PROBABILISTIC STATISTICS Module 3 Probabilitas 1

  PROBABILISTIC & STATISTICS Module 3 Probabilitas 1 TIM DOSEN UMN Last updated 7 Sept 2014 LATAR BELAKANG • Tidak semua keputusan bisnis adalah benar.

• Namun kita tidak mau mengambil keputusan tanpa memperhitungkan berapa peluang keputusan kita tersebut berakhir dengan kebenaran/kesuksesan.
• Untuk itu kita mempergunakan teori probabilitas.
• Disini kita mencoba memprediksi kejadian A akan terjadi.
• P(A) adalah nilai probabilitas kejadian A akan terjadi • P(A) berada diantara 0 dan 1.
• P(A)=0 artinya kejadian A pasti tidak terjadi.
• P(A)=1 artinya kejadian A pasti terjadi.
• Nilai P(A) antara 0 dan 1 berarti kejadian A bisa terjadi bisa pula tidak terjadi.
• Bila nilai P(A)<0,5 maka lebih besar kemungkinan bahwa kejadian A tidak terjadi.
• Bila nilai P(A)>0,5 maka lebih besar kemungkinan bahwa kejadian A akan terjadi.
• Bila nilai P(A)=0,5 artinya peluang kejadian A terjadi dan tidak terjadi adalah sama.

JENIS-JENIS PROBABILITAS

  3 PROBABILITAS PROBABILITAS SUBJEKTIF PROBABILITAS OBJEKTIF PROBABILITAS KLASIK PROBABILITAS EMPIRIS

  Berdasarkan Informasi Yang ada Berdasarkan

  Hasil-hasil yg peluangnya sama Berdasarkan Frekuensi relatif

PROBABILITAS SUBJEKTIF

• Kemungkinan (probabilitas) munculnya suatu kejadian tertentu ditentukan oleh seseorang berdasarkan informasi apapun yang tersedia
• Contoh:
• – Berapa kemungkinan Anda menikah sebelum usia 30 tahun?
• – Berapa peluang Anda mendapatkan pekerjaan dalam 1 bulan setelah wisuda?

PROBABILITAS SUBJEKTIF

• Contoh Lain:
• – Seorang manajer percaya bahwa probabilitas suksesnya seorang salesman menjual 1 unit bila sudah melakukan presentasi sebanyak 10 kali atau 10%.
• – Jika target per salesman adalah 100 unit, maka berapa kali seorang salesman melakukan presentasi?

PROBABILITAS EMPIRIS

• Probabilitas suatu kejadian akan muncul kembali adalah sebagian dari sejumlah kejadian serupa yang telah terjadi dimasa lalu.

  =

ℎ ℎ

CONTOH PROBABILITAS EMPIRIS

• Contoh Pelemparan munculnya Kepala pada pelemparan sebuah uang logam

  Jumlah Jumlah Frekuensi munculnya relative Ekperimen kejadian munculnya kejadian

  1

  10 3 0,3

  50 26 0,52 100 52 0,52 500 236 0,472 1000 494 0,494 10000 5027 0,5027

• Untuk jumlah percobaan yang sangat besar maka frekuensi relatif mendekati 0,5.

  7 CONTOH LAIN PROBABILITAS EMPIRIS

• Sampai pada bulan juli sebuah perusahaan sudah menerima 90 barang yang dikirim oleh suplier.
• Jumlah barang yang rusak adalah 10.
• Probabilitas diterimanya barang dalam keadaan rusak =10/90.
• Pada bulan agustus, mereka menerima 10 barang lagi • Di bulan ini hanya ada 2 barang yang rusak.
• Probabilitas rusaknya barang = (10+2)/(90+10)= 12/100

PROBABILITAS KLASIK

• Probabilitas Klasik (Classical probability) didasarkan pada bahwa hasil-hasil dari sebuah eksperimen memiliki peluang yang sama untuk keluar.
• Rumus:

  ℎ ℎ ℎ = ℎ ℎ

  9 CONTOH

• Contoh: Pada eksperimen pelemparan sebuah uang logam. Berapa peluang munculnya Kepala?
• – Seluruh kejadian yang mungkin terjadi S={H,T}

  n(S)=2

• – Kejadian yang diharapkan adalah munculnya Kepala  A={H}  n(A)=1.
• – Probabilitas munculnya

  H T

  Kepala P(A)=n(A)/n(S)=0,5.

  CONTOH

• Contoh: Pada eksperimen pengambilan sebuah bola dari sebuah kantung berisi 9 bola. Hitung peluang terambilnya bola nomor 5!
• S={1,2,3,…9} n(S)=9

  1

  2

  3

  4

• A:Kejadian terambilnya bola 5

  5

  6

  7

  8

  9

• A={5} n(A)=1 P(A)=n(A)/n(S)=1/9

  11 ISTILAH DALAM PROBABILITAS

• Eksperimen adalah suatu proses yang mengeluarkan satu atau lebih hasil yang diharapkan.
• Hasil adalah keluaran tertentu dari sebuah eksperimen.
• Hasil dari sebuah eksperimen bisa sama dari eksperimen yang lalu bisa juga berbeda.

RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE)

  Sample Space adalah himpunan yang terdiri dari seluruh hasil yang mungkin terjadi Ekperimen Ruang Sampel Toss a Coin S = {Head, Tail} Toss 2 Coins S = {HH, HT, TH, TT} Select 1 Card S = {2 ♥, 2♠, ..., A♦} (52 cards) Select 1 Card, Note Color S = {Red, Black} Machine Breakdown Causes S = {electrical, mechanical, misuse} Number of Software Errors S = {0 error, 1 error, 2 errors, ….} Observe Gender S = {Male, Female}

  KEJADIAN • Kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil dari sebuah eksperimen.

• Kejadian yang berisi satu hasil eksperimen disebut dengan kejadian elementer
• Contoh: – Eksperimen: sebuah dadu dilemparkan.
• – Hasil yang mungkin dari eksperimen pelemparan dadu: Angka 1 keluar Angka 2 keluar Angka 3 keluar Angka 4 keluar Angka 5 keluar Angka 6 keluar
• – Kejadian yang mungkin:
>A= kejadian mendapatkan angka yang ganjil
• B= kejadian mendapatkan angka yang lebih besar dari 4 • C= kejadian mendapatkan angka 3 atau kurang.
• Suatu kejadian (A) bisa terjadi bersamaan dengan kejadian yang lain (B).
• Ada pula suatu kejadian (C) yang tidak bisa terjadi bersamaan dengan suatu kejadian yang lain (B). B dan C disebut sebagai Kejadian Saling Asing.

  CONTOH

• Tentukan peluang seseorang akan medapatkan

  "MATA 5" muncul sebanyak 2 kalipada pelemparan 2 kali sebuah dadu.

• Ekperimen pelemparan sebuah dadu 2x
• S={11,12,...16,21,22,..26,61,62,...66} n(S)=36
• A:Kejadian muncul mata 5 dua kali
• A={55} n(A)=1 • P(A)=n(A)/n(S)=1/36.

  15 KEJADIAN SALING ASING

• Ekperimen perlemparan sebuah dadu • S={1,2,3,4,5,6} n(S)=6.
• A:Kejadian munculnya angka ganjil A={1,3,5} n(A)=3 P(A)=n(A)/n(S)=0,5
• B:Kejadian munculnya angka genap B={2,4,6} n(B)=3 P(B)=n(B)/n(S)=0,5 • A∩B=∅ n(A∩B)=0 P(A∩B)=n(A∩B)/n(S)=0.

  PELUANG TERJADINYA DUA KEJADIAN SALING ASING SECARA BERSAMAAN ADALAH NOL. P(A ∩B)=0.

  QUIZ: MANA YANG SALING ASING? • Ekperimen pelemparan dadu dan koin bersamaan.

  Kejadian munculnya angka 5 pada dadu dan kejadian munculnya head pada pelemparan koin.

• Ekperimen pelemparan 1 dadu. Kejadian munculnya angka prima pada dadu dan kejadian munculnya angka genap • Ekperimen pelemparan dua dadu bersamaan.

  Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu=3 dan kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu=11.

  17 KOMPLEMEN

• Ada lagi contoh kejadian yang saling asing yaitu kejadian yang merupakan komplemen dari suatu kejadian.
• – Ekperimen pelemparan sebuah dadu.
• – S={1,2,3,4,5,6} n(S)=6 – A:kejadian munculnya angka ganjil. A={1,3,5} n(A)=3.
• – A:kejadian munculnya angka tidak ganjil. A={2,4,6}
• – P(A)+P(A)=n(A)/n(S)+n(A)/n(S)=0,5+0,5=1

  Untuk kejadian komplemen: P(A)+P(  A)=1

ATURAN PENJUMLAHAN PROBABILITAS

• Aturan penjumlahan probabilitas terdiri dari:
• – Aturan penjumlahan umum  untuk kejadian tidak saling asing

  A ∩B≠ ∅P(A∩B)>0

P(A

  ∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

• – Aturan penjumlahan khusus  untuk kejadian saling asing A

  ∩B≠ ∅ P(A∩B)=0

P(A

  ∪B)=P(A)+P(B)

  19 CONTOH • Ekperimen pelemparan dadu dan koin bersamaan.

  Kejadian munculnya angka 5 pada dadu dan kejadian munculnya head pada pelemparan koin. Hitung peluang terjadinya munculnya angka 5 pada dadu atau kejadian munculnya head pada pelemparan koin!

• Ekperimen pelemparan dua dadu bersamaan. Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu=3 dan kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu=11. Hitung peluang terjadinya munculnya jumlah angka kedua dadu=3 dan munculnya jumlah angka kedua dadu=11!

  CONTOH

• Ekperimen pelemparan sebuah dadu dan koin bersamaan.
• S={1H, 1T, 2H, 2T, … 6H, 6T} n(S)=12
• A:Kejadian munculnya angka 5 pada dadu
• A={5H,5K} n(A)=2 P(A)=2/12 • B:Kejadian munculnya Head pada pelemparan koin.
• B={1H,2H,…6H} n(B)=6 P(B)=6/12
• A∩B={5H} n(A∩B)=1>0 bukan saling asing P(A∩B)=1/12
• P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=2/12+6/12-1/12=7/12

  21 CONTOH • Ekperimen pelemparan dua dadu.

• S={11, 12, … 16, 21, 22 … 26, 61,62,…66} n(S)=36
• A:Kejadian jumlah angka kedua dadu=3
• A={12,21} n(A)=2 P(A)=2/36
• B:Kejadian jumlah angka kedua dadu=11
• B={56,65} n(B)=2 P(B)=2/36
• A∩B={} n(A∩B)=0  saling asing P(A∩B)=0 • P(A∪B)=P(A)+P(B)=2/36+2/36=4/36=1/9.

  HOMEWORK

• Seorang Mahasiswa mengambil 2 buah mata kuliah katakan saja A dan B. Peluang untuk lulus matkul A 2/3 dan peluang untuk lulus matkul B adalah 4/9. Bila peluang untuk lulus keuda mata kuliah adalah ¼, berapakan peluang Mahasiswa tsb untuk lulus pada salah satu mata kuliah?

  23 KEJADIAN TIDAK SALING ASING

• Dua buah kejadian A dan B tidak saling asing apabila kejadian A dapat terjadi bersamaan dengan kejadian B.
• Terdapat dua kemungkinan:
• – Kejadian A terjadi dipengaruhi oleh kejadian B – Kejadian A terjadi tidak dipengaruhi oleh kejadian

B. Disebut dengan kejadian saling bebas (independent).

  KEJADIAN A DIPENGARUHI OLEH KEJADIAN B

• Kejadian A terjadi dipengaruhi oleh terjadinya kejadian B atau dengan kata lain Kejadian A terjadi dengan syarat terjadinya kejadian B • Probabilitas bersyarat:

  = ( ∩ )

  ( )

• atau

  ∩ = ( | )

  25 CONTOH • Hadi pergi ke Jakarta kalau besok pagi tidak hujan.

  Hitung probabilitas Hadi pergi ke Jakarta!

  Cuaca Besok Pagi Hadi pergi ke Jakarta HUJAN Tidak Pergi TIDAK HUJAN Pergi TIDAK HUJAN Tidak Pergi

DIAGRAM POHON PROBABILITAS PROBABILITAS PROBABILITAS AWAL BERSYARAT GABUNGAN

  B =Tidak Pergi

  1 P(B |A )=

  1

  1

  1 P(B )=P(A )P(B |A )= 0,5 x 1 =0,5

  1

  1

  1

  1

  1 ∩A A =Hujan

  1 P(A )= 0,5

  1 B =Tidak Pergi

  1 P(B )=P(A )P(B |A )= 0,5 x 0,5 =0,25

  1

  2

  2

  1

  2 ∩A P(B |A )= 0,5

  1

  2 A =Tidak Hujan

  2 P(A )= 0,5

  2 B =Pergi

  2 P(B )=P(A )P(B |A )= 0,5 x 0,5 =0,25

  2

  2

  2

  2

  2 ∩A P(B |A )= 0,5

  2

  2 P(B ) = P(B )=0,25 P(B ) = P(B )+P(B )=0,5+0,25=0,75

  2

  2

  2

  1

  1

  1

  1

  2 ∩A ∩A ∩A

  27 CONTOH

• Mahasiswa di dalam fakultas iCT terdiri dari 50% TI,

  40% SI, 10% SK. Mahasiswa berkacamata di TI 25% di SI 15% dan di SK 5%.

• Bila satu orang mahasiswa diambil dari fakultas ICT:

  (a) berapa peluang anak tsb berkacamata dari SI? (b) Berapa peluang anak tersebut tidak berkaca mata?

  JAWAB P(K|TI)=0,25 P(K

∩TI)=0,5x0,25=0,125

  P(TI)=0,5 P( P( K|TI)=0,75

K∩TI)=0,5x0,75=0,375

P(K|SI)=0,15

  P(K ∩ SI)=0,4x0,15=0,06 P(SI)=0,4 P( P(

  K|SI)=0,85

K∩ SI)=0,4x0,85=0,340

P(SK)=0,1 P(K|SK)=0,05 P(K

  ∩ SK)=0,1x0,05=0,05 P( P( K|SK)=0,95 K∩ SK)=0,1x0,95=0,095 (a) P(K (b) P(

  ∩ SI)=0,06 K)=P(K∩TI)+P(K∩ SI)+P(K∩ SK) =0,375+0,34+0,095=0,81

  29 HOMEWORK

• Sebuah perusahaan menjual notebook yang berasal dari 3 buah pabrik yang terletak di Tangerang (T), Bekasi (B), dan Depok D) dimana kapasitas produksi masing-masing pabrik adalah T=20%, B=30%, D=50%.
• Dari Pabrik ditemukan beberapa produk cacat yaitu dari T 2%, B 3%, dan D 4% dan seluruh notebook tersebut dimasukkan ke dalam sebuah gudang.
• Seorang karyawan disuruh untuk mengambil sebuah notebook secara acak.
• – Berapa peluang notebook yang diambil Cacat?
• – Bila notebook itu cacat, berapa peluang notebook itu berasal dari Tangerang?

  KEJADIAN A TIDAK DIPENGARUHI OLEH KEJADIAN B • Disebut juga kejadian saling bebas.

• Kejadian A terjadi tidak dipengaruhi oleh terjadinya kejadian B atau dengan kata lain Kejadian A terjadi tidak perduli kejadian B terjadi atau tidak.

  Untuk kejadian saling bebas: P(A|B)=P(A)

  31 CONTOH • Ekperimen pelemparan dua buah dadu.

• S={(1,1),(1,2),(1,3)…(6,6)} n(S)=36.
• A:kejadian munculnya angka ganjil di dadu I.

  A={(1,1)…(1,6),(3,1)…(3,6),(5,1)…(5,6)} n(A)=18.

• P(A)=n(A)/n(S)=18/36=

  0,5 • B:kejadian munculnya angka ganjil di dadu II.

  B={(1,1 )…(6,1),(1,3)…(6,3),(1,5)…(6,5)} n(B)=18.

• P(B)=n(B)/n(S)=18/36
• Kejadian A bisa terjadi bersamaan dengan B A ∩B={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5), (5,1),(5,3),(5,5)} n(A∩B)=9  n(A ∩B)>0 • P(A∩B)=n(A∩B)/n(S)=9/36.

  

.

  0,5