OPERATOR BATAS PADA HOMOLOGI KUBIK

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 73 – 82

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

OPERATOR BATAS PADA HOMOLOGI KUBIK

SULASTRI

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstrak.

lathifah.sulastri@yahoo.com

Algebra topology is a concept that classifies topological spaces particularly

cubical sets based on the context of the algebraic objects namely homology groups. A

topological problem can also be viewed from the point of view of combinatorics which

can be simplified to be graphs. In this paper it is discussed about the classification of

the cubical sets based on its homology groups using the concept of boundary operators

as homomorphisms of free Abelian groups. Kata Kunci : Topological spaces, homology groups, the boundary operators, free Abelian groups

  1. Pendahuluan Dua ruang vektor yang berdimensi sama dan berhingga adalah isomorfik. Hal ini berarti bahwa himpunan ruang vektor tersebut dapat diklasifikasikan berdasarkan dimensinya yang merupakan suatu bilangan asli yang tunggal. Aljabar topologi merupakan suatu konsep yang membahas pengklasifikasian yang sama, tetapi dalam konteks ruang topologi yang didasarkan pada objek-objek aljabar yaitu grup ho- mologi.

  Salah satu konsep yang diperlukan untuk mengkaji homologi dari suatu ruang topologi adalah operator batas sebagai suatu homomorfisma dari grup Abelian be- bas. Grup Abelian bebas adalah suatu grup Abelian yang mempunyai basis berupa himpunan fungsi dari himpunan kubus-kubus dasar ke bilangan bulat

  Z. Suatu masalah topologi juga dapat ditinjau dari sudut pandang kombinatorik, yang dapat disederhanakan menjadi suatu graf. Makalah ini akan membahas ho- mologi kubik yang dapat direpresentasikan sebagai suatu himpunan kubik.

  2. Rantai-Rantai Kubik _d Setiap kubus dasar k, Q ∈ K mempunyai objek aljabar b Q yang disebut rantai dasar _{d k d} k dari . Himpunan dari semua rantai-rantai dasar k dari dinotasikan sebagai

  R _{d d} R b K = { b Q|Q ∈ K , } _{k k d} dan himpunan dari semua rantai-rantai dasar dari dnotasikan sebagai _∞ R _{d d} [ b b

  K = K . _k Sulastri _d

  Diberikan sebarang koleksi hingga { b Q , b Q , · · · , b Q m } ⊂ K dari rantai-rantai dasar

  1

  2 _k dimensi k, sedemikian sehingga diperoleh penjumlahannya dalam bentuk b b b c = α Q + α Q + · · · + α m Q m ,

  1

  1

  2

  2 dimana α i adalah sebarang bilangan bulat. Jika semua α i = 0, i = 1, 2, · · · , m, maka diperoleh c = 0. Penjumlahan rantai-rantai dasar k didefinisikan oleh:

  X X

  X _d α i Q c + i β i Q c i = (α i + β i )c Q i .

  

C merupakan koleksi dari rantai-rantai kubik c adalah grup Abelian yang mem-

_{k d}

  punyai basis b K . Setiap kubus dasar yang digunakan untuk menghasilkan elemen _k basis disebut rantai dasar. _{d d} Secara khusus, untuk setiap Q ∈ K , didefinisikan b Q : K → _{k k Z oleh}

  1, jika P = Q, b Q(P ) = _{d d} 0, selainnya.

  Definisi 2.1. Grup C dari rantai-rantai dimensi k dari (disingkat rantai- _{k R}

  

rantai kubik k) adalah grup Abelian bebas yang dihasilkan oleh rantai-rantai dasar

_{d d d} dari K . Jadi, elemen-elemen dari C adalah fungsi-fungsi c : K → _{k k k Z sedemikian d}

sehingga c(Q) = 0 untuk semua Q kecuali untuk sejumlah berhingga Q ∈ K . Secara

_{d d k} khusus, b K adalah basis untuk C . _{k k}

  Diberikan suatu kubus dasar Q, maka rantai dasarnya adalah b Q. Dengan cara yang sama, diberikan suatu rantai dasar b Q, maka Q sebagai kubus dasarnya. _{d d} Proposisi 2.2.

  Fungsi φ : K → b K yang diberikan oleh φ(Q) = b Q adalah suatu _{k k} fungsi bijeksi.

  Bukti.

  Akan dibuktikan bahwa φ adalah fungsi pada (surjektif ) dan fungsi satu- satu (injektif ). Karena untuk setiap b Q ∈ b K k terdapat Q ∈ K k sehingga φ(Q) = b Q, maka φ surjektif. Selanjutnya misalkan P, Q ∈ K k dan b P = b Q. Apabila 1 = b P (P ) = b Q(P ), diperoleh P = Q. Sehingga diperoleh bahwa φ adalah fungsi injektif. _d Definisi 2.3.

  Misal c ∈ C . Support dari rantai kubik c yang dinotasikan oleh |c| _k adalah himpunan kubik yang pemetaannya tidak nol, didefinisikan sebagai

  S _d |c| = {Q ∈ K | c(Q) 6= 0}. _{k m m d} P P Definisi 2.4. b b Misalkan c , c ∈ C , dimana c = α i Q i dan c = β i Q i .

  1 2 k 1 i 2 i =1 =1

  Hasil kali skalar dari rantai kubik c dan c didefinisikan sebagai

  1 _m

  2 X hc , c i = α i β i .

  1

  2 _i =1 _{d d ′} Definisi 2.5.

  Diberikan dua kubus dasar P ∈ K dan Q ∈ K ′ . Didefinisikan _{k k}

  b

• d ^′ _k
• k ^′
• b P
• b Q
• \ P
• \ P
• \ P
• \ Q
• \ Q
• \ Q

  =1 α i b

  β j b Q j + ^o

  X _j =1

  α i b P i ⋄ ( ⁿ

  X _i =1

  3 ) = ^m

  2

  1 ⋄ (c

  R k maka c

  =1 γ k b

  Q j dan c 3 = P ^o _k

  =1 β j b

  P i , c 2 = P ⁿ _j

  (ii) Misal c 1 = P ^m _i

  γ k b R k ) = ^m

  P ^m _i =1 α i = 0.

  \ P i × 0 = \ 0 × P i

  =1 α i

  P i maka c 1 ⋄ 0 = P ^m _i

  =1 α i b

  (i) Misal c 1 = P ^m _i

  Bukti.

  1 ⋄ c 2 = 0, maka c 1 = 0 atau c 2 = 0.

  (iv) Jika c

  1 ⋄ c 2 ) ⋄ c 3 = c 1 ⋄ (c 2 ⋄ c 3 ).

  (iii) (c

  1 ⋄ (c 2 + c 3 ) = (c 1 ⋄ c 2 ) + (c 1 ⋄ c 3 ), dimana c 1 , c 2 , dan c 3 ∈ C ^d _k .

  X _k =1

  X _i =1

  1 ⋄ 0 = 0 ⋄ c 1 = 0.

  P i × Q j + ^m

  X _k =1

  α ^{i b} P ⁱ ⋄ ^o

  X _i =1

  β ^{j b} Q ^j + ^m

  X _j =1

  α ^{i b} P ⁱ ⋄ ⁿ

  X _i =1

  P i × R k = ^m

  γ k \

  X _k =1

  α i ^o

  X _i =1

  β j \

  α i ( ⁿ

  X _j =1

  α i ⁿ

  X _i =1

  γ k ) \ P i × Q j + \ P i × R k = ^m

  X _k =1

  X _{i =1} α i ^o

  X _{j =1} β j + ^m

  X _{i =1} α i ⁿ

  P i × (Q j + R k ) = ( ^m

  γ k ) \

  X _k =1

  β j + ^o

  X _j =1

  (ii) c

  adalah sebarang rantai-rantai kubik, maka (i) c

  γ ^{k b} R ^k = (c 1 ⋄ c 2 ) + (c 1 ⋄ c 3 ). Sulastri _{m n o}

  1 = [0] × [0, 1], P

  2 = b Q

  2 dan c

  1

  1 = b P

  1 . Diberikan rantai-rantai kubik c

  1

  1 dan b Q i ∈ b K

  2

  Perhatikan bahwa b P i ∈ b K

  2 = [0, 1].

  1 = [−1, 0], Q

  2 = [1] × [0, 1], dan Q

  Contoh 2.6. Misal P

  2 , dari definisi hasil kali kubik diperoleh c

  2 .

  dan c

  1

  disebut hasil kali kubik dari c

  2 ∈ C ^d

  1 ⋄ c

  Rantai kubik c

  X _{P ∈K k ,Q∈K k ′} hc 1 , b P ihc 2 , b Qi \ P × Q.

  1 ⋄ c 2 =

  2 ∈ C ^{d ′} _k ^{′ oleh} c

  dan c

  1 ∈ C ^d _k

  Operator Batas Pada Homologi Kubik Definisi ini diperluas untuk sebarang rantai-rantai kubik c

  1

  1 ⋄ c 2 =

  3

  = \ Q

  2 , c

  1 , c

  Misal c

  Hasil kali kubik mempunyai sifat-sifat berikut. Proposisi 2.7.

  2 .

  2 × P

  1

  2 × P

  2

  1 × P

  1

  1 × P

  1 , b P i \ Q × P

  X _{P ∈K 2 1 ,Q∈K 1 1} hc 1 , b P ihc 2 , b Qi \ P × Q

  2 , b Qihc

  X _{Q∈K 1 1 ,P ∈K 2 1} hc

  1 =

  2 ⋄ c

  2 , dan c

  2 × Q

  2

  1 × Q

  1

  2 × Q

  1

  1 × Q

  = \ P

• c

  P P P (iii) Misal c = α i P b i , c = β j Q b j dan c = γ k R b k maka

  1 _{i j k}

  2

  3 =1 =1 =1 _{m n o m n o}

  X X

  X X

  X X b b b \ b (c 1 ⋄ c 2 ) ⋄ c 3 = ( α i P i ⋄ β j Q j ) ⋄ γ k R k = ( α i β j P i × Q j ) ⋄ γ k R k _{i j k i j k m n o m n o} =1 =1 =1 =1 =1 =1

  X X

  X X

  X X \ b \

  = α i β j γ k P i × Q j × R k = α i P i ⋄ ( β j γ k Q j × R k ) _{i j i j m n o} =1 =1 k =1 =1 =1 k =1

  X X

  X b b b = α i P i ⋄ ( β j Q j ⋄ γ k R k ) = c _{i j k} 1 ⋄ (c 2 ⋄ c 3 ).

  =1 =1 =1 P m P n b b

  (iv) Asumsikan bahwa c = α i P i dan c = β j Q j . Maka

  1 _{m n m n i =1 j =1}

  2 X _{i b i j b j i j b i j}

  X X

  X 0 = c 1 ⋄ c 2 = α P ⋄ β Q = α β P ⋄ b Q , _{i j i j}

  =1 =1 =1 =1 sehingga α i β j = 0 untuk setiap i = 1, 2, · · · , m, dan j = 1, 2, · · · , n. Sesuai dari pernyataan di atas maka _{m n m n}

  X X

  X X

  2

  2

  2 0 = (α i β j ) = ( α )( β ), _{i j i j i j m n} =1 =1 =1 =1

  P P

  2

  2 karenanya α = 0 atau β = 0. Akibatnya, c = 0 atau c = 0. _{i i j j}

  1

  2 =1 =1 _d Proposisi 2.8.

  Misal b Q suatu rantai dasar dari dengan d > 1, sehingga terdapat

  R

  tunggal rantai-rantai dasar b I dan b P dengan emb I = 1 dan emb P = d−1 sedemikian sehingga b Q = b I ⋄ b P .

  Bukti. Karena b Q adalah rantai dasar, maka Q adalah kubus dasar, yaitu Q = I × I × · · · × I d .

  1

  2 Tetapkan I = I dan P = I × I × · · · × I d , maka b Q = b I ⋄ b P .

  1

  2

  3 Selanjutnya dibuktikan bahwa b Q = b I ⋄ b P adalah dekomposisi tunggal. Jika _{′ d− ′ ′}

  1

  1 Q = b b J ⋄ c P untuk suatu J ∈ K dan P ∈ K , maka \ I × P = \ J × P dan _{′ ′}

  1 diperoleh I × P = J × P . Karena I , J ⊂ = J dan P = P .

  1

  1 R, maka I

  1

  3. Rantai-Rantai Kubik dalam Himpunan Kubik _d Definisi 3.1.

  Misal X ⊂ himpunan kubik dan b K k (X) = { b Q|Q ∈ K k (X)}.

  R _{d d} C k (X) yang didefinisikan sebagai {c ∈ C | |c| ⊂ X} adalah subgrup dari C yang _{k k}

  dibangun oleh elemen-elemen dari b K k (X) dan merupakan himpunan rantai-rantai kubik k dari X.

  Dari Definisi 3.1 diperoleh bahwa b K k (X) merupakan basis dari C k (X). Selain itu, untuk sebarang himpunan kubik X, keluarga K k (X) adalah berhingga, C k (X)

  Operator Batas Pada Homologi Kubik

  4. Pembahasan Definisi 4.1.

  Diberikan k ∈

  Z, operator batas kubik yang dinotasikan oleh _{d d} ∂ k : C → C _{k k−}

  1

  

adalah homomorfisma dari grup-grup Abelian bebas yang didefinisikan untuk suatu

_d rantai dasar b Q ∈ b K dengan bilangan embedding dari Q yang bersesuaian. _k

  1 Untuk kasus d = 1, maka Q adalah interval dasar sehingga Q = [l] ∈ K atau

  1 b

  Q = [l, l + 1] ∈ K untuk suatu l ∈ k Q = 0 jika Q = [l], dan

  1 Z. Definisikan ∂ b ∂ k Q = [[ l + 1] − [b l] jika Q = [l, l + 1].

  Untuk kasus d > 1, misal I = I 1 (Q) dan P = I 2 (Q) × · · · × I d (Q). Maka dari Proposisi 2.8 diperoleh b Q = b I ⋄ b P . Definisikan _I dim b b b b b ∂ k Q = ∂ k I ⋄ b P + (−1) I ⋄ ∂ k P . _{1 2} dimana k

  1 = dim I dan k 2 = dim P . Definisi ini diperluas ke semua rantai-rantai b b b kubik dengan sifat linier yaitu jika c = α

  1 Q 1 + α

  2 Q 2 + · · · + α m Q m , maka b b b ∂ k c = α ∂ k Q + α ∂ k Q + · · · + α m ∂ k Q m .

  1

  1

  2

  2 Untuk lebih memahami konsep operator batas, maka diberikan contoh-contoh berikut.

  Contoh 4.2.

  Misal Q = [l] × [k], maka dim b [l] b ∂ Q = ∂ [b l] ⋄ [b k] + (−1) [b l] ⋄ ∂ [b k] = 0 ⋄ [b k] + [b l] ⋄ 0 = 0 + 0.

  Contoh 4.3.

  Misal Q = [l, l + 1] × [k, k + 1], (lihat Gambar 4.1). Maka dim \ [l,l+1]

  ∂ Q = ∂ b [ \ l, l + 1] ⋄ [ \ k, k + 1] + (−1) [ \ l, l + 1] ⋄ ∂ [ \ k, k + 1]

  2

  1

  1 = ([[ l + 1] − [b l]) ⋄ [ \ k, k + 1] − [ \ l, l + 1] ⋄ ([ [ k + 1] − [b k]) = [[ l + 1] ⋄ [ \ k, k + 1] − [b l] ⋄ [ \ k, k + 1] − [ \ l, l + 1] ⋄ [ [ k + 1] + [ \ l, l + 1] ⋄ [b k]

  \ \ \ \ = [l + 1] × [k, k + 1] − [l] × [k, k + 1] + [l, l + 1] × [k] − [l, l + 1] × [k + 1] = b B − b A + b A − b B ,

  1

  1

  2

  2 dimana A = [l]×[k, k+1], B = [l+1]×[k, k+1], A = [l, l+1]×[k], dan B = [l, l+1]×[k+1].

  1

  1

  2

  2 Untuk arah dari rantai-rantai kubik, tanda positif berlawanan arah jarum jam dan tanda negatif searah jarum jam. Untuk menyederhanakan penulisan maka disederhanakan notasi ∂ k ke ∂, karena subscript k hanya menunjukkan dimensi dari rantai kubiknya. _′ Proposisi 4.4.

  

Misal c dan c adalah rantai-rantai kubik, maka

_{′ ′ ′}

  dim c ∂(c ⋄ c ) = ∂c ⋄ c + (−1) c ⋄ ∂c . _′ Bukti.

  Karena c dan c adalah rantai-rantai kubik, maka asumsikan untuk se- _′ barang Q, Q ∈ K. Dari definisi operator batas diperoleh _{′ ′ dim b Q ′} b Sulastri

Gambar 4.1. Batas dari [l, l + 1] × [k, k + 1]

  Jika d = 1, maka diperoleh ∂( b Q ⋄ c Q ^′ ) = ∂ b Q ⋄ c Q ^′ + (−1) ^{dim b Q} b Q ⋄ ∂c Q ^′ , sehingga hasilnya langsung sesuai dari Definisi 4.1.

  X _i =1 ^{m ′}

  X _j =1

  α i ∂ c Q i ⋄ α ^′ _j c Q ^′ _j + (−1) ^{dim c m}

  X _i =1 ^{m ′}

  X _j =1

  α i c Q i ⋄ α ^′ _j ∂ c Q ^′ _j

  = ∂c ⋄ c ^′ + (−1) ^{dim c} c ⋄ ∂c ^′ . Selanjutnya akan dibuktikan persamaan (4.1) berlaku dengan induksi pada d = emb Q.

  Jika d > 1, maka didekomposisikan Q pada Proposisi 2.8, yakni Q = I × P , dimana emb I = 1 dan emb P = d − 1. Maka dari definisi operator batas, ∂( b Q ⋄ c Q ^′ ) = ∂(b I ⋄ b P ⋄ c Q ^′ ) = ∂ b I ⋄ b P ⋄ c Q ^′ + (−1) ^{dim b I} b

  X _{j =1} α i α ^′ _j (∂ c Q i ⋄ c Q ^′ _j + (−1) ^{dim c} Q c i ⋄ ∂ c Q ^′ _j )

  I ⋄ ∂( b P ⋄ c Q ^′ ) = ∂ b I ⋄ b P ⋄ c Q ^′ + (−1) dim b ^I b

  I ⋄ (∂ b P ⋄ c Q ^′ + (−1) dim b ^P b

  P ⋄ ∂c Q ^′ ) = ∂ b I ⋄ b P ⋄ c Q ^′ + (−1) dim b ^I I ⋄ ∂ b b P ⋄ c Q ^′ + (−1) dim b ^I +dim b ^P

  I ⋄ b b P ⋄ ∂c Q ^′ = (∂ b I ⋄ b P + (−1) dim b ^I b

  I ⋄ ∂ b P ) ⋄ c Q ^′ + (−1) ^{dim b Q} b Q ⋄ ∂c Q ^′

  = ∂ b Q ⋄ c Q ^′ + (−1) dim b Q b

  Q ⋄ ∂c Q ^′ , dimana persamaan terakhir sesuai dengan definisi dari operator batas.

  Teorema 4.5.

  = ^m

  X _{i =1} ^{m ′}

  Misal c = P ^m _i

  α ^′ _j c Q ^′ _j ) = ∂( ^m

  =1 α i c

  Q i dan c ^′ = P ^{m ′} _j

  =1 α ^′ _j c

  Q ^′ _j . Perhatikan bahwa dim c = dim b Q i , sehingga ∂(c ⋄ c ^′ ) = ∂( ^m

  X _i =1

  α i c Q i ⋄ ^{m ′}

  X _j =1

  X _i =1 ^{m ′}

  = ^m

  X _j =1

  α i α ^′ _j c Q i ⋄ c Q ^′ _j ) = ^m

  X _i =1 ^{m ′}

  X _j =1

  α i α ^′ _j ∂(c Q i ⋄ c Q ^′ _j ) = ^m

  X _i =1 ^{m ′}

  X _j =1

  α i α ^′ _j (∂ c Q i ⋄ c Q ^′ _j + (−1) ^{dim b Q i} c Q i ⋄ ∂ c Q ^′ _j )

  Misal ∂ suatu operator batas, maka

  Operator Batas Pada Homologi Kubik

  Bukti. Misal Q adalah interval dasar. Jika Q = [l], maka dari definisi ∂ b Q = 0 sehingga ∂(∂ b Q) = 0. Jika Q = [l, l + 1], maka ∂(∂ b Q) = ∂(∂[ \ l, l + 1]) = ∂([[ l + 1] − [b l]) = ∂[[ l + 1] − ∂[b l] = 0 − 0 = 0. _d

  Selanjutnya asumsikan bahwa Q ∈ K untuk d > 1. Maka Q = I × P , dimana I = I (Q) dan P = I (Q) × · · · × I d (Q), sehingga dari Proposisi 2.8,

  1

  2 dim b ^I ∂(∂ b Q) = ∂(∂(\ I × P )) = ∂(∂(b I ⋄ b P )) = ∂(∂ b I ⋄ b P + (−1) I ⋄ ∂ b b P ) _I dim b

  = ∂(∂ b I ⋄ b P ) + (−1) ∂(b I ⋄ ∂ b P ) _{I I} dim ∂ b dim b

  = ∂∂ b I ⋄ b P + (−1) ∂ b I ⋄ ∂ b P + (−1) ∂(b I ⋄ ∂ b P ) _{I I I} dim ∂ b dim b dim b b

  = (−1) ∂ b I ⋄ ∂ b P + (−1) (∂ b I ⋄ ∂ b P + (−1) I ⋄ ∂∂ b P ) _{I I} dim ∂ b dim b = (−1) ∂ b I ⋄ ∂ b P + (−1) ∂ b I ⋄ ∂ b P .

  Perhatikan bahwa jika dim b I = 0, maka ∂ b I = 0, sehingga setiap bagian pada pen- jumlahannya adalah 0 dan karenanya ∂∂ b Q= 0. Di bagian lain, jika dim b I = 1, maka dim ∂ b I = 0 dan karenanya dua bagian saling menghilangkan, sehingga diperoleh ∂∂ b Q= 0.

  Definisi 4.6. Operator batas untuk himpunan kubik X didefinisikan oleh _X ∂ : C k (X) → C k− (X), _{k d d}

  1

  diberikan dengan pembatasan ∂ k : C → C pada C k (X), dimana

_{k k−}

_X

  1 ∂ (c) = ∂ k (c). _k Hal yang terpenting dari makalah ini adalah homologi kubik, namun sebelumnya _d diberikan definisi berikut. Misal X ⊂ adalah himpunan kubik. Suatu rantai ku-

R bik k yaitu z ∈ C k (X) disebut siklik (cycle) pada X jika ∂z = 0. Maka, himpunan

  _X dari semua siklik k di X, yang dinotasikan oleh Z k (X) adalah ker ∂ dan meru- _k pakan subgrup dari C k (X), sehingga dapat disimpulkan sesuai dengan himpunan relasi-relasi berikut. _X Z k (X) = ker ∂ = C k (X) ∩ ker ∂ k ⊂ C k (X). _k

  Suatu rantai k yaitu z ∈ C k (X) disebut batas (boundary) di X jika terdapat c ∈ C k (X) sedemikian sehingga ∂c = z. Maka himpunan dari anggota-anggota

• 1
_X batas di C k (X) yang dinotasikan oleh B k (X), terdiri dari peta ∂ (C k → C k ). _{k +1} X<
• 1

  Karena ∂ adalah homomorfisma, B k (X) adalah subgrup dari C k (X), sehingga _k

• 1

  bisa disimpulkan bahwa _X B k (X) = im ∂ = ∂ k (C k (X)) ⊂ C k (X). _{k +1 +1}

• 1

  2 Dari Teorema 4.5, diperoleh bahwa jika ∂c = z maka ∂z = ∂ z = 0, sehingga setiap batas adalah siklik dan B k (X) adalah subgrup dari Z k (X).

  Misal z 1 , z 2 ∈ Z k (X) dikatakan homologous yang dinotasikan oleh z 1 ∼ z 2 jika z 1 − z 2 adalah batas dari X sehingga z 1 − z 2 ∈ B k (X). Kelas-kelas ekivalennya

  Sulastri Definisi 4.7.

  Grup homologi kubik k, atau lebih singkatnya grup homologi k, dari

  X adalah grup kuosien yang didefinisikan oleh : H k (X) = Z k (X)/B k (X).

  Homologi dari X adalah koleksi dari semua grup homologi k dari X yang dino- tasikan oleh _∗ H (X) = {H k (X)} .

  k∈Z Definisi 4.8.

  Diberikan z ∈ Z k (X), [z] ^{X ∈ H k (X) adalah kelas homologi z pada} X.

  Diberikan contoh berikut untuk menentukan homologi kubiknya.

  1 Contoh 4.9.

  Misal himpunan kubik Γ = [0] × [0, 1] ∪ [1] × [0, 1] ∪ [0, 1] × [0] ∪ [0, 1] × [1]. Himpunan-himpunan dari kubus dasar adalah

  1 K (Γ ) = {[0] × [0], [0] × [1], [1] × [0], [1] × [1]}

  1 K (Γ ) = {[0] × [0, 1], [1] × [0, 1], [0, 1] × [0], [0, 1] × [1]}.

  1 Jadi, basis untuk himpunan-himpunan rantainya adalah

  1 b

  K (Γ ) = { \ [0] × [0], \ [0] × [1], \ [1] × [0], \ [1] × [1]} = {c [0] ⋄ c [0], c [0] ⋄ c [1], c [1] ⋄ c [0], c [1] ⋄ c [1]},

  1 \ \ \ b

  K 1 (Γ ) = { \ [0] × [0, 1], [1] × [0, 1], [0, 1] × [0], [0, 1] × [1]} = {c [0] ⋄ d [0, 1], c [1] ⋄ d [0, 1], d [0, 1] ⋄ c [0], d [0, 1] ⋄ c [1]}. Untuk menghitung operator batasnya, akan ditentukan batas dari elemen-elemen basisnya.

  ∂(c [0] ⋄ d [0, 1]) = −c [0] ⋄ c [0] + c [0] ⋄ c [1]. ∂(c [1] ⋄ d [0, 1]) = −c [1] ⋄ c [0] + c [1] ⋄ c [1]. ∂( d [0, 1] ⋄ c [0]) = −c [0] ⋄ c [0] + c [1] ⋄ c [0]. ∂( d [0, 1] ⋄ c [1]) = −c [0] ⋄ c [1] + c [1] ⋄ c [1]. sehingga basisnya bisa ditulis dalam bentuk matrik

    −1 0 −1 0

   1 0 −1   

  ∂ =

  1  0 −1 1  .

  1

  1

  1 Untuk menentukan Z (Γ ), akan ditentukan ker ∂ dengan menyelesaikan per-

  1

  1 samaan berikut.

        −1 0 −1 0 α

  1  1 0 −1   α   

  2           =   .

  0 −1 1 α

  3

  1 1 α

  4    

  −α − α

  1

  3  α − α   

  1

  4       =   ,

  −α + α

  2

  3

  Operator Batas Pada Homologi Kubik

  yang memberikan α 1 = −α _T 2 = −α 3 = α 4 . Oleh karena itu, diperoleh bahwa

  1

  1 Z 1 (Γ ) = {α[1, −1, −1, 1] |α ∈ 1 (Γ ) dihasilkan oleh c [0] ⋄ d [0, 1] − Z}, dengan Z

  1

  1 c [1] ⋄ d [0, 1] − d [0, 1] ⋄ c [0] + d [0, 1] ⋄ c [1]. Ketika C 2 (Γ ) = 0, B 1 (Γ ) = 0 dan oleh karena itu

  1

  1

  1 H 1 (Γ ) = Z 1 (Γ ) ∼ = (Γ ). Perhatikan bahwa tidak ada solusi Z. Lalu dihitung H untuk persamaan

        −1 0 −1 0 α

  1

  1  1 0 −1   α   

  2           =   .

  0 −1 1 α

  3

  1 1 α

  4 karena determinan dari matrik yang berisi basis dari rantai-rantai kubiknya = 0.

  1 Ini berimplikasi bahwa c [0] ⋄ c [0] 6∈ B (Γ ). Dengan cara yang lain, ∂(c [0] ⋄ d [0, 1]) = −c [0] ⋄ c [0] + c [1] ⋄ c [1].

  ∂(c [0] ⋄ d [0, 1] + d [0, 1] ⋄ c [1]) = −c [0] ⋄ c [0] + c [1] ⋄ c [1]. ∂(c [0] ⋄ d [0, 1] + d [0, 1] ⋄ c [1] − c [1] ⋄ d [0, 1]) = −c [0] ⋄ c [0] + c [1] ⋄ c [1]

  1 Jadi, {c [0]⋄c [0]−c [0]⋄c [1], c [0]⋄c [0]−c [1]⋄c [0], c [0]⋄c [0]−c [1]⋄c [1]} ⊂ B (Γ ). Khususnya, semua rantai-rantai dasar bersifat homolog, sehingga c [0] ⋄ c [0] ∼ c [0] ⋄ c [1] ∼ c [1] ⋄ c [0] ∼ c [1] ⋄ c [1].

  1 Selanjutnya, misal sebarang rantai z ∈ C (Γ ). Maka c c c c z = α [0] ⋄ c [0] + α [0] ⋄ c [1] + α [1] ⋄ c [0] + α [1] ⋄ c [1],

  1

  2

  3

  4 sehingga pada tingkat homologi ₁ h i

  [z] = c c c c Γ α [0] ⋄ c [0] + α [0] ⋄ c [1] + α [1] ⋄ c [0] + α [1] ⋄ c [1]

  1

  2

  3

  4 ₁ Γ h i h i h i h i c c c c

  = α + α + α + α 1 [0] ⋄ c [0] ₁ 2 [0] ⋄ c [1] ₁ 3 [1] ⋄ c [0] ₁ 4 [1] ⋄ c [1] ₁

  Γ Γ Γ Γ h i

  = (α + α + α + α ) c ,

  1

  2

  3 4 [0] ⋄ c [0] ₁ Γ dimana persamaan terakhir berasal dari fakta bahwa semua rantai-rantai dasar

  1

  1

  1 bersifat homolog. Oleh karena itu, setiap anggota dari H (Γ ) = Z (Γ )/B (Γ )

  1 yang telah dihasilkan oleh c [0] ⋄ c [0] dan karenanya dim H (Γ ) =1. Jadi, diperoleh bahwa

  Z, jika k = 0, 1,

  1 H k (Γ ) ∼ = 0, selainnya.

  Jadi, grup homologi dari suatu himpunan kubik diperoleh dengan menggunakan konsep operator batas. Jika homologi dari suatu himpunan kubiknya berbeda, maka himpunan kubiknya juga berbeda.

  5. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Dr. Dodi Devianto, Ibu Dr. Yanita, dan Ibu Dr. Lyra Yulianti yang telah memberikan ma-

  Sulastri

  Daftar Pustaka [1] Bartle, Robert. G dan D. R. Sherbert. 1994. Introduction to Real Analysis, second edition. Eastern Michigan University, Singapore [2] Herstein, I. N. 1999. Topics in Algebra. second edition. John Wiley and Sons,

  New York [3] Jacob, Bill. 1990. Linear Agebra. W. H Freeman and Company, New York [4] Kaczynsky, Tomasz. Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek. 2004. Compu- tational Homology, Applied Mathematical Sciences, vol.57 . Springer-

  Verlag Inc, New York [5] Yan, Min. 2010. Topology. Hongkong University of Science and Technology,

  Hongkong