Ekspresi matematik:  Hubungan antara input dan output

SISTEM WAKTU DISKRIT

   Deskripsi Input-Output

   Representasi Diagram Blok

   Klasifikasi Sistem

   Hubungan Antar Sistem

DESKRIPSI INPUT-OUTPUT

   Ekspresi matematik :

   Hubungan antara input dan output

   x(n) = i nput ( masukan, eksitasi)

   y(n) = output (keluaran, respon) Τ

   = Transformasi (operator)

   Sistem dipandang sebagai black box

  ) ( ) ( )] ( [ ) (

  n y n x T n x n y

T

   

  Contoh 1

Tentukan respon dari sistem-sistem berikut terhadap input :

   n ,  3  n 

  3 a ) y ( n ) x ( n )

  

  x ( n )  

  , n lainnya  b ) y ( n )  x ( n 

  1 )

  c ) y ( n ) x ( n

  1 )  

  1

  d ) y ( n )  x ( n 

  1 )  x ( n )  x ( n  1 )

   

  3

  e ) y ( n )  maks x ( n 

  1 ), x ( n ), x ( n  1 ) _n 

   f ) y ( n )  x ( k )  x ( n )  x ( n 

  1 )  x ( n  2 )  

  

  Jawab : 

    , , 3 ,

  ) ) 1 ( ( )   n x n y c

      x x y

  ) ) 1 ( ) 1 ( (

   n y

  2 , ) 3 , (

  2 , , 1 , 1 ,

   

  

    n x n y b

  Sistem identitas ) ) 1 ( ( )

  ) ( ) ( )  n x n y a

   n x

  2 , ) 3 , (

  2 , , 1 , 1 ,

    , , 3 ,

  ) ) 1 ( ) 1 ( ( x x y   

   

   

  ) 1 , (n

  5 ,

  3

  2 ,

  2 , 1 ,

  3

  1 ,

  5 , 2 ,

  3

    , , 1 ,

      

     

  ) ) 1 ( ( ) 1 (

  1 ) ( x x x y

  3

  ) ) 1 ( ( ) 1 (

   

   n x

  2 , ) 3 , (

  2 , , 1 , 1 ,

    , , 3 ,

   

  1 ) ( )      n x n x n x n y d

  3

  y

   

  ) ), 1 ( ( ),

  2 , 3 , 3 ,

  3 , 3 , 2 , 1 ,

    , , 3 ,

   

   

  x x x maks y

  ) 1 ( (

   

  ) ), 1 ( ( ),

   n x

  2 , ) 3 , (

  2 , , 1 , 1 ,

    , , 3 ,

  

  n x n x n x maks n y e 

  ) 1 ( ( )   

  ) 3 , (  n y

          

     ) ) 1 (

  ) 1 ( ( ) ( ) ( ) n x n x n x k x n y f ⁿ _k

   

    , , 3 ,

  2 , , 1 , 1 ,

  2 , ) 3 , (

   n x

          

     ) ) 2 (

  ) 1 ( ( ) ( ) ( x x x k x y _k

   

  , 12 , 12 , 12 , 9 ,

  7 , 6 , 6 , 5 ,

  ) 3 , (  

   n y

  n _{n  1} y ( n )  x ( k ) y ( n )  x ( k )  x ( n )

   _k 

     _{k   } y n y n x n Akumulator

  ( )  (  1 )  ( )

• y(n) tidak hanya tergantung pada input x(n) tapi juga pada respon sistem sebelumnya
• y(n-1)

   initial condition (kondisi awal)

• y(n-1) = 0

   sistem relaks

  Contoh Soal 2

Tentukan respon dari akumulator dengan input x(n) = n u(n)

bila : a) y(- 1) = 0 (sistem relaks)

  b) y(- 1) = 1

      

       

     ⁿ _{k k} ⁿ _k

  

k x k x k x n y

¹

  ) ( ) ( ) ( ) (

  Jawab :



  



     ⁿ _k

  k x y n y

  ) ( ) ) 1 ( (

   

  n n n n y y a

      

   

    

  2

  ( 1 ) 1 ) ) 1 (

  2 ) 1 (

  2

  2

     

     ⁿ _k

   

  ) ( ) ) 1 (

  2 ) 1 (

      n n k k x ⁿ _k ⁿ _k

   

  ) ( 

  2 ) 1 (

  ) ( ) ) 1 ( (

  k x y n y

  n n n n n n y y b

REPRESENTASI DIAGRAM BLOK

   Penjumlah (adder)

   Pengali dengan konstanta (constant muliplier)

   Pengali sinyal (signal multiplier)

   Elemen tunda (unit delay element)

  Constant multiplier :

  Adder :

• x
₁ (n) x ₂ (n) y(n) = x ₁ (n) + x ₂ (n) x(n) a y(n) = a x(n)

  Signal multiplier : Unit delay element :

  x

  x ₁ (n) x ₂ (n) y(n) = x ₁ (n)x ₂ (n) z

• ^{- 1} x(n)

  y(n) = x(n –1) x(n) y(n) = x(n +1)

  Contoh Soal 3

Buat diagram blok dari sistem waktu diskrit dimana :

  ) 1 (

  2

  1 ) (

  2

  1 ) 1 (

  4

  1 ) (

      

  n x n x n y n y

  x(n)

  Jawab :

  z ^{- 1} 0,5 y(n) z

• ^{- 1}

  black box

• 0,25
• 0,5
z ^{- 1} y(n) z
• ^{- 1}

  n x n x n y n y black box

  n x n x n y n y

      

  1 ) (

  4

  1 ) 1 (

  2

  )] ) 1 ( ( [

      

  ) 1 (

  1 ) (

  4

  1 ) 1 (

  2

  1 ) (

  2

• 0,5

• x(n)

KLASIFIKASI SISTEM

   Sistem statik dan dinamik

   Time-invariant & time-variant system

   Sistem linier dan sistem nonlinier

  

Sistem kausal dan sistem nonkausal

   Sistem stabil dan sistim tak stabil

  Sistem Statik (memoryless) :

   Output pada setiap saat hanya tergantung input pada saat yang sama

   Tidak tergantung input pada saat yang lalu atau saat yang akan datang y n  a x n

  ( ) ( )

  3 y n  n x n  b x n

  ( ) ( ) ( ) y n  T x n n

  ( ) [ ( ), ]

  Sistem Dinamik :

   Outputnya selain tergantung pada input saat

yang sama juga tergantung input pada saat

yang lalu atau saat yang akan datang  

       

     ) ( ) ( ) ( ) (

  ) 1 ( ( 3 ) ) ( n k k n x n y k n x n y n x n x n y

  Memori terbatas Memori terbatas Memori tak terbatas

  Sistem Time-Invariant (shift-invariant) :

   Hubungan antara input dan output tidak tergantung pada waktu )] ( [ ) ( n x T n y 

  Time-invariant Time-variant )] ( [ ) (

  T k n x k n y   

)] ( [ ) , (

  T k n x k n y   ) ( ) , ( k n y k n y  

  ) ( ) , ( k n y k n y   Umumnya :

  Contoh Soal 4

Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini time-invariant

atau time-variant y(n) = x(n) - x(n-1)

  a) x(n)

• Differentiator _{- 1}
• z

  ) ) 1 ( ( ) ( ) ) 1 ( ( )] ( [ ) , (

  ) ) 1 ( ( )] ( [ ) (      

             k n x k n x k n y

  T k n x k n x k n x k n y T n x n x n x n y

  Jawab : ) ( ) , ( k n y k n y  

  Time-invariant x

  n x(n) y(n) = n x(n) Time multiplier

  b)

  Jawab : ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

  ) ( )] ( [ ) , ( ) ( )] ( [ ) ( k n kx k n nx k n x k n k n y

  T k n nx k n x k n y T n nx n x n y

               

  ) ( ) , ( k n y k n y   Time-variant c) T y(n) = x(-n) x(n)

  Folder

  Jawab : ) ( )] ( [ ) (

  ) ( )] ( [ ) , ( ) ( )] ( [ ) ( k n x k n x k n y

  T k n x k n x k n y T n x n x n y

                

  Time-variant ) ( ) , ( k n y k n y   d)

  x

  cos( _o n) x(n) y(n) = x(n)cos( _o n) Modulator

  Jawab : )] ( cos[ ) ( ) (

  

) cos( ) ( )] ( [ ) , (

) cos( ) ( )] ( [ ) ( k n k n x k n y

  T n k n x k n x k n y T n n x n x n y o ^{o o}

           

  ω ω ω

  Time-variant ) ( ) , ( k n y k n y  

  Sistem Linier :

   Prinsip superposisi berlaku

• x
₁ (n) x ₂ (n) y ₁ (n) a ₁ a ₂ T

  )] ( ) ( [ ) (

  2

  2

  1

  1

  1 T n x a n x a n y

    a

₁

x (n) ₁ T y (n) ²
• x (n)
₂ a

₂

T y n a T x n a T x n

  ( )  [ ( )]  [ ( )]

  2

  1

  1

  2

  2 Linier y n y n

  ( )  ( )

  1

  2

  Contoh Soal 5

Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini linier atau

nonlinier

  B n Ax n y d n x n y c n x n y b n nx n y a

      

  ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( )

  2

  2

  Sistem Kausal :

   Outputnya hanya tergantung pada input sekarang dan input yang lalu x(n), x(n-1), x(n-2), …..

• 

  Outputnya tidak tergantung pada input yang lalu x(n+1), x(n+2), …..

• y n F x n x n x n

  ( )  [ ( ), (  1 ), (  2 ), ] 

  Contoh Soal 6 Tentukan kausalitas dari sistem-sistem di bawah ini :

  ) ( ) ( ) ) ) 2 ( ( ) ) ( ) ( )

  )

4 (

( 3 ) ) ( )

  ) ( ) ( ) ) ( ) ( )

  ) ) 1 ( ( ) ( )

  2 n x n y g n x n y f n x n y e n x n x n y d k n x a n y c k x n y b n x n x n y a _n k

        

       

     

  a, b dan c kausal

  d, e dan f nonkausal g kausal

  Sistem Stabil :

   Setiap input yang terbatas (bounded input)

akan menghasilkan output yang terbatas

(bounded output)  BIBO x n M y n M

  ( )   ( )  

  x y

  Contoh Soal 7 Tentukan kestabilan dari sistem di bawah ini

  C y C y C y

  4 ² ) 2 (

  ) 1 ( ) (

    

  Jawab : ) ) 1 ( ( )

  ) 1 ( (

  2      y n x n y n y bila mendapat input x(n) = C (n), 1 < C < 

HUBUNGAN ANTAR SISTEM

   Sistem-sistem kecil dapat digabungkan menjadi sistem yang lebih besar Hubungan seri dan paralel

   y (n) ₁ x(n) y(n)

  T T _{1 2} y ( n ) T [ x ( n )] ₁  ₁ y ( n ) T [ y ( n )] T T [ x ( n )]

    _{2 1 2}  

₁

  

2

^{1 1 2} T T T T  Umumnya :

  

Sistem linier dan time-invariant :

  

2

^{1 1 2} T T T T 
• x
₁ (n) y(n) y ₁ (n)

  T ₂ T ₁ y ₂ (n) Hubungan paralel :

  )] ( [ )] ( [ ) ( ) ( ) ( _{2 1 2 1} T n x n x T n y n y n y    

  )] ( [ )] ( )[ ( ) ( _{2 1} T n x n x T T n y _p   

  ) ( _{2 1} T T T _p  