Matriks Kekakuan Batang Lokal [SM ]: Batang 1 : 4.800 0.000

  5

  

2

  2

  3

  3

  1

  2

  1

  4

  6

  1

  2

  3

  3

  1

  4

  1

  5

  2

  2

  4

  6

  2

  1

  2

  1

  3

  4

  4

  5

  6

  1

  1

  2

  6

  1

  3

  6

  6

  6

  12

  6

  12

  2

  4

  6

  6

  6

  12

  6

  12

• − + +
• − + + − +

  2

  4

  3

  

X

Z

  8

  7

  9

  11

  10

  12 Y

  1

  = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA S _M

  2 L

  2 L

  1 L

  3

  3 P q [ ]

  2

  Stiffness Method )

  5

• − + + − + − −
• −

  12

                 

                 

• 5.333 0.000 0.000 5.333 0.000 0.000 4

  6 Analisislah struktur di atas dengan menggunakan metode Kekakuan Langsung (Direct

  5

  4

  10

  11

  1.5 E kg/cm

  4 I 2 = (40 x 60

  3

  )/12 cm

  4 E

  1

  =

  2 E 2 = E kg/cm

  3

  2 E 3 =

  2 E kg/cm

  2 Penyelesaian : Penomoran Lokal Penomoran Global

  Sistim Koordinat Global

  Tabel Perhitungan : ( i ) ( j ) ( k ) L (cm) E (kg/cm

  2 ) A (cm

  2 ) I (cm

  )/12 cm

  = (40 x 40

  12EI/L

  A

  Diketahui Struktur portal bidang (plane frame )seperti gambar di bawah :

  Data Batang : Data Beban : L

  1

  = 500 cm P = 2000 kg L

  2

  = 400 cm q = 1500 kg/cm L

  

3 = 600 cm

  1

  3

  = A

  3

  = 40 x 40 cm

  2 A

2 = 40 x 60 cm

  2 I

  1

  = I

  4 ) α ( O ) EA/L

  3

  0.000 -0.024 -0.012 0.000 0.024 -0.012 5 0.000 0.012 1422.222 0.000 -0.012 2844.444 6

  3

  2

  3 Batang 2 : 6.000 0.000 0.000 -6.000 0.000 0.000 1 0.000 0.135 0.068 0.000 -0.135 0.068 2 0.000 0.068 7200.000 0.000 -0.068 3600.000 3

  [S M ]

  2 = E -6.000 0.000 0.000 6.000 0.000 0.000 4

  0.000 -0.135 -0.068 0.000 0.135 -0.068 5 0.000 0.068 3600.000 0.000 -0.068 7200.000 6

  1

  2

  4

  9

  5

  6 Batang 3 : 5.333 0.000 0.000 -5.333 0.000 0.000 10 0.000 0.024 0.012 0.000 -0.024 0.012 11 0.000 0.012 2844.444 0.000 -0.012 1422.222 12

  [S

  M

  ]

  3

  = E

  1

  8

  6EI/L

  3

  2

  4EI/L

  2EI/L

  1

  3 1 500 1.5 1600 213333.3 90 4.800 0.031 0.015 2560.000 1280.000

  2

  1 2 400 1 2400 720000.0 6.000 0.135 0.068 7200.000 3600.000

  4 2 600 2 1600 213333.3 90 5.333 0.024 0.012 2844.444 1422.222

  7

  Matriks Kekakuan Batang Lokal [S M ] : Batang 1 :

  4.800 0.000 0.000 -4.800 0.000 0.000 7 0.000 0.031 0.015 0.000 -0.031 0.015 8 0.000 0.015 2560.000 0.000 -0.015 1280.000 9

  [S

  M

  ]

  1

  = E -4.800 0.000 0.000 4.800 0.000 0.000 1 0.000 -0.031 -0.015 0.000 0.031 -0.015 2 0.000 0.015 1280.000 0.000 -0.015 2560.000 3

  2 ^{2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3}

• 1
• α + α − α + α + =
• 1
• α + α − α + α +
• 1
• α + α + α − α + =
• α + α + α − α +
• 0.015 0.000 2560.000 0.015 0.000 1280.000 9 [S
• 0.031 0.000 0.015 0.031 0.000 0.015 1
• 0.015 0.000 1280.000 0.015 0.000 2560.000 3
• 0.012 0.000 2844.444 0.012 0.000 1422.222 12 [S MS ]
• 0.012 0.000 1422.222 0.012 0.000 2844.444 6

  ] = E

  J

  6 [S

  5

  4

  3

  2

  1

  Perakitan Matriks Kekakuan Struktur [S J ] :

  6 Catatan :

  5

  12

  4

  11

  10

  0.000 -5.333 0.000 0.000 5.333 0.000 5

  3 = E -0.024 0.000 0.012 0.024 0.000 0.012 4

  0.024 0.000 -0.012 -0.024 0.000 -0.012 10 0.000 5.333 0.000 0.000 -5.333 0.000 11

  Batang 3 :

  = E -6.000 0.000 0.000 6.000 0.000 0.000 4 0.000 -0.135 -0.068 0.000 0.135 -0.068 5 0.000 0.068 3600.000 0.000 -0.068 7200.000 6

  2

  ]

  MS

  [S

  7

  8

  9

  11

  1 Cos Sin Sin Cos Cos Sin Sin Cos

  1

           

           

  R T [ ]

  1 Cos Sin Sin Cos Cos Sin Sin Cos

  1

           

  [ ]          

  12 Untuk batang 2 tidak perlu ditransformasikan karena Sumbu Lokal sama dengan Sumbu Global. Hal ini juga berlaku untuk semua batang yang mempunyai Sumbu Lokal sama dengan Sumbu Global.

  10

  10

  9

  8

  7

  6

  5

  4

  3

  2

  1

  12

  11

  3 Batang 2 : 6.000 0.000 0.000 -6.000 0.000 0.000 1 0.000 0.135 0.068 0.000 -0.135 0.068 2 0.000 0.068 7200.000 0.000 -0.068 3600.000 3

  1

  2

  1 [R

  1 [R

  1

  T : Batang 1 = Batang 3 (α = 90 O ) :

  1 Matriks Rotasi Transformasi Transpose [R T ]

  1

  1

  =

  2

  ]

  T

  1

  ]

  1

  O

) :

  1 Batang 2 (α = 0

  1

  =

  1

  ]

  T

  1 [R

  1

  Matriks Rotasi Transformasi [R T ] : Batang 1 = Batang 3 (α = 90 O ) :

  T

  T

  9

  1

  8

  7

  0.000 -4.800 0.000 0.000 4.800 0.000 2

  = E

  1

  ]

  MS

  0.031 0.000 -0.015 -0.031 0.000 -0.015 7 0.000 4.800 0.000 0.000 -4.800 0.000 8

  MS ] = [R T ] T [S M ] [R T ] Batang 1 :

  1 Matriks Kekakuan Batang Global [S

  1

  =

  1

  2

  T

  ]

  T

  1 [R

  1

  1

  O

) :

  1 Batang 2 (α = 0

  1

  = -1

  R T T

  Penataan Ulang Matriks Kekakuan Struktur [S ] (Rearrangement ) : J Karena sistim penomoran terhadap sumbu global sudah dibuat sedemikian hingga tidak diperlukan penataan ulang.

  1

  2

  3

  S FR

  6 [S J ] = E

  4 S

  5 FF

  7

  8

  9

  12

  10 S S

  11 RF RR

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10

  11

  12 Beban Ekivalen {A } :

  E Batang 2 : q

  Momen Primer :

  2

• 1/12(q.L ) =

  1

2 FEM = 20000000 kgcm

  

1-2

  2 FEM = -1/12(q.L ) = 2-1 -20000000 kgcm L

  FEM 1-2 FEM _2-1 Gaya Vertikal : Karena FEM 1-2 = FEM 2-1 dan letak beban simetris, maka V

  1 = V 2 = 1/2(q.L)

  V = V = 300000 kg

  1

  

2

V ₁ V ₂ 0 1

  V V ^{1 2}

• 300000 2
• 20000000 3
• 300000 5 FEM _{1-2 FEM 2-1} 20000000 6

  Titik 1 : Beban Joint {A } : J

  = P = 2000 kg 2000 1

  Analisis Beban Joint Ekivalen {A } = {A } + {A } : C J E

  {A J } {A E } 2000 2000

  1

• 300000 -300000

  2

• 20000000 -20000000

  3 4 {A }

  FC

  20000000 20000000

  6

• {A C } = =

  7

  8 9 {A }

  RC

  10

  11

  12

• -1 Matriks Perpindahan {D } = [S ] {A } F FF FC

  18.406 0.000 0.000 18.333 0.000 0.000 2000 37036.19 1 0.000 0.203 0.000 0.000 0.005 0.000 -300000 -62332.24 2

• {D } = 1/E 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -20000000 = 1/E -3207.69 3 (cm)

  F

  18.333 0.000 0.000 18.427 0.000 0.000 36884.27 4 0.000 0.005 0.000 0.000 0.183 0.000 -300000 -56400.98 5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 20000000 3140.81 6

  Matriks Reaksi Tumpuan {A } = - [A } + [S ] {D } R RC RF F

• 1088.48 -1088.48 7 299194.76 299194.76 8

  {A } = - + -4105276.47 = -4105276.47 9 (kg-cm)

  R

• 911.52 -911.52 10 300805.24 300805.24 11

  4467361.50 3336220.47 12

  Kontrol Reaksi :

  ΣH = 0 ΣΣ Σ H + H + P = 0

  7

  10

• 1088.48 + -911.52 2000 = +
• (2000) + 2000 = 0 0 = 0 … Ok. ΣV = 0 ΣΣ Σ V + V + (q.L) = 0

  8

  11

• 299194.76 300805.24 -600000 =
• 600000.00 -600000 = 0 = 0 … Ok. ΣΣ ΣM Σ = 0

  terhadap titik 3

  2 P.500 + 1/2(q.L ) + H 10 .100 - V 11 .400 + M 9 + M 12 = 0

• 1000000 120000000 + +
• 91152 120322096 -4105276.47 3336220.47 =
• 769056.00 = + 769056 0 = 0 … Ok. ΣM Σ ΣΣ terhadap titik 4 = 0

2 V .400 - H .100 + P.600 - 1/2(q.L ) + M + M = 0

  8

  7

  9

  12

• 119677904
• 108848 1200000 120000000 -4105276.47 3336220.47 =
• 769056 -769056.00 = 0 = 0 … Ok.

  Gaya Ujung Batang : {A } = {A } + [S ] {D }

  M i ML i M i M i {A } = {A } + [S ] .[R ].{D }

  M i ML i M i T J i Batang 1 :

  4.8 -4.8 0 7 0.03072 0.01536 -0.03072 0.01536 8

  {A } = 1 0.01536 2560 -0.01536 1280 9

• M -4.8

  4.8 0 1

• 0.03072 -0.01536 0.03072 -0.01536 2

  0.01536 1280 -0.01536 2560 3

• 1

  0 7

  1 0 8 x

  1 x 0 9

• 1 37036.19 1 1 -62332.24 2 1 -3207.69 3

  4.8 -4.8 0 7

  3

  2

  0.03072 0.01536 -0.03072 0.01536 8

  2

• = 0.01536 2560 -0.01536 1280 9 x
• 4.8 4.8 0 1 62332.2427

  1

• 0.03072 -0.01536 0.03072 -0.01536 2 37036.1937

  0.01536 1280 -0.01536 2560 3 -3207.6917

  1

  299194.76 7

• 1088.48 8

  =

• 4105276.47 9

  7

• 299194.76 1

  9

  1088.48 2

  8

  1

• 8211121.82 3
• 6 6 0 4 300000 -0.135 -0.0675 0.135 -0.0675 5
• 20000000 0.0675 3600 -0.0675 7200 6
• 62332.243 2 x
• 911.518273 4 300000 805.2350241 5
• 20000000 11065714.14 6
• 911.52 4 300805.24 5
• 8934285.86 6

  300805.24 10

  = 3336220.47 12

  911.52 5 8934285.86 6 Catatan : Untuk Gambar Bidang M, D dan N dapat dicoba sendiri dengan cara Superposisi.

  Untuk bentuk portal yang lain, seperti portal dengan salah satu atau kedua kakinya miring dapat dicoba dikerjakan di rumah.

  2

  1

  3

  

5

  4

  6

  1

  2

  

2

• 0 0.0118519 2844.444444 0 -0.011852 1422.222222 12
• 5.33333333 0 5.33333333 0 4 0 -0.023704 -0.01185185 0 0.0237037 -0.01185185 5 0 0.0118519 1422.222222 0 -0.011852 2844.444444 6
• 1

  4

  5

  6

  10

  11

  12

  3

  1

  =

  1 x 0 12

  5.333333333 -5.3333333 0 10 0 0.0237037 0.011851852 0 -0.023704 0.011851852 11

  1 0 11 x

  Batang 2 :

  6 -6 0 1 300000 0.135 0.0675 -0.135 0.0675 2

  {A M

  }

  2 =

  20000000 + 0.0675 7200 -0.0675 3600 3

  1 37036.1937 1

  1

  1 x -3207.6917 3 1 36884.27 4 1 -56400.98 5 1 3140.81 6

  911.5182725 1 300000 -805.235024 2

  = 20000000 + -11788878.2 3

  911.52 1 299194.76 2

  =

  8211121.82 3

  Batang 3 :

  5.333333333 -5.3333333 0 10 0 0.0237037 0.011851852 0 -0.023704 0.011851852 11

  {A M

  }

  3 =

  0 10

  2

• 1 36884.27 4 1 -56400.98 5 1 3140.81 6
• 0 0.0118519 2844.444444 0 -0.011852 1422.222222 12 x
• 5.33333333 0 5.33333333 0 4 56400.9816 0 -0.023704 -0.01185185 0 0.0237037 -0.01185185 5 36884.274 0 0.0118519 1422.222222 0 -0.011852 2844.444444 6 3140.80619
• 911.52 11
• 300805.24 4