _{′ ′′}

_{′′ 2(w ) w}

  2 f .

  = (2.15) −

  

3

  2

  w w Substitusikan persamaan (2.12),(2.13) dan (2.15) ke persamaan (2.11), sehingga diperoleh _′′ w

  (2.16) + pqw − pr = 0. Untuk menentukan solusi persamaan (2.16), pandang tiga kasus berikut: Kasus (i): pq < 0.

  Solusi persamaan (2.16) pada kasus ini diberikan oleh 1 √ √ w r

  = + qs cosh( n ) + qh sinh( n ) . (2.17) −pqξ −pqξ q

  Jika p = −1 dan q = 1, maka dengan mensubstitusikan persamaan (2.17) ke per- samaan (2.12), diperoleh 1 f (ξ n ) = . (2.18) r

• s cosh(ξ n ) + h sinh(ξ n )
• s cosh(ξ n ) + h sinh(ξ n )
• h
• s
• s
• k
• k
• s cosh(ξ n + ω k ) + h sinh(ξ n + ω k )) =
• k
• k
• k
• s cosh(ξ n
• h sinh(ξ n
• s cos(ξ n ) + h sin(ξ n ) .

  =

  1 r

  −f(ξ ^{n )} − sinh(ω ^{k )g(ξ n}

  ) − rf(ξ ^{n ) + cosh(ω k )f (ξ n} )r − cosh(ω ^{k )} . (2.25)

  Dengan cara yang sama untuk g(ξ n

  ) diperoleh g (ξ n

  ) = g(ξ n + ξ n

  − ξ ⁿ ) ≡ g(ξ ^{n + ω k )}

  = s cosh(ξ n + ω k ) + h sinh(ξ n + ω k ) r

  ω

  ω _{k )} =

  )

  − sinh(w ^k ) − cosh(ω ^{k )g(ξ n ) + sinh(ω k )f (ξ n )r} −f(ξ ⁿ

  )r − sinh(ω ^{k )g(ξ n ) + rf (ξ n ) cosh(ω k} ) − cosh(ω ^{k )} . (2.26)

  Kasus (ii): pq > 0 Solusi dari persamaan (2.16) untuk kasus ini adalah w

  =

  1 q (r + s cos(

  √ pqξ _{n ) + h sin(} √ pqξ _{n )) . (2.27)}

  Misalkan p = 1 dan q = 1, maka diperoleh f (ξ n ) =

  1 r

  (2.28) Selanjutnya persamaan (2.14) menjadi g (ξ n ) = s sin(ξ n

  ) − h cos(ξ ^{n )} r

  − ξ ⁿ ) ≡ f(ξ ^{n + ω k )}

  Karena sinh(a + b) = sinh(a) cosh(b) + cosh(a) sinh(b), (2.23) cosh(a + b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(a) sinh(b), (2.24) maka f (ξ n

  ) = f (ξ n + ξ n

  )f

  Deasy Wahyuni, Mahdhivan Syafwan

  Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (2.17) ke persamaan (2.14), dida- patkan g (ξ n ) = s sinh(ξ _n ) + h cosh(ξ _n ) r

  . (2.19) Dengan mengkuadratkan persamaan (2.19) dan melakukan manipulasi aljabar diperoleh g

  2

  (ξ n ) = 1 − 2rf(ξ ^{n ) + (r}

  2

  2

  − s

  2

  2

  ) . (2.22)

  (ξ n ). (2.20) Dari (2.18) dan (2.19) diperoleh cosh(ξ n ) =

  −f(ξ ⁿ )rs − g(ξ ^{n )h + s} f (ξ _{n )(−h}

  2

  2

  ) ,

  (2.21) sinh(ξ n ) = f (ξ n )hr + g(ξ n

  )s − h f (ξ n

  )(−h

  2

  2

  . (2.29)

• s cos(ξ n ) + h sin(ξ n )
• h
• h
• k ) = −
• C
• C
• C
• 4C
• (C

  dan C

  1

  (2.37) Penyelesaian persamaan (2.35) dan persamaan (2.36) untuk C

  2 .

  (ξ n ) 4p

  2

  pr )f

  2

  1

  2

  (ξ n ) = 2rf (ξ n ) p

  2

  Dengan mengkuadratkan persamaan (2.36) dan melakukan manipulasi aljabar diperoleh g

  ) p . (2.36)

  2

  ξ _n − C

  1

  

2

_n

  (prξ

  2

  1 = −

  diberikan oleh C

  2 _k

  ) − 2pg(ξ ^{n )ω k + 2} .

  f (ξ n

  2 _k

  ) − 2f(ξ ^{n )rω k} prω

  ) = 2g(ξ n

  (2.40) g (ξ n

  ) − 2pg(ξ ^{n )ω k + 2} ,

  f (ξ n

  (ξ n +k ) = 2f (ξ n ) prω

  2p(f (ξ n )r + g(ξ n )) f (ξ n )

  . (2.39) Dengan cara yang sama pada kasus (i), kita peroleh f

  (ξ n )p + 2 f (ξ n )

  2

  (ξ n )pr + 2g

  3

  f

  2 = −

  C

  , (2.38)

  1

  ) , (2.35) g (ξ n

  ) = − 2prξ n + C

  )f

  ) = − −h − g(ξ ^{n )s + hf (ξ n )r}

  )f (ξ n ) , sin(ξ n

  2

  

2

  (s

  ) = − f (ξ n )rs + g(ξ n )h − s

  (ξ _n ). (2.30) Selesaikan persamaan (2.28) dan (2.29), sehingga diperoleh cos(ξ n

  2

  2

  

2

  − s

  2

  − h

  2

  = −1 + 2rf(ξ n ) − (r

  2

  Dengan mengkuadratkan persamaan (2.29) dan melakukan manipulasi aljabar diperoleh g

  Metode Persamaan Riccati Proyektif

  (s

  2

  2

  2 _n

  ξ _n − C

  1

  2 _n

  2 prξ

  ). (2.34) Substitusikan persamaan (2.34) ke persamaan (2.12) dan (2.14), sehingga diperoleh berturut-turut f (ξ n ) =

  2

  ξ _n − C

  1

  2 (prξ

  )f (ξ n ) .

  1

  =

  (2.33) Kasus (iii): q = 0. Solusi dari persamaan (2.16) untuk kasus ini adalah w

  −rf(ξ ⁿ ) − cos(ω ^{k ) + cos(ω k )f (ξ n )r + sin(ω k )g(ξ n )} .

  (ξ n +1 ) = − cos(ω ^{k )g(ξ n ) + sin(ω k )f (ξ n} )r − sin(ω ^{k )}

  , (2.32) g

  f (ξ n ) −rf(ξ ⁿ ) − cos(ω ^{k ) + cos(ω k )f (ξ n )r + sin(ω k )g(ξ n )}

  (ξ n

  (2.31) Dengan melakukan cara yang sama pada kasus (i), diperoleh f

  (2.41)

• k

  Deasy Wahyuni, Mahdhivan Syafwan

  3. Penerapan Metode Persamaan Riccati Proyektif pada Persamaan Lotka-Voltera Diskrit

  Persamaan Lotka-Voltera diskrit diberikan oleh [4] _′ u _{n − u} = u n (u n +1 n−

  1 ). (3.1)

  Persamaan ini merupakan generalisasi dari persamaan Lotka-Voltera atau per- samaan mangsa-pemangsa (predator-prey) untuk dua spesies [5]. dx

  = αx − βxy, dt dy

  = δxy − γy, dt dimana x : banyaknya mangsa, y : banyaknya pemangsa, dx dy

  , : laju pertumbuhan populasi mangsa dan pemangsa terhadap waktu, dt dt t

  : waktu, α, β, δ, γ : parameter riil positif yang mendeskripsikan interaksi antar dua spesies.

  Pada persamaan (3.1), fenomena mangsa-pemangsa terjadi pada tak-hingga spe- sies, dimana spesies ke-n memangsa spesies ke-(n + 1) dan dimangsa oleh spesies ke-(n − 1). Dengan melakukan transformasi gelombang berjalan u _{n (t) = U (ξ n ),} dimana ξ n = dn + ct + ξ , persamaan (3.1) menjadi _′ cU

  (ξ n ) = U (ξ n )[U (ξ n +1 n−

  1 )]. (3.2)

  ) − U(ξ Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (2.5) ke persamaan (3.2) dan ke- mudian melakukan prinsip dominant balance, diperoleh N = 1, sehingga solusi persamaan (3.2) dapat ditulis sebagai

  U f g (ξ n ) = A + A (ξ n ) + B (ξ n ), (3.3)

  

1

  1 dimana f (ξ n ) dan g(ξ n ) memenuhi persamaan Riccati proyektif (2.6) dan (2.7).

  Selanjutnya akan ditinjau perkasus menurut analisis metode persamaan Riccati proyektif yang telah dibahas pada bagian sebelumnya. Kasus (i): pq < 0. Berdasarkan penjelasan pada bagian sebelumnya, pada kasus ini terdapat hubungan antara f (ξ n ) dan g(ξ n ) yang diberikan oleh

  2

  2

  2

  2

  2

  g (ξ n n ) + (r + h )f (ξ n ). (3.4) ) = 1 − 2rf(ξ

  − s Selanjutnya dari persamaan (2.25) dan (2.26) diperoleh _{n )}

  −f(ξ f ,

  (ξ n±

  1 ) = _{± ± ±} (3.5) 1 )g(ξ n n ) + cosh(ω 1 )f (ξ n 1 )

  − sinh(ω ) − rf(ξ )r − cosh(ω _{± ± ±}

  1 1 )g(ξ n ) + sinh(ω 1 )f (ξ n )r

  − sinh(ω ) − cosh(ω g (ξ n± ) = . (3.6)

  1 _{n )g(ξ n ) + rf (ξ n ) cosh(ω ) ± ± ±}

  Metode Persamaan Riccati Proyektif _±

  Karena ω k = ξ n +k n dan ξ n = dn + ct + ξ , maka ω

  1 dapat ditulis sebagai

  − ξ ω

  = ξ n n = d(n + 1) + ct + ξ ) = d,

  1 +1 − ξ − (dn + ct + ξ

  ω − = ξ n− n

  1 _± 1 − ξ = d(n − 1) + ct + ξ − (dn + ct + ξ ) = −d.

  Dengan mengganti ω

  1 = ±d, substitusikan persamaan Riccati proyekif (2.6)-(2.7),

  persamaan (3.4), (3.5) dan (3.6) ke dalam persamaan (3.3). Selanjutnya tetapkan _{i j} nol untuk semua koefisien dari f (ξ n )g (ξ n ), dengan j = 0, 1 dan i = 0, 1, · · · , se- hingga diperoleh suatu sistem persamaan nonlinier terhadap parameter-parameter

  A , A , B , c dan d. Dengan menggunakan bantuan software MAPLE, diperoleh

  1

  1

  solusi A r r B

  1 + 2A cosh(d), 1 = 0,

  = −2A _s

  2

  2r

  2

  c h s , = 2A sinh(d), (3.7)

  = ± − 1 + cosh(d) dimana A , d, s, dan r adalah konstanta sebarang, asalkan

  2

  2r

  2 s > .

  (3.8) 1 + cosh(d) Perhatikan bahwa penetapan d > 0 di awal menjamin nilai pecahan pada parameter h tetap terdefinisi.

  Selanjutnya substitusikan parameter-parameter pada persamaan (3.7) ke per- samaan (2.18) dan (2.19), sehingga didapatkan solusi r + 2A r cosh(d)

  −2A u ,

• n n ) = A

  (3.9) (t) ≡ U(ξ q ₂

  2r

  2

  r s

• s cosh(ξ n sinh(ξ n )

  ) ± −

  1+cosh(d)

  , d, r, s dimana ξ n = dn + 2A sinh(d)t + ξ , dengan A dan ξ adalah konstanta- konstanta yang dapat dipilih sebarang namun memenuhi syarat (3.8).

  Khusus untuk nilai-nilai konstanta A ξ

  = d = r = s = 1, = 0, dan dengan mengambil tanda +, profil solusi (3.9) pada saat t = 0 dan t = 10 ditunjukkan oleh Gambar 1. Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa solusi yang diperoleh merupakan soliton yang berjalan ke arah kiri dengan kecepatan konstan c

  = 2A sinh(d) ≈ 2, 35. Kasus (ii): pq > 0. Berdasarkan penjelasan pada bagian sebelumnya, hubungan antara f (ξ n ) dan g(ξ n ) pada kasus ini diberikan oleh

  2

  2

  2

  2

  2

  g (ξ n n )f (ξ n ). (3.10)

  ) = −1 + 2rf(ξ ) − (r − h − s Selanjutnya f (ξ n±

  1 ) dan g(ξ n± 1 ) dapat diperoleh dari persamaan (2.32) dan

  (2.33), yaitu f (ξ n ) f

  , (ξ n±

  1

  ) = − _{n n n )} −rf(ξ ) − cos(±d) + cos(±d)f(ξ )r + sin(±d)g(ξ _{n n}

  − cos(±d)g(ξ ) + sin(±d)f(ξ )r − sin(±d) g (ξ n± ) = ,

  1 _{n n n )}

  Deasy Wahyuni, Mahdhivan Syafwan

Gambar 1. Profil Solusi Persamaan Lotka Voltera Diskrit untuk Kasus (i)

_±

  dengan mengganti ω

  1

  = ±d. Dengan cara yang sama pada kasus (i), diperoleh solusi untuk parameter-parameter sebagai berikut:

  2

  

2

  2

  r

  4A + s + h ) (−r

  A , B = 0,

  1 = v −

  1

  2

  2

  h + s √

  2

  2

  2

• s + h ±4rA −r c ,

  =

  2

  2

  h

• s _!

  √

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  h + s 2r ±2r − r − h − s d , ,

  = arctan

  2

  2

  2

  2

  s s

• h + h dengan A , r, s, dan h adalah konstanta sebarang asalkan s 6= 0, h 6= 0 dan

  2

  2

  2

  s > r

• h . Substitusikan parameter-parameter tersebut ke persamaan (2.28) dan (2.29), diperoleh solusi

  2

  2

  2

  (s + h ) −4rA − r u

  , ) = A + n n

  (3.11) (t) ≡ U(ξ

  2

  2

  (s + h )(r + s cos(ξ n ) + h sin(ξ n )) dimana _! √ √

  

2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  h s

• s 2r 4rA + h ±2r − r − h − r
• ξ , n t . ^{n = arctan}
• ξ

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  s s s

• h + h + h Profil solusi (3.11) pada saat t = 1 dan t = 5 untuk nilai-nilai konstanta

  A ξ = d = r = s = 1, = 0, dan dengan mengambil tanda +, ditunjukkan pada Gambar 3.1.2. Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa solusi berjalan ke arah kanan sambil berosilasi secara bergantian di setiap site-n.

  Kasus (iii): q = 0. Berdasarkan penjelasan pada bab sebelumnya, hubungan antara f (ξ n ) dan g(ξ n ) pada kasus ini diberikan oleh

  2

  2

  pr 2rf (ξ n ) (C + 4C )f (ξ n )

  2

  2

  1

  g .

  (ξ n ) = (3.12)

• 2

  p

  Metode Persamaan Riccati Proyektif Gambar 2.

  Profil Solusi Persamaan Lotka-Voltera Diskrit untuk Kasus (ii) _±

  Selanjutnya dari persamaan (2.40) dan (2.41) dan dengan mengganti ω

  1 = ±d,

  diperoleh 2f (ξ n ) f (ξ n± ) = , (3.13)

  1

  2

  prd f (ξ n n

  ) − 2pg(ξ )(±d) + 2 2g(ξ n n

  ) − 2f(ξ )r(±d) g . (ξ n± ) = (3.14)

  1

  2

  prd f (ξ n n

  ) − 2pg(ξ )(±d) + 2 Dengan cara yang sama pada kasus (i), diperoleh solusi untuk parameter-parameter sebagai berikut:

  2

  2

  2

  2 C r d

  − p

  2

  1 A rA p, B c , C ,

  = 0, = 2dA (3.15)

  1 = −2d

  1 2 = −

  4rp dengan A , r, p, d, C

  1 dapat dipilih sebarang asalkan r 6= 0 dan p 6= 0.

  Substitusikan parameter-parameter tersebut ke persamaan (2.35) dan (2.36), sehingga didapatkan solusi

  2

  d pr

  2A u _{n n ) = A (3.16)} , (t) ≡ U(ξ − _{p r d −C 2 2 2} ²

  2 ¹

  prξ ξ _{n −}

• C

  1 n 4rp

  dt dengan ξ n = dn + 2A + ξ . Profil solusi (3.16) pada saat t = 1.1 dan t = 5.1 untuk nilai-nilai konstanta

  A = r = p = d = C = 1 dan ξ = 0 ditunjukkan pada Gambar 3. Dari gambar

  1

  tersebut dapat dilihat bahwa solusi yang diperoleh merupakan soliton yang berjalan d ke arah kiri dengan kecepatan konstan c = 2A = 2.

  4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Bapak Dr. Jenizon, dan Ibu Dr. Lyra Yulianti yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Conte, R., dan Musette, M., (1992), Link Between Solitary Waves and Projective Riccati Equations, J. Phys. A 25, 5609.

  Deasy Wahyuni, Mahdhivan Syafwan

Gambar 3. Profil Solusi Persamaan Lotka-Voltera Diskrit untuk Kasus (iii)

  [2] Drazin, P. G., dan Johnson, R. S., (1989): Solitons: An Introduction, Cambridge University Press, Cambridge. [3] Gorguis, A., dan Chan, W. K. B., (2008): Heat equation and its comparative solutions, Computers and Mathematics with Applications 55 (12) : 2973 – 2980. [4] Itoh, Y., (1987), Integrals of a Lotka-Voltera System of Odd Number of Vari- ables, Prog. Theor. Phys. 78(3), 507. [5] LotkaVolterra equations. https://en.wikipedia.org/wiki/Lotka %E2%80%93Volterra equations, diakses pada 2 Januari 2016. [6] Wazwaz, A. M., (2009): Partial Equations and Solitary Waves Theory, Springer, Berlin Heidelberg. [7] Yan, Z., (2003), Generalized method and its application in the higher-order nonlinear Schr¨ odinger equation in nonlinear optical fibres, Chaos, Solitons and

  Fractals 16, 759.

  [8] Zhen, W., dan Hong-Qing, Z., (2006). New Exact Solutions to Some Difference Differential Equations, Chinese Physics 15(10) : 2210 – 2215.