HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DAN KUBUS DASAR

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 43 – 49

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DAN KUBUS DASAR

WIWI ULMAYANI

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstract.

wiwi.ulmayani@ymail.com

Given a topological space X. Then define an algebra object H (X) which _{th ∗}

is called the homology group of X. H (X) is the collection the k homology group of

_{k ∗}

X which is denoted by H (X). An elementary cube Q is a finite product of elementary

intervals I = [l, l + 1] or I = [l, l], for some l ∈ Z. In this paper, it is proved that all _k elementary cubes are acyclic, which means that H (Q) is isomorphic to

  Z if k = 0, and H k (Q) is isomorphic to 0 if k > 0.

  Kata Kunci : Topological space, acyclic, isomorphic

  1. Pendahuluan Misalkan diberikan ruang topologi X. Selanjutnya didefinisikan suatu objek aljabar H ∗ ^∗

  (X) yang disebut dengan homologi dari X, dimana secara topologi H (X) adalah _{∗ ∗} sebuah invarian, artinya jika X dan Y adalah homeomorfik maka H (X) dan H (Y) adalah isomorfik,

  X ∗ ∗ ≈ Y ⇒ H (X) ∼ (Y ),

  = H dimana H ∗ (X) merupakan koleksi dari grup homologi ke-k dari X yang dinotasikan dengan H (X). _{k n}

  Misalkan diberikan suatu ruang topologi G ⊂ , yang mana dapat diseder- R hanakan menjadi suatu graf. Kemudian graf tersebut diobservasi dan direpresen- tasikan secara kombinatorik dan dari kombinatorik ini diperoleh suatu objek aljabar _∗ H (G) yang disebut homologi dari G.

  Pada tulisan ini, penulis akan fokus pada homologi kubik dimana ruang topologi dapat direpresentasikan sebagai sebuah kubik. Sebuah kubus dasar Q adalah suatu hasil kali hingga dari interval-interval dasar I = [l, l + 1] atau I = [l, l] untuk suatu _n l ∈ × I × · · · × I n ⊂ . Himpunan kubik merupakan suatu kelas

  Z. Jadi, Q = I

  1

2 R khusus dari ruang topologi.

  Berdasarkan definisi, sebuah himpunan kubik X disebut asiklik jika Z, jika k = 0

  H _{k (X) ∼ =} 0, selainnya untuk k ≥ 0 dan k ∈ Z.

  Makalah ini bertujuan untuk mengkaji hubungan antara himpunan kubik asiklik

  Wiwi Ulmayani

  2. Himpunan Kubik Asiklik dan Kubus Dasar Berikut akan diberikan definisi tentang himpunan kubik asiklik. Definisi 2.1.

  [5] Suatu himpunan kubik X dikatakan asiklik jika Z, jika k = 0

  H _{k (X) ∼ =} 0, selainnya untuk k ≥ 0 dan k ∈ Z.

  Misalkan Q = I

  1 ×I 2 ×· · ·×I d sebuah kubus dasar. Untuk suatu i ∈ {1, 2, · · · , d}

  , l ∈ misalkan I i (Q) nondegenerate, dengan I i (Q) = [l i i + 1], untuk suatu l i Z. Pilih k >

  0. Keluarga face berdimensi k dari Q dapat diuraikan sebagai berikut K k (Q) = K k ([l], i) ∪ K k ([l, l + 1], i) ∪ K k ([l + 1], i), dimana K k (∆, i) := {P ∈ K k (Q)|I i (P ) = ∆}, dengan ∆ := [l], [l, l + 1], [l + 1].

  Berikut adalah contoh keluarga face berdimensi k = 2. Contoh 2.2. Misalkan Q = [p, p + 1] × [l, l + 1] × [q]. Maka K (Q) = {[p, p+1]×[l]×[q], [p]×[l, l+1]×[q], [p+1]×[l, l+1]×[q], [p, p+1]×[l+1]×[q]}

  1

  dan K (Q) = {[p, p + 1] × [l, l + 1] × q},

  2

  sehingga diperoleh K ([l], 2) = {[p, p + 1] × [l] × [q]},

  1 K ([l, l + 1], 2) = {[p] × [l, l + 1] × [q], [p + 1] × [l, l + 1] × [q]}

  1 K ([l + 1], 2) = {[p, p + 1] × [l + 1] × [q]} (2.1)

  1

  dan K ([l], 2) = ∅,

2 K ([l, l + 1], 2) = {[p, p + 1] × [l, l + 1] × [q]}

  2 K 2 ([l + 1], 2) = ∅. (2.2)

  Misalkan z ∈ Z k (Q) yang memiliki sifat bahwa |z| tidak memuat kubus dasar dengan komponen [l + 1]. Maka |z| tidak memuat kubus dasar dengan komponen [l, l + 1].

  Lema berikut digunakan untuk membuktikan Teorema 2.4. _d Lema 2.3. [5] Asumsikan Q ∈ K dan i ∈ {1, 2, · · · , d}. Jika z merupakan siklik

  P ke-k pada Q sedemikian sehingga hz, b i = 0 untuk setiap P ∈ K k ([l + 1], i), maka P hz, b i = 0 untuk setiap P ∈ K k ([l, l + 1], i).

  Bukti. Karena z merupakan rantai pada Q, maka

  X z = hz, b P i b P . _{P ∈K}

  Himpunan Kubik Asiklik dan Kubus Dasar

  Oleh karena itu, untuk sebarang R ∈ K k− (Q), berlaku

  

1

X

  R P P R h∂z, b i = h∂( hz, b i b ), b i _{P ∈K k (Q)}

  X hz, b P i∂ b P , b R i = h _{P ∈K k (Q)}

  X = hz, b P ih∂ b P , b R i. _{P ∈K k (Q)} Karena z siklik, maka untuk sebarang R ∈ K k− (Q) berlaku

  1 X

  X R P P , b R P P , b R = h∂z, b i = hz, b ih∂ b i + hz, b ih∂ b i + _{P ∈K P ∈K k ([l],i) k ([l,l+1],i)}

  X _{P ∈K k ([l+1],i)} hz, b P ih∂ b P , b R i P i = 0 untuk setiap P ∈ K

  Karena hz, b k ([l + 1], i), maka

  X X R i = hz, b P ih∂ b P , b R i + hz, b P ih∂ b P , b R i 0 = h∂z, b _{P ∈K k ([l],i) P ∈K k ([l,l+1],i)} (2.3)

  Misalkan P ∈ K k ([l, l + 1], i), dan misalkan R kubus dasar yang didefinisikan sebagai [l + 1], jika j = i

  I _{j (R ) = (2.4)} I (P ), selainnya. _j Maka, R bukan face dari P untuk P ∈ K k ([l], i), karena I i (P ) = [l] sedangkan

  P

  I P P , b R _{i (R ) = [l + 1]. Akibatnya hz, b ih∂ b i pada ruas kanan (2.3) tidak P ∈K k ([l],i)} muncul untuk R = R . Namun, R adalah face dari P untuk P ∈ K k ([l, l + 1], i) jika dan hanya jika P = P . Ini berarti bahwa persamaan (2.4) direduksi R = R

  P P , b R menjadi 0 = hz, c ih∂c i. Perhatikan bahwa

  R = I × I × · · · × I i × · · · × I d

  1

  2

  = I

  1 × I

2 × · · · × [l + 1] × · · · × I d

  \ R c = I × I × · · · × [l + 1] × · · · × I d

  1

2 I

  I I = b ⋄ b ⋄ · · · ⋄ \ [l + 1] ⋄ · · · ⋄ b d

  1

  2

  = \ [l + 1] ⋄ b I ⋄ b I ⋄ · · · ⋄ d I i− ⋄ d I i ⋄ · · · ⋄ b I d

  1

  2 1 +1

  I I

  I I

  I = \ [l + 1] ⋄ b ⋄ b ⋄ · · · ⋄ d i− ⋄ d i ⋄ · · · ⋄ b d

  1

  2 1 +1

  | {z } _{′ J} c ′ J

  X _{P ∈K k ([l+1],i)} hz, b P ih∂ c P ^∗ , b P i c P ^∗ , z ^′

  I ^′ ⋄ b J ^′ + (−1) ^{dimI ′} b I ^′ ⋄ ∂ b J ^′

  | {z }

  b _I ^′

  ⋄ b

  I

  1 ⋄ b

  I

  2 ⋄ · · · ⋄ d

  I _i−

  1 ⋄ d

  I _{i +1 ⋄ · · · ⋄ b}

  I _d | {z }

  _J c ^′ .

  Sehingga, ∂ c P = ∂ b

  = ∂ \ [l, l + 1] ⋄ b J ^′

  ⋄ d I i

  J ^′ = ( \ [l + 1] − b [l]) ⋄ b J ^′ + (−1) \ [l, l + 1] ⋄ ∂ b J ^′ = \ [l + 1] ⋄ b

  J ^′ − b [l] ⋄ b

  J ^′

  J ^′ . Karena h∂ c

  P , b R i 6= 0, diperoleh hz, b P i = 0.

  Teorema berikut merupakan hasil kajian utama dalam makalah ini. Teorema 2.4. [5] Setiap kubus dasar adalah asiklik.

  Bukti. Misalkan Q adalah kubus dasar. Karena Q connected, maka menurut [5], H

  (Q) ∼ = Z. Sehingga cukup ditunjukkan bahwa H ^{k (Q) = 0 untuk k > 0, yang eki-} valen dengan menunjukkan bahwa setiap siklik ke-k pada Q adalah batas (bound- ary). Dalam hal ini akan ditunjukkan dengan induksi pada n := dim Q.

  Jika n = 0, maka Z k (Q) = C k (Q) = 0 = B k (Q) yang menunjukkan bahwa H _{k (Q) = 0.}

  Asumsikan bahwa H k (Q) = 0, untuk semua kubus dasar dengan dimensi yang lebih kecil dari n. Karena n > 0, pilih sebarang i sedemikian sehingga I _{i (Q) nondegenerate. Untuk setiap P ∈ K k ([l + 1], i), misalkan P} ^∗ kubus dasar yang diberikan oleh

  I j (P ^∗ ) := [l, l + 1], jika j = i

  I _{j (P ), selainnya.} Maka P adalah face dari P ^∗ . Misalkan z sebuah siklik ke-k pada Q. Defin- isikan c

  :=

  ⋄ · · · ⋄ b I d = \ [l, l + 1]

  1

  Wiwi Ulmayani

  × I

  dan P

  = I

  1

  × I

  2

  × · · · × I _i × · · · × I _d = I

  1

  × I

  2

  × · · · × [l, l + 1] × · · · × I _d P c

  = \

  I

  1

  2

  ⋄ · · · ⋄ d I i−

  × · · · × [l, l + 1] × · · · × I d = b

  I

  1

  ⋄ b

  I

  2

  ⋄ · · · ⋄ \ [l, l + 1] ⋄ · · · ⋄ b

  I _d = \ [l, l + 1] ⋄ b

  I

  1

  ⋄ b

  I

  2

• 1
• (−1) \ [l, l + 1] ⋄ ∂ b
• (−1) \ [l, l + 1] ⋄ ∂ b
• Untuk n = 0.
• Untuk n > 0.

  Himpunan Kubik Asiklik dan Kubus Dasar

  Maka basis untuk himpunan rantai-rantai dari Q

  1 ) = [1] × [2], [2] × [2]

  K (Q

  2 ) = [2] × [2], [3] × [2]

  K

  1 (Q

1 ) = [1, 2] × [2]

  K

  1 (Q

2 ) = [2, 3] × [2]

  1

  adalah K

  dan Q

  2

  adalah b K (Q

  1

  ) = { \ [1] × [2], \ [2] × [2]} = {c [1] ⋄ c [2], c [2] ⋄ c [2]},

  K b (Q

  2

  (Q

  2

  Untuk setiap P ∈ K k ([l + 1], i), berlaku h∂c, c P i = h∂(

  I _j (Q ^′ ) := [l], jika j = i

  X _{P ∈K k ([l+1],i)} hz, b P ih∂ c P ^∗ , b P i c P ^∗ ), c

  P i = h

  X _{P ∈K k ([l+1]} hz, b P ih∂ c P ^∗ , b P i∂ c P ^∗ , c P i =

  X _{P ∈K k ([l+1]} hz, b P ih∂ c

  P ^∗ , b P ih∂ c P ^∗ , c P i.

  Karena I i (P ^∗ ) = [l, l + 1] dan I i (P ) = [l + 1], akibatnya h∂ c P ^∗ , c P i 6= 0 jika dan hanya jika P = P . Oleh karena itu,h∂c, c

  P i = hz, c P i dan hz ^′ , c P i = 0. Berdasarkan Lema 2.3, |z ^′ | ⊂ Q ^′ , dimana Q ^′ merupakan kubus berdimensi n − 1 yang didefinisikan sebagai

  I _{j (Q), selainnya.} Dari induksi, diperoleh z ^′ = ∂c ^′ . Ini menunjukkan bahwa z

  dan Q

  = ∂c + z ^′ = ∂c + ∂c ^′ = ∂(c + c ^′ ), dengan z adalah batas.

  Kebalikan dari Teorema 2.4 tidak berlaku, karena setiap himpunan kubik yang asiklik belum tentu merupakan kubus dasar. Contoh 2.5.

  Misal himpunan kubik Γ ^′ = [1, 3] × [2]. Definisikan Q

  1

  = [1, 2] × [2] dan Q

  2

  = [2, 3] × [2]. Himpunan-himpunan dari kubus dasar Q

  1

  ) = { \ [2] × [2], \ [3] × [2]} Wiwi Ulmayani

  K b

  α

  = −1

  1 . Untuk memperoleh Z

  1

  (Γ ^′ ), akan dicari ker ∂

  1

  , dengan menyelesaikan persamaan −1

  1 α

  

1

  = . −α

  1

  1

  ∂

  = , yang memberikan α

  1

  = −α

  1

  = 0. Sehingga diperoleh α

  1

  = 0. Karena Z

  1

  (Γ ^′ ) = 0, B

  1

  1

  ∂ ( d [2, 3] ⋄ c [2]) = −c [2] ⋄ c [2]) + c [3] ⋄ c [2] = −1(c [2] ⋄ c [2]) + 1(c [3] ⋄ c [2]), sehingga basis dari Γ ^′ dapat ditulis dalam bentuk matriks

  1 (Q 1 ) = { \ [1, 2] × [2]}

  d [1, 2] ⋄ 0

  = { d [1, 2] ⋄ c [2]}, K b

  1

  (Q

  2

  ) = { \ [2, 3] × [2]} = { d [2, 3] ⋄ c [2]}. Untuk menghitung operator batas dari Γ ^′ , perlu dihitung batas dari anggota- anggota basisnya.

  ∂ ( d [1, 2] ⋄ c [2]) = ∂ d [1, 2] ⋄ c [2] + (−1)

  dim d [1,2]

  d [1, 2] ⋄ ∂c [2]

  = (c [2] − c [1]) ⋄ c [2] + (−1)

  1

  = (c [2] ⋄ c [2] − c [1] ⋄ c [2]) + 0 = c [2] ⋄ c [2] − c [1] ⋄ c [2] = −c [1] ⋄ c [2]) + c [2] ⋄ c [2].

  ∂ ( d [1, 2] ⋄ c [2]) = −c [1] ⋄ c [2]) + c [2] ⋄ c [2] = −1(c [1] ⋄ c [2]) + 1(c [2] ⋄ c [2]).

  ∂ ( d [2, 3] ⋄ c [2]) = ∂ d [2, 3] ⋄ c [2] + (−1)

  dim d [2,3]

  d [2, 3] ⋄ ∂c [2]

  = (c [3] − c [2]) ⋄ c [2] + (−1)

  1

  d [2, 3] ⋄ 0

  = (c [3] ⋄ c [2] − c [2] ⋄ c [2]) + 0 = c [3] ⋄ c [2] − c [2] ⋄ c [2] = −c [2] ⋄ c [2]) + c [3] ⋄ c [2].

  Selanjutnya tentukan basis dari Q

  1 dan Q

  2

  (Γ ^′ ) = 0 akibatnya H ^′

  Himpunan Kubik Asiklik dan Kubus Dasar

  Untuk k = 0, 1, R = [1] × [2]

  Q b (R) = (2.5) 0, selainnya. c ([1] × [2]) = α \ [1] × [2]([1] × [2]) = α, dimana α ∈ (X) ∼

  Z. Lebih khusus, Z = C (X) = (X) ∼ Z. Oleh karena itu, H = Z.

  3. Kesimpulan Misalkan X adalah himpunan kubik. Selanjutnya misalkan Q ⊂ X adalah kubus dasar. Setiap kubus dasar Q adalah asiklik, yang berarti bahwa

  Z, jika k = 0 H _{k (Q) ∼ =} 0, selainnya.

  Namun tidak semua himpunan kubik yang asiklik adalah kubus dasar.

  4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Ibu Nova Noliza Bakar, M.Si, Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Bapak Prof. Dr. I Made Arnawa dan Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka _rd [1] Bartle, R.G. dan D.R. Sherbert. 2000.Introduction To Real Analysis, 3 ed., USA: Copyright Act _nd

  [2] Herstein, I. N. 1999. Topics in Algebra. 2 ed. John Wiley and Sons, New York

  [3] Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York [4] Kaczynski. T, K. Mischaikow, M. Mrozek. 2000. Algebraic Topology : A

  Computational Approach . New York [5] Kaczynski. T, K. Mischaikow, M. Mrozek. 2004. Computational Homology. Springer-Verlag. New York [6] Min Yan. 2010. Topology. Hongkong University of Science and Technology. Hongkong